人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)精講精練同步訓(xùn)練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)精講精練同步訓(xùn)練【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長(zhǎng)2p考點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)三直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為2p.2．拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)）1．（2020·全國(guó)高二）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為2．（2021·全國(guó)高二（文））點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或C． D．或3．（2017·河南信陽·高二期末（理））拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．題型二：拋物線的對(duì)稱性4．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，已知，，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．85．（2021·中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）若正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線上，其中一個(gè)頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積是（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且的面積為，則（）A． B． C． D．題型三：拋物線的弦長(zhǎng)問題7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（，的橫坐標(biāo)不相等），弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則（）A．14 B．16 C．18 D．208．（2021·馬鞍山市第二中學(xué)鄭蒲港分校高二開學(xué)考試（文））過拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．9．（2021·河北運(yùn)河·滄州市一中高二開學(xué)考試）已知直線與拋物線：相交于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)．若，則等于（）A．7 B．8 C．9 D．10題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問題10．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，過其焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，且，則該拋物線的方程為（）A． B． C． D．11．（2020·江蘇高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為1，則弦的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．7 D．812．（2021·四川自貢·高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別為、兩點(diǎn)在直線上的射影，而且，為線段的中點(diǎn).則下列命題（）① ②等腰直角三角形③直線的斜率為④的面積為4（為坐標(biāo)原點(diǎn)），其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4題型五：拋物線的應(yīng)用13．（2020·廣東普寧·高二期中）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬．當(dāng)水位上升后，水面寬是（）A． B． C． D．14．（2021·山東臨沂·高二期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．15．（2019·廣東深圳·）如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂高于水面，水面寬為，當(dāng)水面寬為時(shí)，水位下降了（）A． B． C． D．題型六：直線與拋物線的位置關(guān)系16．（2021·貴州師大附中高二月考（理））已知拋物線：，過其焦點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．17．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（）A． B．，C．， D．或18．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（）A． B． C． D．題型七：拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題19．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使為正三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過B的直線l交拋物線C于M，N.（1）當(dāng)m＝5，且直線l垂直于x軸時(shí)，求證：△AMN為直角三角形；（2）若＝＋，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，求實(shí)數(shù)m，使得AM⊥AN.21．（2021·重慶市第六十六中學(xué)校高二月考）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作曲線的兩條弦，設(shè)、所在直線的斜率分別為、，當(dāng)、變化且滿足時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）直線交拋物線于、兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，，則的值為（）A． B． C． D．23．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，，直線l1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A．16 B．20 C．24 D．3224．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖所示，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若，且，則拋物線的方程為（）A． B．C． D．25．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．或 B．或C． D．26．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．1027．（2021·榆林市第十中學(xué)）已知直線垂直于拋物線的對(duì)稱軸，與E交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在第一象限），過點(diǎn)A且斜率為的直線與E交于另一點(diǎn)C，若，則p=（）A． B．C． D．28．（2021·河南高三模擬預(yù)測(cè)）拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且平行于軸的直線與線段的中垂線交于點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，則（）A．或 B．或 C．或 D．或29．（2021·河北）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．30．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，若，則，兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和為（）A．1 B．2 C．3 D．431．（2021·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所高二期末（文））已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且拋物線上存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A．4 B．2 C．1 D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題32．（2021·全國(guó)高二課前預(yù)習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y＝3相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x33．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)（x，y）在拋物線y2=4x上，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．034．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).若.則（）A． B． C． D．35．（2022·浙江高三專題練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積是（）A． B． C． D．36．（2021·陜西漢中·高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，則的斜率為（）A． B． C． D．37．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理）（文））已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．338．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn).下列說法不正確的是（）A． B．(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為C． D．若是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為二、多選題39．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（）A． B．C． D．的坐標(biāo)為40．（2021·河北遷安·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為41．（2021·歷下·山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．以線段為直徑的圓與直線相交 B．以線段為直徑的圓與y軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為442．（2021·雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)Q（－2，0），過焦點(diǎn)的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．p＝2B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)M，若△MAB為等邊三角形，可得直線AB的斜率為43．（2021·江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)高二月考）拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)且，直線分別與拋物線交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn) B．C． D．若于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是圓三、填空題44．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．45．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（文））已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)到軸距離為，則的最小值為______．46．（2021·東城·北京二中高二月考）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，若，則的面積為___________.47．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）拋物線型塔橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，水面寬8米，若水面上升1米，則此時(shí)水面寬為___________米.48．（2021·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）如圖所示，已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點(diǎn)A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為________．四、解答題49．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l被E截得的線段長(zhǎng)為8.（1）求拋物線E的方程；（2）已知點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過點(diǎn)F，且圓C與直線x＝－相交于A，B兩點(diǎn).求的取值范圍．50．（2021·貴州貴陽一中高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線分別交曲線C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，且.證明：直線恒過定點(diǎn).51．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知拋物線：，過點(diǎn)的直線交拋物線于，，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）過作與直線垂直的直線交拋物線于，．求四邊形面積的最小值．52．（2021·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三月考）拋物線：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，弦的最小值為2.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，記直線AQ，BQ，PQ的斜率分別為，，，證明：為定值.53．（2021·江蘇鼓樓·金陵中學(xué)高三月考）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程：設(shè)動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，為上不同于，的點(diǎn)，若直線，分別與軸相交于，兩點(diǎn)，且，證明：動(dòng)直線恒過定點(diǎn).54．（2021·山西運(yùn)城·高三）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得直線，分別于軸交于，兩點(diǎn)，且，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案詳解】1．A【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2．D【詳解】將轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.所以拋物線的方程為或故選：D3．B【詳解】將化為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B.4．B解：不妨設(shè)拋物線的方程為，令點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第二象限．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線的方程得，即點(diǎn)．又點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)，都在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，所以，解得或（舍去），則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4．故選：B．5．A【詳解】設(shè)三角形其中一個(gè)頂點(diǎn)為，因?yàn)槿切问钦切?，所以，即，解得，所以三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為，所以三角形的面積為，故選：A6．C【詳解】如圖，∵，知兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故選：C7．D設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，，則，所以，所以，則，所以弦的垂直平分線為．令，則，所以．又，所以．故選：D．8．D【詳解】由題設(shè)，令為，聯(lián)立拋物線方程并整理得，∴若，則，，又易得，∴，則，即，∴，又，而，∴，即，又，則，故.故選：D9．C【詳解】，又，，，直線方程為，代入拋物線方程，得：，，，故選：C.10．A【詳解】設(shè)，，，拋物線的方程為，，由可得，所以所以，，所以，，，，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以拋物線的方程為．故選：A.11．D解：依題意得，拋物線的方程是，直線的方程是．聯(lián)立消去，得，即．設(shè)，，則，所以．故選：D．12．B【詳解】根據(jù)題意可得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,由題意可得直線BA的斜率不為0,可設(shè)直線AB的方程為x=my+1設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可知,將直線AB與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my-4=0所以.對(duì)于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正確;對(duì)于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不會(huì)∠C或∠D為直角,故B不正確;對(duì)于③:因?yàn)?所以,即，因?yàn)樗越獾?所以，所以直線的斜率為.故③正確；對(duì)于④:由題意可得，點(diǎn)O到直線AB的距離，所以，故④錯(cuò)誤.故選:B13．C解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位上升后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為.故選：C.14．B【詳解】如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，所以，所以，所以，又因?yàn)?，，，所以的周長(zhǎng)為：，故選：B.15．D【詳解】建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線為，點(diǎn)在拋物線上，得，拋物線方程為，當(dāng)水面寬為時(shí)，設(shè)拱頂高于水面，由點(diǎn)在拋物線上，得，故水面下降了.故選：D.16．B【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線AB為，將其代入拋物線方程可得，設(shè)，則，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以，所以準(zhǔn)線方程為，故選：B17．D【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.18．C【詳解】如圖所示，為的垂心，為焦點(diǎn)，，垂直平分線段，直線垂直于軸．設(shè)，，其中．為垂心，，，即，解得，直線的方程為，即．故選：C．19．【詳解】（1）由題意，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由，消去，得．設(shè)，，則，．由，得，解得或（舍去），∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則．假設(shè)在軸上存在滿足條件的點(diǎn)，連接．∵為正三角形，∴，即，解得，∴，∴．又，∴在軸上不存在一點(diǎn)，使為正三角形．20．（1）證明：由題意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，不妨取M(5,)，N(5,－)，則，∴，∴AM⊥AN，即△AMN為直角三角形，得證．（2）由題意，四邊形OAPB為平行四邊形，則kBP＝kOA＝2，設(shè)直線l：y＝2(x－m)，，聯(lián)立，得y2－2y－4m＝0，由題意，判別式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，∵AM⊥AN，則，又，∴，化簡(jiǎn)得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，∴，解得m＝6，故m＝6時(shí)，有AM⊥AN.21．（1）∵動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與直線相切，∴曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：.（2）∵直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)∴直線的斜率必不為0.∴設(shè)其方程為，并設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，與拋物線聯(lián)立得：.∴整理得：，其中，，且∵.∴.∴.∴.∴.∴或.當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為：，過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為：，過定點(diǎn)，即點(diǎn)不合題意，舍去.∴直線必過定點(diǎn).22．A【詳解】設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，由題意可知，因?yàn)?，則，解得.故選：A.23．C解：拋物線C：的焦點(diǎn)，設(shè)直線l1：，直線l2：由題意可知，則，聯(lián)立整理得：設(shè)，，則，設(shè)，，同理可得：由拋物線的性質(zhì)可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式“＝”成立．∴的最小值24.故選：C24．B【詳解】如圖分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得所以拋物線的方程為．故選：B25．B解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．方程可化為．由題意，知圓心到準(zhǔn)線的距離，解得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)為．設(shè)，則，，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故選B．26．A【詳解】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，由題意有，設(shè)，，，，此時(shí)直線方程為，取方程，得，∴，同理得由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào)；故選：A27．A如圖，因?yàn)檫^點(diǎn)A且斜率為的直線與E交于另一點(diǎn)C，若，所以可設(shè)，作于．因?yàn)?，則．由，易得，所以，，即知，因?yàn)辄c(diǎn)在上．所以，解得．故選：A28．A【詳解】若點(diǎn)在拋物線外部，如下圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的中垂線是，所以，由拋物線定義，又等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，而圖中，所以點(diǎn)不在拋物線外部；若點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如下圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，，因?yàn)榫€段的中垂線是，所以，再由拋物線定義得，解得或，所以時(shí)，，時(shí)，，故選：A.29．B【詳解】焦點(diǎn)，設(shè)直線為，代入拋物線方程得.設(shè)，由韋達(dá)定理得：①.由，即，有②∴由①②得：或，即，，化簡(jiǎn)得，或（舍）.故選：B.30．C【詳解】聯(lián)立，整理得：，解得：即直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且由，得，解得：或（舍）所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為故，兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是熟悉拋物線的性質(zhì).31．B【詳解】解：設(shè)，聯(lián)立得：，解得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以有，即，點(diǎn)在拋物線上，代入可得，解得：.故選：B.32．A33．B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y2=4x上，所以x≥0，因?yàn)閦=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，所以當(dāng)x=0時(shí)，z最小，最小值為3.故選：B.34．B【詳解】過點(diǎn)A，B分別作直線AM，BN垂直于準(zhǔn)線l，垂足分別為M，N，如圖：因直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，于是有，顯然有∽，于是得，即，，，所以.故選：B35．A【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由拋物線的定義可知，，由拋物線的對(duì)稱性，不妨令，設(shè)直線的方程為，由得，，∴，四邊形的面積，故選：A．36．D【詳解】由題知，拋物線方程為，設(shè)的直線方程為，代入拋物線方程，得，設(shè)，，則，.因?yàn)樗曰蚬?，即的斜率?故選：D37．A【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.38．C【詳解】由已知的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，設(shè)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理得，所以，，由，得，代入得，，所以，開方可得或，可得在，因?yàn)?，所以，在，因?yàn)?，所以，所以，，故A正確；由，得，故B正確；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；由得，所以在拋物線內(nèi)部，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖過作與，交拋物線與點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)在一條直線上時(shí)最小，此時(shí)，故D正確.故選：C.39．AC【詳解】由題可知,由，，所以，.故選：AC．40．BCD【詳解】對(duì)于A，拋物線，即，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，，故B正確；對(duì)于C，若，則過點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，即拋物線通經(jīng)的長(zhǎng)，故C正確，對(duì)于D，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)，，分別作準(zhǔn)線的垂直線，，，垂足分別為，，，所以，，所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故D正確．故選：BCD．41．ACD解：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，由，，，可得線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線相交，故A對(duì)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然以線段為直徑的圓與軸相切；當(dāng)直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，可得，，設(shè)，，可得的橫坐標(biāo)為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，顯然以線段為直徑的圓與軸相交，故B錯(cuò)；以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，，，，可得，，可得，又，可得，，則，故C正確；顯然當(dāng)直線垂直于軸，可得取得最小值4，故D正確．故選：ACD．42．BCD【詳解】對(duì)A，由準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)Q（－2，0），所以，，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，拋物線過焦點(diǎn)的弦通徑最短，即垂直于軸時(shí)，令，可得，，所以，故B正確；對(duì)C，設(shè)直線m的方程為，代入拋物線方程可得：，設(shè)，則有：，所以，故C正確；對(duì)D，若△MAB為等邊三角形，設(shè)A，B中點(diǎn)為，則，，設(shè)，所以，所以，則，則點(diǎn)到直線m的距離，而，由可得，解得，所以,此時(shí)AB的斜率為，故D正確.故選：BCD43．ABD【詳解】由題意，，若，，則，，∵，即，又聯(lián)立直線與拋物線有，∴，，則，∴，而，即，故過定點(diǎn)，A正確；若，，，，由：，可得，則；由：，可得，則；∴，而且，故，B正確；，，∴，C錯(cuò)誤；∵在直線上，又過定點(diǎn)且，∴，故在以為直徑的圓上，D正確；故選：ABD44．解：由題意得：拋物線交點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，直線l的方程為，即代入拋物線方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案為：45．如圖，連接交圓于M點(diǎn)，交拋物線于