2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用5.1方程解的存在性及方程的近似解5.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性一課一練含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第五章函數(shù)應(yīng)用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性學(xué)問(wèn)點(diǎn)1函數(shù)的零點(diǎn)1.☉%310#2@￥*%☉下列圖像表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是()。圖5-1-1-1答案：A解析：視察圖像可知,A選項(xiàng)中圖像表示的函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)。故選A。2.☉%7#1@￥67#%☉函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)為()。A.32,0C.32 D.答案：C解析：由f(x)=0,得2x-3=0,解得x=32,所以函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)為32。故選3.☉%31@9@#1#%☉(2024·玉溪一中期中)下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是()。A.y=x-1x B.y=C.y=x+1(x≤0答案：D解析：令y=0,得選項(xiàng)A和C中函數(shù)的零點(diǎn)均為1和-1;B中函數(shù)的零點(diǎn)為-12和1;只有D中函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。故選D4.☉%9#*1#18*%☉(2024·遼寧省試驗(yàn)中學(xué)期中)若y=f(x)是奇函數(shù)且x0(x0≠0)是y=f(x)+ex的一個(gè)零點(diǎn),則-x0肯定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)?()。A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(-x)e-x+1C.y=f(x)ex-1 D.y=f(x)ex+1答案：C解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x0)=-f(x0),而x0是y=f(x)+ex的一個(gè)零點(diǎn),所以f(x0)+ex0=0。對(duì)于選項(xiàng)A,f(x0)e-x0-1=-1-1=-2≠0,解除A;對(duì)于選項(xiàng)B,f(x0)ex0+1=-e2x0+1≠0,解除B;對(duì)于選項(xiàng)C,f(-x0)e-x0-1=-f(x0)·e-x0-1=1-1=0,C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,f(-x0)5.☉%9#*262￥#%☉(2024·武漢二中期中)已知三個(gè)函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,則()。A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<a<b答案：B解析：由于f(-1)=12-1=-12<0,f(0)=1>0,故f(x)=2x+x的零點(diǎn)a∈(-1,0)。由于g(2)=0,故g(x)的零點(diǎn)b=2。由于h12=-1+12=-12<0,h(1)=1>0,故h(x)的零點(diǎn)c∈12,1,因此6.☉%￥58#38@*%☉(2024·濟(jì)寧一中高一檢測(cè))若f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是。

答案：-1和0解析：因?yàn)閒(x)=ax-b的零點(diǎn)是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1)。所以方程g(x)=0的兩個(gè)根為-1和0,即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為-1和0。學(xué)問(wèn)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)存在定理7.☉%*68￥2￥7*%☉(2024·大同高一月考)若函數(shù)f(x)的圖像在R上連綿不斷,且滿(mǎn)意f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,則下列說(shuō)法正確的是()。A.f(x)在區(qū)間(0,1)上肯定有零點(diǎn),在區(qū)間(1,2)上肯定沒(méi)有零點(diǎn)B.f(x)在區(qū)間(0,1)上肯定沒(méi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,2)上肯定有零點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間(0,1)上肯定有零點(diǎn),在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn),在區(qū)間(1,2)上肯定有零點(diǎn)答案：C解析：依據(jù)零點(diǎn)存在定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上肯定有零點(diǎn),在區(qū)間(1,2)上無(wú)法確定,可能有,也可能沒(méi)有,如圖。故選C。8.☉%2511*#@@%☉(2024·臺(tái)州一中高一月考)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()。A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)答案：C解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像是一條連綿不斷的曲線,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0。故函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1)。故選C。9.☉%￥@53#*85%☉函數(shù)f(x)=12x-x+2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案：D解析：函數(shù)f(x)的圖像是一條連綿不斷的曲線,f(2)·f(3)=122×123-3+2=14×18-1<0,依據(jù)零點(diǎn)存在定理知,f(x10.☉%￥8#*1#49%☉(2024·衡水中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,+∞)答案：C解析：函數(shù)f(x)=6x-log2x在其定義域上連續(xù),f(4)=32-2<0,f(2)=3-1>0,故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,4)上。故選11.☉%6###45*9%☉(2024·淮安七校期中聯(lián)考)函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)在區(qū)間(k,k+1)內(nèi),則整數(shù)k的值為。

答案：112.☉%@8@*15￥4%☉(2024·杭州二中月考)若f(x)=x+b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則b的取值范圍為。

答案：(-1,0)13.☉%17￥4#8￥@%☉(2024·南京調(diào)考)證明:函數(shù)f(x)=2x-5答案：證明:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x-5x2+1的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x又f(2)=2×2-522+1=-15<0,f(3)=2×3-532+1=1學(xué)問(wèn)點(diǎn)3零點(diǎn)個(gè)數(shù)的推斷14.☉%#764*4**%☉(2024·荊州中學(xué)期中)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,ac<0,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()。A.1 B.2C.0 D.無(wú)法確定答案：B解析：因?yàn)棣?b2-4ac>0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即二次函數(shù)y=ax2+bx+c有2個(gè)零點(diǎn)。故選B。15.☉%229#￥￥3￥%☉(2024·雙流中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)的圖像是不間斷的,且有如表所示的x,f(x)對(duì)應(yīng)值表:x-2-1.5-1-0.500.511.52f(x)-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為。答案：3解析：由f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)。16.☉%#455￥@5￥%☉(2024·天津耀華中學(xué)高一檢測(cè))(易錯(cuò)題)函數(shù)f(x)=2xlog0.5x答案：2解析：函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn),即2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=12x的解,作出函數(shù)g(x)=|log0.5x|和函數(shù)h(x)=12x的圖像,如圖,由圖可知,兩函數(shù)圖像共有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f(x17.☉%*9@@7@99%☉(2024·閩侯第八中學(xué)高一月考)函數(shù)f(x)=ex+4x-3零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是。

答案：1解析：因?yàn)閒(x)是R上的連綿不斷的函數(shù),且f(0)=e0-3<0,f(1)=e1+4-3>0,所以f(x)在(0,1)上有零點(diǎn)。又f(x)是R上的增函數(shù),所以f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)。18.☉%88￥@4#@9%☉(2024·重慶綦江高一期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x-1(x≤2),3x-1(x>2A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|2x-1|(x≤2),3x-1(x>2),所以作出函數(shù)f(x)的圖像如圖。方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn)。依據(jù)圖像可知,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像與y=a題型函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用19.☉%@￥@843*1%☉(2024·新余一中高一月考)設(shè)f(x)=x-1(x+1)-x,若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(A.1<k<54 B.-1<k<C.0<k<1 D.-1<k<1答案：B解析：因?yàn)閒(x)=|x-1|(x+1)-x=-x2-x+1(x≤1),x2-x-1(x>1),故函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,由圖可知:當(dāng)-1<k<54時(shí),函數(shù)f(x)的圖像與直線y=k20.☉%4583￥￥￥@%☉(2024·成都雙流中學(xué)高一期中)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)λ的值是()。A.12 B.C.-78 D.-答案：C解析：因?yàn)閒(2x2+1)+f(λ-x)=0,所以由f(x)為奇函數(shù)得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),所以由題可知2x2+1=x-λ,整理得2x2-x+1+λ=0。因?yàn)榉匠讨挥幸粋€(gè)解,所以b2-4ac=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78。故選C21.☉%4#4*##58%☉(2024·山西高校附屬中學(xué)高一期中)若函數(shù)f(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn),則a=。

答案：10或-14解析：當(dāng)a=0時(shí),f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=1+4a=0,得a=-14。故a的值為0或-122.☉%@4￥@2#79%☉(2024·邢臺(tái)二中高一月考)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

答案：(1,+∞)解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,設(shè)y1=ax,y2=x+a,由題意可知,兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),分兩種狀況:①當(dāng)0<a<1時(shí),如圖①,不合題意;②當(dāng)a>1時(shí),如圖②,符合題意。綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞)。23.☉%￥#5*￥890%☉(2024·上海交大附中月考)對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”:a*b=a(a-b≤1),b(a-b>1)。設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)*(x-1),x∈答案：(-2,-1]∪(1,2]解析：由題意知f(x)=x2-2(-1≤x≤2),x-1(x<24.☉%4@69￥**9%☉(2024·成都模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=3x,且f(a+2)=18,函數(shù)g(x)=3ax-4x(x∈R)。(1)求g(x)的解析式;答案：解:因?yàn)閒(x)=3x,且f(a+2)=18,所以3a+2=18,所以3a=2。因?yàn)間(x)=3ax-4x,所以g(x)=2x-4x。(2)若方程g(x)-b=0在x∈[-2,2]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍。答案：方法一:方程為2x-4x-b=0,令t=2x,x∈[-2,2],則14≤t≤4,且方程t-t2-b=0在1設(shè)y=t-t2=-t-122+14,y=畫(huà)出y=t-t2,t∈14,4的圖像(由圖知當(dāng)b∈316,1方法二:方程為2x-4x-b=0,令t=2x,x∈[-2,2],則14≤t≤4,所以方程t-t2-b=0在1設(shè)f(t)=-t2+t-b,t∈14所以Δ=1-4b>25.☉%33￥5@￥2#%☉(2024·運(yùn)城調(diào)考)已知函數(shù)f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈18,4(1)設(shè)函數(shù)f(x)存在大于1的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;答案：解:令log2x=t,x∈18,4,則g(t)=t2+4t+m(t由于函數(shù)f(x)存在大于1的零點(diǎn),所以方程t2+4t+m=0