廣東省深圳某中學2024屆高三5月高考適應性測試數(shù)學試卷及答案

絕密★啟用前試卷類型：B

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試

數(shù)學

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答

題卡上。用2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應位置上。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位

置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液。不按以

上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.設集合4={2,/-a+2,1-a},若則。的值為（）

A.—It2B.—3C.-1,-3,2D.-3,2

2,若復數(shù)2=亡4'+產(chǎn)_產(chǎn)+…+產(chǎn)022TM則同=（）

A.0B.41C.1D.2

3.已知不重合的平面a?夕及不重合的直線n,則（）.

A.若加〃a,a〃夕，則膽〃夕B.若加JL〃，mLa,n工0,則a-L/?

C.若川〃“，m//a,〃〃尸，則a〃夕D.若加〃a,a〃/，no.flt則m〃"

4.已知W=2p|,若￡與占的夾角為120'，則工-很在B上的投影向量為（）

1工

A.-3bB.、—bc.TD.3b

22

5.一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次,得到的點數(shù)分別為L2,匕4,5,6,則這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的

概率為（）

2

A.B.D.

63c-53

6.設玉、不、占為互不相等的正實數(shù)，隨機變量％和丫的分布列如下表，若記DX,oy分別為x,y的

方差，則下列說法正確的是（）

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試通B第I頁共4頁

X改占

十占

Y?當+小一+西

222

21

P

333

A.D(x)<D(r)B./?(%)=D(y)

c.O(X)>D(Y)D.Q(X)與。(y)的大小關系與與七用的取值有關

7.已知雙曲線匚1一￡=1(">0力>0)的左，右焦點分別為片，%。為坐標原點，過的作C的一條

a'b-

浙近線的垂線，垂足為。，且段=2拒|8|,則C的離心率為()

A.41B.2C.y[5D.3

8,已知0<a<S</,cos2a+cos2p+】=2cos(a-￡)+cos(a+6),則()

A.0+6=3B.a+夕=三C./3-a=^D.尸一a=?

6363

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球，設事件4="取出

的球的數(shù)字之積為奇數(shù)'，事件B="取出的球的數(shù)字之根為偶數(shù)“，事件C="取出的球的數(shù)字之和為偶

數(shù)”，則t

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與8是對立事件

C.事件8與C是互斥事件D事件8與C相互獨立

10.正方體4BCD-44G。中，E,產(chǎn)分別為梭和的中點，則下列說法正確的是(

A.陽〃平面BEFB.4CJ■平面BE尸

C.異面直線4口與E尸所成角為60°D.平面5E尸截正方體所得截面為等腰梯形

11.已知EL45c的內角43,C的對邊分別是a,b,c,則()

A.若asin"￡=bsinA,則8=：B.若(sin5-sinC>=sin-sinfisinC,則4=占

236

C.若a也c成等比數(shù)列，則3若D.若a,瓦。成等差數(shù)列，則tan曰+3tan/22

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試懣B第2頁共4頁

三、填空題?本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要

求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)服務的日期不相鄰，那么不同

的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

13.若數(shù)列｛q｝滿足“產(chǎn)的=1,%=?.->+<%（"23）,則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列.如圖所示的“黃金

螺旋線”是根據(jù)曼波那央數(shù)列畫出來的曲線.圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，

在每個正方形中作陰心角為90。的崩形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”.記以為為邊長的正方形中

的扇形而積為“，數(shù)列色｝的前“頂和為則一邑型一=./K

14.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，

為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一

?Oo

狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，在忖間序列中它前面的事件均與之無關.甲口袋中各裝有1個黑

球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,

重復進行”（“eN）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為毛，恰有1個黑球的概率為P“.則Pi的

值是:4的數(shù)學期望E（X“）是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知橢圓C：4+g=l（a>b>0）的左焦點耳［百,0）,點21,坐在橢圓C上.經(jīng)

過圓。：/+/=5上一動點尸作橢圓。的兩條切線，切點分別記為A,B,直線分別與圓。相

交于異于點P的河，N兩點、.二二

（1）求橢圓C的標準方程；彳=------J-P

（2）求證：OM+ON=0-

16.（15分）某食品公司研發(fā)一種新飲料，需要研究牛磺酸的含量x（單位：mg）與某指標值y（單位：m）

之間的關系，該公司研發(fā)部門進行了20次試驗、統(tǒng)計得到一組數(shù)據(jù)日,%）（i=L2,L,20）,其中與必分別

表示第i次試驗中?；撬岬暮亢拖鄳闹笜酥?且

2020202020

=60,￡%=1200，Xx：=260,￡7/=81000,￡叩,=4400.

。）已知該組數(shù)據(jù)中y與x之間具有線性相關關系，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程夕=公

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題B第3頁共4頁

⑵該公司要用4與8兩套設備同時生產(chǎn)該種新飲料，已知設備/的生產(chǎn)效率是設備8的2倍，設備4

生產(chǎn)飲料的不合格率為0.009,設名B生產(chǎn)飲料的不合格率為0.006,且設備A馬B生產(chǎn)的飲料是否合格

相互獨立

（i）從該公司生產(chǎn)的飲料中隨機抽取一件，求所抽飲料為不合格品的概率；

（ii）在該新飲料檢臉中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設備/!生產(chǎn)的概率。

.￡（芍一可（必一刃

參考公式：b=-^-7i------------,a=y-bx.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=lnx+'-l.

X

⑴求函數(shù)/（X）的極值；

（2）證明：-H—^-+-'-+—<ln2（?eN,）.

?+1n+22n'）

18.（17分）如圖①，有一個圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為20切，高為30的，杯內有20cm深

的溶液，現(xiàn)將水杯傾斜，且傾斜時點8始終在桌面上，設直徑N8所在直線與桌面所成的角為&（圖②）.

（1）求圖②中液面所形成的橢圓的離心率并證明你的結論；

（2）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，求角a的最大值：

（3）現(xiàn)需要倒出的溶液體積不少于3000sA當a=60?時，能實現(xiàn)要求嗎？

請說明理由.

19.（17分）根據(jù)代數(shù)基本定理，給定正整數(shù)〃，方程z”=l有〃個復數(shù)根，分別是

z*=cos也+isin絲:4=1,2,…述，這些根稱為九次單位根,此時有z"-1=（Z-Z|）（z-Z2）…（z-z”）.

nn

當A與九互質時，4稱為丘次本原單位根.〃次本原單位根的另一個等價定義是，若優(yōu)=1,且不存

在小于n的正整數(shù)吧變得a"'=1,則稱于數(shù)。為〃次本原單位根.

給定正整數(shù)〃，我們定義〃級分圓芟項式&（*）=5-芻）卜-切…（工-弓），其中孫…，與是全部〃次◎

本原單位根.

⑴寫出C2（X）,C3（X）,C6（X）,并化簡.

（2）若p是質數(shù)（或稱素數(shù)），求出Cp（x）并化成最簡形式.而

（3）探究是否存在正整數(shù)q/和s使得C/X）三G.（x）G（x）對任意復數(shù)x恒成立.

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題B第4頁共4頁

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學參考答案

一、選擇題

1234567891011

DCBBACCDABACDACD

二、填空題

n

一1443-1/l\

12.5040-9'22(3)

1.【答案】D【詳解】從選項入手，當。=-1時，A={2,4,2}不滿足集合中元素的互異性，故。=-1舍

去；BCD項都有-3,只需考察當。=2時，A={2,4,-1}滿足集合中元素的互異性，故。=2滿足要求

1_(_，°25」+浮25=]

2.【答案】CLWlZ=l-i+i2-i3++i2022-i202320232024

+i+il-(-i)-1+i

3.【答案】B【詳解】對于A項，若加〃a,a///3,則〃或mu分，故A錯誤;

對于B項，若機_L〃，mLa,則〃〃?；颉╱a,當〃〃。時，若〃_L￡,則a_L尸，當〃ua時，若〃_L夕,

則c_L6也成立，綜上，故B正確；對于C項，若用〃"，m//a,n//p9

則a〃/或ac",反例如下圖所示，可以說明符合條件時，兩個平面有相交

的可能.故C錯誤；對于D項，如下圖所示,加、〃可能異面，故D錯誤.

4.【答案】B【詳解】（22-分萬=23力一萬?=2同綱.以）5120小'=.|

_3M2

r.在方上的投影向量為竺

MWWW2

5.【答案】A【詳解】當彳=1，2,3時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為3,當片4時,這6個點數(shù)的中位數(shù)為4,

這個點數(shù)的中位數(shù)為故由古典概型概率公式可得：

當％=5,6時,64.5,P=1.

O

6.【答案】C【詳解】EX=+x2+x3)

EYL\X+Z+I1+七+9

=3222

故OX」22=：￡X~EX)2

-EX)+(X2-EX丫+(X3-EX)

3Di=l

222

再+xx+x九3+石

2I+23I+TEX)?

“4222

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題A第1頁共7頁

222

3玉十%W+不

I+%+%I+

Z=12223

3222

玉十%2IX2+X3x+玉

>0,即>I+3

322

也即z）x>oy.

7.【答案】C【詳解】如下圖所示,雙曲線C的右焦點耳（-。，0），漸近線4的方程為bx-ay=o,

由點到直線的距離公式可得口周二了;

由勾股定理得

|0必=亞『二即『=后二源=°,在RSOO耳中，NODFig

.-.cosZDO^=—在，。0%中，|OD|=q,口周=2缶，|。閭=j

cosZDOF2=cos（兀-/DOR）=-cosZDOFl---,由余弦定理得

8ss理害消聞、y/，化簡得，即=氐，因此，雙曲線0

的離心率為e=￡=6

a

8.【答案】D【詳解】由已知可將2a=（a+〃）+（a-〃），24=（a+夕）一（&一夕），貝l］

cos［（夕+4）+（a—4）］+cos［（cif+尸）一（a—尸）］+1=2cos（二一月）+cos（a+/?）+1,原式化為：

2cos（a+P）cos（a一，）一2cos（a-0）-cos（a+0+1=0,即［cos（a+/?）-1］［2cos（cr-/7）-1］=0,

ITTTT

即cos（a+夕）=1或cos（a-分）=Q.又4<a<0<萬,所以0<二+4<7i,-—<a-/3<0,

ITTTT

所以cos（e+6）wl,所以選項A,B錯誤，即cos（a-』）=5，貝=所以/?-c=g.D對

9.【答案】AB【詳解】對于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時

發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故事件A與B是互斥事件，也是對立事件，AB正確;

對于C：如果取出的數(shù)為2,4,則事件8與事件C均發(fā)生，不互斥，C錯誤;

對于D：P（B）=1一||=3P（C）=^1^=|,P（8C）=||=：

則尸（5）P（C）w尸（BC）,即事件3與C不相互獨立，D錯誤;

10.【答案】ACD【詳解】對于A,如圖，連接AA，因為石，尸分別為棱4）和DD1的中點，所以A0//￡尸,

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題A第2頁共7頁

又平面3EF,￡Fu平面3EF,所以A〃〃平面3跖，故A正確;

對于B,如圖，取的中點Q,連接片。。瓦。8,在正方體ABCD-ABIGA中，

AB\=CD，AB\UCD,所以四邊形4MCZ）為平行四邊形,

所以4C//A。，又Q,E分別為44-4。中點，則便〃A。，故4C//QE,

設正方體棱長為2,則BE=yjAB2+AE2=y/5,BQ=^AB2+AQ2=s/5,QE=y)AQ2+AE2=&,,故

QE^BE^BQ2,所以QE不垂直于BE,故4c不垂直于BE,又BEu平面2跖，所以4c不垂直平

面BEP,故B錯誤；

對于C,如圖，連接AR,耳A,

在正方體中，AB]=BR=AD「即AgR為正三角形,

因為E,尸分別為棱仞和。A的中點，所以EP〃AR,故異面直線片。與所所成角即為

ZB1D1A=60°,C正確；

對于D,如圖，連接A，,86，CIF,

在正方體鈾8-4用6￡>1中，CiR=AB,CiDJ/AB,所以四邊形A3GA為平行四邊形，則

ADXIIBC},又EFHAD、,所以EF//B0,所以民E/，G四點共面，

故平面3EF截正方體所得截面為四邊形BEEG，設正方體棱長為2,則

BE=y/AB2+AE2=V5,CjF=《QD：+D/2=45,EF=ylED2+DF2="BC,=眄?噌=272,

所以C/=BE,EFHBG，又EFUBG，故截面為四邊形3E?G為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.

n.【答案】ACD【詳解】選項A：由正弦定理可得sinAsin—^=sin3sinA,因為一MC中ABe（0,兀）,

所以sin"；C=sinB,所以sin兀=2sin~|cos：,解得B=g,A說法正確;

A+B+C=n

選項B：若sin25-2sin5sinC+sin2C=sin2A-sinBsinC,則由正弦定理整理可Wtz2=b2+c2-be,

又由余弦定理可得cosA="+￡-X=2,因為Ae（o,兀），所以A=S，B說法錯誤；

2bc23

選項C：若。,6,C成等比數(shù)列，則6?=*,根據(jù)余弦定理可得cosB-/J2ac-"C=1,當且僅

lac2ac2

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題A第3頁共7頁

7T

當。=c時等號成立，所以BV：,C說法正確；選項D：若。，瓦C成等差數(shù)列，則26=a+c,根據(jù)正弦

A-i-CA-\-CA+CA-C

定理可得2sinB=sinA+sinC,所以2sin(A+C)=4sin---cos---=2sin---cos——,因為

A-L-C

A,CG(0,7C),所以2cos---=cos士￡，展開得2cos4cosc—2sin4sinC=cos—cos—+sin-sin—,

222222222

ACACACACAC1

即cos—cos---3sin—sin—=0,兩邊同除cos—cos一得l-3tan—tan—=0,即tan—tan一=一,所以

22222222223

ArI47AC

tan—+3tan—>2/3tan—tan—=2,當且僅當tanu=3tan7時等號成立，D說法正確;

22AV2222

12.【答案】5040【詳解】一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數(shù)為

N=+C；C；Al=1440+3600=5040.

13.【答案】3【詳解】因為斐波那契數(shù)列總滿足⑸=41+4一卜此3,〃—*),且4=g=1,

Q]—a2。],Cl?~~〃2〃2=。2(^3(〃4〃2)=Q3Q4CL2CL^,

aa

4=?n=a“(4+1-??-!)=anan+l-anan_x,其中〃22.累力口得a；+城+d+…+a；=a”,an+l,

u兀(222兀迎劣024_兀

+%+-+%故：-T-

4〃2024,〃20254

14.【答案】：，三—工【詳解】第一問，考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率

922\37

12214

公式可得B記X,i取0,1,2,3的概率分別為20，月,「2，〃3,先推導X”的分布列.

44441

尸(X,=l)=Po+§Pi+gP2，尸(X”=2)=§B+§P2+P3,P(X.=3)=gP2，

45

因此E(X,)=0.尸(X“=0)+l.尸(X,=l)+2.尸(X〃=2)+3?尸(X,=3)=Po+gB+§p2+2p3

1142

=1+§(P1+2P2+3p3)=l+§E(X〃T),結合磯X])=§,可知E(X〃)=5_U.

(反、2

15.【詳解】⑴???橢圓C的左焦點居卜回。)，.?…技將。L千代入32+斗=l(a>b>0),得

2

13r

二+==1?又〃-/=3，??./=4,/=1，橢圓C的標準方程為L+,2=L

a4b4

(2)(z)設點，(4,匕).①當直線B4,總的斜率都存在時，設過點P與橢圓。相切的直線方程為

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題A第4頁共7頁

y=k(x-x0)+y0

y=Mx-Xo)+%.由消去九得（1+4左2卜2+8左（％-1》+4（%-1）2-4=0.

——+y=1

14'

A=64^"(y0—kx0)—4(1+4左—k%)—41.令△=(),整理得△=左~(4—+左+1—%-=0.設

直線R4,PB的斜率分別為左，心.，柩2.又年+為2=5,

4-^o

:.PM1PN,即ACV為圓。的直徑，AOM+ON=0-

2020120120

16.【詳解】(1)因為=60,2%=1200,則元=方》＞產(chǎn)3,9=方》＞=60,于是

/=11=12Uz=i2U；=1

20___

Zx,y-20xy

i=\_____________4400-20x3x60

~~2Ga=y-bx=60-10x3=30,

fx；-20元2260-20x32

Z=1

所以y關于尤的線性經(jīng)驗回歸方程為y=iox+3o.

（2）（i）設?！鸽S機抽取一件新飲料，是設備A生產(chǎn)的“，則萬=“隨機抽取一件新飲料，是設備8生

產(chǎn)的"，E="隨機抽取一件新飲料為不合格品”，依題意

P（D）=|,P（D）=|,P（E|D）=0.009,P（E|D）=0.006,

所以尸（E）=P⑷尸（E⑼+P（萬）P（E|萬）=gx0.009+|x0.006=0.008；

（ii）設。="抽到一件不合格的新飲料，它是設備A生產(chǎn)的“，則

_2x_0_._0_0__9—_3_

30.008—4

設X表示三件不合格新飲料來自設備A生產(chǎn)的件數(shù)，則X—8（3,點,所求事件的概率為

尸（X22）=P（X=2）+尸（X=3）=C；xg）2x；+c；xg）3=||.

17.【詳解】⑴函數(shù)“無）=lnx+』-1的定義域為（0,+⑹，求導得r（x）

XXXX"

當0<x<l時，r（x）<0,當X>1時,f'（x）>o,則函數(shù)了。）在（0,1）上遞減，在（1,+8）上遞增,

所以函數(shù)fM在x=1處取得極小值/⑴=0,無極大值.

11Y-1

（2）證明：由（1）知，f（x）>0,即InxH-----1^0,Inx>1—=------,

XXX

X

因此ln（x+l）2-當且僅當％=0時取等號，

x+1

深圳中學2024屆高三年級高考適應性測試數(shù)學試題A第5頁共7頁

x=—(neN),Inf—+1|>—^,則+—,

n\nJ，+]〃九+1〃+1

n

ln(2n)-lnn=ln(n+1)—In〃+ln(n+2)-ln(n+1)+ln(n+3)-ln(n+2)

++ln(2〃)—ln(2〃-1)>------1----------1---------FH-----,JfjjIn(2M)—Inn—In2,

n+1n+2n+32n

11111c

所以---+----+----++—<ln2.

n+1n+2n+32n

18.【詳解】(1)如圖，斯為液面，EF〃水①線，："BEF=B，

nn

?：AD//BC,:?/DFE=/BEF=0,ZABC=-,：.a+p=-,

_7C

???圖②中圓柱的母線與液面所在平面所成的角為/二萬-。.

r.rcosBc?

a=--------,b=rnc=-----------:.e=—=cos[3-sma

sin[3sinpa

(2)如圖，過尸作尸?！–D交BC于0,在RtZXCD/中，/FCD=a,

CD=20,則DF=20tana,/.AF=30-20tan6Z.此時容器內能容納的

溶液量為：

1?「