一次函數(shù)與特殊角問(wèn)題及幾何存在性問(wèn)題（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

專題23一次函數(shù)與特殊角問(wèn)題及幾何存在性問(wèn)題（解析版）類型一一次函數(shù)與特殊角1．（2021?祥符區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（0，6），（6，0），連接AB，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在第一象限交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（7，7） B．（32+3，32+C．（8，8） D．（33+3，33【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等腰直角和等邊三角形的性質(zhì)及第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵A（0，6），B（6，0），∴AB=62∵由題意可知，點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，∴△ABC為等邊三角形，∴OD＝32，CD＝36，∴OC＝32+36∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（33+3，33故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)和坐標(biāo)的特征，及等邊和等腰直角的邊長(zhǎng)關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2022?新安縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A，O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B，連接AB，OB；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AB右側(cè)交于點(diǎn)P，連接OP，交AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)CA．（3，1） B．（3，332） C．（3，3） D．（【思路引領(lǐng)】利用作法得到OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，則可判斷△OAB為等邊三角形，所以∠BAO＝60°，再判斷OP垂直平分AB得到AC=12AB＝2，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥OA于H，如圖，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AH＝1，CH=3，所以O(shè)H【解答】解：由作法得OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，∴△OAB為等邊三角形，∴∠BAO＝60°，∵OB＝OA，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，∴AC=12過(guò)O點(diǎn)作OH⊥OA于H，如圖，在Rt△ACH中，∵AH=12∴CH=3AH=∴OH＝OA﹣AH＝3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．3．（2023?增城區(qū)一模）如圖，已知直線y=?3x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，將OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ON．連接BN，則線段A．3 B．3+3 C．23 【思路引領(lǐng)】設(shè)直線y=?3x+3與y軸的交點(diǎn)為E，再取AE的中點(diǎn)D，連接OD、AN，過(guò)B作BH⊥AN于H點(diǎn)．根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后再證明△AOD為等邊三角形．再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，并利用SAS證明△MOD≌△NOA，得出∠OAN＝∠ODE＝120°．由A為定點(diǎn)，∠OAN＝120°為定值，即說(shuō)明當(dāng)M在直線y=?3x+3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也在定直線AN上運(yùn)動(dòng)，即得出當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)H重合時(shí)，BN最短．結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)可求出AB=23，進(jìn)而可利用銳角三角函數(shù)求出BH【解答】解：如圖，設(shè)直線y=?3x+3與y軸的交點(diǎn)為E，再取AE的中點(diǎn)D，連接OD、AN，過(guò)B作BH⊥AN于對(duì)于y=?3x+3，令x＝0，則∴E（0，3）．令y＝0，則x=3∴A(3∴OA=3，OE∵∠AOE＝90°，∴AE=O∵AE的中點(diǎn)為D，∴DO=DA=DE=1∴DO=DA=OA=3∴△DAO為等邊三角形，∴∠AOD＝∠ODA＝60°，∴∠ODE＝120°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OM＝ON，∠MON＝60°＝∠DOA，∴∠MON﹣∠DON＝∠DOA﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOA，∴△MOD≌△NOA（SAS），∴∠OAN＝∠ODE＝120°．∵A為定點(diǎn)，∠OAN＝120°為定值，∴當(dāng)M在直線y=?3x+3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也在定直線∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)H重合時(shí)，BN最短．∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B(?3∴AB=23∵∠BAH＝180°﹣∠OAN＝60°，∴BH＝3，即BN的最小值為3．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形以及一次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)N在定直線上，通過(guò)垂線段最短的性質(zhì)求BN的最小值．4．（2021?大荔縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，1），線段AC是線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，則AC所在直線的解析式是（）A．y＝2x﹣4 B．y=12x﹣1 C．y＝2x?32 D．【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，易知△ACD≌△BAO（AAS），從而求得點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入求得k和b，從而得解．【解答】解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠AOB＝∠CDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠ACD＝90°﹣∠CAD，∵BA＝AC，∴△ACD≌△BAO（AAS），∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2，∴C（3，2），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入得：0=2k+b2=3k+b解得：k=2b=?4∴直線AC的解析式為y＝2x﹣4，故選：A．【總結(jié)提升】本題是幾何圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合題，利用全等三角形求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．類型二一次函數(shù)與幾何存在性問(wèn)題5．（2023春?和平區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=34x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，在x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【思路引領(lǐng)】先計(jì)算AB的長(zhǎng)，分AB＝PA和AB為底邊兩種情況求解即可．【解答】解：因?yàn)橹本€y=34x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A所以A（﹣8，0），B（0，6），所以AB=6當(dāng)AB＝PA＝10時(shí)，OP＝PA+OA＝8+10＝18，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，所以P（﹣18，0）；當(dāng)AB為底邊時(shí)，作AB的垂直平分線PD，交x軸于點(diǎn)P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到PA＝PB，設(shè)PO＝t，則PA＝PB＝8﹣t，根據(jù)勾股定理，得（8﹣t）2＝t2+62，解得t=7因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，所以(?7故答案為：（﹣18，0）或(?7【總結(jié)提升】本題考查了一次函數(shù)背景下的等腰三角形存在性問(wèn)題，熟練掌握夠勾股定理，等腰三角形的分類，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?電白區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，過(guò)點(diǎn)B，C作直線，交x軸于點(diǎn)D．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1）；求直線BC的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且△ABE的面積為52，求點(diǎn)E（3）在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】（1）令x＝0和y＝0可確定點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，得OB＝3，OA＝1，作輔助線構(gòu)建全等三角形，證明△BOA≌△AGC，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，根據(jù)四邊形AOBE的面積＝S△AOB+S△ABE＝S△BEF+S梯形AOFE，代入計(jì)算可得結(jié)論；（3）分三種情況：分別根據(jù)平移的性質(zhì)可解答．【解答】解：（1）直線y＝﹣3x+3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴B（0，3），OB＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴A（1，0），OA＝1，如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAG＝90°，∵∠AOB＝∠CGA＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CAG＝∠ABO，∴△BOA≌△AGC（AAS），∴AG＝OB＝3，CG＝OA＝1，∴C（4，1），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則4k+b=1b=3，解得：k=?∴直線BC的解析式為：y=?12故答案為：（4，1）；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，∵點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，?12m+3）（0≤∵四邊形AOBE的面積＝S△AOB+S△ABE＝S△BEF+S梯形AOFE，∴12×1×3+52=12?m?（3+12解得：m＝2，∴E（2，2）；（3）分三種情況：①如圖3，四邊形ABEP是平行四邊形，∵A（1，0），B（0，3），E（2，2），∴由平移得：P（3，﹣1）；②如圖4，四邊形APBE是平行四邊形，由平移得：P（﹣1，1）；③如圖5，四邊形ABPE是平行四邊形，由平移得：P（1，5）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）．【總結(jié)提升】此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，掌握平移的性質(zhì)和分類討論的思想是解本題的關(guān)鍵．7．（2023春?雅安期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．（1）求直線A1B1的解析式；（2）若直線A1B1與直線AB交于點(diǎn)C，P是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)S△PB1【思路引領(lǐng)】（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），則OA＝2，OB＝4，由旋轉(zhuǎn)可知OA1＝OA＝2，OB1＝OB＝4，則A1（0，2），B1（﹣4，0），求出直線直線A1B1的解析式為y=1（2）兩個(gè)聯(lián)立求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是(45，125)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，﹣2a+4），根據(jù)S△PB1【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x+4＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣2x+4，解得x＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），∴OA＝2，OB＝4，由旋轉(zhuǎn)可知：OA1＝OA＝2，OB1＝OB＝4，∴A1（0，2），B1（﹣4，0），設(shè)直線A1B1的解析式為y＝kx+b（k≠0），∴2=b0=?4k+b解得k=1∴直線A1B1的解析式為y=1（2）由題意聯(lián)立得到y(tǒng)=?2x+4y=解得x=4∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，﹣2a+4），由S△PB1解得a＝﹣4或a＝8，當(dāng)a＝﹣4時(shí)，y＝﹣2×（﹣4）+4＝12，當(dāng)a＝8時(shí)，y＝﹣2×8+4＝﹣12，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣4，12）或（8，﹣12）．【總結(jié)提升】此題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式、兩直線交點(diǎn)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?雙流區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣2x+b分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（﹣2，2）在直線l1上，現(xiàn)將直線l1繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，則直線l2的解析式為y=?13x【思路引領(lǐng)】過(guò)B點(diǎn)作BD⊥BC，交x軸于D，交直線l2于E，作CF⊥y軸于F，通過(guò)證得△COF≌△BDO（AAS），BC＝BD，BF＝OD＝4，D（4，0），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC＝BE，D與E重合，點(diǎn)D在直線l2上，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線l2的解析式．【解答】解：過(guò)B點(diǎn)作BD⊥BC，交x軸于D，交直線l2于E，作CF⊥y軸于F，∵點(diǎn)C（﹣2，2）在直線l1：y＝﹣2x+b上，∴2＝4+b，解得b＝﹣2，∴y＝﹣2x﹣2，∴B（0，﹣2），∴OB＝2，∵C（﹣2，2），∴CF＝2，OF＝2，∴CF＝OB＝2，∵∠CBF+∠OBD＝90°＝∠OBD+∠ODB，∴∠CBF＝∠ODB，在△COF和△BDO中，∠CBF=∠ODB∠CFB=∠BOD=90°∴△COF≌△BDO（AAS），∴BC＝BD，BF＝OD＝4，∴D（4，0），∵∠BCE＝45°，∠CBE＝90°，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∴BC＝BE，∴D與E重合，∴點(diǎn)D在直線l2上，設(shè)直線l2的解析式為y＝mx+n，∴?2m+n=24m+n=0，解得m=?∴直線l2的解析式為y=?13x故答案為y=?13x【總結(jié)提升】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，證得點(diǎn)D在直線l2是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?安溪縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)A坐標(biāo)是（12，0）、點(diǎn)B坐標(biāo)是（0，﹣1（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)M是射線BA上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】（1）由y＝﹣2x﹣1，分別令x＝0，y＝0，即可求解；（2）過(guò)A作AF⊥AB交BC于F，過(guò)F作FE⊥x軸于E，得到AB＝AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝OB＝1，EF＝OA=12，求得F（32，?12），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y（3）分當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)；當(dāng)BC是邊，四邊形BMNC為菱形時(shí)；當(dāng)BC是邊，四邊形BCMN為菱形時(shí)三種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，則x=1∴A（12，0），B故答案為：12（2）過(guò)A作AF⊥AB交BC于F，過(guò)F作FE⊥x軸于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝1，EF＝OA=1∴OE＝OA+AE=3∴F（32，?設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，∴32∴k=1∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=13（3）存在．①如圖，當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)，四邊形BMCN為菱形．∴BM∥CN，BN＝CN，∵直線BM為y＝2x﹣1，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+c，∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=13∴C（3，0），∴6+c＝0，解得c＝﹣6，∴直線CN的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣6，設(shè)N（n，2n﹣6），∵BN＝CN，B（0，﹣1），∴BN2＝CN2，∴n2+（﹣1﹣2n+6）2＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣2）；②如圖，當(dāng)BC是邊，四邊形BMNC為菱形時(shí)．∴BM∥CN，BC＝CN，∵直線BM為y＝2x﹣1，∴設(shè)直線CN的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+c，∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=13∴C（3，0），∴6+c＝0，解得c＝﹣6，∴直線CN的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣6，設(shè)N（n，2n﹣6），∵BC＝CN，B（0，﹣1），∴BC2＝CN2，∴12+32＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝3+2或3?∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3+2，22③如圖，當(dāng)BC是邊，四邊形BCMN為菱形時(shí)．∴BC＝CM，設(shè)M（m，2m﹣1），∵BC＝CM，B（0，﹣1），∴BC2＝CM2，∴12+32＝（3﹣m）2+（2m﹣1）2，解得m＝2或0（不合題意，舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3），∵B（0，﹣1），C（3，0），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，2）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣2）或（3+2，22【總結(jié)提升】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2015春?濱湖區(qū)期中）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D為AB邊上的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，且繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、BC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F，假設(shè)△DEF的面積x、△ECF的面積為y．（1）當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到（如圖1）時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系？（不要求自變量的取值范圍）（2）當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到（如圖2）時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明你的猜想．【思路引領(lǐng)】（1）連接CD，如圖所示：由AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，得到∠B＝45°，∠DCE=12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD=12AB＝BD，于是得到∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，由于∠EDF＝90°，得到∠1＝∠2，證明△（2）不成立，同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五邊形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+12S△【解答】解：（1）連接CD；如圖2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴∠B＝45°，∠DCE=12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD=12∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，∠1=∠2CD=BD∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF=12S△∴x+y=1∴y＝﹣x+9（2）不成立；S△DEF﹣S△ECF=1理由如下：連接CD，如圖3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+12S△∴S△DEF﹣S△CFE=12S△∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF﹣S△CEF=12S△∴y＝x﹣9，∴當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到（如圖2）時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2023秋?寶安區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+6分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，1） B．(?32，32)【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸于點(diǎn)F，則△BDF≌△ADE，得出DF＝DE，BF＝AE，即可證得四邊形DEOF是正方形，繼而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AC，則∠BAC＝45°，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸于點(diǎn)F，∵直線y＝﹣2x+6分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A（3，0），B（0，6），∴OA＝3，OB＝6，∵BD⊥AC于點(diǎn)D，∠BAC＝45°，∴∠DBA＝45°，∴BD＝AD，∵∠BFD＝∠AED＝90°，∠OAD＝∠DBF，∴△BDF≌△ADE（AAS），∴DF＝DE，BF＝AE，∴四邊形DEOF是正方形，∴OE＝OF＝DE＝DF，∴OB﹣OE＝OA+OE，∴6﹣OE＝3+OE，∴OE=3∴D（?32，故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋?張店區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B，在x軸上取點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)D是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊，在CD的右側(cè)作等邊三角形CDF，使得點(diǎn)F落在第一象限，連接OF．若∠BAO＝60°，則OF+CF的最小值為（）A．6 B．57 C．8 D．73【思路引領(lǐng)】作∠ACM＝60°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接MF，證明△ACD≌△MCF（SAS）得到MF∥x軸，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡在直線MF上，依據(jù)“將軍飲馬”模型得到OF+OC的最小值為線段CN長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)求出線段CN長(zhǎng)即可．【解答】解：∵A（﹣1，0），∠BAO＝60°，∴OA＝1，OB=3∴直線AB的解析式為：y=3如圖，作∠ACM＝60°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接MF，∵∠CAD＝∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，在△ACD和△MCF中，AC=AM∠ACD=∠MCF=60°?∠DCM∴△ACD≌△MCF（SAS），∴∠DAC＝∠FMC＝60°，∴∠FMC＝∠ACM＝60°，∴MF∥x軸，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線MF上，作點(diǎn)O關(guān)于直線MF的對(duì)稱點(diǎn)N，連接NC，則就是OF+CF的最小值．∵A（﹣1，0），C（3，0），∴AC＝AM＝MC＝4，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為23，∴ON＝43，OC＝3，在Rt△ONC中，由勾股定理得：CN=O故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及最值問(wèn)題，找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y＝x的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1【思路引領(lǐng)】找出y＝x上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到旋轉(zhuǎn)后一次函數(shù)解析式，再根據(jù)上加下減的平移規(guī)則即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+1．【解答】解：在函數(shù)y＝x的圖象上取點(diǎn)A（1，1），繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)A′（﹣1，1），則旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為y＝﹣x，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝﹣x+1．故選：A．【總結(jié)提升】此題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練平移的規(guī)則是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?沂源縣期末）一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，3），且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．將該直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l，則直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=13x【思路引領(lǐng)】求出A（?12，0），B（0，1），過(guò)B作BK⊥AB交直線l于K，過(guò)K作KT⊥y軸于T，證明△AOB≌△BTK（AAS），可得AO＝BT=12，BO＝TK＝1，故【解答】解：把M（1，3）代入y＝2x+b得：3＝2+b，解得b＝1，∴y＝2x+1，在y＝2x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x=?1∴A（?12，0），過(guò)B作BK⊥AB交直線l于K，過(guò)K作KT⊥y軸于T，如圖：∵將該直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l，∴∠BAK＝45°，∴△ABK是等腰直角三角形，∴AB＝BK，∵∠ABO＝90°﹣∠OBK＝∠BKT，∠AOB＝90°＝∠BTK，∴△AOB≌△BTK（AAS），∴AO＝BT=12，BO＝∴OT＝OB﹣BT＝1?1∴K（1，12設(shè)直線l函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，將A（?12，0），K（1，?1解得k=1∴直線l函數(shù)表達(dá)式為y=13x故答案為：y=13x【總結(jié)提升】本題考查一次函數(shù)與幾何變換，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，求出K的坐標(biāo)．5．（2023秋?深圳校級(jí)期中）如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b，分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB：OC＝4：1．若在x軸上方存在點(diǎn)D，使以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4）或（4，5）．【思路引領(lǐng)】求出B（0，4）、點(diǎn)C（﹣1，0），分當(dāng)BD平行x軸、BD不平行x軸兩種情況，分別求解即可．【解答】解：∵A（4，0），∴b＝4，∴y＝﹣x+4，令x＝0，y＝4，∴B（0，4），∵OB：OC＝4：1，則OC＝1，即點(diǎn)C（﹣1，0）；①如圖，當(dāng)BD平行x軸時(shí)，點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則四邊形BDAC為平行四邊形，則BD＝AC＝1+4＝5，則點(diǎn)D（5，4），②當(dāng)BD不平行x軸時(shí)，則S△ABD＝S△ABD′，則點(diǎn)D、D′到AB的距離相等，則直線DD′∥AB，設(shè)直線DD′的表達(dá)式為：y＝﹣x+n，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：n＝9，直線DD′的表達(dá)式為：y＝﹣x+9，設(shè)點(diǎn)D′（n，9﹣n），A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則BD′＝BC=1解得：n＝4，故點(diǎn)D′（4，5）；故答案為：（5，4）或（4，5）．【總結(jié)提升】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，涉及到三角形全等、平行線的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用等，并注意分類求解，題目難度較大．6．（2023秋?海州區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)P在直線x＝﹣1上，點(diǎn)Q在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，且以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為對(duì)角線的菱形，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，【思路引領(lǐng)】先求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PB，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴B（0，4），當(dāng)y＝0時(shí)，43x∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），設(shè)P（﹣1，n），∵以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AB為對(duì)角線的菱形，∴PA＝PB，即：PA2＝PB2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n=13∴P（﹣1，138∵xP+xQ＝xA+xB，yP+yQ＝y(tǒng)A+yB∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4?13∴Q（﹣2，198故答案為：（﹣2，198【總結(jié)提升】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形性質(zhì)．7．（2022春?通州區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M，且MB＝2MO．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)C，使得以A，B，M，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．【思路引領(lǐng)】先分別求出B，M和A點(diǎn)坐標(biāo)，以A，B，M，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①M(fèi)B，MA為邊，②AM，AB為邊，③AM，AB為邊，根據(jù)平行四邊形的判定方法求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2x+6＝6，∴B（0，6），∵M(jìn)B＝2MO，且M位于y軸正半軸，∴M（0，2），∴MN＝6﹣2＝4，當(dāng)y＝﹣2x+6＝0時(shí)，x＝3，∴A（3，0），以A，B，M，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：如圖所示：①M(fèi)B，MA為邊，此時(shí)MB∥AC，MB＝AC，∴C（3，4），②AM，AB為邊，此時(shí)MB∥AC，MB＝AC，∴C（3，﹣4），③AM，AB為邊，此時(shí)MA∥BC，MA＝BC，∴C（﹣3，8），綜上，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)（3，4）或（3，﹣4）或（﹣3，8）．【總結(jié)提升】本題考查了一次函數(shù)與平行四邊形的綜合，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?文山州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），與y軸相交于點(diǎn)B（0，2）．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是等腰三角形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理