2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線平面垂直的判定與性質(zhì)（教師版）

第41講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）

[A組]一應(yīng)知應(yīng)會(huì)

1.三棱錐「一中，側(cè)面F7BCi底面NBC,ZABC=45°,VA=VB,AC=AB,則（）

v

A.AC1BCB.VBLACC.E41BCD.VC1AB

【分析】由題易知，AABC為等腰直角三角形，且N/C8=N48C=45°,即選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

過(guò)點(diǎn)廠作憶。工3。于。，連接ON,由面面垂直的性質(zhì)定理可證得91平面48C,即修在底面48C上的

投影為點(diǎn)。，從而得H018C;由以=9和％。1平面48c可推出。4=。5,ZOAB=AOBA=45°,即

OALBC,結(jié)合線面垂直的判定定理得BCi平面-。/,從而得以L8C,即選項(xiàng)C正確；

由三垂線定理可知選項(xiàng)8和。均錯(cuò)誤.

【解答】解：..//3C=45。，AC=AB,；.AABC為等腰直角三角形，且N/C3=N4BC=45。，

,/C與BC不垂直，即選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

A

過(guò)點(diǎn)片作-。工臺(tái)。于。，連接。/,

;側(cè)面rBCL底面NBC,面面Z8C=8C,.?JO1面48C,即憶在底面N2C上的投影為點(diǎn)。,

WCu面4BC,VOLBC.

'：VA=VB,OA=OB,ZOAB=AOBA=45°,OA1BC,

：V0,O/u面VOC\OA=O,5C1VOA,

,「以＜=面n0/,VALBC,即選項(xiàng)C正確；

由三垂線定理知，^VB1AC,VCLAB,貝IJ3C1/C,BCLAB,這與N/C8=N/BC=45。相矛盾，即

選項(xiàng)3和。均錯(cuò)誤.

故選：c.

2.在如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線與平面COE垂直的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】對(duì)四個(gè)圖，分別運(yùn)用異面直線所成角的定義和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得到結(jié)論.

【解答】解：對(duì)于①，由4D//CE,且48與CE成45。的角，不垂直，則直線43與平面CDE不垂直；

對(duì)于②，由于/3LDE,ABi.CE,由線面垂直的判定定理可得1平面CDE；

對(duì)于③，43與CE成60。的角，不垂直，則直線與平面COE不垂直；

對(duì)于④，連接BF,由正方形的性質(zhì)可得i2尸，而/尸_L平面EFDB，可得4F1DE,則DE1平面ABF,

即有DE1AB,

同理可得N31CE,所以平面CD瓦

綜上，②④滿足題意.

故選：B.

3.已知N3是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于N,5的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且

AD1圓柱的底面，則必有（）

A,平面ABC1平面BCDB,平面BCD1平面ACD

C,平面ABD1平面ACDD.平面BCD1平面ABD

【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合直線與平面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化證明平面與平面垂直，推出結(jié)果即可.

【解答】解：因?yàn)?3是圓柱上底面的一條直徑，所以/C13C,又/。垂直圓柱的底面，

所以因?yàn)?

所以BC1平面/CD,因?yàn)锽Cu平面BCD,

所以平面BCD1平面ACD.

4.在長(zhǎng)方體中，AB=^2AD,￡為棱CO的中點(diǎn)，則（）

A.AXE1DDiB.AXE1DBC.AXE1DXCXD.A.E1DBX

ARAr)f—

【分析】連結(jié)ZE,BD,則——=——=V2,l^ABD^^DAE,仄而NDAE=NABD,進(jìn)而/E18。，BD1

ADDE

平面AXAE,由此得到AXE1DB.

【解答】解：連結(jié)NE.BD,

lARAV)f—

因?yàn)?8=a4D,所以〃一=—=也，

ADDE

所以AIBDSAZME,所以NDAE=ZABD,

所以N￡AS+N/5O=90。，BPAELBD,

所以3DL平面

所以4E1DB.

故選：B.

5.如圖，垂直于以為直徑的圓所在平面，。為圓上異于4,3的任意一點(diǎn)，/￡!尸。垂足為￡,

點(diǎn)尸是P5上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是（）

A

A.BC±平面PACB.AE1EF

C.AC1PBD,平面AEF1平面PBC

【分析】在/中，推導(dǎo)出3C1/C,PA1BC,從而3cl平面尸NC,可得正確；

在3中，由BC1平面P/C,可證8cl/E,又AE1PC,可證/￡1平面P3C,即可證明4E1￡尸，可

得正確；

在C中，由NC18C,得若/C1P8,則NCL平面網(wǎng)C,與/C1尸N矛盾，可得錯(cuò)誤；

在D中，由/￡1平面尸BC,/Eu面4E7"即可證明平面4EF1平面P3C,可得正確.

【解答】解：在《中，7C為圓上異于/,3的任意一點(diǎn)，

BC1AC,

'：PALBC,PAC\AC=A,BCiPAC,故/正確；

在3中，平面P/C,/Eu平面尸/C,BCVAE,

'：AE1PC,PCC\BC=C,AE1PBC,

:Mu平面尸BC,AELEF,故8正確；

在C中.?.若/C1尸2,則/Cl平面P3C,貝IJ/C1PC,與/CiP/矛盾，故/C與尸5不垂直,

故C錯(cuò)誤；

在。中，..?/￡1平面尸3C,4Eu面4EF,r.平面4EF1平面E8C,故。正確.

6.已知直線。和平面a、/?有如下關(guān)系：①a_L￡,②a//￡,③al/?,④a//a,則下列命題為真的是

)

A.①③n④B.①④n③C.③④=①D.②③=④

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】解：對(duì)于/,由。上萬(wàn)，,可得a//a或aua,故/錯(cuò)誤；

對(duì)于3,由al/?,alia,可得au/5或。//萬(wàn)或。與/?相交，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由a//a,過(guò)。作平面/與a相交，交線為6,貝l]a//6,

'.'a1/3,:.b/3,而6ua,可得al￡,故C正確；

對(duì)于。，由a//￡,a【B,可得a_La,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知三棱錐P-48C中，若P4,PB,尸C兩兩互相垂直，作PO1平面/2C,垂足為。，則點(diǎn)。是AA8C

的（）

A.外心B.內(nèi)心C,重心D.垂心

卜分析】由題意分析可證得8E工/C、ADVBC,符合這一性質(zhì)的點(diǎn)。是AABC垂心.

【解答】解：連結(jié)工。并延長(zhǎng)，交8C與。連結(jié)8。并延長(zhǎng)，交4c與E；

因尸/_L尸3,PA1PC,故尸N1面PBC,故P/_L8C；

因尸。1面NBC,故尸O1BC,故BC1面7M。，故/O1BC,即4DiBC；

同理：BE1AC；故。是AABC的垂心.

故選：D.

8.把邊長(zhǎng)為4的正方形45CD,沿對(duì)角線8。折成空間四邊形/BCD,使得平面45。上平面BCD,則空

間四邊形48。的對(duì)角線/C的長(zhǎng)為（）

A.4B.4>/2C.2D,272

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出空間四邊形N8CD的對(duì)角線/C的長(zhǎng).

c

【解答】解：如圖所示，3

取的中點(diǎn)。，連接/0、CO,則/O1AD,COVBD,

由平面ABD1平面BCD,且平面ABDC平面BCD=BD,

所以乙4。。=90。；

XAO=CO=-BD=-x472=272,

22

所以3=/。2+。。2=8+8=16,

所以/C=4.

即空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=4.

故選：A.

9.如圖1,已知尸48c是直角梯形，ABUPC,ABLBC,。在線段尸C上，AD1PC.將APN。沿/D折

起，使平面1平面/3CD,連接PB,PC,設(shè)PB的中點(diǎn)為N,如圖2.對(duì)于圖2,下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是

()

P_?_c

I

AB

圖1圖2

A,平面PAB1平面PBCB.BC1平面PDC

C.PD1ACD.PB=2AN

【分析】由已知利用平面與平面垂直的性質(zhì)得到PD1平面ABCD,判定C正確；進(jìn)一步得到平面PCD1平

?ABCD,結(jié)合8cle。判定2正確；再證明N31平面尸/D,得到AP/8為直角三角形，判定。正確；

由錯(cuò)誤的選項(xiàng)存在可知A錯(cuò)誤.

【解答】解：如圖，

pD

II

'、I/jx***^yZ

4B彳“B

圖l圖2

圖1中40J.尸C,則圖2中PD_L40,

又「平面PAD1平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

PD1ABCD,則尸。INC,故選項(xiàng)C正確；

由尸D1平面ABCD,PDu平面PDC,得平面PDC1平面ABCD,

而平面尸DCC平面48cz)=CD,BCu平面48cD,BC1CD,

.?.8C1平面包(C,故選項(xiàng)8正確；

'：AB1AD,平面PAD1平面ABCD,且平面PADC平面ABCD=AD,

1平面尸4D,則481R4,即"43是以PB為斜邊的直角三角形，

而N為P5的中點(diǎn)，則P2=2ZN,故選項(xiàng)。正確.

因此錯(cuò)誤的只能是4.

故選：A.

10.已知四棱錐S-48co中，四邊形4BC。為等腰梯形，ADUBC,ABAD=120°,△54D是等邊三角形，

且S/=/3=26,若點(diǎn)P在四棱錐S-/BCD的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P到平面A8CD的距離為若平

面SAD1平面ABCD,則d的最大值為()

A.V13+1B,V13+2C,V15+1D,V15+2

【分析】依題意，NAfflC=4,取8C的中點(diǎn)E,作OE1平面NBC。，OF1平面S48,則。是人錐S-Z8C。

3

的外接球的球心，且。尸==3,AF=2,設(shè)四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,則R2=SF2+OF2=13,

OE=DF=1,由此當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時(shí)，能求出當(dāng)d的最大值.

【解答】解：依題意，ZWC=1,取8C的中點(diǎn)E,

則E是等腰梯形/BCD外接圓的圓心，F(xiàn)是ASAD的外心，

作OE1平面4BC。，。-1平面

則O是人錐S-ABCD的外接球的球心，且OF=DE=3,AF=2,

設(shè)四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,

貝1JR2=SF2+OF2=13.

貝IJOE=DF=\,

：.當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時(shí),

八=夫+。￡=而+1

故選：A.

1L（多選）在四棱錐尸中，底面488是正方形，側(cè)棱底面4BC，PD=DC,E是棱PC

的中點(diǎn)，作斯上網(wǎng)交居于點(diǎn)尸，則有（）

A.異面直線尸工與2。所成角大小為幺

3

B.平面尸/C1平面尸

C.PB1平面EFD

D.BD1ED

【分析】連結(jié)NC,BD,交于點(diǎn)0,連結(jié)OE,推導(dǎo)出P///OE,從而NE0C是異面直線PN與所成角，

推導(dǎo)出O￡=OC=￡C,從而求出異面直線尸/與2。所成角大小為土；推導(dǎo)出PDl/C，ACLBD,從而

3

NC1平面/BCD,由此得到平面尸/Cl平面PD5；推導(dǎo)出PO1BC,BCLCD,DELPC,從而。El

平面PBC,進(jìn)而PBLDE,再由EFiPB,得至ljPB1平面EFD；由?！?平面PBC,知DE1EB.

【解答】解：如圖，連結(jié)/C,BD,交于點(diǎn)。，連結(jié)OE,

,「底面N8CZ）是正方形，.【。是/C中點(diǎn)，

是棱尸C的中點(diǎn)，：.PAHOE,

：.ZEOC是異面直線PA與BD所成角，

...底面N8CD是正方形，側(cè)棱尸D1底面N8CD,PD=DC,

OE=OC=EC,ZEOC=-,

3

.?.異面直線P/與8。所成角大小為故N正確；

7PD1平面/BCD,:.PD1AC,

又AC工BD,PDCDB=D,PDu平面尸D8,3Du平面尸3。，

AC15F?ABCD,又/Cu平面尸NC,平面尸/C1平面PD2,故3正確；

,：PD1^^ABCD,PDLBC,

由底面ABCL?是正方形，得BCLCD,

：PD=DC,E是尸C的中點(diǎn)，DELPC,：PC(yBC=C,.,.?！?平面「2。，

7P8u平面尸3C,PBIDE,又EF1PB,DE^\EF=E,PB1EFD,故C正確;

由。Ei平面PBC,知DE1E2,故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.（多選）如圖所示，在四個(gè)正方體中，/是正方體的一條體對(duì)角線,點(diǎn)M,N,尸分別為其所在棱的中

點(diǎn)，能得出/I平面〃八？的圖形為（）

]

APj

斗

,fSy-----J

C.D.

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：對(duì)于4D.根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：ILMN,ILMP,可得/±平面必VF.

而3c無(wú)法得出/1平面MAP.

故選：AD.

13.若直線口垂直于以為直徑的圓所在的平面，C為圓周上異于N,8的一點(diǎn)，有下列關(guān)系：

（X）PA1BC-,②BC1平面尸/C；@AC1PB；@PC1BC.

其中正確的是^一.

【分析】①由直線尸/垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，BCu以4g為直徑的圓所在的平面,得尸/1BC-,

②由AC1BC,PA1BC,得BC1平面PAC-,

③由/Cl3C,但/C與尸。相交且不垂直，得/C與必不垂直；

④由BC1平面尸/C,得尸C18C.

【解答】解：:直線尸/垂直于以為直徑的圓所在的平面，

C為圓周上異于4,3的一點(diǎn)，

.^.BCu以45為直徑的圓所在的平面，.?.P/lBC,故①正確；

7是圓的直徑，C為圓周上異于8的一點(diǎn)，

AC1BC,又PA1BC,ACQPA=A,

.?.8C1平面尸/C,故②正確；

..ZCiBC,但/C與尸C相交且不垂直，二/C與尸8不垂直，故③錯(cuò)誤；

IBCl平面尸/C,尸Cu平面尸/C,PCLBC,故④正確.

故答案為：①②④.

14.在四棱錐S-/3C。中，底面四邊形4SCD為矩形，ML平面/BCD,P,。別是線段8S,4D的中

點(diǎn)，點(diǎn)R在線段5D上.若4s=4,AD=2,AR1PQ,貝ij/火=.

【分析】取取的中點(diǎn)￡,連接PE,QE.由已知證明尸結(jié)合已知4R1P。，可得/R1平面尸EQ,

得到/R1E。，進(jìn)一步得到NR1S。，在直角三角形弘。中，由等面積法求解

【解答】解：取&4的中點(diǎn)E,連接尸￡,QE.

二”1平面N8CD,48<=平面/80),SAIAB,

而481/。，AD(^SA=A,.?.481平面S4D,故PE1平面S4D,

又/Ru平面SAD,PELAR.

又：4R1PQ,PEC\PQ=P,...NRl平面尸EQ,

「EQu平面PEQ,ARLEQ.

,:E,。分別為分,4D的中點(diǎn)，.?.E0//SD,JU!]ARLSD,

在直角三角形/SD中，AS=4,AD=2,可求得SO=2石.

由等面積法可得/R=W

15.已知四邊長(zhǎng)均為2G的空間四邊形NBC。的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若NBAD」,平面N8O1平面

3

CBD,則該球的體積為

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出A48。與A5C。均為等邊三角形，求出四面體/2C?外接球的半

徑，再計(jì)算外接球的體積.

【解答】解：如圖所示,

設(shè)E是M.BD的外心，F(xiàn)是A5co的外心,

過(guò)￡,尸分別作平面/AD與平面BCD的垂線OE、OF,相交于。；

由空間四邊形43CD的邊長(zhǎng)為23，ABAD=-,

3

所以MBD與KBCD均為等邊三角形；

又平面ABD1平面C5。,

所以O(shè)為四面體ABCD外接球的球心；

又/￡=袁（2回2_（何=2,OE=\,

所以外接球的半徑為R==V5；

所以外接球的體積為V=程=yx后="手.

20岳

故答案為:

-3-

16.在正方體中，M,N分別是/禺的中點(diǎn)，P在4D上，若平面CW1平面&AP,

則2

AD

【分析】當(dāng)尸為4。中點(diǎn)時(shí)，可得心1面7WC,即可得平面CMN1平面45尸，從而求得批.

AP

【解答】解：N分別是其耳的中點(diǎn)，.?.N/J/TW.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得MN1面N8C。，即可得〃N_LP3.

當(dāng)尸為中點(diǎn)時(shí)，CMLPB,又CM「\MN=M.

尸81面NMC,

即可得平面CMN1平面&BP.

則￡=2.

17.已知四邊形48CD是矩形，AB=4,AD=3,沿/C將MDC向上折起，使。為。，且平面40cl

平面48C,尸是4D，的中點(diǎn)，￡是NC上一點(diǎn)，給出下列結(jié)論:

①存在點(diǎn)E,使得跖//平面BCD

②存在點(diǎn)￡,使得跖1平面N8C

③存在點(diǎn)E,使得。E1平面45C

④存在點(diǎn)E,使得NCL平面

其中正確結(jié)論的序號(hào)是—.

【分析】①存在AC中點(diǎn)E,則EFIICD',利用線面平行的判定定理可得斯//平面BCD'；

②由平面NOC1平面N8C,可知只需所1AC即可使得跖1平面/8C；

③。E1/C,利用面面垂直的性質(zhì)，可得。E1平面/BC；

④因?yàn)?BCD是矩形，48=4,40=3,所以3,。'在/C上的射影不是同一點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)E,使得

AC1平面BD'E.

【解答】解：①存在/C中點(diǎn)E,則EF//C。，利用線面平行的判定定理可得所//平面BC。，正確；

②由平面/DC1平面N8C,可知只需所1/C即可使得跖1平面/8C,故正確；

③OE1/C,利用面面垂直的性質(zhì)，可得。￡1平面4BC,正確；

④因?yàn)锳BC。是矩形，48=4,40=3,所以B,。'在/C上的射影不是同一點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)E,使得

/。1平面8。上，故不正確；

故答案為：①②③.

18.如圖所示，在四棱錐P-/BCD中，底面/BCD是菱形，ZDAB=g側(cè)面尸/D是等邊三角形，且平面

PF

PAD1ABCD,E為棱PC上一點(diǎn)，若平面平面/5C。，則——=.

/；

【分析】取/。的中點(diǎn)。，連接。c交3。于尸點(diǎn)，推導(dǎo)出/C=20F.尸。1平面N8CD,OP//EF,由此

能求出結(jié)果.

【解答】解：取/。的中點(diǎn)。，連接。C交3。于尸點(diǎn)，連結(jié)EF,

'：OD//BC,BC=2OD,FC=2OF.

;平面尸AD1平面ABCD,POLAD,

PO1平面ABCD,

又7平面BDE1平面ABCD,

19.如圖，已知六棱錐P-N5CDM的底面是正六邊形，尸/_L平面48C,PA=2AB,則下列結(jié)論中:

①PB1AE；②平面48CJ,平面P3C；③直線3C//平面尸/￡；④NPD4=45°.

其中正確的有—（把所有正確的序號(hào)都填上）.

【分析】①由尸/上平面/3C,及正六邊形的性質(zhì)易得：/￡1平面尸/2,所以/E1P8,①正確;

②由尸/I平面48C,易得平面尸481平面/BC,所以平面/BC1平面尸3c不成立，②錯(cuò)；

③由正六邊形的性質(zhì)得2C//4D,但是4D與平面尸/E相交，所以③錯(cuò)；

④由尸/I平面/3C,可得又因?yàn)槭?=2/2,所以NPD/=45。，④正確.

【解答】解：對(duì)于①、由尸/±平面/BC,N￡u平面/BC,得尸

又由正六邊形的性質(zhì)得/E1,PAC\AB=A,得NE1平面尸48,又PBu平面

AELPB,①正確;

對(duì)于②、又平面尸工平面/8C,所以平面N8C1平面尸3C不成立，②錯(cuò)；

對(duì)于③、由正六邊形的性質(zhì)得8C//N。，又NDu平面尸二臺(tái)。//平面P/D,.?.直線8C//平面尸4E也

不成立，③錯(cuò)；

對(duì)于④、在RtAPAD中，PA=AD=2AB,ZPDA=45°,.,.④正確.

故答案為：①④

20.如圖，在正方體48CD-4⑸G。中，M,N分別是4D1,4月的中點(diǎn).證明：

(1)M2V//平面8DD百；

(2)4。_1平面/耳2.

【分析】(D推導(dǎo)出MN/ABQi，由此能證明MN//平面8。2瓦.

(2)連結(jié)4G，4。，推導(dǎo)出CQ1,從而瓦。1平面4GC,進(jìn)而用314c,同理

AD,14c,由此能證明4c1平面/月2.

【解答】證明：(1),N分別是/〃，典的中點(diǎn)，耳2，

,:BRiu平面BDDtBt,MN<t平面BDDlBl,

MN//平面BDRBi.

(2)連結(jié)4G，仲,

由正方體的性質(zhì)知44GA是正方形，則4G1BQ-

由正方體的性質(zhì)可知CGI平面431G2，

CCj1BQi，

,.,cqn4cLG,BXDX1平面4G。，

,「4Cu平面4G。，用2iAfi,

同理可證4214c,

'：BiDir\ADl=Dt,Afi1平面4BR.

21.如圖，四棱錐尸一/BC。中，AB//CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,AABC=90°,S.PB=PC.

(1)求證：平面PN。1平面/BCD；

(2)求點(diǎn)。到平面尸2C的距離.

【分析】(D取40、3c的中點(diǎn)分別為〃、E,連結(jié)PW,PE,ME,由已知可證PELBC,

利用線面垂直的判定定理可證3c1平面PME,利用線面垂直的性質(zhì)可證PM1BC,又PMLAD,可證

PM1平面ABCD,利用面面垂直的判定定理可證平面PAD1平面ABCD.

(2)由(1)及題意知為三棱錐的高，設(shè)點(diǎn)。到平面P2C的距離為隊(duì)利用等體積法，三角

形的面積公式可求〃的值，即可得解.

【解答】解：⑴取4D、3c的中點(diǎn)分別為M、E,連結(jié)9,PE,ME,

'：AB//CD,AB=3CD=3,

二.四邊形N3CD為梯形，

又、E為4D、8C的中點(diǎn)，

.??"石為梯形的中位線，，龍////8,

又..2/2。=90°,

MELBC,

'：PB=PC,￡為8C的中點(diǎn)

PELBC,

丈：PECME=E,PEu平面尸ME,腔(=平面產(chǎn)田￡,

:.BC1平面PME,

又,「PA/u平面尸1BC,

由尸/=PD,M為4D中點(diǎn)，PMLAD,

又：4D,5C不平行，必相交于某一點(diǎn)，且2。都在平面/BCD上，

PM1平面ABCD,

由PMu平面PAD,則平面PAD1平面ABCD.

(2)由⑴及題意知，PAf為三棱錐P-3CD的高，40=2及，ME=2,PM=母,故PE=屈,

?：S/BC=：BCxPE=：x2x^=屈,且％⑺=15CxCD=1x2xl=l,

設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h,

由等體積法知」…=%”小心義PM>…h(huán)J2叵十屈小

cA

解得a=發(fā)，所以點(diǎn)。到平面PBC的距離為—.

33

22.如圖，在三棱錐O-/8C中，已知ASCD是正三角形，工平面BCD,AB=BC=a,E為8C的中

點(diǎn)，廠在棱NC上，且/尸=3FC.

(1)求證：AC1DEF；

(2)若“為8。的中點(diǎn)，問(wèn)NC上是否存在一點(diǎn)N,使"V//平面DE尸？若存在，說(shuō)明點(diǎn)N的位置；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(D取NC的中點(diǎn)“，推導(dǎo)出B81/C,EFIIBH,貝ijEFl/C,再求出。ELBC,ABiDE,

從而DEI平面48C,進(jìn)而。E1/C,由此能證明NC1平面。斯.

(2)連結(jié)CM,設(shè)CNnr)￡=O,連結(jié)。尸，推導(dǎo)出存在這樣的點(diǎn)N,當(dāng)CN=-C4時(shí)，MN//平面DEF.

8

【解答】解：(1)證明：取NC的中點(diǎn)..ZBuBC,.?.381/C,

'：AF=3FC,尸為C"的中點(diǎn)，

7E為BC的中點(diǎn)，，/為CH的中點(diǎn)，

為8c的中點(diǎn)，EF//BH,則所INC,

7ASCD是正三角形，DELBC,

'：AB1平面BCD,ABLDE,

'：AB^\BC=B,DE1平面ABC,DELAC,

'：DEC\EF=E,AC1DEF.

3

(2)存在這樣的點(diǎn)N,當(dāng)CN=-C4時(shí)，MN//平面DEF.

8

連結(jié)CM,設(shè)連結(jié)。尸，

2

由條件知。為ASCD的重心，CO=-CM,

3

2

.?.當(dāng)CF=—CN時(shí)，MN//OF,

3

313

：.CN=—x—CA=—CA.

248

[B組]—強(qiáng)基必備

1.在正四面體48CD中，已知E,尸分別是48,CD上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），貝版）

A.不存在E,F,使得昉1C。

B.存在E,使得DELCD

C.存在￡,使得DEI平面/3C

D.存在￡,F,使得平面CD￡上平面48/

【分析】對(duì)于N,。兩項(xiàng)：當(dāng)E,尸分別是A8,。的中點(diǎn)時(shí)，易證M1CD,且平面CDE1平面/3斤.

對(duì)于3：可利用E在4g上移動(dòng)時(shí)，NCOE的范圍判斷.

對(duì)于C：可將?？闯扇忮F的頂點(diǎn)，則過(guò)。做底面的垂線只有一條，即高線，從而否定C.

【解答】解：⑴對(duì)于4D選項(xiàng)，取￡,尸分別為N3,CD的中點(diǎn)如圖：

因?yàn)?-8。是正四面體，所以它的各個(gè)面是全等的等邊三角形.

所以CE=DE,所以Ml。，同理可證跖1AS.故/錯(cuò)誤；

又因?yàn)?8iCE,ABLDE,且C￡r|DE=E,故48工平面C￡D,又48u平面/AF,

所以平面_L平面CED.故。正確.

(2)對(duì)于5選項(xiàng)，將C看成正三棱錐的頂點(diǎn)，易知當(dāng)￡在48上移動(dòng)時(shí)，NCOE的最小值為直線C。與平

面NAD所成的角，即(1)中的NCOE,顯然為銳角，最大角為N