高考數(shù)學(xué) 探究型、探索型及開放型問題選講經(jīng)典精講課后練習(xí)一 理

探究型、探索型及開放型問題選講經(jīng)典精講課后練習(xí)（一）從1，2，…，這個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.5]=4，[2.1]=2，若y=x[x]，下列命題：①當(dāng)x=0.5時(shí)，y=0.5；②y的取值范圍是：0≤y≤1；③對于所有的自變量x，函數(shù)值y隨著x增大而一直增大．其中正確命題有______①（只填寫正確命題的序號）．已知數(shù)列{an}：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3時(shí)具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai與ajai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列0，1，3具有性質(zhì)P；②數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P；③數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，則a1=0；④若數(shù)列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性質(zhì)P，則a1+a3=2a2．其中真命題的序號為②③④．（所有正確命題的序號都寫上）若數(shù)列An：a1，a2，…，an（n≥2）滿足|ak+1ak|=1（k=1，2，…，n1），則稱An為E數(shù)列，記S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）寫出一個(gè)E數(shù)列A5滿足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=13，n=，求證：若An是遞增數(shù)列，則an=；反之亦成立；（Ⅲ）在a1=4的E數(shù)列An中，求使得S（An）=0成立得n的最小值．

探究型、探索型及開放型問題選講經(jīng)典精講課后練習(xí)參考答案61．詳解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）滿足題設(shè)條件，另一方面，設(shè)a1＜a2＜an是從1，2，…，中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)ai，aj，ak，am，因?yàn)?3|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），所以33|（ajai），

∴所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù)，設(shè)ai=a1+33di，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即，故dn≤60，所以n≤61，綜上所述，n的最大值為61．①．詳解：①根據(jù)題意可得[x]=1，所以y=x[x]=0.5（1）=0.5，所以此命題正確；②中y的取值范圍是：0≤y＜1，錯(cuò)誤；③當(dāng)x取一正一負(fù)時(shí)，函數(shù)值y有可能隨著x增大而一直增大，錯(cuò)誤．正確命題只有①．②③④．詳解：∵對任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與ajai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的項(xiàng)，①數(shù)列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3a2=31=2都不是該數(shù)列中的數(shù)，故①不正確；②數(shù)列0，2，4，6，aj+ai與ajai（1≤i≤j≤3）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項(xiàng)，并且a4a3=2是該數(shù)列中的項(xiàng)，故②正確；③若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，則an+an=2an與anan=0兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴0是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴a1=0；故③正確；④∵數(shù)列a1，a2，a3具有性質(zhì)P，0≤a1＜a2＜a3，∴a1+a3與a3a1至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且a1=0，1°若a1+a3是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是該數(shù)列的項(xiàng)∴a3a2=a2，∴a1+a3=2a2．2°若a3a1是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a3a1=a1或a2或a3，①若a3a1=a3同1°，②若a3a1=a2，則a3=a2，與a2＜a3矛盾，③a3a1=a1，則a3=2a1，綜上a1+a3=2a2．故④正確．故答案為：②③④．（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）見詳解；（Ⅲ）9．詳解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列A5（答案不唯一，0，1，0，1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，0都滿足條件的E數(shù)列A5）（Ⅱ）∵E數(shù)列An是遞增數(shù)列，∴ak+1ak=1（k=1，2，…，1999），∵a1=13，n=，∴An是首項(xiàng)為13，公差為1的等差數(shù)列，∴a=13+（1）×1=．反之：由于aa1999≤1，a1999a1998≤1，…a2a1≤1，所以aa1≤1999，即a≤a1+1999，又因?yàn)閍1=13，a=，所以a≤a1+1999．故ak+1ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即An是遞增數(shù)列．綜上所述，若An是遞增數(shù)列，則an=；反之亦成立．（Ⅲ）對首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，由于a2≥a11=3，

a3≥a21≥2，

…，a8≥a71≥3

…，所以a1+a2