內蒙古自治區(qū)赤峰市紅山區(qū)赤峰第三中學2024-2025學年九年級上學期開學數(shù)學試題（解析版）

赤峰三中2024-2025學年九年級（上）競賽數(shù)學試卷試卷滿分：100分考試時長：90分鐘一、單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）①；②；③；④A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的定義.把關系式整理成一般形式，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可解答．【詳解】①，是二次函數(shù)；②，分母中含有字母，不是二次函數(shù)；③，是二次函數(shù)；④，不是二次函數(shù).則二次函數(shù)共2個，故選：B2.用配方法解方程時，變形結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步驟是解題的關鍵．根據(jù)配方法的步驟先把常數(shù)項移到等號的右邊，再在等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成完全平方的形式，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選：A．3.一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷根的情況：當時，方程有兩個相等實數(shù)根；當時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根；該一元二次方程，即有兩個不相等實數(shù)根，可得答案B．【詳解】解：一元二次方程，∴判別式，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判斷方法是解題的關鍵．4.已知關于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則k的值為（）A.-2 B.2 C.2或 D.4或【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定義，由一元二次方程的定義可得，由題意又知，聯(lián)立不等式組，求解可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得．故選：A．5.若拋物線與y軸的交點為（0，﹣3），則下列說法不正確的是【】A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸是x=1C.當x=1時，y的最大值為﹣4D.拋物線與x軸的交點為（－1，0），（3，0）【答案】C【解析】【分析】把（0，-3）代入拋物線解析式求c的值，然后再求出頂點坐標、與x軸的交點坐標．【詳解】把(0,?3)代入y=x2?2x+c中得c=?3，拋物線為y=x2?2x?3=(x?1)2?4=(x+1)(x?3)所以：拋物線開口向上，對稱軸是x=1，當x=1時，y的最小值為?4，與x軸的交點為(?1,0),(3,0)；C錯誤.故選C.6.若是關于的方程的一個根，則的值是（）A.2026 B.2025 C.2023 D.2022【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．把代入，得，然后把所求式子化為代入計算即可作答．【詳解】解：∵是關于的方程的一個根，∴，∴，故選：D．7.將拋物線向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵．根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移3個單位得到的拋物線是，再向下平移2個單位得到的拋物線是，故選：C．8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx－1(a≠0)的圖象經過點(1，1)．則代數(shù)式1－a－b的值為（）A.－3 B.－1 C.2 D.5【答案】B【解析】【詳解】試題分析：∵二次函數(shù)y=ax2+bx-1（a≠0）的圖象經過點（1，1），∴a+b-1=1，∴a+b=2，∴1-a-b=1-（a+b）=1-2=-1．故選B．考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．9.點P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵，∴對稱軸為x=1，P2（3，），P3（5，）在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，∵3＜5，∴，根據(jù)二次函數(shù)圖象對稱性可知，P1（﹣1，）與（3，）關于對稱軸對稱，故，故選：D．10.直線與拋物線在同一坐標系里的大致圖象正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意和各個選項中的函數(shù)圖象，可以得到一次函數(shù)中和的正負情況和二次函數(shù)圖象中的正負情況，然后即可判斷哪個選項中的圖象符合題意，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．【詳解】解：、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質可知圖象，，故選項不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質可知圖象，，故選項不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質可知圖象，，，而拋物線對稱軸位于軸右側，則，故選項不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質可知圖象，，對稱軸位于軸左側，則，故選項符合題意；故選：．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）11.關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是_______．【答案】且【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．根據(jù)二次項系數(shù)不等于零且列式求解即可．【詳解】解：由題意，得且，∴且．故答案為：且．12.若拋物線y＝（x﹣2）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為____．【答案】m＞﹣1【解析】【分析】直接利用頂點形式得出頂點坐標，結合第一象限點的特點列出不等式解答即可．【詳解】解：∵拋物線y＝（x﹣2）2+（m+1），∴頂點坐標為（2，m+1），∵頂點在第一象限，∴m+1＞0，∴m的取值范圍為m＞﹣1．故答案為：m＞﹣1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），以及各個象限點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵．13.已知是拋物線上兩點，該拋物線對稱軸為直線___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知兩點的縱坐標相等得到這兩點關于對稱軸對稱，從而求得對稱軸即可．【詳解】解：∵是拋物線上兩點，∴對稱軸是直線，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，能夠確定這兩點關于對稱軸對稱是解答本題的關鍵，難度不大．14.如下圖，函數(shù)的圖象，則其解析式為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象得出頂點的坐標，即可求得解析式．【詳解】解：由圖象可知拋物線的頂點坐標為，函數(shù)的解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)圖象得出頂點是解題的關鍵．15.已知關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，則________．【答案】

【解析】【分析】利用根與系數(shù)的關系結合方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，可求出的值，再將其代入原方程，取使得原方程根的判別式的值即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，，．當時，原方程為，∴，不符合題意，∴舍去；當時，原方程為，，符合題意．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，牢記兩根之積等于是解題的關鍵．16.已知關于x的方程的兩個實數(shù)根．若等腰三角形的一邊長，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，的周長為______．【答案】13或14【解析】【分析】由等腰三角形的性質可知b=c或b、c中有一個為5，①當b=c時，根據(jù)根的判別式Δ=0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關系即可得出該種情況不合適；②當方程的一根為5時，將x=5代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關系確定△ABC的三條邊，結合三角形的周長即可得出結論．【詳解】解：∵△ABC為等腰三角形，∴b=c或b、c中有一個5．①當b=c時，Δ=（m-5）2=0，解得：m=5，∴原方程為x2-8x+16=0，解得：b=c=4，∵b+c=4+4=8＞5，∴4、4、5能構成三角形．該三角形的周長為4+4+5=13．②當b或c中的一個為5時，將x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0，解得：m=6，∴原方程為x2-9x+20=0，解得：x1=4，x2=5．∵4、5、5能組成三角形，∴該三角形的周長為4+5+5=14．綜上所述，該三角形的周長是13或14，故答案為：13或14．【點睛】本題考查了三角形三邊關系、等腰三角形的性質以及解一元二次方程，解題的關鍵是需要分類討論，以防漏解．三、解答題（共5道大題，共52分）17.按規(guī)定方法解方程：（1）；（公式法）（2）．（因式分解法）（3）；（直接開平方或因式分解法）（4）；（配方法）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)公式法進行計算即可；（2）整理后，根據(jù)因式分解進行計算即可；（3）根據(jù)直接開平方進行計算即可；（3）根據(jù)配方法進行配方計算即可．【小問1詳解】解：，，，，，，故，；【小問2詳解】解：，整理得，因式分解得，∴，，解得，；【小問3詳解】解：，開方得，∴，，解得，；【小問4詳解】解：，整理得，配方得，即，開方得，解得，．18.已知關于x的方程．（1）若方程有一個根為2，求a的值及該方程的另一個根；（2）求證：不論a取任何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】（1）a＝1，方程的另一個根為﹣3（2）見解析【解析】【分析】（1）將x=2代入方程得到a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系求出另一根；（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，即可得到結論．【小問1詳解】∵x＝2是方程的解∴把x＝2代入方程得：4+2a-a﹣5＝0解得a＝1∵∴∴∴a＝1，方程的另一個根為﹣3．【小問2詳解】∵，∴不論a取任何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，關鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關系．19.把二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y=(x+1)2-1的圖象.（1）試確定a，h，k的值；（2）指出二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的開口方向，對稱軸和頂點坐標.【答案】（1）（2）開口向上，對稱軸是x=1的直線，頂點（1，-5）【解析】【分析】（1）二次函數(shù)平移，可以看作是將二次函數(shù)y=(x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，然后再按二次函數(shù)圖象的平移法則，確定函數(shù)解析式，即可得到結論；（2）直接根據(jù)函數(shù)解析式，結合二次函數(shù)的性質，進行回答即可.【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y=(x+1)2-1，∴可以看作是將二次函數(shù)y=(x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，而將二次函數(shù)y=(x+1)2-1先向右平移2個單位，再向下平移4個單位得到二次函數(shù)為：y=(x-1)2-5，∴a=，b=1，k=-5；（2）二次函數(shù)y=(x-1)2-5，開口向上，對稱軸為x=1的直線，頂點坐標為（1，-5）.20.閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．（1）材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．（2）類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．（3）思維拓展：已知實數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個根，據(jù)此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進一步代入計算可得．【小問1詳解】解：，，故答案為：；；【小問2詳解】∵，，且，∴，可看作方程的兩個根，∴，，∴，∴的值為；【小問3詳解】∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應用，求代數(shù)式的值，解題的關鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運算順序和運算法則．21.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，點P是直線上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，