福州市鼓樓區(qū)2024年九年級上冊數學月考試題與參考答案

福州市鼓樓區(qū)2024年九年級上學期《數學》月考試題與參考答案

一、單選題

每題4分，共10題。

1.在平面直角坐標系中，點尸（4-2）關于原點的對稱點的坐標為（）

A.（4,2）B.（T2）

C.（-4,-2）D,（-2,4）

答案：B

答案解析：點尸（4-2）關于原點的對稱點的坐標為（<2）；

故選B.

2.關于*的方程（左T）2/+（2后+i）x+i=o有實數根，貝必的取值范圍是（）

A,左2；且左w±lB,左且左Hl

,1,1

C.k>-D.k>-

44

答案：D

答案解析：①當（左-1）2=。時左=1,此時方程為3x+l=o,有實數根；

②當（01）小。時左歸，此時方程為為一元二次方程，

...方程有實數根

「.A=（2后+1尸一4（后-I）?大。，解得：k>^

綜上所述左,故選：D

3.某種音樂播放器原來每只售價400元,經過連續(xù)兩次降價后，現在每只售價為256元,

設平均每次降價的百分比為x,則可列方程為()

A.400(1-%)=256B.400(1-%)2=256

C.256(1-%)=400D.256(1-x)2=400

答案：B

答案解析：第一次降價后的售價為4000-x)元，第二次降價后的售價為400。-A?元，

因此可列方程為：400(1-X)2=256,

故選B.

4.關于二次函數y=^c2+l的圖象，下列說法中，正確的是().

A.對稱軸為直線x=l

B.頂點坐標為

C.可以由二次函數>=與的圖象向左平移1個單位得到

D.在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降

答案：D

答案解析：A.二次函數y=^+l的對稱軸為直線x=0,故A選項不符合題意；

B.二次函數y=^2x+l的頂點坐標(R),故B選項不符合題意；

C.二次函數y=^+l的圖像可以由二次函數>=去的圖像向上平移1個單位得到，

故C選項不符合題意；

D.二次函數》=去+1的圖像開口向下，在對稱軸左側，圖像上升，在對稱軸右側，圖像下

2

降，故D選項符合題意。故答案為：D.

5.如圖所示是一個中心對稱圖形，點A為對稱中心.若NC=90。，4=30。，BC=1,貝

的長為（）

A.4B.—

3

c26n473

C?-------D.-------

33

答案：D

答案解析：根據中心對稱圖形的特點可知：AB'=AB,

-：ZC=90°,ZB=30°,

.,.在RtZkMC中，AC^^AB,

■.■在RtZXZSC中，AB2=AC2+BC2,BC=1,

.."2=0■回+/,

解得：AB=（負值舍去），

n

,AB'=AB=—y/3

一3

-BB'=AB'+AB=-y[3

-3

故選：D.

3

6.2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關注，在半決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛

向球門，此時，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經過的時間t之間的關系式為

h=-t2+bt.已知足球被踢出9s時落地，那么足球到達距離地面最大高度時的時間t為（）

A.3sB,3.5s

C.4sD,4.5s

答案：D

答案解析：根據題意得：當/=9時，h=0,

：.0=-92+9b,

解得：b=9,

二該函數解析式為〃=-產+9/，

力=—/+%=—（7—4.5『+20.25,

二足球到達距離地面最大高度時的時間t為4.5s.

故選：D

7.如圖，eO的半徑為5,M是圓外一點，71/0=6,/0/3=30。,〃5交eO于點48,則弦

AB的長為（）

A.4B.6

C.673D.8

4

答案：D

答案解析：過。作。于。，連接。4,則/。。/=90。,

■：M0=6,Z.OMA=30°,

:.OC=-MO=3

2，

在RtV。。中，由勾股定理得：AC=^OA2-OC2=V52-32=4,

■：OCLAB,

:.BC=AC,

即45=2/C=2x4=8,故選：D.

8.如圖，。是弧血所在圓的圓心.已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不

正確的是（）

A,才C=2^DB.AC=2CD

C.N4OC=2NCODD.S扇物0c=2S扇肱.

5

答案：B

答案解析：連接AB、BC,OB,

?.?點B、C將弧AD三等分，

^B=BC=6D,

：.M=2PD,故A選項正確；

M=Bc=eD,

AB=BC=CD,

-.-AB+BC>AC,

.■.AC<2CD,故B選項錯誤；

才C=2?D,

^AOC=2NC0D,故C選項正確；

NB=BC=PD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD,

扇物。

二SB=S扇形B0c=S扇版70c,

---S扇畛0c=2s哪COD,故D選項正確;

故選：B.

6

9.一面墻上有一個矩形門洞，其中寬為L5米，高為2米，現要將其改造成圓弧型門洞（如

圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是（）

A.2.25米B.2.2米

C.2.15米D.21米

答案：A

答案解析：如圖所示，連接矩形門洞的對角線交于點。，過點。作于點D,

EDB

二點。為線段45的中點，N4C8=90。,

力5為圓。的直徑，

■.■寬為L5米,高為2米,

^5=V1.52+22=2.5（米），

???圓的半徑=；/8=1?25（米），

ODLBE,

???點D為8E的中點,

7

又?.?點。為線段力5的中點，

0D是YBCE的中位線，

.??8=9。=1（米），

則改造后門洞的最大高度=1-25+1=2.25（米）；

故選：A.

10.已知拋物線、=?2+為+°（。，0）與x軸交于點A（-1,0）,對稱軸為直線x=l,與y軸的

交點B在（0,2）和（0,3）之間（包含這兩個點）運動，有如下四個結論：

①拋物線與x軸的另一個交點是（3,0）;

②點C（石，M）,在拋物線上，且滿足毛<乙<1,則為〉為；

③常數項c的取值范圍是2<c<3；

2

④系數Q的取值范圍是-IV。V一§?

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②③B.②③④

C.①③D.①③④

答案：D

答案解析拋物線對稱軸為x=1,且與x軸交點為（-1,0）,故與x軸的另一個交點為（3,0）,

故①正確；

拋物線與y軸的交點為（0,c）,且與崢由交點B在（。,2）和（0,3）之間（包含這兩個點）運動，

故C的取值范圍是2WcW3,故③正確；

拋物線對稱軸為X=1,得b=-2。，由x=-1時，可得。-b+c=0,貝［|c=-3。，又由③已知

8

cc，2

2<C<3,故有2W-3QW3,故故④正確；

由④得結論可知，拋物線開口向下，且對稱軸為X=l,得到當X<1時，y隨X增大而增大，

故當為<乙<1,有y[<y2,故②錯誤；

綜上正確的有①③④，

故選D.

二、填空題

每題4分，共8題。

11.已知點月（。-"，-2）與點。（-6,2。+9關于原點對稱，則a+b=.

答案：0

a-2b=-（-6）[a-2

答案解析：由題意，,2Q+Z?=_（-2"解得）=一2；

/.〃+6=0.

故答案為：0.

12.已知點四孫力）在拋物線3上，且0"<z,貝1J%%.（填

“<”或“>”或“=”）

答案：<

答案解析：歹=￡一3的對稱軸為y軸，

-：a=l>Q,

,開口向上，當、>0時，y隨x的增大而增大,

9

■J0<Xj<x2

故答案為：＜.

13.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調查發(fā)現：1人感染病毒后如果不隔離，那么經過兩輪

傳染將會有225人感染，若設1人平均感染工人，貝上的值為.

答案：14

答案解析：由題意得：（x+iy=225,

解得：％=14,毛=—16（不合題意舍去），

故答案為140

14.如圖，BD=OD,25=38。，則的度數為.

答案：28度

答案解析：???8。=。。，45=38。

ZDOB=ZB=38°

：,ZADO=2ZB=76

由題意可得：OA=OD

：,ZADO=/DAO=76。

：.ZAOD=1SO0-2ZADO=28°,故答案為：28。

10

15.如圖，V4SC內接于e0,48是e0的直徑，點。是e0上一點，/CDB=55。，則

ZABC=________°.

D

答案：35

答案解析：Q/4/CD3是所對的圓周角，

NA=ZCDB=55°,

??.班是e°的直徑，

\-ZACB=90°,

在RtZXZCB中，ZABC=90°-ZA=90°-55°=35°,

故答案為：35.

91

16,二次函數歹=。(％—〃)的圖象如圖所示，已知，。/=℃,則該二次函數的解析式為

w半11

1

答案：y=-(x-2)7

11

答案解析：由題意，得。僅，°）,

OA=OC,

：.4（0,力），

1

將點A坐標代入拋物線解析式，得力=］X（0—功2,

解得：〃=2或0（不合題意，舍去），

，該拋物線的解析式為y=5（*-2）~,

故答案為：y=；（x-2）2.

17.如圖，某拱橋橋洞的形狀是拋物線，若取水平方向為X軸，拱橋的拱點。為原點建立直

角坐標系，它可以近似地用函數了=-；/表示（單位：rn）.已知目前橋下水面寬4m,若水

O

位下降1.5m,則水面寬為m.

答案：8

答案解析：目前橋下水面寬4m,

1I.1

即x=2時，了=_［廠2=_鼻乂2-=_不

ooZ

當水位下降］.5m,即y=_；—L5=_2

12

x=±4

此時水面的寬為8m

故答案為：8.

18.喜歡數學的小西同學在學習旋轉的時候想到了一個新的定義對于線段MV,先將線段必

繞點M逆時針旋轉75。，再繞點N順時針旋轉75。，旋轉后的兩條線段交于點P,我們稱點P

為線段MV的“雙旋點”，如圖，已知直線＞=x+2與x軸和y軸分別相交于點A,點B,則線

段45的“雙旋點”P的坐標為.

13-A/^,3+A/5")

答案解析：；直線了=x+2與x軸和y軸分別相交于點A,點B,

二/(—2,0),8(0,2),

OA=OB=2,NOAB=NOBA=45°,AB=^OA1+OB2=2/,

根據題意，得/P/8=NPA4=75。，

NAPB=30°,ZPAO=120°,

過點P作尸G，4。于點G,

ZPAG=60°,ZGPA=30°,

過點B作3QP/0交。/于點Q,

?./PNG=408=60°

13

ZPBQ=ZAQB-ZAPB=30°=ZAPB

QP-QB,

過點A作,0,8。于點D,

二四邊形是正方形，

_-,AD=DB=B0=0A=2,/。20=30°,

,-.AQ=2QD,

222

AQ-QD=AD=4t二（2QD）2-R=4,

解得0￡>=W，/0=#

QP=QB=2+牛

.c,c2百4百ccA

..PA—2H-----------1---------=2+2、/3,

33

-GA=-PA=\+y[i

2'

PG=dPd-AG2=3+V3,

二G。=/G+0/=3+V1,

二點P（-3_63+6）,故答案為：卜3-百,3+S'）.

14

三、解答題

19.解方程：

(1)2(x-2)2=18；

(2)2x2-x-6=0.

3

答案：(1)巧=5和Z=-1(2)匹=-萬和電=2

【小問1詳解】

由原方程，得

(x-2)2=9,

開方，得x-2=±3,

解得%=5,七=T；

【小問2詳解】

由原方程，得

(2%+3)(%-2)=0；

解得看=一5，9=2.

20.已知關于x的一元二次方程廿+(機+3)x+〃,+i=。.

(1)求證：無論加取何值，原方程總有兩個不相等的實數根;

(2)若%，不是原方程的兩根，且卜一引=2石，求加的值.

答案：(1)證明過程見詳解

(2)冽的值3或-5

15

【小問1詳解】

解：原方程總有兩個不相等的實數根，/+(加+3)x+加+1=。中a=1,b=m+3,c=m+l,

j.A=b2-4ac=(m+3)2-4xlx(m+1)=m2+2m+5,

A=(/M+1)2+4>0,

,無論冽取何值，原方程的判別式恒大于零，

二無論加取何值，原方程總有兩個不相等的實數根.

【小問2詳解】

解：廠+(加+3)》+機+1=。中a=l,b=m+3,c=m+11且即電是原方程的兩根，

I%1-x2|=2V5,

b,c,

x+x=---=+3)$?I2=.=加+]

{2-a5a

：.(X]+%2)2=jq2+有毛+X{=(m+3)2,則xj+x,2=(m+3)2-2(m+l),

■.■|X1-X2|=2V5,即(x「馬)2=僅石『，

(zn+3)2-2(m+1)-2(?/+1)=20,

整理得,m2+2m-15=0,

解方程得，叫=3,機2=-5,

???加的值3或-5.

21.如圖，若將線段力5繞點。旋轉180。，得到點A的對應點H,點B的對應點為9.

16

A

?O

B

（1）畫出旋轉后的圖形，并連接/9，BA1-

（2）四邊形"助力的形狀一定為.（填寫序號即可）

①矩形；②菱形；③平行四邊形；④不能確定形狀的任意四邊形

答案：（1）見解析（2）③

【小問1詳解】

【小問2詳解】

解：結論：四邊形/助力是平行四邊形.

理由：-/0A=0A',0B=0B，,

二四邊形是平行四邊形.

故答案為：③.

22.如圖，eO的半徑為1,點A,B,C是e°上的三個點，點P在劣弧力5上,

ZAPB=120°,PC平分/APB.求證：

17

c

（1）V48C是等邊三角形；

（2）PA+PB=PC.

答案：（1）見解析（2）見解析

【小問1詳解】

證明：?.?/4PS=120。，PC平分NAPB,

ZAPC=ZCPB=60°,

ZCBA=ZCPA,ZCAB=ZCPB,

ZCAB=ZCBA=60°,

ZACB=60°,

」.V48c是等邊三角形；

【小問2詳解】

證明：在尸C上截取

ZCPA=60°,

..?△加為等邊三角形，

:.AD=AP,ZDAP=60°,

由（1）知V48C為等邊三角形，

AC=AB,ZCAB=60°=/DAP,

18

ACAD=ZBAP,

：,MCAD^JPAB,

.-,CD=PB

：,PC=CD+PD=PB+PA

23.網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，某果園在網絡平臺上直播銷售荔枝.已知該荔枝

的成本為6元/kg,銷售價格不高于18元/kg,且每售賣1kg需向網絡平臺支付2元的相關

費用，經過一段時間的直播銷售發(fā)現，每日銷售量y(kg)與銷售價格x(元/kg)之間滿足

如圖所示的一次函數關系.

ly/kg

O814%/(元/kg)

(1)求7與X的函數解析式.

(2)當每千克荔枝的銷售價格定為多少元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為多少元?

答案：(1)y=-100x+3000

(2)當銷售單價定為18元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為12000元

【小問1詳解】

19

解：設，與X的函數解析式為廣.+b,

...改函數圖象經過點(&2200)和點(14,1600)

'8-+6=2200

,'1'14k+b=1600

%=—100

解得：］b=3000

.丁與X的函數解析式為y=70°x+3000；

【小問2詳解】

解：設銷售銷這種荔枝日獲利攻元，

根據題意，得，w=(x-6-2)(-100x+3000)

=-100x2+3800%-24000

=-100(x-19)2+12100

??-?=-100<0,對稱軸為直線x=19,

二在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，

,?.銷售價格不高于18元/kg,

.?.當x=18時，攻有最大值為12000元，

??當銷售單價定為18時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為12000元.

24.如圖，正方形。燈心繞著邊長為Q的正方形/8C。的對角線的交點。旋轉，邊?！辍G

分別交邊于點M、N.

20

(1)求證：OM=ON-

(2)問四邊形Q3N的面積是否隨著Q的變化而變化？若不變，請用Q的代數式表示出來,

若變化，請說明理由；

(3)試探究尸4PN、三條線段之間有怎樣的數量關系，并寫出推理過程.

答案：(1)證明見解析

12

(2)不變，S四邊形加

(3)PN2=BN2+PA2

【小問1詳解】

證明：連接4C、BD,

在正方形/8C。中,

21

NOAM=20AN=AOBN=45。,。/=OB,

ZAOM+ZAON=NEOG=90°,NBON+ZAON=NAOB=90°,

ZAOM=/BON,

在VZQI/和均加中，

NO4M=ZOBN

<OA=OB

ZAOM=NBON

：,MAOM^JBON(ASA),

OM=ON-

【小問2詳解】

不變，S四邊形OM4N=1〃J

MAOM^JBON,

.Q-Q

..AOM—^\JBON,

S四邊形OM4N=，VOMA+S'OAN=^\JOBN+^MOAN=^MOAB=正方形神⑺=

【小問3詳解】

PN2=BN2+PA2,

22

證明如下：如圖,

!

由（1）可知V40M義VBON,

AM=BN,OM=ON,

?.?四邊形OEFG是正方形，

ZMOP=ZNOP=45°,

在RtVAfOP和RtMNOP中，

0M=ON

<ZMOP=ZNOPJ

OP=OP

.-.\/MOP^/NOP（SAS）,

:.PM=PN,

在V^MAMP中，由勾股定理得PM2=MA2+PA2,

：.PN2=BN2+PA2.

25.如圖，拋物線y=a/+"+c與x軸交于/（一2,0）、8（6,0）兩點，與崢由交于點C.直線/與

拋物線交于A、。兩點，與》軸交于點￡，點。的坐標為（4,3）.

（1）求拋物線的解析式與直線/的解析式；

（2）若點。是拋物線上的點且在直線/上方，連接。/、PD,求當AR4。面積最大時點P

23

的坐標及該面積的最大值;

(3)若點。是7軸上的點，且//°。=45。，求點。的坐標.

答案：

1,1

(1)拋物線的解析式為了=-^“一+'+3,直線/的解析式為了=5%+1；

2715

(2)AE4Z)的面積的最大值為了，點P的坐標是P(l,])

13

(3)。的坐標為(0，§)或(0,-9).

答案解析：⑴拋物線y="/+"+，與X軸交于4-2