高三數(shù)學(xué)步步高（理）第十三編 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)

第十三編算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)§13.1算法與流程圖基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.以下對算法的描述正確的有 （）①對一類問題都有效；②算法可執(zhí)行的步驟必須是有限的；③計(jì)算可以一步步地進(jìn)行，每一步都有確切的含義；④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案D2.任何一個(gè)算法都必須有的基本結(jié)構(gòu)是 ()A.順序結(jié)構(gòu) B.條件結(jié)構(gòu)C.循環(huán)結(jié)構(gòu) D.三個(gè)都有答案A3.下列問題的算法適宜用條件結(jié)構(gòu)表示的是 （）A.求點(diǎn)P（-1，3）到直線l:3x-2y+1=0的距離B.由直角三角形的兩條直角邊求斜邊C.解不等式ax+b＞0(a≠0)D.計(jì)算100個(gè)數(shù)的平均數(shù)答案C4.下列關(guān)于選擇結(jié)構(gòu)的說法中正確的是 （）A.選擇結(jié)構(gòu)的流程圖有一個(gè)入口和兩個(gè)出口B.無論選擇結(jié)構(gòu)中的條件是否滿足，都只能執(zhí)行兩條路徑之一C.選擇結(jié)構(gòu)中的兩條路徑可同時(shí)執(zhí)行D.對于一個(gè)算法來說，判斷框中的條件是唯一的答案B5.（·廣東理，9）閱讀下面的流程圖，若輸入m=4，n=3，則輸出a=，i=.（注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”）答案123例1已知點(diǎn)P（x0，y0）和直線l:Ax+By+C=0，求點(diǎn)P（x0，y0）到直線l的距離d，寫出其算法并畫出程序框圖.解算法如下：第一步，輸入x0,y0及直線方程的系數(shù)A，B，C.流程圖為：第二步，計(jì)算Z1=Ax0+By0+C.第三步，計(jì)算Z2=A2+B2.第四步，計(jì)算d=.第五步，輸出d.例2“特快專遞”是目前人們經(jīng)常使用的異地郵寄信函或托運(yùn)物品的一種快捷方式，某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：f=其中f(單位：元)為托運(yùn)費(fèi),為托運(yùn)物品的重量（單位：千克）.試設(shè)計(jì)計(jì)算費(fèi)用f的算法，并畫出程序框圖.解算法如下：S1輸入;S2如果≤50,那么f=0.53;否則f=50×0.53+(-50)×0.85;S3輸出f.程序框圖為：例3（12分）畫出計(jì)算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程圖.解流程圖如下圖. 12分1.寫出求解一個(gè)任意二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值的算法.解算法設(shè)計(jì)如下：第一步，計(jì)算m=;第二步，若a＞0,輸出最小值m;第三步，若a＜0，輸出最大值m.2.到銀行辦理個(gè)人異地匯款（不超過100萬元），銀行收取一定的手續(xù)費(fèi)，匯款額不超過100元，收取1元手續(xù)費(fèi)，超過100元但不超過5000元，按匯款額的1%收取，超過5000元，一律收取50元手續(xù)費(fèi)，試用條件語句描述匯款額為x元時(shí)，銀行收取手續(xù)費(fèi)y元的過程，畫出流程圖.解這是一個(gè)實(shí)際問題，故應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，y=由此看出，求手續(xù)費(fèi)時(shí)，需先判斷x的范圍，故應(yīng)用條件結(jié)構(gòu)描述.流程圖如圖所示：3.利用循環(huán)結(jié)構(gòu)寫出1+2+3+…+100的算法，并畫出各自的流程圖.解流程圖如下：算法如下：S1令i=1,S=0S2若i≤100成立，則執(zhí)行S3；否則，輸出S，結(jié)束算法S3S=S+iS4i=i+1，返回S2一、選擇題1.算法：S1輸入n；S2判斷n是否是2,若n=2,則n滿足條件，若n＞2,則執(zhí)行S3；S3依次從2到n-1檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，滿足上述條件的是 （）A.質(zhì)數(shù) B.奇數(shù) C.偶數(shù) D.約數(shù)答案A2.在算法的邏輯結(jié)構(gòu)中，要求進(jìn)行邏輯判斷，并根據(jù)結(jié)果進(jìn)行不同處理的是哪種結(jié)構(gòu) （）A.順序結(jié)構(gòu) B.選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)C.順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu) D.沒有任何結(jié)構(gòu)答案B3.閱讀下面的流程圖，若輸入的a、b、c分別是21、32、75，則輸出的a、b、c分別是 （）A.75、21、32 B.21、32、75C.32、21、75 D.75、32、21答案A4.如果執(zhí)行下面的流程圖，那么輸出的S等于 （）A.2450 B.2500 C.2550 D.2652答案C5.（·棗莊模擬）右邊的流程圖表示的算法的功能是 （）A.計(jì)算小于100的奇數(shù)的連乘積B.計(jì)算從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積C.從1開始的連續(xù)奇數(shù)的連乘積，當(dāng)乘積大于100時(shí)，計(jì)算奇數(shù)的個(gè)數(shù)D.計(jì)算1×3×5×…×n≥100時(shí)的最小的n值答案D6.如圖所示，流程圖所進(jìn)行的求和運(yùn)算是 （）A.1++…+ B.1++…+C.+…+ D.+…+答案C二、填空題7.（·山東理，13）執(zhí)行下邊的流程圖，若p=0.8，則輸出的n=.答案48.若框圖所給的程序運(yùn)行的結(jié)果為S=90，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是.答案k≤8三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=,寫出該函數(shù)的函數(shù)值的算法并畫出流程圖.解算法如下：第一步，輸入x.第二步，如果x＜0,那么使f(x)=3x-1;否則f(x)=2-5x.第三步，輸出函數(shù)值f(x).流程圖如下：10.寫出求過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率的算法，并畫出流程圖.解由于當(dāng)x1=x2時(shí)，過兩點(diǎn)P1、P2的直線的斜率不存在，只有當(dāng)x1≠x2時(shí)，根據(jù)斜率公式k=求出，故可設(shè)計(jì)如下的算法和流程圖.算法如下：第一步：輸入x1,y1,x2,y2;第二步：如果x1=x2,輸出“斜率不存在”，否則，k=;第三步：輸出k.相應(yīng)的流程圖如圖所示:11.某企業(yè)年的生產(chǎn)總值為200萬元，技術(shù)創(chuàng)新后預(yù)計(jì)以后的每年的生產(chǎn)總值將比上一年增加5%，問最早哪一年的年生產(chǎn)總值將超過300萬元？試寫出解決該問題的一個(gè)算法，并畫出相應(yīng)的流程圖.解算法設(shè)計(jì)如下：第一步，n=0,a=200,r=0.05.第二步，T=ar(計(jì)算年增量).第三步，a=a+T（計(jì)算年產(chǎn)量）.第四步，如果a≤300，那么n=n+1，重復(fù)執(zhí)行第二步.如果a＞300,則執(zhí)行第五步.第五步，N=+n.第六步，輸出N.流程圖如下：方法一方法二§13.2基本算法語句、算法案例基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.給出以下四個(gè)問題：①輸入一個(gè)數(shù)x，輸出它的算術(shù)平方根；②求函數(shù)f（x）=的函數(shù)值；③求周長為6的正方形的面積；④求三個(gè)數(shù)a，b，c中的最小數(shù).其中不需要用條件語句來描述其算法的個(gè)數(shù)是 （）A.1 B.2 C.3 D.4答案A2.If語句的基本作用是 ()A.順序執(zhí)行下一個(gè)程序 B.不執(zhí)行下一個(gè)程序C.若表達(dá)式結(jié)果為真,則執(zhí)行下一個(gè)程序 D.循環(huán)執(zhí)行下一個(gè)程序答案C3.根據(jù)下面程序判斷輸出結(jié)果為 （）ii=0S=0DoS=S+ii=i+1LoopWhileS≤20輸出iA.6 B.7 C.8 D.9答案B輸入x；輸入x；If x≤5ThenP=x*3ElseP=10*7.5+（x-2）*6.5EndIf輸出P則當(dāng)x=5時(shí)，輸出結(jié)果為 （）A.15 B.95.5 C.94.5 D.以上答案均錯(cuò)答案A5.下面程序語句輸出的S值是.ii=1S=0Fori=1To5S=S+ii=i+1Next輸出S答案15例1輸入兩個(gè)實(shí)數(shù)，由小到大輸出這兩個(gè)數(shù)，畫出流程圖，并用語句描述.解流程圖如圖所示.用語句描述如下：輸入a,bIfa＞bThent=aa=bb=tEndIf輸出a，b例2編寫程序,根據(jù)輸入的x的值,計(jì)算y的值,并輸出y的值.y=解算法步驟:(1)輸入x;(2)如果x＞2,則y=x2-1;(3)如果x≤2,則y=x2+1.(4)輸出y.用語句描述如下:輸入輸入x;Ifx>2Theny=x*x-1Elsey=x*x+1EndIf輸出y例3某次考試規(guī)定：共考三門課，凡考試符合下列條件之一的，發(fā)給優(yōu)秀證書.（1）三門成績之和大于280分；（2）其中兩門成績大于95分，另一門大于80分.試用語句來描述這個(gè)算法.解用語句描述如下：輸入學(xué)生的考試成績a,b,cIfa+b+c＞280Then輸出“請發(fā)給優(yōu)秀證書！”ElseIfa＞95ANDb＞95ANDc＞80Then輸出“請發(fā)給優(yōu)秀證書！”ElseIfb＞95ANDc＞95ANDa＞80Then輸出“請發(fā)給優(yōu)秀證書！”ElseIfa＞95ANDc＞95ANDb＞80Then輸出“請發(fā)給優(yōu)秀證書！”Else輸出“不發(fā)給優(yōu)秀證書！”EndIfEndIfEndIfEndIf例4畫出求…+的值的流程圖,并用語句描述.解流程圖為：用語句描述為：SS=0k=1Fork=1To99S=S+1/（k*（k+1））k=k+1Next輸出S例5（12分）設(shè)計(jì)求滿足條件1++…+＞106的最小自然數(shù)的算法.并畫出流程圖，寫出程序.解根據(jù)以上的分析，可得該問題的算法如下：（1）S=0;（2）i=1;（3）S=S+，i=i+1.（4）如果S≤106，則執(zhí)行（3），否則輸出i-1. 4分對應(yīng)的流程圖如圖所示，相應(yīng)的程序用語句描述如下：8分用語句描述為：S=0S=0i=1DoS=S+i=i+1LoopWhileS≤106輸出i-112分1.以下是一個(gè)流程圖，請寫出相應(yīng)的基本語句編寫的程序，流程圖如圖.解用語句描述為：輸入x,y;x=x/2y=3*y輸出x,yx=x-yy=y-1輸出x,y2.已知y=編寫一個(gè)算法語句，對每輸入的一個(gè)x值都得到相應(yīng)的函數(shù)值.解方法一用If—Then—Else語句描述如下：輸入x;Ifx≥0Theny=x2-1Elsey=2x2-5EndIf輸出y方法二用If—Then語句描述如下：輸入x;Ifx≥0Theny=x2-1EndIfIfx＜0Theny=2x2-5EndIf輸出y3.試寫出一個(gè)算法語句，每輸入一個(gè)x值，求y=的函數(shù)值.解用語句描述如下：輸入x;Ifx＜0Theny=-x+1ElseIfx=0Theny=0Elsey=x+1EndIfEndIf輸出y4.小球從100m的高度落下，每次落地后又反跳回原高度的一半，再落下，寫出一個(gè)求第10次落地時(shí)，小球共經(jīng)過多少路程的算法語句，并畫出流程圖.解流程圖如圖所示.用語句描述如下：S=0h=100Fori=1To10S=S+2*hh=h/2NextS=S-100輸出S5.某商場第一年銷售計(jì)算機(jī)5000臺，如果平均每年銷售量比上一年增加10%，試寫出一個(gè)算法語句，求從第一年起，大約幾年后可使總銷售量達(dá)到30000臺，并畫出流程圖.解流程圖如圖所示.用語句描述如下：m=5000S=0i=0DoS=S+mm=m*(1+10%)i=i+1LoopWhileS＜30000輸出i一、選擇題1.下列關(guān)于條件語句的敘述正確的是 （）A.條件語句中必須有Else和EndIfB.條件語句中可以沒有EndIfC.條件語句中可以沒有Else，但必須有EndIf結(jié)束D.條件語句中可以沒有EndIf，但必須有Else答案C2.有下列算法語句，輸出結(jié)果是 （）s=1i=1Doi=i+2s=s*iLoopWhiles≤2005輸出iA.1+3+5+…+2005 B.1×3×5×…×2005C.求方程1×3×5×…×n=2005中n的值 D.求滿足1×3×5×…×n＞2005的最小整數(shù)n答案D3.tt=1i=2Fori=2To5 t=t*ii=i+1Next輸出t以上程序運(yùn)行結(jié)果為 （）A.80 B.120 C.100 D.95答案B4.閱讀下面的算法語句，若最后輸出的y為9，則輸入的x應(yīng)該是 （）輸入xIfx＜0Theny=(x+1)*(x+1)Elsey=(x-1)*(x-1)EndIf輸出yA.-4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2答案C5.S=1S=1i=1Fori=1To10S=3*Si=i+1Next輸出S以上程序用來 ()A.計(jì)算3×10的值 B.計(jì)算39的值C.計(jì)算310的值 D.計(jì)算1×2×3×…×10的值答案C6.下面程序輸出的結(jié)果為 （）ii=1Doi=i+2S=2*i+3LoopWhilei<8輸出SA.17 B.19 C.21 D.23答案C二、填空題7.（·廣州模擬）下面程序表達(dá)的是輸入x;Ifx＞0Theny=1ElseIfx=0Theny=0Elsey=-1EndIfEndIf輸出y求函數(shù)的值.答案y=8.下面是一個(gè)求20個(gè)數(shù)的平均數(shù)的算法語句，在橫線上應(yīng)填充的語句為.S=0i=1Do輸入xS=S+xi=i+1LoopWhilea=S/20輸出a答案i≤20三、解答題9.已知某商店對顧客購買貨款數(shù)滿500元，減價(jià)3%，不足500元不予優(yōu)惠，輸入一顧客購物的貨款數(shù)，計(jì)算出這個(gè)顧客實(shí)交的貨款，畫出流程圖，寫出程序.解設(shè)購買貨款數(shù)為x元，則顧客實(shí)際應(yīng)交的貨款y元為y=即y=輸入x;If輸入x;Ifx≥500Theny=0.97*xElsey=xEndIf輸出y10.輸出1~100（包括1和100）中能被7整除的所有整數(shù).解方法一用語句描述如下：i=1DoIfiMOD7=0Then輸出iEndIfi=i+1LoopWhilei≤100方法二用語句描述如下：Fori=1To100IfiMOD7=0Then輸出iEndIfNext11.已知分段函數(shù)y=編寫程序，輸入自變量x的值，輸出其相應(yīng)的函數(shù)值,并畫出相應(yīng)的流程圖.解方法一由于函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，所以輸入x的值后應(yīng)根據(jù)x的值所在的范圍，選擇相應(yīng)的解析式代入求出其函數(shù)值，故應(yīng)用條件語句;又因?yàn)閷?shí)數(shù)x的值共分為三個(gè)范圍，所以還應(yīng)用到條件語句的嵌套.流程圖如圖所示：用語句描述為:輸入x輸入x；Ifx＜0Theny=-x+1ElseIf x=0Theny=0Elsey=x+1EndIfEndIf輸出y方法二也可以不用條件語句的嵌套，用如下的三個(gè)If—Then語句編寫程序.流程圖如圖所示： 用語句描述為：輸入輸入x;Ifx＜0Theny=-x+1EndIfIfx=0Theny=0EndIfIfx＞0Theny=x+1EndIf輸出y;§13.3合情推理與演繹推理基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是 （）A.白色 B.黑色C.白色可能性大 D.黑色可能性大答案A2.數(shù)列1，2，4，8，16，32，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是 （）A.an=2n-1 B.an=2n-1C.an=2n D.an=2n+1答案B3.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,則a33為 （）A.3 B.-3 C.6 D.-6答案A4.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖? （）A.“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”類推出“=+”C.“(a+b）c=ac+bc”類推出“=+(c≠0)”D.“（ab）n=anbn”類推出“(a+b)n=an+bn”答案C5.一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為.答案一切奇數(shù)都不能被2整除， 大前提2100+1是奇數(shù)， 小前提所以2100+1不能被2整除. 結(jié)論例1在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)猜想正確嗎？請說明理由.解在{an}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,所以猜想{an}的通項(xiàng)公式an=.這個(gè)猜想是正確的.證明如下:因?yàn)閍1=1,an+1=,所以==+,即-=,所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以=1+(n-1)=n+,所以通項(xiàng)公式an=.已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO、BO、CO并延長交對邊于A′,B′,C′,則++=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”.++=++==1，請運(yùn)用類比思想，對于空間中的四面體V—BCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明.證明在四面體V—BCD中，任取一點(diǎn)O，連結(jié)VO、DO、BO、CO并延長分別交四個(gè)面于E、F、G、H點(diǎn).則+++=1.在四面體O—BCD與V—BCD中：===.同理有：=；=；=，∴+++===1.例3（12分）已知函數(shù)f（x）=-（a＞0且a≠1），（1）證明：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；（2）求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）的值.（1）證明函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)（x，y），它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-x，-1-y）. 2分由已知得y=-,則-1-y=-1+=-， 3分f（1-x）=-=-=-=-， 4分∴-1-y=f（1-x）.即函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱. 6分（2）解由（1）有-1-f（x）=f（1-x），即f（x）+f（1-x）=-1.∴f（-2）+f（3）=-1，f（-1）+f（2）=-1，f（0）+f（1）=-1，則f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-3. 12分1.已知f(x)=(x≠-,a＞0),且f(1)=log162,f(-2)=1.（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿足xn=［1-f(1)］［1-f(2)］…［1-f(n)］，試求x1,x2,x3,x4;（3）猜想{xn}的通項(xiàng).解（1）把f(1)=log162=,f(-2)=1,代入函數(shù)表達(dá)式得,整理得，解得,于是f(x)=(x≠-1).（2）x1=1-f(1)=1-=,x2=×=,x3=×=,x4=×=.（3）這里因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的分子、分母作了約分，所以規(guī)律不明顯，若變形為，，，，…，便可猜想xn=.2.如圖1，若射線OM，ON上分別存在點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則=·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類似的結(jié)論是什么？這個(gè)結(jié)論正確嗎？說明理由.解類似的結(jié)論為：=··.這個(gè)結(jié)論是正確的，證明如下：如圖，過R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，連OM2.過R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，則R1M1⊥平面P2OQ2.由=·R1M1=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，同理，=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.所以=.由平面幾何知識可得=.所以=.所以結(jié)論正確.3.已知函數(shù)f（x）=（x∈R），（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明.解（1）對x∈R有-x∈R，并且f（-x）===-=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù).（2）f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1,x2∈R，并且x1＞x2,f(x1)-f(x2)=-==.∵x1＞x2,∴＞＞0,∴-＞0,+1＞0,+1＞0.∴＞0.∴f(x1)＞f(x2).∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù).一、選擇題1.由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，則與之間的大小關(guān)系為 （）A.相等 B.前者大C.后者大 D.不確定答案B2.已知a1=1,an+1＞an，且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0，猜想an的表達(dá)式為 （）A.n B.n2 C.n3 D.答案B3.已知f(x)=x2008+ax2007--8,f(-1)=10,則f(1)等于 （）A.10 B.-10 C.-4 D.-24答案D4.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”；②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xtm=x”類比得到“p≠0,a·p=x·pa=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“=”類比得到“=”.以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 （）A.1 B.2 C.3 D.4答案B5.下列推理是歸納推理的是 （）.A.A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2+y2=r2的面積r2，猜想出橢圓=1的面積S=abD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B6.已知整數(shù)的數(shù)對列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…則第60個(gè)數(shù)對是 （）A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)答案D二、填空題7.在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比=，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中（如圖所示），而DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是.答案=8.（·福州模擬）現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為.答案三、解答題9.把空間平行六面體與平面上的平行四邊形類比，試由“平行四邊形對邊相等”得出平行六面體的相關(guān)性質(zhì).解如圖所示，由平行四邊形的性質(zhì)可知AB=DC，AD=BC，于是類比平行四邊形的性質(zhì),在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，我們猜想：S=S,S=S,S=S,且由平行六面體對面是全等的平行四邊形知，此猜想是正確的.10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的對角線.用三段論證明：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.證明（1）兩平行線與第三直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等（大前提）∠BCA與∠CAD是平行線AD，BC被AC所截內(nèi)錯(cuò)角（小前提）所以，∠BCA=∠CAD（結(jié)論）（2）等腰三角形兩底角相等（大前提）△CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提）所以，∠DCA=∠CAD（結(jié)論）（3）等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等（大前提）∠BCA與∠DCA都等于∠CAD（小前提）所以，∠BCA=∠DCA，即AC平分∠BCD（結(jié)論）（4）同理，BD平分∠CBA.11.如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.（1）求證：CC1⊥MN；（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.證明（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S-2SScos.其中為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角為∠MNP.在△PMN中，∵PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1=PM·CC1，∴S=S+S-2S·S·cos.12.已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.解類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.證明如下：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為（m，n），（x，y），則N（-m，-n）.因?yàn)辄c(diǎn)M（m,n）在已知雙曲線上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.則kPM·kPN=·==·=(定值).§13.4直接證明與間接證明基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的 （）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件答案A2.若a＞b＞0,則下列不等式中總成立的是 （）A.a+＞b+ B.＞C.a+＞b+ D.答案A3.要證明+＜2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 （）A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.歸納法答案B4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是 （）A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù) B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù) D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案B5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的 ()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分又不必要條件答案C例1設(shè)a,b,c＞0,證明：≥a+b+c.證明∵a,b,c＞0，根據(jù)基本不等式，有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.三式相加：+++a+b+c≥2(a+b+c).即++≥a+b+c.例2（12分）已知a＞0,求證：-≥a+-2.證明要證-≥a+-2,只要證+2≥a++. 2分∵a＞0,故只要證≥（a++）2, 6分即a2++4+4≥a2+2++2+2, 8分從而只要證2≥, 10分只要證4≥2（a2+2+）,即a2+≥2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立. 12分例3若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y＞2,求證：＜2與＜2中至少有一個(gè)成立.證明假設(shè)＜2和＜2都不成立，則有≥2和≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此＜2與＜2中至少有一個(gè)成立.素1.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2＞(++).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴上面三個(gè)式子中都不能取“=”，∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴ab+bc+ac＞(++),∴a2+b2+c2＞(++).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式≥.證明要證≥,只需證ab+≥，只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需證4(ab)2+8ab-25ab+4≥0,只需證4(ab)2-17ab+4≥0,即證ab≥4或ab≤,只需證ab≤，而由1=a+b≥2,∴ab≤顯然成立，所以原不等式≥成立.3.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證明方法一假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.又(1-a)a≤=,同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.方法二假設(shè)三式同時(shí)大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,≥＞=,同理＞,＞,三式相加得＞,這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，∴原命題正確.一、選擇題1.（·濟(jì)南模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么＞”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 （）A. B.C.且 D.或答案D2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc,q=logc，則p,q的大小關(guān)系是 （）A.p＞q B.p＜q C.p=q D.p≥q答案B3.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列等式中不恒成立的是 （）A.（a*b）*a=a B.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)*［b*(a*b)］=b答案A4.如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則 （）A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形答案D二、填空題5.（·揭陽模擬）已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命題正確的是（填序號）.答案①6.（·棗莊模擬）對于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=(a+1)(b+1)-1,給出以下結(jié)論：①對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;③對于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.(寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號)答案②③三、解答題7.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=(n=1,2,…),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（1）證明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…),即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）證明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵cn=(n=1,2,…),∴cn+1-cn=-==.將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,…),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1==，故cn=n-(n=1,2,…).（3）解∵cn=n-=(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2(n=1,2,…)當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I2＜4S.證明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c為任意三角形三邊長，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2≥;(2)++≤6.證明（1）方法一a2+b2+c2-=(3a2+3b2+3c2-1)=［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≥0∴a2+b2+c2≥.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥.方法三設(shè)a=+,b=+,c=+.∵a+b+c=1,∴++=0∴a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(++)+2+2+2=+2+2+2≥∴a2+b2+c2≥.(2)∵=≤=,同理≤,≤∴++≤=6∴原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a＞1).（1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+∞)上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1,∴a＞1且a＞0,∴a-a=a(a-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴-==＞0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù).（2）方法一假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則a=-.∵a＞1,∴0＜a＜1,∴0＜-＜1,即＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.方法二假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1,∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.②若x0＜-1,則＞0,a＞0,∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.§13.5數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為 （）A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3答案 C2.如果命題P（n）對n=k成立，則它對n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是()A.P（n）對n∈N+成立B.P(n)對n＞4且n∈N+成立C.P（n）對n＜4且n∈N+成立D.P（n）對n≤4且n∈N+不成立答案D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=，則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 ()A.k2+1 B.(k+1)2C. D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2答案 D4.已知f(n)=+++…+，則 ()A.f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=+B.f(n)中共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=++C.f(n)中共有n2-n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=++答案D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是 （）A. 假設(shè)n=k（kN+），證明n=k+1命題成立B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+1命題成立C.假設(shè)n=2k+1(kN+),證明n=k+1命題成立D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))，證明n=k+2命題成立答案D例1用數(shù)學(xué)歸納法證明:對任意的n∈N+,++…+=.證明（1）當(dāng)n=1時(shí),左邊==,右邊==,左邊=右邊,所以等式成立.（2）假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)等式成立,即有++…+=,則當(dāng)n=k+1時(shí),++…++=+====,所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由（1）（2）可知,對一切n∈N+等式都成立.例2試證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.證明方法一（1）當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=34-8-9=64,命題顯然成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1時(shí)命題也成立.根據(jù)（1）（2）可知，對任意的n∈N+，命題都成立.方法二（1）當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=34-8-9=64，命題顯然成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k+2-8k-9=64m(m為大于1的自然數(shù))，將32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù)（1）（2）可知，對任意的n∈N+,命題都成立.例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+）（1+）…（1+）＞均成立.證明（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+=；右邊=.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí)不等式成立，即（1+）（1+）…（1+）＞.則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+）（1+）…（1+）＞＞·==＞==.∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.例4（12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn=1-.（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn+1的大小，并說明理由.解（1）由已知得,又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9.∴d===2，a1=1. 2分∵Tn=1-bn，∴b1=，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=1-bn-1,∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化簡，得bn=bn-1, 5分∴{bn}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，即bn=·=, ∴an=2n-1，bn=. 6分(2)∵Sn==n2,∴Sn+1=（n+1）2，=. 以下比較與Sn+1的大小：當(dāng)n=1時(shí)，=，S2=4，∴＜S2,當(dāng)n=2時(shí)，=,S3=9,∴＜S3,當(dāng)n=3時(shí)，=,S4=16,∴＜S4,當(dāng)n=4時(shí)，=,S5=25,∴＞S5.猜想：n≥4時(shí)，＞Sn+1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=4時(shí)，已證.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥4)時(shí)，＞Sk+1,即＞(k+1)2. 9分那么n=k+1時(shí)，==3·＞3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1＞［(k+1)+1］2=S(k+1)+1,∴n=k+1時(shí)，＞Sn+1也成立. 11分由①②可知n∈N+,n≥4時(shí)，＞Sn+1都成立. 綜上所述，當(dāng)n=1,2,3時(shí)，＜Sn+1,當(dāng)n≥4時(shí)，＞Sn+1. 12分1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1-+-+…+-=++…+.證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-===右邊，∴等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)，等式成立，即1-+-+…+-=++…+.則當(dāng)n=k+1時(shí),1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++(-)=++…+++,即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立，所以由（1）（2）知等式成立.2.求證：二項(xiàng)式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命題成立.（2）假設(shè)n=k（k≥1,k∈N+）時(shí)，x2k-y2k能被x+y整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),顯然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n命題均成立.3.已知m,n為正整數(shù).用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，(1+x)m≥1+mx.證明（1）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤2≥0,所以左邊≥右邊，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)m=k(k≥1,k∈N+)時(shí)，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,則當(dāng)m=k+1時(shí)，∵x＞-1,∴1+x＞0.于是在不等式(1+x)k≥1+kx兩邊同時(shí)乘以1+x得(1+x)k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式也成立.綜合（1）（2）知，對一切正整數(shù)m,不等式都成立.4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N+）.（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；（2）證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.（1）解∵an=Sn-Sn-1（n≥2）∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）∵a1=1，∴S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.（2）證明①當(dāng)n=1時(shí)，S1=1成立.②假設(shè)n=k（k≥1,k∈N+）時(shí)，等式成立，即Sk=，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，∴ak+1=，∴Sk+1=（k+1）2·ak+1=，∴n=k+1時(shí)等式也成立，得證.∴根據(jù)①、②可知，對于任意n∈N+，等式均成立.又∵ak+1=，∴an=.一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“++…+≥1(n∈N+)”時(shí)，在驗(yàn)證初始值不等式成立時(shí)，左邊的式子應(yīng)是（）A.1 B. C.+ D.以上都不是答案B2.如果命題P（n）對于n=k(k∈N+)時(shí)成立，則它對n=k+2也成立，又若P（n）對于n=2時(shí)成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.P(n)對所有正整數(shù)n成立 B.P（n）對所有正偶數(shù)n成立 C.P（n）對所有正奇數(shù)n成立 D.P（n）對所有大于1的正整數(shù)n成立答案B3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+＜n(n≥2，n∈N+)的過程中，由n=k變到n=k+1時(shí)，左邊增加了（）A.1項(xiàng) B.k項(xiàng) C.2k-1項(xiàng) D.2k項(xiàng)答案D4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2+1對于n＞n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 （）A.2 B.3 C.5 D.6答案C5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3,(nN+)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n=k+1時(shí)的情況，只需展開（）A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3答案A6.證明＜1++++…+＜n+1(n＞1)，當(dāng)n=2時(shí)，中間式子等于 ()A.1 B.1+ C.1+ D.1+答案D二、填空題7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+＜的過程，由n=k推導(dǎo)n=k+1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是.答案8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜2(n∈N,且n＞1)，第一步要證的不等式是.答案1++＜2三、解答題9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+++…+≥(n∈N+).證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，∴左≥右，即命題成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí)，命題成立，即1+++…+≥.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，要證1+++…++≥,只要證+≥.∵--==＜0,∴+≥成立，即1+++…++≥成立.∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由（1）、(2)知，不等式對一切n∈N+均成立.10.用數(shù)學(xué)歸納法證明（3n+1）·7n-1(n∈N+)能被9整除.證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，4×7-1=27能被9整除，命題成立.（2）假設(shè)n=k(k≥1，k∈N+)時(shí)命題成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除.當(dāng)n=k+1時(shí)，［(3k+3)+1］·7k+1-1=(3k+1+3)·7·7k-1=7·(3k+1)·7k-1+21·7k=［(3k+1)·7k-1］+18k·7k+6·7k+21·7k=［(3k+1)·7k-1］+18k·7k+27·7k，由歸納假設(shè)(3k+1)·7k-1能被9整除，又因?yàn)?8k·7k+27·7k能被9整除，所以［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除，即n=k+1時(shí)命題成立.由（1）（2）知，對所有的正整數(shù)n，命題成立.11.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+).(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項(xiàng)公式an;（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.（1）解當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2-a1,∴a1=1.當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.當(dāng)n=4時(shí)，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.由此猜想an=(n∈N+).（2）證明①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，結(jié)論成立.②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N+)時(shí),結(jié)論成立，即ak=,那么n=k+1(k≥1且k∈N+)時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，由①②知猜想an=（n∈N+）成立.12.是否存在常數(shù)a、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）對于一切n∈N+都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.解假設(shè)存在a、b、c使12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）對于一切n∈N+都成立.當(dāng)n=1時(shí)，a（b+c）=1；當(dāng)n=2時(shí)，2a（4b+c）=6；當(dāng)n=3時(shí)，3a（9b+c）=19.解方程組解得證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立.②假設(shè)n=k（k∈N+）時(shí)等式成立，即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12=k（2k2+1）；當(dāng)n=k+1時(shí)，12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=k（2k2+3k+1）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）［2（k+1）2+1］.即n=k+1時(shí)，等式成立.因此存在a=，b=2，c=1，使等式對一切n∈N+都成立.§13.6數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.（·浙江理，1）已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a等于 （）A.1 B.-1 C. D.-答案A2.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是 （）A.a=0 B.a=0且b≠0C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0答案A3.滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 （）A.一條直線 B.兩條直線C.圓 D.橢圓答案C4.（·遼寧理，4）復(fù)數(shù)+的虛部是 （）A.i B. C.-i D.-答案B5.設(shè)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足z-=2i，=iz，則z=.答案-1+i例1已知復(fù)數(shù)z=+(a2-5a-6)i(a∈R),試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，z分別為：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).解（1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有，∴,∴a=6，即a=6時(shí)，z為實(shí)數(shù).（2）當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，則有a2-5a-6≠0且有意義，∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴當(dāng)a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)時(shí)，z為虛數(shù).（3）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，有,∴.∴不存在實(shí)數(shù)a使z為純虛數(shù).例2已知x,y為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解設(shè)x=a+bi(a,b∈R)，則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等得,解得或或或.故所求復(fù)數(shù)為或或或.例3計(jì)算：（1）; (2);(3)+; (4).解（1）==-1-3i.(2)====+i.(3)+=+=+=-1.(4)====--i.例4(12分)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，3+2i,-2+4i，試求：（1）表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；（2）對角線所表示的復(fù)數(shù);(3)求B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).解（1）=-，∴所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i. ∵=，∴所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i. 4分（2）=-，∴所表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 8分(3)=+=+,∴表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6i. 12分1.已知m∈R，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時(shí)，（1）z∈R；（2）z是純虛數(shù)；（3）z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二像限；（4）z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+3=0上.解（1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),則有m2+2m-3=0且m-1≠0得m=-3,故當(dāng)m=-3時(shí)，z∈R.（2）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),則有解得m=0，或m=2.∴當(dāng)m=0或m=2時(shí)，z為純虛數(shù).（3）當(dāng)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二像限時(shí),則有解得m＜-3或1＜m＜2，故當(dāng)m＜-3或1＜m＜2時(shí)，z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二像限.（4）當(dāng)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+3=0上時(shí),則有+,得=0，解得m=0或m=-1±.∴當(dāng)m=0或m=-1±時(shí)，點(diǎn)Z在直線x+y+3=0上.2.已知復(fù)數(shù)z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos+(+3sin)i(∈R).若z1=z2,求的取值范圍.解∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos+(+3sin)i,由復(fù)數(shù)相等的條件，得,∴=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4(sin-)2-,∵-1≤sin≤1,∴當(dāng)sin=時(shí)，min=-;當(dāng)sin=-1時(shí)，max=7,∴-≤≤7.3.計(jì)算下列各題（1）；（2）+.解（1）===i（1+i）4=i［（1+i）2］2=i（2i）2=-4i.（2）+=+=i+=i+i1003=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0.4.已知關(guān)于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實(shí)數(shù)根b.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足|-a-bi|-2|z|=0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）∵b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實(shí)根，∴（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故解得a=b=3.（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1（-1，1）為圓心，2為半徑的圓.如圖，當(dāng)Z點(diǎn)在OO1的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值.∵|OO1|=，半徑r=2，∴當(dāng)z=1-i時(shí)，|z|有最小值且|z|min=.一、選擇題1.（·天津理，1）i是虛數(shù)單位，等于 （）A.-1 B.1 C.-i D.i答案A2.（·廣東文，2）已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是 （）A.（1，5） B.（1，3） C.（1，） D.（1，）答案C3.（·山東文，2）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若z+=4，z·=8，則等于 （）A.i B.-i C.±1 D.±i答案D4.若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R,i是虛數(shù)單位，則a2+b2等于 （）A.0 B.2 C.5 D.答案C5.在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-2+i，0，則第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 （）A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i答案D6.設(shè)a是實(shí)數(shù)，且+是實(shí)數(shù)，則a等于 （）A. B.1 C. D.2答案B二、填空題7.（·北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)a=.答案-18.(·湖北理，11)設(shè)z1是復(fù)數(shù)，z2=z1-i1（其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)），已知z2的實(shí)部是-1，則z2的虛部為.答案1三、解答題9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解原式====-=-=-,|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+6i=［±（3+i)］2,∴z=±(3+i),當(dāng)z=3+i時(shí)，原式=-60+20i；當(dāng)z=-3-i時(shí)，原式=60-20i.10.已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一像限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2.==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由題意得x=4,∴z=4-2i.∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一像限,所以,解得2＜a＜6,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，6）.11.是否存在復(fù)數(shù)z，使其滿足·z+2i=3+ai(a∈R),如果存在，求出z的值；如果不存在，說明理由.解設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.∴消去x得y2+2y+-3=0,Δ=16-a2.當(dāng)且僅當(dāng)|a|≤4時(shí)，復(fù)數(shù)z存在，此時(shí)z=-i.12.設(shè)z∈C，求滿足z+∈R且|z-2|=2的復(fù)數(shù)z.解方法一設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z+=a+bi+=a+bi+=a++i∈R.∴b=.∴b=0或a2+b2=1.當(dāng)b=0時(shí),z=a,∴|a-2|=2,∴a=0或a=4.a=0不合題意舍去,∴z=4.當(dāng)b≠0時(shí),a2+b2=1. ①又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4. ②由①②解得a=,b=±,∴z=±i.綜上可知,z=4或z=±i.方法二∵z+∈R,∴z+=+,∴(z-)-=0,(z-)·=0,∴z=或|z|=1.下同方法一.單元檢測十三一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.（·海南文，3）已知復(fù)數(shù)z=1-i,則等于 （）A.2 B.-2 C.2i D.-2i答案A2.（·寧夏文，6）如圖所示的流程圖,如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù),那么在空白的判斷框中,應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的 （）A.c＞x B.x＞c C.c＞b D.b＞c答案A3.在平面內(nèi)，三角形的面積為s，周長為c,則它的內(nèi)切圓的半徑r=.在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，利用類比推理的方法，可得三棱錐的內(nèi)切球（球面與三棱錐的各個(gè)面均相切）的半徑R為 （）A. B. C. D.答案B4.已知x＞0，由不等式x+≥2,x+=++≥3,啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論x+≥n+1(n∈N+)，則a等于（）A.nn B.(n+1)n C.nn+1 D.nn-1答案A5.（·煙臺模擬）給出一個(gè)如圖所示的流程圖，若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案C6.下面程序在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行，最后運(yùn)行的結(jié)果是 （）S=1ForI=3To20S=S+I*3Next 輸出SA.10 B.61 C.621 D.622答案D7.觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為 （）答案A8.如圖所示，把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，試求第七個(gè)三角形數(shù)是 （）A.27 B.28 C.29 D.30答案B9.（·全國Ⅰ理，4）設(shè)a∈R，且(a+i)2i為正實(shí)數(shù)，則a等于 （）A.2 B.1 C.0 D.-1答案D10.（·江西理，1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對應(yīng)的點(diǎn)位于 （）A.第一像限 B.第二像限C.第三像限 D.第四像限答案D11.若sin2-1+i(cos+1)是純虛數(shù)，則等于 （）A.2k(k∈Z) B.2k(k∈Z)C.k(k∈Z) D.k(k∈Z)答案B12.若(m∈R)為純虛數(shù)，則的值為 （）A.-1 B.1 C.-i D.i答案B二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13.（·全國Ⅱ理，16）平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對邊分別平行.類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件.充要條件①