濟南市萊蕪地區(qū)2024年中考數(shù)學模擬試卷（含解析）

濟南市萊蕪地區(qū)2024年中考數(shù)學仿真試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就.其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出

七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文:今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢;每人出7錢，又會差4錢，問

人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人,物價為y錢，以下列出的方程組正確的是（)

y-8x=3y-8x=38x-y=38x-y=3

A.B.<c.D.

y—7x=47x—y=4y—7x=47x—y=4

2.1-3|的值是（)

11

A.3B.-c.-3D.

3'3

「八1Hill2.J_

3.已知x+—=3,火！JvX"I-=()

XX

A.7B.9c.11D.8

4.2017年牡丹區(qū)政府工作報告指出：2012年以來牡丹區(qū)經(jīng)濟社會發(fā)展取得顯著成就,綜合實力明顯提升，地區(qū)生產(chǎn)

總值由156.3億元增加到338億元，年均可比增長11.4%,338億用科學記數(shù)法表示為()

A.3.38X107B.33.8X109C.0.338X109D.3.38x1010

5.二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a#0）的圖象如圖，下列四個結(jié)論:

①4a+c<0；②m(am+b)+b>a(m^-1)；③關(guān)于x的一元二次方程ax?+(b-1)x+c=0沒有實數(shù)根；@ak4+bk2<

a（k2+l）2+b（k2+l）（k為常數(shù)）.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（)

C.2個D.1個

6.下列幾何體中，其三視圖都是全等圖形的是（)

A.圓柱B.圓錐C.三棱錐D.球

7.若J（X-2）2+|3_y|=0,則x-y的正確結(jié)果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

8.如圖，甲、乙、丙圖形都是由大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體

的個數(shù).其中主視圖相同的是（）

眼噩呼

WZ.W

A.僅有甲和乙相同B.僅有甲和丙相同

C.僅有乙和丙相同D.甲、乙、丙都相同

2(2x-3)<x-3

9.將不等式組《的解集在數(shù)軸上表示，下列表示中正確的是（

5x+3>2x

10.2016年底安徽省已有13個市邁入“高鐵時代”，現(xiàn)正在建設(shè)的“合安局鐵”項目，計劃總投資334億元人民幣.把334

億用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.334V.B.5J4x:0sC.5.Sx.D.。.=3X?

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.關(guān)于x的分式方程=+且=2的解為正實數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為.

12.如圖，AB.CD相交于點O,AD=CB,請你補充一個條件，使得△40。絲△COB,你補充的條件是.

13.已知關(guān)于x的方程x2—2,7x—k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為.

14.正八邊形的中心角為____度.

15.如圖，四邊形ABCD是菱形,OO經(jīng)過點A,C,D,與BC相交于點E,連接AC.AE,若ND=78。,貝!|NEAC=1

16.在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩地的實際距離是千米.

17.如果拋物線y=ax?+5的頂點是它的最低點，那么a的取值范圍是.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖1,B（2m,0）,C（3m,0）是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數(shù)，且m>0,E（0,n）為y

軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得

連接ED。拋物線y=。必+6》+。(a/0)過E,A，兩點.

(1)填空：ZAOB=。，用m表示點A，的坐標：A，(,)；

BP1

(2)當拋物線的頂點為A，，拋物線與線段AB交于點P,且一=—時，△D9E與△ABC是否相似？說明理由;

AP3

(3)若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為點M,過M作MNLy軸，垂足為N：

①求a,b,m滿足的關(guān)系式；

②當m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為10,請你探究a的取值范圍.

19.(5分)關(guān)于x的一元二次方程r—疝與x+〃2=o有兩個實數(shù)根，則機的取值范圍是()

A.m<lB.m<lC.-3<m<lD.-3<m<l

20.(8分)如圖，/BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D,交BC于點F,/ABC的平分線交AD于點E.

D

(1)求證：DE=DB：

(2)若/BAC=90。，BD=4,求△ABC外接圓的半徑；

(3)若BD=6,DF=4,求AD的長

21.(10分)為評估九年級學生的體育成績情況，某校九年級500名學生全部參加了“中考體育模擬考試”，隨機抽取

了部分學生的測試成績作為樣本，并繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計表和頻數(shù)分布直方圖：

成績X分人數(shù)頻率

25<x<3040.08

30<x<3580.16

35<x<40a0.32

40<x<45bc

45<x<50100.2

(1)求此次抽查了多少名學生的成績；

(2)通過計算將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

(3)若測試成績不低于40分為優(yōu)秀，請估計本次測試九年級學生中成績優(yōu)秀的人數(shù).

小頻數(shù)(人數(shù))

16---------------------------------------------

12-..........................................................

8...........................................................

4-.........................................................

/\八________________

253035404550測詰成結(jié)

22.(10分)下表中給出了變量x,與丫=/*2,y=ax2+bx+c之間的部分對應(yīng)值，(表格中的符號“…”表示該項數(shù)據(jù)已丟

失)

X-101

ax2??????1

ax2+bx+c72???

(1)求拋物線y=ax2+bx+c的表達式

(2)拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D,與y軸的交點為A,點M是拋物線對稱軸上一點，直線AM交對稱軸右側(cè)的拋

物線于點B,當△ADM與ABDM的面積比為2：3時，求B點坐標；

(3)在(2)的條件下，設(shè)線段BD與x軸交于點C,試寫出NBAD和NDCO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由??

23.(12分)如圖1,拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0)、B(4,0)兩點，交y軸于點C,過點C作x軸的平行線與拋

物線上的另一個交點為D,連接AC、BC.點P是該拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為m(m>4).

(1)求該拋物線的表達式和NACB的正切值；

(2)如圖2,若NACP=45。，求m的值；

(3)如圖3,過點A、P的直線與y軸于點N,過點P作PMLCD,垂足為M,直線MN與x軸交于點Q,試判斷

四邊形ADMQ的形狀，并說明理由.

圖3

24.(14分)拋物線y=-73x2+bx+c(b,c均是常數(shù))經(jīng)過點O(0,0),A(4,473))與x軸的另一交點為點B,

且拋物線對稱軸與線段OA交于點P.

(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)過點P作x軸的平行線L若點Q是直線上的動點，連接QB.

①若點O關(guān)于直線QB的對稱點為點C,當點C恰好在直線1上時，求點Q的坐標；

②若點O關(guān)于直線QB的對稱點為點D,當線段AD的長最短時，求點Q的坐標(直接寫出答案即可).

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、C

【解析】

【分析】分析題意，根據(jù)“每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又會差4錢，”可分別列出方程.

【詳解】

設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價為y錢，根據(jù)題意得

8x-y=3

y-7x=4

故選C

【點睛】本題考核知識點：列方程組解應(yīng)用題.解題關(guān)鍵點：找出相等關(guān)系，列出方程.

2、A

【解析】

分析：根據(jù)絕對值的定義回答即可.

詳解：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，

卜3卜3.

故選A.

點睛：考查絕對值，非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

3、A

【解析】

根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】

?:(x+—)2=x2+2+\

XX

/.9=2+x2+,

x

/.x2+二~=7,

x

故選A.

【點睛】

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式.

4、D

【解析】

根據(jù)科學記數(shù)法的定義可得到答案.

【詳解】

338億=33800000000=3.38x1()1°，

故選D.

【點睛】

把一個大于10或者小于1的數(shù)表示為“xl?！钡男问?，其中l(wèi)W|a|<10,這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.

5、D

【解析】

①因為二次函數(shù)的對稱軸是直線x=-L由圖象可得左交點的橫坐標大于-3,小于-2,

b

所以-----=T,可得b=2a,

2a

當x=-3時，y<0,

即9a-3b+c<0,

9a-6a+c<0,

3a+c<0,

Va<0,

/.4a+c<0,

所以①選項結(jié)論正確；

②???拋物線的對稱軸是直線x=-l,

Ay=a-b+c的值最大，

即把x=m(mr-1)代入得：y=am2+bm+c<a-b+c,

am2+bm<a-b,

m(am+b)+b<a,

所以此選項結(jié)論不正確；

③ax?+(b-1)x+c=0,

△=(b-1)2-4ac,

Va<0,c>0,

/.ac<0,

-4ac>0,

■:(b-1)2>0,

.*.△>0,

工關(guān)于x的一元二次方程ax2+(b-1)x+c=0有實數(shù)根；

④由圖象得：當x>-l時，y隨x的增大而減小，

?.?當k為常數(shù)時，0<k2<k2+L

當x=k2的值大于x=k2+l的函數(shù)值，

即ak4+bk2+c>a(k2+l)2+b(k2+l)+c,

ak4+bk2>a(k2+l)2+b(k2+l),

所以此選項結(jié)論不正確；

所以正確結(jié)論的個數(shù)是1個，

故選D.

6、D

【解析】

分析：任意方向上的視圖都是全等圖形的幾何體只有球，在任意方向上的視圖都是圓，其他的幾何體的視圖都有不同

的.

詳解:圓柱，圓錐，三棱錐，球中，

三視圖都是全等圖形的幾何體只有球，在任意方向上的視圖都是圓，

故選D.

點睛：本題考查簡單幾何體的三視圖，本題解題的關(guān)鍵是看出各個圖形的在任意方向上的視圖.

7、A

【解析】

由題意，得

x-2=0,l-y=O,

解得x=2,y=l.

X-y=2-l=-l,

故選：A.

8、B

【解析】

試題分析：根據(jù)分析可知，甲的主視圖有2列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,2；乙的主視圖有2列，每列小正方數(shù)

形數(shù)目分別為2,1；丙的主視圖有2列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,2；則主視圖相同的是甲和丙.

考點：由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖.

9、B

【解析】

先解不等式組中的每一個不等式，再把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可.

X<1

解：不等式可化為：1,,即—

X>-1

“點睛”不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（>,N向右畫；V,W向左畫）,

在表示解集時“N”，%”要用實心圓點表示；要用空心圓點表示.

10、B

【解析】

科學記數(shù)法的表示形式為axl°n的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移

動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，n是負

數(shù).

解：334億=3.34x101°

“點睛”此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù)，表示

時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、aV2且arl

【解析】

將a看做已知數(shù)，表示出分式方程的解，根據(jù)解為非負數(shù)列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍.

【詳解】

分式方程去分母得：x+a-2a=2（x-l）,

解得：x=2-a,

???分式方程的解為正實數(shù)，

.\2-a>0,M2-a^L

解得：aV2且arl.

故答案為：a<2且存1.

【點睛】

分式方程的解.

12、NA=NC或NAOC=NA8C

【解析】

本題證明兩三角形全等的三個條件中已經(jīng)具備一邊和一角，所以只要再添加一組對應(yīng)角或邊相等即可.

【詳解】

添加條件可以是：NA=NC或NADC=NABC.

?.?添加NA=NC根據(jù)AAS判定△AOD/△COB,

添力口NADC=NABC根據(jù)AAS判定AAOD^ACOB,

故填空答案：ZA=ZC或NADC=ZABC.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意:

AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解題的關(guān)鍵.

13、-3

【解析】

試題解析：根據(jù)題意得：△=(2.2-4xlx(-k)=0,即12+4k=0,

VJ

解得：k=-3,

14、45°

【解析】

360°

運用正n邊形的中心角的計算公式^—計算即可.

n

【詳解】

解：由正n邊形的中心角的計算公式可得其中心角3為60半°=45°,

故答案為45。.

【點睛】

本題考查了正n邊形中心角的計算.

15、1.

【解析】

解：；四邊形ABCD是菱形，ZD=78°,

.".ZACB=-(1800-ZD)=51°,

2

又；四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，

.,.ZAEB=ZD=78°,

ZEAC=ZAEB-ZACB=1°.

故答案為：1°

16、6

【解析】

本題可根據(jù)比例線段進行求解.

【詳解】

解：因為在比例尺為1:50000的地圖上甲，乙兩地的距離12cm,所以，甲、乙的實際距離x滿足12:x=l:50000,即

x=12x50000=600000cm=6km.

故答案為6.

【點睛】

本題主要考查比例尺和比例線段的相關(guān)知識.

17、a>l

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖像，由拋物線丫=a*2+5的頂點是它的最低點，知a>l,

故答案為a>l.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)45；(m,-m)；(2)相似；(3)?b=—l-am；?—a<\.

4

【解析】

試題分析：(1)由B與C的坐標求出OB與OC的長，進一步表示出BC的長，再證三角形AOB為等腰直角三角形,

即可求出所求角的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可確定出A，坐標；

BP1

(2)ADrOE^AABC.表示出A與B的坐標，由——=—,表示出P坐標，由拋物線的頂點為A。表示出拋物線

AP3

解析式，把點E坐標代入即可得到m與n的關(guān)系式，利用三角形相似即可得證；

(3)①當E與原點重合時，把A與E坐標代入〉=以2+法+。，整理即可得到a,b,m的關(guān)系式；

②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種情況考慮：

若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為10,求出此時a的值；若拋物線過點A(2m,2m),求出此時a的

值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.

試題解析：(1)VB(2m,0),C(3m,0),.*.OB=2m,OC=3m,即BC=m,CAB=2BC,；.AB=2m=0B,；NABO=90°,

...△ABO為等腰直角三角形，.../AOBudS。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD，=D，A，=m,即A，(m,-m)；故答案為45；m,

-m；

(2)ADrOE^AABC,理由如下：由已知得：A(2m,2m),B(2m,0),V—=-,AP(2m,-m),?.,A，為

AP32

拋物線的頂點，二設(shè)拋物線解析式為y=a(x-加了-加，,拋物線過點E(0,n),n--m,即m=2n,

AOE：OD，=BC：AB=1：2,VZEOD,=ZABC=90°,.,.△D,OE^AABC；

H=0

(3)①當點E與點O重合時，E(0,0),???拋物線丁=。必+"+。過點E,A,：.{2,，整理得：

'；am"+bm+n--m

am+b——19即/?=一1一〃加；

②??,拋物線與四邊形ABCD有公共點，，拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，若拋物線過點C(3m,

11o3

0),此時MN的最大值為10,工a(3m)2-(1+am)?3m=0,整理得：am=—,即拋物線解析式為y=xx,

22m2

y=x

由A(2m,2m),可得直線OA解析式為y=x,聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得：｛123，解得：x=5m,

V=-------X——X

2m2

y=5m,即M(5m,5m),令5m=10,即m=2,當m=2時，a=—；

4

若拋物線過點A(2m,2m),則a(2加『一(1一a加)?2加=2加，解得：am=2,Vm=2,則拋物線與四邊形ABCD

有公共點時a的范圍為‘WaWL

4

考點：L二次函數(shù)綜合題；2.壓軸題；3.探究型；4.最值問題.

19、C

【解析】

m+3>0

利用二次根式有意義的條件和判別式的意義得到I——2，然后解不等式組即可.

m+3)2-4/n>0

【詳解】

m+3>Q

根據(jù)題意得,——2,

z—^m+3)-4m>0

解得-3WmWl.

故選C.

【點睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程ax?+bx+c=0(a#0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當A>0時，方程有兩個不

相等的兩個實數(shù)根；當4=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當A<0時，方程無實數(shù)根.

20、(1)見解析；(2)272(3)1

【解析】

(1)通過證明NBED=NDBE得至I]DB=DE；

(2)連接CD,如圖，證明ADBC為等腰直角三角形得到BC=J^BD=4后，從而得到△ABC外接圓的半徑；

(3)證明ADBFS4ADB,然后利用相似比求AD的長.

【詳解】

(1)證明：；AD平分NBAC,BE平分NABD,

/.Z1=Z2,N3=N4,

二ZBED=Z1+Z3=Z2+Z4=Z5+Z4=ZDBE,

；.DB=DE；

VZBAC=10°,

ABC為直徑，

/.ZBDC=10o,

VZ1=Z2,

/.DB=BC,

/.△DBC為等腰直角三角形，

.?.BC=V^BD=4y,

.,.△ABC外接圓的半徑為2亞；

(3)解：VZ5=Z2=Z1,ZFDB=ZBDA,

.,.△DBF<^AADB,

即

ABD=DF

DADBAD6

.\AD=1.

【點睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.也

考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

21、(1)50；(2)詳見解析；(3)220.

【解析】

⑴利用1組的人數(shù)除以1組的頻率可求此次抽查了多少名學生的成績；

⑵根據(jù)總數(shù)乘以3組的頻率可求a,用50減去其它各組的頻數(shù)即可求得b的值，再用1減去其它各組的頻率即可求得c

的值,即可把頻數(shù)分布直方圖補充完整；

(3)先得到成績優(yōu)秀的頻率,再乘以500即可求解.

【詳解】

解：⑴4+0.08=50(名).

答：此次抽查了50名學生的成績；

(2)a=50x0.32=16(名)，

b=50-4-8-16-10=12(名)，

c=l-0.08-0.16-0.32-0.2=0.24,

如圖所示：

木球(人數(shù))

16------------r-........

12-.....................

8".....................

4-.....................

253035404550

(3)500x(0.24+0.2)

=500x0.44

=220(名).

答：本次測試九年級學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)是220名.

【點睛】

本題主要考查數(shù)據(jù)的收集、處理以及統(tǒng)計圖表。

22、(1)y=x2-4x+2；(2)點B的坐標為(5,7)；(1)NBAD和NDCO互補，理由詳見解析.

【解析】

(1)由(1,1)在拋物線產(chǎn)上可求出a值，再由(-1,7)、(0,2)在拋物線y=，+&x+c上可求出氏c的值，此

題得解；

(2)由AAOM和ABOM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結(jié)合點A的坐標即可求出點8的橫坐標，再利

用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標；

⑴利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出A、O的坐標，過點A作AN〃x軸，交50于點N,則NANZ>=NOCO,

根據(jù)點3、D的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點N的坐標,

利用兩點間的距離公式可求出3A、BD、的長度，由三者間的關(guān)系結(jié)合NABO=NN區(qū)4,可證出△A50s

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出NAN3=NZM3,再由NANB+NAND=120?？傻贸鯪ZM3+NOCO=120。，即NRW和

NOCO互補.

【詳解】

(1)當x=l時，y=ax2=l,

解得：a=l；

將(-1,7)、(0,2)代入y=x?+bx+c,得：

["+有,解得卜,

Ic=2Ic=2

拋物線的表達式為y=x2-4x+2；

(2),.,△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：1,

，點A到拋物線的距離與點B到拋物線的距離比為2：1.

V拋物線y=x2-4x+2的對稱軸為直線x=-三寺=2，點A的橫坐標為0,

.?.點B到拋物線的距離為1,

，點B的橫坐標為1+2=5,

.?.點B的坐標為(5,7).

(1)/BAD和/DCO互補，理由如下：

當x=0時，y=x2-4x+2=2,

???點A的坐標為(0,2),

Vy=x2-4x+2=(x-2)2-2,

點D的坐標為(2,-2).

過點A作AN〃x軸，交BD于點N,貝！|NAND=NDCO,如圖所示.

設(shè)直線BD的表達式為y=mx+n(mR0),

將B(5,7)、D(2,-2)代入y=mx+n,

『卷，解得"樂3,

I2m+n=-2In=-8

???直線BD的表達式為y=lx-2.

當y=2時，有l(wèi)x-2=2,

解得：x=當，

.?.點N的坐標為(當，2).

VA(0,2),B(5,7),D(2,-2),

；.AB=5y,BD=1V1O>BN=5>^,

.BN_BA_V5

??--------------.

BABD3

XVZABD=ZNBA,

AAABD^ANBA,

,\ZANB=ZDAB.

■:ZANB+ZAND=120°,

.\ZDAB+ZDCO=120°,

；.NBAD和NDCO互補.

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式、等底三角形面積的關(guān)系、二次函數(shù)的圖像

與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握待定系數(shù)法是解(1)的關(guān)鍵；熟練掌握等底三角形面積的關(guān)系式解(2)

的關(guān)鍵；證明是解(1)的關(guān)鍵.

23、(1)y=—x2-3x+l；tanZACB=—；(2)m=—；(3)四邊形ADMQ是平行四邊形；理由見解析.

233

【解析】

(1)由點A、B坐標利用待定系數(shù)法求解可得拋物線解析式為y=；x2-3x+L作BG，CA,交CA的延長線于點G,

BGOC2

證4GAB^AOAC得——=——，據(jù)此知BG=2AG.在RtAABG中根據(jù)BG2+AG2=AB2,可求得AG=-^5.繼而

AG0A5

4r-12r-

可得BG=M占，CG=AC+AG=yV5,根據(jù)正切函數(shù)定義可得答案；

(2)作BH1CD于點H,交CP于點K,連接AK,易得四邊形OBHC是正方形,應(yīng)用“全角夾半角”可得AK=OA+HK,

8

設(shè)K(1,h),貝?。軧K=h,HK=HB-KB=l-h,AK=OA+HK=2+(1-h)=6-h.在R3ABK中，由勾股定理求得h=§,

Q1

據(jù)此求得點K(1,I),待定系數(shù)法求出直線CK的解析式為y=-gx+L設(shè)點P的坐標為(x,y)知x是方程

2

-x-3X+l=--x+l的一個解.解之求得x的值即可得出答案；

23

(3)先求出點D坐標為(6,1),設(shè)P(m,—m2-3m+l)知M(m,1),H(m,0).及PH='m2-3m+l),OH=m,

22

AH=m-2,MH=1.①當lVmV6時，由△OANs/\HAP知,據(jù)此得ON=m-L再證△ONQsaHMQ得

PHAH

ONOQ一

------=77^.據(jù)此求得OQ=m-l.從而得出AQ=DM=6-m.結(jié)合AQ〃DM可得答案.②當m>6時，同理可得.

HMHQ

【詳解】

4〃+2b+4=0

解：(1)將點A(2,0)和點B(1,0)分別代入y=ax2+bx+l,得｛，//，“八

16。+46+4=0

1

,CL——

解得：＜2；

b=-3

???該拋物線的解析式為y=|x2-3x+l,

過點B作BGLCA,交CA的延長線于點G（如圖1所示），則NG=90。.

VZCOA=ZG=90°,ZCAO=ZBAG,

/.△GAB^AOAC.

BGOC4

??------------——=2.

AGOA2

/.BG=2AG,

在RtAABG中，VBG2+AG2=AB2,

9r-

???(ZAG)2+AG2=22,解得：AG=-V5.

.-.BG=-V5,CG=AC+AG=275+-A/5=-7?.

555

?上，BG1

在RtABCG中，tan/ACB=——=-.

CG3

(2)如圖2,過點B作BHLCD于點H,交CP于點K,連接AK.易得四邊形OBHC是正方形.

應(yīng)用“全角夾半角”可得AK=OA+HK,

設(shè)K(1,h),貝!|BK=h,HK=HB-KB=1-h,AK=OA+HK=2+(1-h)=6-h,

在RtAABK中，由勾股定理，MAB2+BK2=AK2,

/.22+h2=(6-h)2.解得h=|,

Q

.?.點K(1,§),

設(shè)直線CK的解析式為y=hx+l,

將點K(1,1)代入上式，得g=lh+l.解得h=-

/.直線CK的解析式為y=-jx+1,

設(shè)點P的坐標為(x,y),則x是方程Jx2-3x+l=-；x+l的一個解,

將方程整理，得3X2-16X=0,

解得Xl=3,X2=0(不合題意，舍去)

3

期16小、1,20

將xi=§代入y=-1X+1,得ZFy=§，

???點P的坐標為(一，—)，

39

.16

..m=一；

3

(3)四邊形ADMQ是平行四邊形.理由如下：

；CD〃x軸，

?'?yc=yD=l,

將y=l代入y=；x2-3x+l,得仁;x2-3x+l,

解得X1=O,X2=6,

.?.點D(6,1),

根據(jù)題意，得P(m,—m2-3m+l),M(m,1),H(m,0),

2

1,

.,.PH=-m2-3m+l,OH=m,AH=m-2,MH=1,

2

①當lVm<6時，DM=6-m,

如圖3,

.ONOA

??一,

PHAH

ON

?1=____

**—m2-3m+4m-29

2

.八m2-6m+8(m-4)(m-2).

??ON=---------------=---------------------=m