高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）一元二次不等式及其解法

第田一---RH-一元二次不等式及其解法

■他知溟工打牢

1強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

一元二次不等式的解集

二次函數(shù)y=a￡+bx+c的圖象、一元二次方程+bx+c=0的根與一元二次不等式aY+bx+c>0

與aV+bx+c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：

判別式/=-―4ac/>0zl=0zl<0

二次函數(shù)P二ax+bx+c(a>0)

的圖象u

一元二次方程ax+bx+c-有兩相u異實(shí)根x二Xi或X

有兩相同實(shí)根Xu

無(wú)實(shí)根

O(aWO)的根二X2-X\

一元ax+Z?x+c>0(a>0){x或x>毛}R

二次不

等式的ax+bx+c<0(GO){x〈0}00

解集

若a〈0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解.

［小題能否全?。?/p>

1.(教材.習(xí)題改編)不等式x(l-2x)>0的解集是()

A.1-8,JB.0,

C.(-8,0)呢，+8)D.+8]

答案：B

2.不等式9/+6X+1W0的解集是()

C.卜|-'IwxW；-D.R

答案：B

3.(?福建高考)若關(guān)于x的方程V+&+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-1)U(1,+8)

解析：選c由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式/>0,即箭-4>0,解得0<-

2或0>2.

4.(?天津高考)已知集合/={xCR||x+2|〈3},集合6={xCR|(x-血(x-.2)〈0},且/A6=(-l,

n),貝U0=,n-.

解析：因?yàn)閨x+2|<3,即所以4=(-5,1),又/C肝。，所以水1,8=(q2),由/C8=

(-1,〃)得加=-1,n=1.

答案：T1

5-不等式￡<1的解集為.

11X—2

解析：由口<1得即E>°，解得X<1，或x>2.

答案：—或X>2}

解一元二次不等式應(yīng)注意的問(wèn)題：

(1)在解一元二次不等式時(shí).，要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).

(2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)會(huì)影響不等式的解集，討論時(shí)不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為零的

情況.

(3)解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).

(4)一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)相同.

高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN________]]__________]

一元二次不等式的解法

31

典題導(dǎo)入

[例1]解下列不等式：

(l)0</-JT-2^4；

(2)x-\ax-5a2>0(57^0).

［自主解答］(1)原不等式等價(jià)于

［x-x-2>0,1/-萬(wàn)-2>0,

\x-x-2^4\x-x-6^0

(x-2x+1>0,(x>-1,

［x-3x+2WO1-2WxW3.

借助于數(shù)軸，如圖所示，

-理10］居~>

原不等式的解集為{x-2Wx<-1,或2<xW3}.

(2)由V-\ax-5才>0知(x-5a)(x+a)>0.

由于aWO故分a>0與乃<0討論.

當(dāng)乃<0時(shí)，才<5a或才>一5；

當(dāng)乃>0時(shí)，x<-x>5a.

綜上，a<0時(shí)，解集為{x|x<5a,或x>-a}；a>0時(shí)，解集為{x|x>5a,或x<-a}.

由題悟法

1.解一元二次不等式的一般步驟：

⑴對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0,即aV+6x+c>0(a>0),ax+bx+c<Q(a>Q)；

(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；

(3)當(dāng)/NO時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；

(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集.

2.解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，

則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏.

以題試法

1.解下列不等式：

(1)-3/-2了+820；

(2)ax-(a+1)x+1<0(a>0).

解：⑴原不等式可化為39+2x-8W0,

即(3x—4)(x+2)WO.

4

解得-2WxW、

o

所以原不等式的解集為卜|

⑵原不等式變?yōu)?ax-1)(矛-1)<0,

因?yàn)閍>0,所以1)<0.

所以當(dāng)a>l時(shí)，解為：<x<l；

當(dāng)a=l時(shí)，解集為。；

當(dāng)0<a<1時(shí)，解為Kx<~.

Q,

綜上，當(dāng)0<a<l時(shí)，不等式的解集為卜卜<才<］

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為。；

當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集為卜

3

一元二次不等式恒成立問(wèn)題

典題導(dǎo)入

［例2］已知/U)=f-2ax+2(aeR),當(dāng)xE［-1,+8)時(shí)，f(x)》a恒成立，求a的取值范圍.

［自主解答］法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a.

①當(dāng)aE(-8,-1)時(shí)，_f(x)在［一1,+8)上單調(diào)遞增，_f(x)min=廣(一1)=20+3.

要使F(x)23恒成立，只需_f(x)min，名即2乃+322解得-3WE<-1；

②當(dāng)［-1,+8)時(shí)，咒才著行=F(a)=2-才，由2-才解得一1WaWL

綜上所述，2的取值范圍為［-3,1］.

法二：令g(x)二/一2ax+2-a,由已知，得/-2ax+2-@20在［-1,+8)上恒成立，即/二4才

>0,

—4(2—4W0或1己<一1,解得一3

［g-120.

所求a的取值范圍是［-3,1］.

?》一題多變

本題中的+8)改為?！辏?1,1)”，求a的取值范圍.

解：令g(x)=x、2ax+2-a,由已知，得V-2ax+2-a20在［-1,1)上恒成立，即4=4才一4(2

/>0,/>0,

-@）忘0或（@<-1,或ja>l,解得-3WaWl,

〔gT》0L120.

所求a的取值范圍是[-3,1].

由題悟法

1■對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上

方；恒小于。就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.

2.一元二次不等式恒成立的條件：

(1)ax+6x+c>0(aW0)(xER)恒成立的充要條件是：

a>0且4-4ac<0.

(2)ax+bx+c<0(a=0)(xER)恒成立的充要條件是：

a<0且6,-4ac<0.

以題試法

2.(?九江模擬)若關(guān)于x的不等式f-ax-a>0的解集為(-8,+8),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

；若關(guān)于x的不等式/-ax-aW-3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：由小<0,BPa2-4(-a)<0,得-4〈a<0；

由4220,即a2—4(3—a)》0,得a<—6或a22.

答案：(-4,0)(-8,-6］U［2,+8)

3一元二次不等式的應(yīng)用

典題導(dǎo)入

［例3］某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成=10%),

售出商品數(shù)量就增力啟x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).

O

(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為K試求了與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫(xiě)出定義域；

(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.

［自主解答］(1)由題意得y=lOO0-總?

因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià),

所以loop-自-80NO.

所以尸『(x)=20(10-x)(50+8x),定義域?yàn)閇0,2].

⑵由題意得20(10-x)(50+10260,

化簡(jiǎn)得8*-30X+13W0.

1

解

得-WXV13-

2/4

所以x的取值范圍是a2

由題悟法

解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：

（1）認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；

（2）弓I進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；

（3）解不等式；

（4）回答實(shí)際問(wèn)題.

以題試法

3.某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng).現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇.公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；

公司8在用戶每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)L7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元（若用

戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算）.假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于17小時(shí)，那么該同學(xué)

如何選擇ISP公司較省錢？

x35-x

解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司/收取的費(fèi)用為L(zhǎng)5x元，公司方收取的費(fèi)用為一-一元.

若能夠保證選擇/比選擇夕費(fèi)用少，則

x35-x,、

....-....>1.5x(0<17),

整理得力-5x<0,解得0<x<5,

所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)內(nèi)時(shí)，選擇公司月的費(fèi)用少；超過(guò)5小時(shí)，選擇公司6的費(fèi)用少.

晶解題訓(xùn)練要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級(jí)全員必做題

X—1

1.（-重慶高考）不等式E<0的解集為（）

A.(1,+°°)B.(-°0,-2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

解析：選C原不等式化為(x-l)(x+2)<0,解得-2<x<l,故原不等式的解集為(-2,1).

4

2.(-湘潭月考)不等式EWx-2的解集是()

A.(-0]U(2,4]B.[0,2)U[4,+°0)

C.[2,4)D.(-8,2]U(4,+8)

解析：選B①當(dāng)x-2>0即x>2時(shí)，原不等式等價(jià)于(X-2)224,解得X24.

②當(dāng)x-2<0即x<2時(shí)，原不等式等價(jià)于(x-2)?W4,

解得02.

3.關(guān)于x的不等式(a+l)x+a<0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(4,5)B.(-3,-2)U(4,5)

C.(4,5]D.[-3,-2)U(4,5]

解析：選D原不等式可能為(x-l)(x-a)<0,當(dāng)a>l時(shí)得l<x<a,此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4,

則4<aW5,當(dāng)H<1時(shí)得a<x<l,則-3Wa<-2,故aE[-3,-2)U(4,5]

4.若E-l)x+3(〃-l)〈0對(duì)任何實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

-1)

U(1,+8)

解析：選C①必二-1時(shí)，不等式為2x-6〈0,即x<3,不合題意

f〃+l〈0,13

②*-1時(shí)，1解得.

5.已知函數(shù)『(X)的定義域?yàn)?-8,+8),f

f(x)的圖象如圖所示，且/'(-2)=1,『(3)=1,

()

A..(2,3)U(-3,-2)B.(-4

C.(2,3)D.(-8,_巾)(JW，+8)

解析：選A由導(dǎo)函數(shù)圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，rW>0,即f(x)在(-8,0)上為增函數(shù)；當(dāng)x>o時(shí),

f'(X)<0,即/1(*)在(0,+8)上為減函數(shù)，

故不等式/(/-6)>1等價(jià)于-6)>F(-2)或—6)>A3)，即-2<f-6W0或0-6<3,

解得xE⑵3)U(-3,-2).

6.(-長(zhǎng)沙模擬)已知二次函數(shù)f(x)=aV-(a+2)x+l(aEZ),且函數(shù)/<x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)

零點(diǎn)，則不等式r(x)>1的解集為()

A.(-8,-1)U(0,+8)B.(-8,0)U(1,+8)

C.(-1,0)D.(0,1)

解析：選C_f(x)-ax-(己+2)x+1,

/=(〃+2)2-43=步+4>0,

函數(shù)F(x)=ax-(a+2)jr+1必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

又/'⑸在(-2,—1)上有一個(gè)零點(diǎn)，貝IJH—2)〃一1)<0,

35

(6a+5)(2a+3)<0,解得一5V--

又5EZ,a--1.

不等式F(x)>l,BP-x-x>0,解得一l<x<0.

7.若不等式的解集為{x[l<x<3},則實(shí)數(shù)4=________.

X—o

_k_3k_3x-k

解析：Q>1,得1-Q<0,即7<0,(x-4)(x-3)<0,由題意得k=1.

X—6X—oX—o

答案：1

8.不等式V-2X+3Wa2-2a-l在R上的解集是。，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一—.

解析：原不等式即/-21-4+24+4忘0,在R上解集為。，

/=4-4(-a2+2a+4)<0,

即a2-2a-3<0,

解得-1<a<3.

答案：(T,3)

x+5x<3

.'且AH3))>6,貝I]m的取值范圍為

m

{LX-y

解析：由已知得『⑶=6-必，①當(dāng)辰3時(shí)，6-^3,貝IJ『(『(3))=2(6-4-勿=12-30>6,解得加

<2；②當(dāng)/>3時(shí)，6-加<3,貝|『(『(3))=6-加+5>6,解得3(/<5.綜上知，/<2或3(加<5.

答案：(一8,2)U(3,5).

10.解下列不等式：

⑴8x-1^16/；

(2)/-2a^-3a<0(a<0).

解：⑴原不等式轉(zhuǎn)化為16/-8^+1^0,

即(4x-l尸》0,貝IJxER,

故原不等式的解集為R.

(2)原不等式轉(zhuǎn)化為(x+a)(x-3a)<0,

'：a<0,

3a<-a,得3a<x<-a,

故原不等式的解集為33a<x<-a).

11.一個(gè)服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)。(元/件)之間的關(guān)系為。=160-2X,生產(chǎn)x件的成

本0=500+30x(元).

(1)該廠月產(chǎn)量多大時(shí)，月利潤(rùn)不少于1300元？

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

解：⑴由.題意知，月利潤(rùn)了二內(nèi)-其

即y=(160-2x)x-(500+30x)

=-2/+130^-500.

由月利潤(rùn)不少于1300元，得-2f+130X-500N1300.

即/-65才+900/0,解得20WXW45.

故該廠月產(chǎn)量在20~45件時(shí)，月利潤(rùn)不少于1300元.

(2)由(1)得，y=-2/+130x-500

由題意知，x為正整數(shù).

故當(dāng)x=32或33時(shí)，y最大為1612.

所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時(shí)，可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1612元.

12.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c,函數(shù)尸(x)=f(x)-x的兩個(gè)零點(diǎn)為n(m<n).

(1)若e=-1,77=2,求不等式戶(x)>0的解集；

(2)若a>0,RO<x<m<n<~,比較f(x)與力的大小.

a

解：由題意知，尸(x)=F(x)-X=a(x-4,(x-ri),

當(dāng)勿二一1,〃=2時(shí)，不等式尸(王)>0,

即a(x+1)(x-2)>0.

當(dāng)0>0時(shí)，不等式/(x)>0的解集為｛x[x<-1,或x>2｝；

當(dāng)乃<0時(shí)，不等式力(王)>0的解集為｛.一1<.<2｝.

(2)f(^x)-m-a(x-ni)(x-ri)+x-m

(x-ni)(ax-an+V),

1

*/a>0,且〈一,

x-m<0,1-an-^-ax>0.

/.f{x)-m<0,即f{x)<m,

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1,若關(guān)于X的不等式三+%仔卜0對(duì)任意〃EN*在XE(-8,捫上恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范

圍是

1L_1

解析：由題意得步|max-2,

2

解得王鳥(niǎo)或V-L

又xE(-8,打，所以A的取值范圍是(-8,-1].

答案：(-8,-1]

2.(-江蘇高考)已知函數(shù)f^x)=x+ax+b{a,右ER)的值域?yàn)閇0,+°°),若關(guān)于x的不等式f(x)

<c的解集為()，必+6),則實(shí)數(shù)c的值為.

2

解析：因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇0,+8),所以/=0,即#=44所以V+ax+充-c<0的解集為(加，m

2

+6),易得m,0+6是方程V+ax+/c=0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

2勿+6=-a,

a2解得c=9.

mm+6=~r~c,

4，

答案：9

3.行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行*-------------,—段距離才能

停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，其種型號(hào)汽車的"i：剎車距離s(m)

nvv~O40kV

與汽車的車速r(km/h)滿足下列關(guān)系：5=訴+痂(〃為常數(shù)，且〃GN),做了兩

6<Si<8,

次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中

14<s2<17.

⑴求n