第一章函數(shù)、極限、連續(xù)(專升本專用課件)-文檔資料

第一章：函數(shù)、極限、連續(xù)第二章：導(dǎo)數(shù)與微分第三章：中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第四章：不定積分第五章：定積分與廣義積分第六章：偏導(dǎo)數(shù)與全微分第七章：二重積分輔導(dǎo)內(nèi)容1第一章:函數(shù)、極限、連續(xù)（一）函數(shù)1定義：（1）構(gòu)成函數(shù)的兩要素：定義域D,對應(yīng)規(guī)則f;（２）當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則分別相同時，則可確定這兩個函數(shù)相同；反之有一個不相同時，就認(rèn)為是兩個不同的函數(shù)．22.分段函數(shù)與隱函數(shù)（1）.分段函數(shù)：如果變量x與y的函數(shù)關(guān)系是由兩個或兩個以上的解析式給出的稱分段函數(shù).含絕對值符號的函數(shù)也是分段函數(shù).如分段函數(shù)至少有1個以上的分段點(diǎn)，分段點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式是不同的，因此討論分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問題時，必須分別討論左、右極限，左、右連續(xù)和左、右導(dǎo)數(shù)，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).3（2）.隱函數(shù)：如果自變量x與應(yīng)變量y的函數(shù)關(guān)系是由方程給出的，稱為隱函數(shù).如有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是單值函數(shù)），有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)u是中間變量，y是因變量．（1）復(fù)合函數(shù)：若是的函數(shù)，又是的函數(shù)，且能使有意義，則稱是的復(fù)合函數(shù)，其中X是自變量，y就不是x的復(fù)合函數(shù)；復(fù)合函數(shù)可分解為蕳單的函數(shù)4（２）嚴(yán)格單調(diào)（一一對應(yīng)）的函數(shù)才有反函數(shù)5４．基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)：定義、性質(zhì)、圖形非常重要，特別是圖象要很清晰.有助于討論函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算.如：初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的并且可由一個解析式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)6若f(x)的定義域關(guān)于x=0點(diǎn)不對稱，則不可能是奇函數(shù)或偶函數(shù)。Y=c(c為非零常數(shù))是偶函數(shù)，y=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，是非奇非偶的函數(shù)．5.非初等函數(shù)6.函數(shù)的簡單性質(zhì)(1)奇偶性設(shè)函數(shù)在區(qū)間x上有定義，如果對恒有

則稱f(x)為偶函數(shù)（或f(x)為奇函數(shù)）.偶函數(shù)f(x)的圖形對稱于y軸，奇函數(shù)f(x)的圖形對稱于原點(diǎn).（1）極限形式的函數(shù)：（2）積分形式的函數(shù)：7注：判定一個函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義，有時也用其運(yùn)算性質(zhì)：奇函數(shù)的代數(shù)和為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和為偶函數(shù)；偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。而也是判別為奇函數(shù)的有效方法。89(2)周期性10注:求給定函數(shù)的周期或有關(guān)函數(shù)周期性的證明,主要是利用周期函數(shù)的定義及周期函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).11(3)有界性注:證明或判定函數(shù)的有界性主要依據(jù)是:1.有界性的定義;2.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，如果上連續(xù)，且則上有界；3.有極限的數(shù)列必有界.1213(4)單調(diào)性*對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的.注:已知函數(shù)可導(dǎo)時,利用一階導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性;未告之可導(dǎo)時,用單調(diào)性定義判定.14(二)數(shù)列與函數(shù)的極限1.變量的變化過程1516注173.極限的性質(zhì):唯一性；局部有界性；局部保號性；局部比較性。有極限必有界,反之不然.4.極限存在的兩個準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則5.兩個重要極限★185.函數(shù)極限的運(yùn)算法則196.無窮小量與無窮大量20注：（1）無窮小量與無窮大量不是絕對的,它是與某個變化過程聯(lián)系在一起的.當(dāng)我們說某個量是無窮小量或無窮大量一定要指明變化過程.（2）無窮大量是無界量，反之不然；（3）無窮小的運(yùn)算性質(zhì)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小；有限個無窮小的乘積仍為無窮小；無窮小量與有界變量（含常量）的乘積仍為無窮?。唬?）無窮大與無窮小的關(guān)系在同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小；無窮小的倒數(shù)是無窮大。215.無窮小的比較22極限值非零且不等于1,根據(jù)無窮小階的比較,(B)成立.23(三)函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的概念定義1:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在點(diǎn)處取得的改變量時，函數(shù)相應(yīng)的改變量即，則稱函數(shù)f(x)點(diǎn)處連續(xù)，稱點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)。243.間斷點(diǎn)的類型第Ⅰ類間斷點(diǎn):左右極限都存在的間斷點(diǎn).其中第Ⅱ類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個不存在的間斷點(diǎn)25注：一般而言，證明的命題用連續(xù)函數(shù)的第一個定義方便；判定函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)，尤其是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否連續(xù)用定義2方便。2.函數(shù)的間斷點(diǎn)264.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則也在點(diǎn)處連續(xù).274.閉區(qū)間上連續(xù)函的性質(zhì)28二、基本問題與解法問題(一):求函數(shù)定義域1.求由一個解析式解出的函數(shù)的定義域運(yùn)算依據(jù):29

運(yùn)算方法：（1）根據(jù)滿足的條件列不等式（組）；（2）解不等式（組），借助數(shù)軸找各不等式解的公共部分即為函數(shù)的定義域（一般用區(qū)間表示）。例1.求下列函數(shù)的定義域302.已知的定義域求的定義域運(yùn)算方法：將視為x，由的變化范圍確定x的變化范圍即為的定義域.04-43132運(yùn)算方法：由的定義域知道的變化范圍，再由的變化范圍求得的變化范圍即為的定義域.334.利用函數(shù)的值域求其定義域分析:先求的表達(dá)式,再解不等式34問題(二)：求函數(shù)關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式1.已知求——代入法運(yùn)算方法：將中的換成并加以整理2.已知求方法一：將化為的函數(shù)，1.已知求——代入法35再根據(jù)函數(shù)表示與自變量用什么字母表示無關(guān)的特性求得方法二(變量代換法):令求得代入原式得從而363.已知4.已知及的表達(dá)式求運(yùn)算方法:變量代換,解方程組374.求反函數(shù)的表達(dá)式運(yùn)算方法：（1）從y=f(x)中解岀（2）對換x,y的位置，即得反函數(shù)(3)y=f(x)的值域即為的定義域.分段函數(shù)的反38函數(shù)要分段求，并同時確定各段反函數(shù)所定義的區(qū)間.39問題(三):求極限1.有理分式的極限★402.無理式的極限4142(1)利用重要極限求極限特征：1）在某個變化過程中呈三角函數(shù)型；2）正弦變量與分母變量相同且都趨于零.1243注:滿足第一特征可以考慮用重要極限;滿足第二特征一定能夠用重要極限;第三個特征告訴你怎么用.4445例3.求下列極限46例4.求下列極限47(2).利用等價無窮小代替求極限注:

只有求無窮小比的極限時，才能考慮用等價無窮小代替，并且要對整個分子或整個分母（含無窮小的因式）或同時對分子、分母進(jìn)行代替，乘除運(yùn)算盡管用，加減運(yùn)算不宜用。48常用的等價無窮小:當(dāng)49例5.求下列極限50(3)利用羅比塔法則求極限51522)羅彼塔法則可連續(xù)地用，每用一次都要化簡，充分利用極限四則運(yùn)算法則、等價無窮小代替以及非零因子的極限先求出耒簡化算式，檢查發(fā)現(xiàn)不是未定式，就不要用羅彼塔法則。3)使用羅彼塔法則過程中，出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象、有常見極限不存在的情況(并非無窮大)就要改用它法。如果分子、分母求導(dǎo)后，算式俞趨復(fù)雜，就要按2)的方法處理。例6.求下列極限53注:此處利用了極限運(yùn)算法則,分子分母分別求導(dǎo)(2)此題直接用羅比塔法則很麻煩，應(yīng)先將極限存在的非零因子分離出耒先求其極限.例7.求下列極限54（4）利用變量代換求極限通過線性變換、指數(shù)變換、三角變換、無理變換、加一減一、乘一除一、分解折項、倒代換等化為常規(guī)型55極限存在的非零因子先其求極限56解:離散變量連續(xù)化,先轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限,再用羅比塔法則57求一個函數(shù)的極限首先判定屬于哪一種類型，如果不是公式型或常規(guī)型就要通過適當(dāng)?shù)淖冃巫儞Q化簡使之能用上述方法求解。特別注意有非零因子的極限要先求;盡量要用等價無窮小代換化簡;盡量利用極限運(yùn)算法則分項求，或分子分母分別求。通常求一個函數(shù)的極限不是只用一種方法就能夠湊效，而是需要綜合用各種方法包括利用微積分的有關(guān)知識才能解出。求極限問題小結(jié):58例10.求下列極限59606162問題(四):極限、連續(xù)問題中常數(shù)的確定運(yùn)算依據(jù):63解:左邊(分子有理化)=★64運(yùn)算依據(jù):6566問題(五):函數(shù)連續(xù)性的判定與間斷點(diǎn)的識別2.判定間斷點(diǎn)的類型找出函數(shù)的定義域,若點(diǎn)無定義,則為間斷點(diǎn);若有定義,再看是否為初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),若67是,則為連續(xù)點(diǎn);若不是,則看極限是否存在,若不存在,則為間斷點(diǎn);若存在,則看極限值是否等于函數(shù)值,若,則為連續(xù)點(diǎn);若不相等,則點(diǎn)為間斷點(diǎn).最后根據(jù)間斷點(diǎn)的定義判定其類型.例1.判定下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否連續(xù)?并指出間斷點(diǎn)的類型68解:697071問題(六):無窮大量與無窮小量的識別與比較例1.設(shè)72(A)等價無窮小;(B)分析：因