蘇教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)點(diǎn)及重點(diǎn)題型梳理

蘇教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解（提高）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確使用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、

45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值求出這個(gè)角的度數(shù)；

2.能夠正確地使用計(jì)算器，由己知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角

的度數(shù)；

3.理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩

個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

4.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過(guò)解直角三角的學(xué)習(xí),

體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題對(duì)微積分的思想有所感受.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

4/的對(duì)邊

斜邊

三角函數(shù)在RtZ\48C中，cosA-4N的鄰邊

一基本概念乙C=90°斜邊

Z■/的對(duì)邊

tanA=

24的鄰邊

銳

角

三

角

函特殊角30。、45。、

數(shù)三角函數(shù)60。角'

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt^ABC中，ZC=90°,如果銳角A確定:

對(duì)_°

(1)sinA=這個(gè)比叫做/A的正弦.

鄰

(2)cosA二這個(gè)比叫做NA的余弦.

對(duì)_a

(3)tanA=,這個(gè)比叫做/A的正切.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，

其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示/A三個(gè)三角函數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“,

但不能寫(xiě)成sin?A,對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“N”不能省略，應(yīng)

寫(xiě)成sinZBAC,而不能寫(xiě)出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)：而不能寫(xiě)成sinA：

⑷三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成s】na,CQS戶等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做/A的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

1.函數(shù)值的取值范圍

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是/A的函數(shù).同樣，cosA、

tanA也是/A的函數(shù)，其中NA是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量/A的取值范

圍是0°<ZA<90°,函數(shù)值的取值范圍是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如/A+NB=90°,

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A+cos2A=l；tanA=?

COS工

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

ZA30°45°60°

I4.

sinA

2V

2

cosA且

2~22

.

tanA1

T§

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重,

是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

要點(diǎn)二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

A

cb--------------------

角角關(guān)系：兩銳角互余，即NA+NB=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即/+>'=1；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

aba

sinJ4=—,COSA=tanA--

ccb

sinB=~.cos5=-.tanB--

cea

要點(diǎn)詮釋：

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角).這兩種情形的共同之處：有一條邊.因

此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊.

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量

關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

1.解這類問(wèn)題的一般過(guò)程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾

何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)

題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

2.常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題

(1)坡度：I=［，陽(yáng)=:=由a；坡角：

1

(2)方位角:

（3）仰角與俯角:

要點(diǎn)詮釋：

1.解直角三角形的常見(jiàn)類型及解法

和解法

三角形類鏟己知條件解法步驟

tan24=—

由b求NA,

兩直角邊（a,b）

ZB=90°-ZA,

C=JJ+g

兩

邊.a

sinJ4=-

由C求NA,

RtAABC斜邊，一直角邊（如c,a）

ZB=90°-ZA,

B

A.

ZB=90°-ZA,

銳角、鄰邊

X乙------r------------'cb

b（如NA,b）c二-----

a-btanA,cosA

一直角邊

和一銳角NB=90°-ZA,

邊

銳角、對(duì)邊

a.a

（如/A,a）c=-----b=------

角sinJ,tanH

NB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

n=cb=ccosA

2.用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是:

把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題（解直角三角形），就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系

轉(zhuǎn)化為圖形（點(diǎn)、線、角等）以及圖形之間的大小或位置關(guān)系.

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念（如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等）的意義，也有助于把實(shí)際

問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼?

3.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角

形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：

二=的4=二

BCAB

：.BC3=BDAB

AD.AC

$mZ2==sin乙B=

???ACAB

：.ACi-ADAB

八BD八CD

tan=—=tan=----

?；CDAD

=ADBD

【典型例題】

類型一、銳角三角函數(shù)

1.在Rt^ABC中，ZC=90°,若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則NA的正弦值是（）.

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍D.不變

【答案】D；

幺?邊知sinZA的值與NA的大小有關(guān)，與當(dāng)曾辿的比值有關(guān).

【解析】根據(jù)sin/A=

斜邊斜邊

當(dāng)各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍時(shí)，其一」的比值不變.故選D.

斜邊

【總結(jié)升華】銳角三角函數(shù)正弦、余弦和正切反映了直角三角形中邊與邊的關(guān)系.

舉一反三：

【課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固395953

：例3】

DE2

【變式1】已知，如圖，AABC中，CE±AB,BD±AC,—=一，求cos/及tan4

BC5

C

k

EE

【答案】易證點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，△ADEs^ABC,

ADDE2BD421

cosA---------——,tan/A=-----.

ABBC5AD2

cibc

【變式2】如圖所示，已知aABC是。。的內(nèi)接三角形,AB=c,AC=b,BC=a,請(qǐng)你證明-----=-----=-----

sinAsinBsinC

____A

【答案】

證明：。。是AABC的外接圓,設(shè)圓的半徑為R,連結(jié)A0并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)D,

連結(jié)CD,則NB=ND.

：AD是。0的直徑，.?./ACDn%。.即AADC為直角三角形.

/.sinB=sinD----,/.—^―=2R.

AD2RsinB

同理可證：一L=2R,-^=2R.

sinAsinC

sinAsinBsinCs

類型二、特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算

2.已知a=3,且(4tan450-Z?)2+^3+-b-c=0,則以a、b

，、C為邊長(zhǎng)的三角形面積等于（）.

A.6B.7C.8D.9

【答案】A；

4tan45°-Z?=0,

%=4,

【解析】根據(jù)題意知《1解得,

3+-&-c=0,c—5.

2

所以a=3,b=4,c=5,BPa2+b~=c2其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且/C=90°,

所以S=」ab=6.

2

【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直

角三角形，注意tan45°的值不要記錯(cuò).

舉一反三：

【課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固395953

：計(jì)算】

【變式】計(jì)算：發(fā)黑葺+2sin6°。

【答案】原式=勺2+2><正

V3xl2

273+3

3

類型三、解直角三角形

AC=6,D是AC上一點(diǎn)，若L,則AD

.如圖所示,在等腰RtAABC中，ZC=90°tan/DR4=

5

的長(zhǎng)為（）.

A.2B.垂＞C.V2D.1

【思路點(diǎn)撥】

如何用好tan/DBA=3是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，若所求的元素不在直角三角

形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已

知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等.

【答案】A；

【解析】

作DE±AB于點(diǎn)E.

因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以/A=45°,所以AE=DE.

DE1

又設(shè)DE=x,則AE=x,由tan/D8A=——

EB5

知BE=5x,所以AB=6x,由勾股定理知人1+8d=人：62,

所以6°+62=(6x)2,x=?,AD=0AE=2.

【總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三角函數(shù)值；若已知

一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過(guò)銳角三角函數(shù)列出含有未知元素和己知元素的等式求解.

類型四、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合

^^4.(2016?連云港)如圖，在AABC中，ZC=150°,AC=4,tanB=L

8

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)利用此圖形求tanl5。的值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：加=1.4,、質(zhì)=1.7,泥=2.2)

(1)過(guò)A作ADLBC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由含30。的直角三角形性質(zhì)得AD=2AC=2,由三角函數(shù)

_2

求出CD=2?,在Rt^ABD中，由三角函數(shù)求出BD=16,即可得出結(jié)果；

(2)在BC邊上取一點(diǎn)M,使得CM=AC,連接AM,求出/AMC=/MAC=15。，tanl50=tan/AMD=￡D即

MD

可得出結(jié)果.

【答案與解析】

解：(1)過(guò)A作ADLBC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖1所示：

在Rt^ADC中，AC=4,

,.,ZC=150",

.".ZACD=30",

；.AD」AC=2,

2

在RtAABD中，tanB=^=2=L,

BDBD8

；.BD=16,

；.BC=BD-CD=16-25/3；

(2)在BC邊上取一點(diǎn)M,使得CM=AC,連接AM,如圖2所示:

,.?ZACB=150°,

.,.ZAMC=ZMAC=15",

tan15°=tanZAMD=^-=_L_=__1_^0.27^0.3.

MD4+2732+M2+1.7

【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30。的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【課程名稱：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固395953

：例6-例8】

【變式】如圖，設(shè)尸是矩形四切的段邊上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)￡,PFLBD于F,AB=3,AD=4.

求PE+PF的值.

【答案】如圖，sinZl=—.sinZ2=—.

由矩形ABCD知/1=/2,

貝！PE=PAsinZl,PF=PDsinZ2,sinZl=

類型五、三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題

C5.（2015??？悼h模擬）如圖，某廣場(chǎng)一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40。夾角，且CB=5

米.

（1）求鋼纜CD的長(zhǎng)度；（精確到0.1米）

（2）若AD=2米，燈的頂端E距離