7.4直線平面平行的判定與性質

7.4直線、平面平行的判定與性質課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.抽象出直線與平面、平面與平面的位置關系的定義2.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理和性質定理的含義3.會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理和性質定理4.能運用直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理和性質定理證明一些空間線面平行、面面平行的簡單問題直線與平面、平面與平面的位置關系通過直線與平面、平面與平面的位置關系的判定,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)直線與平面平行的判定與性質通過求解直線與平面平行的判定與性質問題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)平面與平面平行的判定與性質通過求解平面與平面平行的判定與性質問題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結論正確的有().A.若一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則這條直線與這個平面平行B.若一條直線和一個平面平行,則這條直線和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行C.過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行D.過直線外一點有無數(shù)個平面與這條直線平行2.(對接教材)有一正方體木塊如圖所示,點P在平面A'B'C'D'內(nèi),棱BC平行于平面A'B'C'D',要經(jīng)過點P和棱BC將木塊鋸開,鋸開的面必須平整,有n種鋸法,則n為().A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)3.(對接教材)下列命題正確的是().A.若一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行B.若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行C.若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行D.若兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線,則這兩個平面平行4.(易錯自糾)已知平面α∥平面β,直線PA分別交α,β于點A,C,直線PB分別交α,β于點B,D,若PA=2,CA=3,AB=1,則CD=.

5.(真題演練)(全國Ⅱ卷)設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是().A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面直線與平面、平面與平面的位置關系典例1(多選)給出下列四個命題,其中正確的命題有().A.若一條直線不在平面內(nèi),則這條直線與該平面平行B.若一條直線和一個平面相交,則這條直線和這個平面內(nèi)任意直線不平行C.若一條直線和一個平面平行,則這條直線和這個平面內(nèi)的直線平行或異面D.若分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線異面,則這兩個平面平行判斷直線與平面、平面與平面的位置關系的常用方法(1)運用定義;(2)反證法、舉反例;(3)構建模型.訓練1空間被三個平面分成的塊數(shù)可能為.(填序號)

①4;②6;③7;④8.直線與平面平行的判定與性質一、判定定理典例2如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形,E,F分別為AD,PC的中點.求證:EF∥平面PAB.1.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(α∥β,a?α?a∥β).2.空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質定理,即a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.(2)利用平行公理推論:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)利用垂直于同一個平面的兩條直線互相平行.(4)平面幾何中的證明方法.3.特別提醒(1)一定要強調(diào)直線a不在平面內(nèi),直線b在平面內(nèi),且a∥b,否則會出現(xiàn)錯誤.(2)一條直線平行于一個平面,它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行,也可能異面.(3)在用線面平行判定定理時,作輔助線找線線平行,往往是用性質定理,即過要證的直線作平面與直線平行的平面相交,交線即為所要的輔助線.訓練2如圖,在三棱錐PABC中,D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點.求證:MN∥平面BDE.二、性質定理典例3如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和PA作平面交BD于點H.求證:PA∥GH.1.線面平行的性質定理是證明兩條直線平行的常用方法.2.在應用線面平行的性質定理進行平行轉化時,一定注意定理成立的條件,通常應嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉化為線線平行時,必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交,這時才有直線與交線平行.3.線面平行的判定定理和性質定理使用的區(qū)別:若結論中有a∥α,則要用判定定理,在α內(nèi)找與a平行的直線;若條件中有a∥α,則要用性質定理,找(或作)過a且與α相交的平面.訓練3如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是線段AD,PB的中點,過EF的平面交平面PCD于GN.求證:EF∥GN.面面平行的判定與性質典例4如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分別在AB,AC,A1B1,A1C1上.(1)若E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:①B,C,H,G四點共面;②平面EFA1∥平面BCHG.(2)若平面EFA1∥平面BCHG,求證:EF∥GH.1.證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.2.還可以用以下結論判定面面平行(解答題慎用)(1)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行.3.面面平行的性質主要用于證明線線平行和線面平行.訓練4如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1是平行六面體.(1)求證:平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直線l,求證:B1D1∥l.平行關系中的動態(tài)問題平行關系中的動態(tài)問題,往往是通過平行探究動點的位置,或者是將動態(tài)的線面平行轉化為面面平行.典例(多選)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD=2AB,E是BC的中點,將△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(點P?平面AECD),設線段PD的中點為F.則在翻折過程中,下列論斷正確的是().A.CF∥平面AEPB.CF的長度恒定不變C.AE⊥DPD.異面直線CF與PE所成角的大小恒定不變平行關系中的動態(tài)問題,處理策略主要有兩種途徑:1.動中求定,通過在動態(tài)過程中尋求不變平行關系來解決問題;2.軌跡思想,點動成線,線動成面,通過尋找動點的軌跡來解決問題.訓練如圖,在四棱錐PABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分別為線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于點O,G是線段OF上一動點.求證:(1)AP∥平面BEF;(2)GH∥平面PAD.一、單選題1.(2023·江蘇宿遷統(tǒng)測)已知平面α,β,γ,直線l,m,n,α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,則下列命題不正確的是().A.若l∥m,則l∥n,m∥n B.若n∥α,則l∥mC.若l⊥n,則l⊥m D.若m∩n=P,則P∈l2.設a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不重合的平面,則α∥β的一個充分條件是().A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α3.若平面α截三棱錐所得的截面為平行四邊形,則該三棱錐中與平面α平行的棱有().A.0條 B.1條 C.2條 D.1條或2條4.如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,E,F分別在線段DB,DD1上,且DEEB=DFFD1=12,G在CC1A.12 B.13 C.23 二、多選題5.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ平行的是(). ABCD6.(2024·江蘇南京校考測試)在下列四棱雉中,底面為平行四邊形,A,B,C,M,N是四棱雉的頂點或所在棱的中點,則MN平面ABC的有(). ABCD三、填空題7.下列有五個命題:①若直線a∥平面α,a∥平面β,α∩β=m,則a∥m;②若直線a∥平面α,則a與平面α內(nèi)任何直線都平行;③若直線a∥平面α,平面α∥平面β,則α∥平面β;④如果a∥b,a∥平面α,那么b∥平面α;⑤對于異面直線a,b存在唯一一對平面α,β使得a?平面α,b?平面β,且α∥β.其中正確的命題是.(填序號)

①0②1③2④38.在三棱錐PABC中,PB⊥AC,且PB=6,AC=3,G為三角形PAC上一點(不在邊界上),過點G作三棱錐的一個截面,使截面平行于PB和AC,則截面的面積的最大值為.

、解答題9.如圖,在幾何體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是正方形,ED∥FC,AD=ED=2FC=4,M,N,Q分別為AD,CD,EB的中點,P為ED上靠近點D的四等分點.(1)證明:FQ∥平面ABCD.(2)證明:平面PMN∥平面EBF.10.如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AB⊥AD,AB=3,CD=2,PD=AD=5,E是PD上的一點.(1)當PEED(2)若E是PD的中點,過點E作平面EMNF,分別交CD,AB,PA于點M,N,F,若平面EMNF∥平面PBC,求FAFP圖111.如圖所示,