人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《消元-解二元一次方程組（第6課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

消元——解二元一次方程組（第6課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．能觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，根據(jù)方程組的整體特征，選擇解決問(wèn)題的最優(yōu)方法．2．能利用二元一次方程組解決其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題．3．經(jīng)歷觀察和分析選擇解決問(wèn)題的最優(yōu)方法的過(guò)程，培養(yǎng)邏輯思維能力和推理能力．教學(xué)重點(diǎn)會(huì)對(duì)方程組的整體特征進(jìn)行分析，選擇最優(yōu)解決方法．教學(xué)難點(diǎn)消元法解二元一次方程組的靈活應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1．消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，就可將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù)．這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想．2．代入法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法．3．加減法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雞兔各幾何．”你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)選擇你認(rèn)為簡(jiǎn)便的方法解決這個(gè)問(wèn)題．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，小組交流，對(duì)各種方法進(jìn)行比較．【答案】解：設(shè)籠中有雞x只、兔y只．根據(jù)題意，得由①，得x＝35－y．③把③代入②，得2(35－y)＋4y＝94，解得y＝12．把y＝12代入③，得x＝23．所以這個(gè)方程組的解為答：籠中有雞23只、兔12只．【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)消元解二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的“消元解二元一次方程組的靈活應(yīng)用”．新知探究類型一、整體思想在解方程組中的應(yīng)用【問(wèn)題】1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M：【師生活動(dòng)】教師給出分析，學(xué)生根據(jù)分析獨(dú)立思考，師生一起總結(jié)．【分析】解題的關(guān)鍵是利用整體思想把x＋y和x－y分別看成整體進(jìn)行消元，先求x＋y，x－y的值，再求x，y的值．【答案】解：②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6．③③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝．把x－y＝代入①，得x＋y＝．解方程組得所以原方程組的解為【歸納】利用整體思想解二元一次方程組的步驟第1步：找準(zhǔn)“整體”，從已知方程組中找到可以作為整體的式子；第2步：正確變形，求解整體，把方程組看作以選定的“整體”為未知數(shù)的二元一次方程組，并求解；第3步：求原方程組的解，此時(shí)得到的解并不是原方程組的解，需根據(jù)選擇的“整體”進(jìn)一步求出原方程組中未知數(shù)的值．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解答本題，讓學(xué)生知道對(duì)于解系數(shù)有規(guī)律的二元一次方程，除了常用的代入法、加減法，還可以用整體思想解二元一次方程組．【問(wèn)題】2．已知方程組的解為求方程組的解．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知方程組和所求方程組的結(jié)構(gòu)特征，找出“整體”，學(xué)生小組討論，完成作答．【答案】解：把(x＋2)和(y－1)分別看成整體A，B，則所求的方程組可轉(zhuǎn)化為因?yàn)榉匠探M的解為所以即解得所以原方程組的解為【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解答本題，讓學(xué)生意識(shí)到，運(yùn)用整體思想解二元一次方程組的前提是方程組中每一個(gè)方程都有相同結(jié)構(gòu)的式子，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力．類型二、系數(shù)成對(duì)稱關(guān)系的二元一次方程組的解法【問(wèn)題】3．解方程組：【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察x與y的系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生小組討論，完成作答．【分析】若方程組中兩個(gè)方程的x與y的系數(shù)成對(duì)稱關(guān)系，則先把兩個(gè)方程相加和相減，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x＋y，x－y的方程組，再利用加減消元法求解．【答案】解：①＋②，得25x＋25y＝75，即x＋y＝3．③②－①，得x－y＝1．④將③④聯(lián)立，得解得所以原方程組的解為【歸納】對(duì)于系數(shù)成對(duì)稱關(guān)系的二元一次方程組，通過(guò)兩方程加減重新構(gòu)造方程組解答比較簡(jiǎn)單，也可直接用加減消元法或代入消元法求解，但過(guò)程比較煩瑣．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解答本題，讓學(xué)生知道對(duì)于解未知數(shù)系數(shù)較大，且系數(shù)有規(guī)律的二元一次方程，可以通過(guò)兩方程加減重新構(gòu)造方程組解答，讓學(xué)生逐步積累解二元一次方程組的經(jīng)驗(yàn)，提高選擇能力．類型三、利用二元一次方程組求代數(shù)式的值【問(wèn)題】4．已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，則代數(shù)式(a＋b)(a－b)的值為_(kāi)___________．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師講評(píng)總結(jié)．【答案】－8【解析】把代入方程組，得由①＋②，得a＋b＝－4．由①－②，得5a－5b＝10，即a－b＝2．所以(a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．【歸納】已知二元一次方程組求關(guān)于未知數(shù)的式子的值時(shí)，有時(shí)不必解方程組，可將所求式子看作一個(gè)整體，利用方程組中兩個(gè)方程之間的相關(guān)運(yùn)算直接求出式子的值．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解答本題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用二元一次方程組求代數(shù)式的值，進(jìn)一步體會(huì)整體思想．【問(wèn)題】5．若x，y的值滿足方程組則＋＝_____，－＝_____．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，一名學(xué)生板演，教師講評(píng)．【答案】1610【解析】由①＋②，得＋＝80，則＋＝16．由①－②，得－＝10．類型四、同解方程組的應(yīng)用a)b的值．【師生活動(dòng)】學(xué)生小組討論，嘗試解答，教師給予幫助．【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)方程組有相同的解，所以只要將兩個(gè)方程組中不含有a，b的兩個(gè)方程聯(lián)立，組成新的方程組，求出x和y的值，再將x，y的值代入含有a，b的兩個(gè)方程中，解關(guān)于a，b的方程組即可得出a，b的值，進(jìn)而可求得(－a)b的值．【答案】解：因?yàn)閮煞匠探M有相同的解，所以原方程組可化為①②解方程組①，得代入方程組②，得解得所以(－a)b＝(－2)3＝－8．【問(wèn)題】7．若關(guān)于x，y的方程組的解也是方程3x＋2y＝17的一個(gè)解，求m的值．【師生活動(dòng)】教師提示：一個(gè)二元一次方程組和一個(gè)方程同解可以理解為三個(gè)方程有相同的解．學(xué)生根據(jù)提示獨(dú)立完成，教師給出答案．【答案】解：方法1：①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m．把y＝－2m代入①，得x－4m＝3m，所以x＝7m．把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，得21m－4m＝17，解得m＝1．方法2：①×3－②，得2x＋7y＝0．聯(lián)立2x＋7y＝0與3x＋2y＝17，得方程組解這個(gè)方程組，得把代入①，得7－4＝3m，解得m＝1．【歸納】利用同解方程（組）求字母參數(shù)的方法當(dāng)幾個(gè)二元一次方程有公共解或兩個(gè)二元一次方程組同解時(shí)，可利用兩個(gè)不含有字母參數(shù)或通過(guò)運(yùn)算可將字母參數(shù)消去的二元一次方程組成新的方程組，并求出新方程組的解，然后利用這個(gè)解得到關(guān)于字母參數(shù)的方程（組），解方程（組）進(jìn)而求得字母參數(shù)的值．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解答6～7題，讓學(xué)生知道如何用同解方程求字母參數(shù)．類型五、有關(guān)二元一次方程組的新題型【問(wèn)題】8．定義一種運(yùn)算“◎”，規(guī)定x◎y＝ax－by，a，b為常數(shù)，且2◎3＝6，4◎2＝8，則a＋b的值是__________．【師生活動(dòng)】師生一起分析題目，完成作答．【答案】【解析】因?yàn)閤◎y＝ax－by．所以2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，即解得所以a＋b＝．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)此題進(jìn)行解答，讓學(xué)生知道解有關(guān)二元一次方程組的新題型的一般步驟：先弄清題目所給的