高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)教案8函數(shù)的圖象

2.8函數(shù)的圖象

【考試要求】

1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

2.會畫簡單的函數(shù)圖象.

3.會運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.

【知識梳理】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的方法步驟

(2)伸縮變換

a>l,橫坐標(biāo)縮短為原來的楠，縱坐標(biāo)不變

①尸危)j"y=fi.ax)■

0<a<l,橫坐標(biāo)伸長為原來的。倍，縱坐標(biāo)不變

辦1,縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變，_

②龍)縱坐標(biāo)縮短為原來的。倍，橫坐標(biāo)不變>1一無幻

(3)對稱變換

小n、關(guān)于X軸對稱、

①y=Ax)-------?y=一右).

e、關(guān)于〉軸對稱

@y=fix)-------?y=/(—x).

自?、關(guān)于一點(diǎn)對稱〃、

③y=Ax)---------?y=-A-尤).

x

@y=a(a>0且大十‘3"'"'y=k>ga_r(a>0且aWl).

(4)翻折變換

保留%軸上方圖象，

@y=Ax)將x軸下方圖象翻折上玉，一風(fēng)切?

保留》軸右邊圖象，并作其，=

@y=fix)關(guān)于y軸對稱的圖象~~

【常用結(jié)論】

1.函數(shù)y=A尤)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線尤=。對稱.

2.函數(shù)丫=黃尤)與y=26—/(2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=|/U)|為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y=/(l—尤)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

(3)當(dāng)xd(O,+8)時，函數(shù)＞=而明與y=/(|x|)的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)y=?x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=/(x)與y=/(一尤)的圖象關(guān)于y軸對稱.(X)

【教材題改編】

1<0

,',[的圖象的是()

X—1,%與0

答案C

解析其圖象是由圖象中x＜0的部分和y=x-l圖象中x20的部分組成.

2.函數(shù)y=/U)的圖象與＞=^的圖象關(guān)于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，則g(尤)=.

答案e-+i

解析危)=e-，

g(x)=e~(x~1)=e~x+1.

3.已知函數(shù)1x)在R上單調(diào)且其部分圖象如圖所示，若不等式一2勺口+。＜4的解集為(一1,2),則實數(shù)t的值

為________

答案1

解析由圖象可知不等式一2勺(x+r)＜4即為式3)勺(x+f)勺(0),

故x+/G(0,3),

即不等式的解集為(一f,3-f),

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依題意可得f=l.

題型一作函數(shù)的圖象

例1作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=2v+1-l；

(2)y=|lg(x—1)|；

(3)y=f—|x|-2.

解(1)將y=2,的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)=2"i的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，

得到y(tǒng)=2"i—1的圖象，如圖①所示.

⑵首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=lg(x—1)的圖象，再把所得圖象在

x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y=|lg(x—1)|的圖象，如圖②所示(實線部分).

/一1—21>0

,,「二’函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0,+8)上的圖象，再根據(jù)對稱性

{x^-rx—2,x<0,

作出(一8,0)上的圖象，其圖象如圖③所示.

[

①②③

[備選]

作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=2一%

(2)y=sin|x|.

解(1)先作出的圖象，保留圖象中x'O的部分，再作出y=(J|x的圖象中心>0部分關(guān)于y

軸的對稱部分，即得y=(1)R的圖象，如圖①實線部分.

圖①圖②

(2)當(dāng)x》0時，y=sin|尤|與y=sinx的圖象完全相同，又y=sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如

圖②.

思維升華圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象.

(2)若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但

要注意變換順序.

跟蹤訓(xùn)練1作出下列函數(shù)的圖象：

2x-l

⑴產(chǎn)二r

(2)y=|f—4x+3］.

2x—111

解(l)y==r=2+士，故函數(shù)的圖象可由y=十的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位

XLXI尤

長度得到，如圖①所示.

(2)先用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=/—4x+3的圖象，再把x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，x軸上方的圖象不變,

如圖②實線部分所示.

題型二函數(shù)圖象的識別

例2(1)(2022.百師聯(lián)盟聯(lián)考)函數(shù)五功=呼聲的圖象大致為()

答案D

解析由題意知，式尤)的定義域為R,

-X-COS?-X?

人一%)二尸

-X-COSX

故"X)為奇函數(shù)，排除C；

犬1)=誓＞0,排除A；

犬2)=幺2co詈s2＜0,排除B.

(2)已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則y=—五2—x)的圖象為()

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答案B

?-。、作關(guān)于,軸對稱的圖象

解4析+[y=/(x)----------------------

向右平移2個單位長度

y=A一%)

\作關(guān)于%軸對稱的圖象℃、

y=fi2-x)---------------------->y=-fl2-x).

【備選】

(2022?咸陽模擬涵數(shù)人尤)=cos7tx+\n|2R的大致圖象是()

答案C

解析因為/(x)=cos7tx+ln|2x|(xW0),

所以八一X)=cos(—7tx)+ln|—2x|=cos7tx+ln|2x|=/(x),所以火x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除選

項A；

Xl)=cos7t+ln2=-1+ln2<0,故排除選項B；

42)=cos2兀+ln4=l+21n2>0,故排除選項D.

思維升華識別函數(shù)的圖象的主要方法有：(1)利用函數(shù)的性質(zhì).如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.(2)

利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷.(3)利用特殊函數(shù)值判斷.

QX-O-X

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)八x)=—一的大致圖象為()

答案B

解析易知定義域為(一8,0)U(0,+°°),關(guān)于原點(diǎn)對稱.

3一%—3%y-3~x

則犬功是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A,

1Q

八1)=3一弓=^>0,排除D,

當(dāng)+8時，3*—+8,

則40—+8,排除C,選項B符合.

(2)如圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象()

A.y=2x~x*1—l

2*in%

B.尸4%+1

C.y=(x1-2x)ex

c%

D-產(chǎn)司

答案C

解析函數(shù)的定義域為R,排除D；

當(dāng)xvO時，y>0,A中，％=—1時，

3

y=2-1—1—1=—2<0,排除A；

B中，當(dāng)sinx=O時，y=0,

2%.sinx

???>=弓詈有無數(shù)個零點(diǎn)，排除B.

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題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題點(diǎn)1研究函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)八尤）=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+°°）

B.?x）是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,1）

C.兀V）是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是（一1,1）

D./（X）是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）

答案C

解析將函數(shù)4尤）=x\x\~2x

X2—2%,尤》0,

去掉絕對值，得兀0=

、—x2—2x,尤<0,

畫出函數(shù)兀0的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)人0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)yu）為奇函數(shù)，且

在（一1』）上單調(diào)遞減.

命題點(diǎn)2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用

例4若當(dāng)xd（l,2）時，函數(shù)y=（x—1產(chǎn)的圖象始終在函數(shù)y=logj的圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是

答案（1,2]

解析如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)>=。-1）2和ynlogd的圖象.

由于當(dāng)尤G（l,2）時，函數(shù)>=（尤一1）2的圖象恒在函數(shù)y=logd的圖象的下方,

\a>l,

則、解得lv〃W2.

〔loga221,

命題點(diǎn)3求參數(shù)的取值范圍

2%—x

'若方程八元）=-2x+a有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍

{10g2X_X?X>0,

是.

答案（一8,1]

解析方程次x）=—2x+〃有兩個不同的實數(shù)根，即方程Xx）+x=—x+a有兩個不同的根，等價于函數(shù)y

=/（x）+%與函數(shù)y=—的圖象有兩個不同的交點(diǎn).

2x—x,xWO,

因為/U）=

log2X-x,x>0,

[2X,xWO,

所以y=Kx)+x=(

llOg2X,A>0,

作出函數(shù)y=/(x)+x與y=~x+a的大致圖象如圖所示.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)aWl時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)y=y（x）+2x—a有兩個不同的零點(diǎn).

[備選]

已知奇函數(shù)加）在無時的圖象如圖所示，則不等式狀x）<0的解集為.

答案（一2,-1）U（1,2）

解析,猶尤）<0,

■'-X和兒X）異號，

由于為奇函數(shù)，補(bǔ)齊函數(shù)的圖象如圖.

當(dāng)xe（—2,-l）U（0,l）U（2,+8）時，？為>0,

當(dāng)xe（—8,—2）口（—1,0）口（1,2）時，

川）<0，

??.不等式狀x）<0的解集為（一2,—1）U（1,2）.

思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時，常

將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

跟蹤訓(xùn)練3（1）若函數(shù)於）=〃一x—a（a>0,且aWl）有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案（1,+°°）

解析函數(shù)五x）的零點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）與函數(shù)y=x+a的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，如圖，

當(dāng)a>l時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)；當(dāng)0<a<l時，兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn).故a>l.

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（2）奇函數(shù)八尤）的定義域為（一1,1）,/（x）在第一象限的圖象為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓弧，如圖所示，則不

等式大尤）4的解集為.

解析因為奇函數(shù)1X）的定義域為（-1,1）,且犬尤）在第一象限的圖象為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓弧，所以

定義域內(nèi)的函數(shù)圖象，如圖所示，

當(dāng)y（x）=x時，解得x=孚或x=一坐.

由圖象知，不等式式x）4的解集為坐，o）u償，I）.

課時精練

3x

1.函數(shù)的圖象大致為（）

答案A

解析因為八-x）=一再小=一加）,

所以大而為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B,D；

因為犬無）=至二［＞0，所以排除C.

2.為了得到函數(shù)y=lg?一萬的圖象，只需把函數(shù)y=lg尤的圖象上所有的點(diǎn)（)

A.向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

B.向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

D.向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

答案C

x+3.

斛析j=lg?-j^-=lg(x+3)-1,

.,向左平移3個單位長度

..y=lgx----------------------

向下平移1個單位長度

y=lg(x+3)

y=lg（x+3）-l.

3.已知函數(shù)兀c）的圖象如圖所示，則函數(shù)式力的解析式可能是（）

A.於)=(4—尸)|尤|

v

B.Ax)=(4-4^)log2M

4葉4二

C.危)=,

D.式尤）=（4*+4r）log2|x|

答案D

解析由圖知，氏r）為偶函數(shù)，故排除A,B；

對于C,加0>0不符合圖象，故排除C；

對于D,八一無）=（4x+4flog2|x|=Ax）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上，八元）<0,符合題意.

ax-1~b,%<—],

Jc、’，的圖象如圖所示，則八―3）等于（）

{In；%I。？，x----1

A.一；B.-1C.-1D.-2

答案C

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解析V/(-l)=O,/.ln(-l+a)=o,

??—1+1,..。=2,

又y=ax-\-b過點(diǎn)(一1,3),

.?.2X(—l)+b=3,：.b=5,

—3)=-3a+b=-6+5——1.

5.(2022?長沙質(zhì)檢)已知圖①中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=/(x),則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為()

A.>=川尤|)B.y=A~\x\)

C.尸網(wǎng)|D.尸一川刈

答案B

解析觀察函數(shù)圖象可得，②是由①保留y軸左側(cè)及y軸上的圖象，然后將y軸左側(cè)圖象翻折到右側(cè)所得,

結(jié)合函數(shù)圖象的對稱變換可得變換后的函數(shù)的解析式為y=A—|x|).

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)兀v)=ln尤的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.j=ln(l—x)B.j=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則其關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2—x,y),

由對稱性知點(diǎn)(2—x,y)在函數(shù)/(x)=lnx的圖象上，所以y=ln(2—x).

方法二由題意知，對稱軸上的點(diǎn)(1,0)既在函數(shù)八x)=lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項中的

函數(shù)解析式逐一檢驗，排除A,C,D.

7.對于函數(shù)/(x)=lg(|x—2|+1),下列說法正確的個數(shù)是()

①/(x+2)是偶函數(shù)；

②/(x+2)是奇函數(shù)；

③Ax)在區(qū)間(一8,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增；

④Xx)沒有最小值.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析人x+2)=lg(|x|+l)為偶函數(shù)，①正確，②錯誤.作出凡r)的圖象如圖所示，可知人x)在(一8,2)上單

調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；由圖象可知函數(shù)存在最小值0,③正確，④錯誤.

—x2—2x,xWO,

8.(2022?西安模擬)已知函數(shù)危)=<|log[,x>o,若函數(shù)g(x)=/a)+2一根有4個零點(diǎn)，則機(jī)的取值

、2

范圍為()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析由g(x)=/a)+2—相=0,

得力?=加一2,

所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)7U)的圖象與直線y=m—2有4個不同的交點(diǎn),

函數(shù)於)的圖象如圖所示，

所以0〈機(jī)一2<1,得2Vm<3,

所以根的取值范圍為(2,3).

9.已知函數(shù)〉=/(一幻的圖象過點(diǎn)(4,2),則函數(shù)y=/(x)的圖象一定過點(diǎn)

答案(-4,2)

解析y=fi—x)與丁=於)的圖象關(guān)于y軸對稱，

故y=/(x)的圖象一定過點(diǎn)4,2).

/71--2

10.若函數(shù)次尤)=:二]的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，則實數(shù)。=.

答案1

ax—a-\~a—2,a—2

解析Ax)=———=a+—［，

關(guān)于點(diǎn)(1,a)對稱，故a=l.

f+2x—],

9則對任意Xl,X2CR,若%2>0>Xl>—X2,則701)

{A—2尤一1,x<0,

與式X2)的大小關(guān)系是.

答案/1)勺(X2)

解析作出函數(shù)y(x)的圖象(圖略)，

由圖知"r)為偶函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

*.*0>Xi>—X2,

J危1)4—尬)=心2).

12.已知函數(shù)y(x)=|x—2|+l,g(x)=fcc.若方程式x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)%的取值范圍是

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答案&1）

解析先作出函數(shù)式x）=|x—2|+1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g（x）=fcc與直線平行時斜率為1,當(dāng)直線

g（x）=日過A點(diǎn)時斜率為3，故/W=g（x）有兩個不相等的實根時，上的取值范圍為&1）.

13.（2022?濟(jì)南模擬）若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn)A,B都在人尤）的圖象上；（2）點(diǎn)A,B關(guān)于

原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對（A,為是函數(shù)作）的一個“和諧點(diǎn)對”，（A,B）與（B,A）可看作一個“和諧點(diǎn)對”.已

V+2x,x<Q,

知函數(shù)yu）=12、則人無）的“和諧點(diǎn)對”有（）

最，x20,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數(shù)y=/+2尤（尤<0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象（如圖中的虛線部分），看它與函數(shù)y=/（尤\0）

的圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可，觀察圖象可得交點(diǎn)個數(shù)為2,即式x）的“和諧點(diǎn)對”有2個.

一，x<0,

x

14.若函數(shù)八%）=則不等式的解集為