高考文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課件第四章三角函數(shù)解三角形第六節(jié)簡單的三角恒等變換

第六節(jié)簡單的三角恒等變換總綱目錄教材研讀1.公式的常見變形考點(diǎn)突破2.輔助角公式考點(diǎn)二三角函數(shù)的給值求值（角）問題考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡、求值考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用

1.公式的常見變形(1)1+cosα=①2cos2

;1-cosα=②2sin2

.(2)1+sinα=

;教材研讀1-sinα=

.(3)tan

=

=

.2.輔助角公式asinx+bcosx=

sin(x+φ)(φ為輔助角),其中sinφ=③

,cosφ=④

.

1.已知cosα=

,α∈(π,2π),則cos

等于

()A.

B.-

C.

D.-

答案

B由cosα=

,得2cos2

-1=

,即cos2

=

.又∵α∈(π,2π),∴

∈

,∴cos

<0,故cos

=-

.B2.

的值為

()A.1

B.-1

C.

D.-

答案

D原式=

=

=-

.D3.

sin15°+cos15°=

.答案

解析

sin15°+cos15°=2

=2(sin15°cos30°+cos15°sin30°)=2sin(15°+30°)=

.4.化簡sin2

+sin2

-sin2α的結(jié)果是

.答案

解析解法一:原式=

+

-sin2α=1-

-sin2α=1-cos2α·cos

-sin2α=1-

-

=

.解法二:令α=0,則原式=

+

=

.5.已知2π<θ<4π,且sinθ=-

,cosθ<0,則tan

的值等于

.答案-3解析∵2π<θ<4π,又sinθ=-

,cosθ<0,∴3π<θ<

π,∴cosθ=-

,∴tan

=

=

=

=

=-3.-3考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡、求值典例1(1)4cos50°-tan40°=

()A.

B.

C.

D.2

-1(2)化簡:

(0<θ<π)=

.考點(diǎn)突破答案(1)C(2)-cosθ解析(1)4cos50°-tan40°=4sin40°-

=

=

=

=

=

=

,故選C.(2)原式=

=

=

.因?yàn)?<θ<π,所以0<

<

,所以cos

>0,所以原式=-cosθ.1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則

方法技巧2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根

號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.1-1化簡:(1)sin50°(1+

tan10°);(2)

.解析(1)sin50°(1+

tan10°)=sin50°(1+tan60°tan10°)=sin50°·

=sin50°·

=

=

=

=1.(2)原式=

=

=

=

=

cos2x.考點(diǎn)二三角函數(shù)的給值求值(角)問題命題角度一給值求值典例2(1)已知sin

+sinα=

,則sin

的值是

()A.-

B.

C.

D.-

(2)已知θ是第四象限角,且sin

=

,則tan

=

.答案(1)D(2)-

解析(1)sin

+sinα=

?sin

cosα+cos

·sinα+sinα=

?

sinα+

cosα=

?

sinα+

cosα=

,故sin

=sinαcos

+cosαsin

=-

=-

.(2)解法一:∵sin

=

×(sinθ+cosθ)=

,∴sinθ+cosθ=

①,∴2sinθcosθ=-

.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-

=-

②,由①②得sinθ=-

,cosθ=

,∴tanθ=-

,∴tan

=

=-

.解法二:∵

+

=

,∴sin

=cos

=

,又2kπ-

<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-

<θ+

<2kπ+

,k∈Z,∴cos

=

,∴sin

=

,∴tan

=

=

,∴tan

=-tan

=-

.典例3(1)設(shè)α,β為鈍角,且sinα=

,cosβ=-

,則α+β的值為

()A.

B.

C.

D.

或

(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=

,tanβ=-

,則2α-β的值為

.命題角度二給值求角答案(1)C(2)-

π解析(1)∵α,β為鈍角,sinα=

,cosβ=-

,∴cosα=

,sinβ=

,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

>0.又α,β∈

,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=

.(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]=

=

=

>0,且α∈(0,π),∴0<2α<π.∴0<α<

.又∵tan2α=

=

=

>0,∴0<2α<

,∴tan(2α-β)=

=

=1.∵tanβ=-

<0,β∈(0,π),∴

<β<π,∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-

.1.“給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)

值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系.方法技巧2.“給值求角”實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”,即通過求角的某個三角

函數(shù)值來求角(注意角的范圍),在選取函數(shù)時,遵循以下原則:(1)已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).(2)已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是

,選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦函數(shù);若角的范圍為

,選正弦函數(shù).3.解決上述兩類問題時,常會用到角的變形,如:α=2·

,α=β-(β-α),α=(α+β)-β,α=

[(α+β)+(α-β)],

+α=

-

等.2-1若sin2α=

,sin(β-α)=

,且α∈

,β∈

,則α+β的值是

.答案

解析∵α∈

,∴2α∈

,又sin2α=

,∴2α∈

,∴cos2α=-

且α∈

,又∵sin(β-α)=

,β∈

,∴β-α∈

,∴cos(β-α)=-

,∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=

×

-

×

=

,又α+β∈

,所以α+β=

.典例4

(2015北京朝陽二模)已知函數(shù)f(x)=cosx(2

·sinx+cosx)-sin2x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值及相應(yīng)的x值;(2)若f(x0)=2且x0∈(0,2π),求x0的值.考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用解析

f(x)=cosx(2

sinx+cosx)-sin2x=2

sinxcosx+cos2x-sin2x=2sin

.(1)因?yàn)閤∈

,所以2x+

∈

,所以sin

∈

,所以當(dāng)2x+

=

,即x=π時,f(x)max=1.(2)依題意知2sin

=2,所以sin

=1.又x0∈(0,2π),所以2x0+

∈

,所以2x0+

=

或2x0+

=

,所以x0=

或x0=

.方法指導(dǎo)三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,

通過變換把函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性質(zhì),解題時注意觀

察函數(shù)的角、名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問題.3-1

(2015北京東城二模)已知函數(shù)f(x)=cos

+cos

,g(x)=cos2x.(1)若α∈

,且f(α)=-

,求g(α)的值;(2)若x∈

,求f(x)+g(x)的最大值.解析(1)f(x)=cos

+cos

=

cos2x-

sin2x-

cos2x-

sin2x=-

sin2x.因?yàn)閒(α)