人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題精講精練同步訓(xùn)練

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題精講精練同步訓(xùn)練【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間向量中的距離問(wèn)題1.點(diǎn)P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)2.點(diǎn)P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．考點(diǎn)二：空間向量中的夾角問(wèn)題角的分類(lèi)向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型歸納】題型一：點(diǎn)到平面的距離的向量求法1．如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點(diǎn)，試問(wèn)在A1B上是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)A1到平面AED的距離為？2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)M到直線AC1的距離；（2）求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離．題型二：平行平面的距離的向量求法3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，求平面AB1O1與平面BC1O間的距離.題型三：異面直線夾角的向量求法5．如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，為的中點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）求與所成角的余弦值.6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且CG＝CD.（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值.題型四：線面角的向量求法7．如圖，在多面體中，平面，點(diǎn)到平面的距離為，是正三角形，，．

（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值.8．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為線段的中點(diǎn)，過(guò)的平面與線段，分別交于點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.題型五：面面角的向量9．如圖1，在平面四邊形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，M為線段AC上的一點(diǎn)，且ME⊥AB.沿著AC將△ACD折起來(lái)，使得平面ACD⊥平面ABC，如圖2.（1）求證∶BC⊥AD；（2）求二面角A-DM-E的余弦值.10．如圖，在四棱柱中，平面，，，，，若與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【雙基達(dá)標(biāo)】11．在正四棱柱中，AB=2，過(guò)、、B三點(diǎn)的平面截去正四棱柱的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為，點(diǎn)P，Q分別是和AC的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求直線C1D與平面所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）12．如圖，在矩形中，，E為邊上的點(diǎn)，，以為折痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.13．直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)的上底面面積為，下底面面積為，側(cè)面積為，且二面角為，，分別在線段，上．（Ⅰ）若，分別為，中點(diǎn)，求與所成角的余弦值；（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)、為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．14．如圖，在三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.15．已知四棱錐，底面為平行四邊形，，，，，．（Ⅰ）若平面平面，證明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．16．如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求點(diǎn)到直線的距離；（4）設(shè)為線段上的點(diǎn)，且，求直線和平面所成角的正弦值.【高分突破】17．如圖，四邊形ABCD是矩形，，E是AD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)F，GF⊥平面ABCD；（1）求證：AF⊥平面BEG；（2）若，求直線EG與平面ABG所成的角的正弦值.18．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長(zhǎng)度．19．如圖，在中，．O為的外心，平面，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面平面；若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)直線l與平面所成角取最大值時(shí)，求的值20．如圖，在三棱臺(tái)中，，、分別為、中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面，令二面角的平面角為，求.21．在四棱錐中，底面為梯形，，，側(cè)棱底面，E為側(cè)棱上一點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，為的中點(diǎn)．（1）求與所成角的余弦值．（2）求證：平面．（3）求平面與平面的夾角的正弦值．23．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；24．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：．（2）若為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，求直線與平面所成角的正弦值．25．如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)在圓錐底面的圓周上，，，平分，是上一點(diǎn)，且平面平面.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.26．如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大?。唬?）點(diǎn)在線段上，且，試問(wèn)在線段上是否存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足平面，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？【答案詳解】1．解：如圖以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設(shè)＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設(shè)為平面AED的法向量，則?取x＝1，則y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí)，A1到平面AED的距離為.2．由題意，分別以為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，（1）直線AC1的一個(gè)單位方向向量為，，故點(diǎn)M到直線AC1的距離.（2）設(shè)平面MA1C1的法向量為，則,即不妨取x＝1，得z＝2，故為平面MA1C1的一個(gè)法向量，因?yàn)镹(1，1，0)，所以,故N到平面MA1C1的距離.3．（1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)．從而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，因?yàn)镸N∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD；（2）解：因?yàn)槠矫鍭MN∥平面EFBD，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離．設(shè)是平面AMN的法向量，則有即，可取，由于＝(0，4，0)，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離為，所以平面AMN與平面EFBD間的距離為．4．.如圖，連接OO1，則，且所以四邊形為平行四邊形，所以AO1OC1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又OBO1B1，平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為點(diǎn)O1到平面BC1O的距離.根據(jù)題意，OO1⊥底面ABC，，兩兩垂直.則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OO1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，設(shè)為平面BC1O的法向量，則即取可得點(diǎn)O1到平面BC1O的距離記為d，則d＝＝＝.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離為.5．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.（1）依題意得、，因此，，因此，線段的長(zhǎng)為；（2）依題意得、、、，，，所以，，故與所成角的余弦值為.6．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.則E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴，，，設(shè)EF與C1G所成角為，則故EF與C1G所成角的余弦值為7．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．

，，且，就是點(diǎn)到平面的距離，即平面平面，，又，四邊形是平行四邊形，是正三角形，，．（2）解：由（1）得平面，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，，則由得，令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．8．（1）∵，，為的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴.（2）∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，分別以，，所在的直線為，，軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，∴直線與平面所成角的正弦值.9．（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.（2）根據(jù)題意，以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x，y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.∴，∴，，設(shè)平面MDE的法向量為，則，即，令，得y=3，z=-1，∴，由（1）知，平面MAD的一個(gè)法向量為=（0，2，0），∴.∴二面角A-DM-E的余弦值為.10（1）由可得，，又，即，，又平面，平面，平面.（2）如圖，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，由圖可知兩平面所成的角為銳角，余弦值為.11．（1）設(shè)正四棱柱的高為，因?yàn)閹缀误w的體積為，所以，解得，即，所以正四棱柱為正方體.所以連接與，則交點(diǎn)為，連接與，則交點(diǎn)為，在正方體中，，所以為異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角.因?yàn)?所以面,又因?yàn)槊?所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，即異面直線與所成角為.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，,設(shè)面的法向量為，則，即，取，所以，設(shè)直線C1D與平面所成角為，則，所以，即直線C1D與平面所成角為.12．（1）由，設(shè)的中點(diǎn)為O，連接，則，又二面角為直二面角，故平面，設(shè)，則，又，得三棱錐的體積，即，得，于是由，所以，所以，又平面平面，得平面，則，又，且，所以平面，又平面，故平面平面.（2）以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閦軸正方向，過(guò)點(diǎn)O分別作和的平行線，分別為x軸和y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，所以，由圖形知二面角為鈍角，其余弦值為.13．（Ⅰ）設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，．∵，∴；∵，∴．∵，∴．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，∴圓臺(tái)的高為．∵二面角是直二面角，∴建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，點(diǎn)，，，，，∴，∴與所成角的余弦值為．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，，，∴，則．∵平面，∴平面，∴為直線與平面所成角，，當(dāng)時(shí)，最小，最大．在中，，，，，，即與平面所成最大角的正切值為．又點(diǎn)，，，，設(shè)點(diǎn)，平面的法向量，，，即，∴，則，，，即，解得，．即令得．易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則．由圖易得二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．14．（1）在中，因?yàn)椋?，，所以，?又平面平面，平面平面，面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以所在直線為軸，所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，由可得，令，則，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.15．（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以．又平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)線面平行的性質(zhì)定理，，所以．（Ⅱ）由題意得，，，所以，，．又，所以平面．因?yàn)?，所以平面．又，所以，，兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，則一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，則一個(gè)法向量，則．由圖易得二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．16．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t且，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，則且，又是正方形的中心，則，所以且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，因?yàn)槠矫?，則平面的一個(gè)法向量為，所以，則二面角的正弦值為；（3）解：因?yàn)椋?，，則，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為；（4）解：因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，解得，故，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.17．（1）因?yàn)榍?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面；?）據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，由可得，取，所以，設(shè)直線與平面所成角大小為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，所以AD⊥CD，AD⊥DD1，又CD∩DD1＝D，CD，DD1?平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E?平面CDD1C1，所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD?平面ABCD，故D1E⊥平面ABCD，又D1E?平面CC1D1D，則平面CC1D1D⊥平面ABCD；（2）解：取AB得中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則四邊形EFBC為正方形，所以EF⊥CD，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)D1E＝a，則E（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），所以，設(shè)平面BCC1B1的法向量為，則有，即，令z＝1，則，因?yàn)镕C⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E?平面BED1，所以FC⊥平面BED1，故為平面BD1E的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)槠矫鍮CC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，，解得a＝1，所以D1E＝1．19．（1）如圖，連接，交于點(diǎn)D，O為的外心，，所以，所以故和都為等邊三角形，即四邊形為菱形，所以又平面，平面，所以平面．（2）由（1）同理可知因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以．如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，和垂直平面的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)所以設(shè)平面的法向量為．，得，令得．所以直線l與平面所成角的正弦值為：，即當(dāng)即點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)時(shí)，直線l與平面所成角取最大值．20．（1）連接，設(shè)，連接，由三棱臺(tái)知，，，，，且.為的中點(diǎn)，故且，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)槠矫妫矫?，故平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，故，因?yàn)?，，平面，因?yàn)?，故平面，，為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，則，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，，，所以，所以，.21．解：（Ⅰ）證明：連結(jié)相交于點(diǎn)O，連結(jié)．在梯形中，∵，可得，∴，又已知，則在中，，∴．又底面，∴底面，則平面平面；（Ⅱ）由題知，底面，，四邊形為等腰梯形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由可得，取，則，又．∴，即直線與平面所成角的正弦值