2024年高考最后一套壓軸卷-數(shù)學(xué)（理）試題（全國乙卷）含解析

2024高考壓軸卷全國乙卷

理數(shù)試題

本試卷共4頁，23題（含選考題）.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題

卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡

上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

5.考試結(jié)束后，，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

M=x2+2x-3=ok7V=（x|v=Vl-2x）

1.已知集合I1則McN=（）

A.{1}B.{3}

C.{-1}D.{-3}

2.已知&±Dl=2+i,則區(qū)-1|=（）

z

A.2B.73C.72D.l

3.已知曲線曠=。￥+工111工在點（La。）處的切線方程為y=2x+b,則

A.a-e,h--\B.a-e,b-\C.<7=e-1,6=1D.a=e~x,b=-l

4.為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的

目標(biāo)，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x

,-09+h

（單位：萬元）的Logistic模型：尸（x）=―壬工.已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比

1+e

7

例為50%,若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（）.（參考數(shù)據(jù)：e-04^-）

3

A.30%B.40%C.60%D.70%

1

5.下列說法不正確的是()

①命題"VxeR,sinX<1"的否定是"3xER.sinx^l

②4七=1”是“函數(shù)y=e'-e-為奇函數(shù)”的充分不必要條件；

③命題p：Txe[l,+oo),lgx>0,命題q:玉eR,Y+x+ivO，則P^q為真命題；

x+2,、

④，，函數(shù)y在(_OQ,T)U(T+?)上是減函數(shù)，，為真命題.

B.②??C.①?④D.①d④

6.函數(shù)/'(x)=sin戈-Inx2的圖象大致為()

7.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、間天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、

丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩

人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有()

A.8種B.14種C.20種D.16種

2

8.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一

個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑40cm,盆底直徑20cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時，盆內(nèi)

水的體積近似為（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

9.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,4，3a5,生成等差數(shù)列，若｛4｝中存在兩項4,使得4%

14

為其等比中項，則上+2的最小值為（）

mn

23

A.4B.9C.-D.-

32

22

10.設(shè)兄，鳥為雙曲線「二一［=1（4>0）>0）的上、下焦點，點。為r的上頂點，以耳鳥為直徑的圓交

a'b"

2

「的一條漸近線于43兩點，若=—兀，則=的離心率為（）

3

A.超+1B.2A/3+1c.率D.1

11.如圖，棱長為2的正方體4BCD—44GA中，點E,F,G分別是棱工刀,。，,8的中點，則下列

1

A.直線4G,共面B?Vf—BEF

3

C.直線4G與平面4044所成角的正切值為走D.過點比E,尸的平面截正方體的截面面積為9

4

3

12.已知定義在(-2,2)上的函數(shù)/("滿足/(幻+戶/(_工)=0〃1)=02,7'(X)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)

xe[0,2)時，r(x)>2/(x),則不等式e2x/(2-x)<e4的解集為()

A.(—1>1)B.(-U)

C.。，4)D.(1,5)

第II卷(非選擇題)

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.已知函數(shù)/(x)=sin0),對任意的xeR,都有=x),且f(x)在區(qū)間

上單調(diào)，則。的值為.

14.12—l[(x+2)4展開式的常數(shù)項為

)

15.拋物線1=一4》，上的動點到點"0,-1),石(1,-3)的距離之和的最小值為.

16,已知4,B,C是球。的球面上的三點，AB=2,AC=243,ZABC=60°,且三棱錐O-43C的體積為

蛔,則球。的體積為

3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

2f1—a

17.在①cos4=—―,②bcosC=(2a-c)cos3中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下列問題中，并作

2b

答.

問題：在△45C中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c,已知.

(1)求5

1

求a

(2)若Aage的外接圓半徑為2,且cos4cosc=8-

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.

4

18.已知等差數(shù)列｛4卜滿足=期+1.前〃項和為S”，S,是關(guān)于〃的二次函數(shù)且最高次項系數(shù)為1.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)已知"=---,求低｝的前〃項和卻

a”,^n+l

19.如圖，四棱錐尸-4SC。的底面是正方形，尸。J_平面N3CD,點E是尸4的中點，尸是線段尸3上(包

括端點)的動點，PD=AD=2.

(1)求證：PC//平面EBD；

附

(2)若直線耳?與平面PBC的夾角為60°，求■的值.

\BF\

5

20.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點尸(2,1)是拋物線C：/=2勿(p>0)上的一點，直線/交C于43兩

點.

(1)若直線/過。的焦點，求55.方的值；

(2)若直線P4,尸5分別與y軸相交于兩點，且麗.麗=1，試判斷直線/是否過定點？若是，求

出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

21.已知/*(x)=ex+7wlnx,/weR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)若加=-1,求證：對任意的再，x2e(95+oo),[f“百巧)卜/(割)/(方2).

6

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)與參數(shù)方程］

x=-5+\/5cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系x0，中，曲線C的參數(shù)方程為1.(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極

y=4+sina

點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為P(cos。-2sin8)=2.

(1)求。與/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若尸是C上的一個動點，求尸到/的距離的取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(力=|3》+3卜卜一5|.

(1)求不等式/(x)>0的解集M；

/、1113

(2)若加是的最小值，且正數(shù)々也c滿足a+b+c+m=0,證明：----H---------H--------->—.

a+bb+cc+a4

7

2024高考壓軸卷全國乙卷

理數(shù)試題答案

1【答案】D

【解析】由Y+2x-3=0可解得：x=—3或x=l,即Af={-3,1},

由函數(shù)y二，^7有意義可得：1一2'之0,解得：x<0,即"=9|》*0},

于是AfcN={-3}.

故選：D.

2.【答案】D

【解析】由￡±121=2+i，得z=|+:i,所以N_l=_|_：i,所以==1.

故選D.

3【答案】D

【解析】yr=aex+lnx+l,

=f=

^ylx=iac+1=2,Q=c"

將(1,1)代入y=2x+3得2+6=1,力二-1,故選D.

【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a,6的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系.

4.【答案】B

-0.9+9k

【解析】由題意得當(dāng)時，尸則一--=50%得《一°""=

x=9=50%,]+”知9大f1,

-0P+0.1X

所以9k—0.9=0,得左=0.1,所以尸(尢)=]+19也卜.

-09+0.1x5-0.4

當(dāng)X=5時，尸(x)==777^比40%?故選B-

5【答案】C

[解析]對于①：命題“VxeR,sinx<1”的否定是“3xeR,sinx>1"，故①不正確；

對于②：若a=l,則y=eX-er的定義域為R,且一卜一乂—e')=eX--乂，

所以函數(shù)y=0*-為奇函數(shù)，即充分性成立；

若函數(shù)y=e'-eF為奇函數(shù)，且7=6、-e^的定義域為R,

8

可得_（er_產(chǎn)卜e'_e~,整理得0-世）（*+乂-i）=o恒成立，

解得a=±l,即必要性不成立；

所以“a=l”是“函數(shù)y=eX-eF為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故②正確；

對于③：因為x2+x+l=1+；；+；>0恒成立，

即命題q:玉6此/+》+1<0為假命題，所以P人4為假命題，故③不正確；

對于④：當(dāng)工=-2時y=O,當(dāng)x=O時）=2,但一2<0,可得0<2,

所以函數(shù)y在（-y,T）U（T+叼上不是減函數(shù)，故④不正確；

故選：c.

6【答案】C

【解析】S/（-x）=-sinx-lnx2=-/（x）,

可知f（x）是奇函數(shù)，且定義域為｛小W。｝,排除BD；

當(dāng)X=兀時，/（兀）=sin兀.山兀2=0,排除A.

故選:C

7【答案】B

【解析】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有A；=2種；

第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有C；C；=6種，

然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有A；=2種，

所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有6x2=12種.

綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗共有2+12=14種.

故選:B

8【答案】B

【解析】如圖所示，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長EC與處于點G.

9

根據(jù)題意，AB=20cm,CD=10cm.4c=15cm,EC=6cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm

所以"=一上=*

20x+1510x

解得x=15,j=14,

所以jz=g(兀442+兀4()2+兀.14.10).6=872兀比2739(513),

故選：B.

9【答案】D

【解析】因為小，3a5，0成等差數(shù)列，所以2'3勾=。6+。7，

又｛4｝為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項為％,公比為q,

所以Gai/nad+a]/,所以/+q-6=o,

解得q=2或q=-3(舍),

又4al為4,4的等比中項,

所以(4q)2=amxan,

-1-1m+-242

所以16af=x2"xfllx2"=x2"=2xa1,

所以加+〃一2=4,即加+〃=6,

141f14^11(.4加nA1f_/4m_ri']3

所以—+—二—(TW+〃)X|—I—=—1H---H----F4|之一5+2J—x—=一

mn6I加6(nmJ6\mJ2

4wYl

當(dāng)且僅當(dāng)一=-,即加=2,〃=4時，等號成立，

nm

143

所以一+一的最小值為一.

mn2

io

故選：D

【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項、等比中項、基本不等式等知識，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本

不等式時，應(yīng)注意取等條件，即角標(biāo)m,“必須為正整數(shù)，屬中檔題.

10.【答案】C

【解析】由題意知以片鳥為直徑的圓的方程為V+y2=c2,根據(jù)對稱性，不妨設(shè)一條漸近線方程為

y=--x,聯(lián)立得4（一仇。）,3（仇-。），又C（o,a）,所以頡=（_匕,0）,辦=（b,-2a）,則

b

8S2L4C3="藝=牙=一1,即/=3/所以離心率

\CA\\CB\b^b2+4a223

*=后=尸=5字故選c

11【答案】D

對于A項，如圖①，分別連接^。，△^”。，在正方體/臺⑺-4片4馬中，易得矩形44GC，

故有4G//4C，又E,G分別是棱/2C0的中點，則EG/A4C,故EG//&G，即EG,4G可確定一

個平面，故A項正確；

對于B項，如圖②，匕=%-*/7=§x|481=3x3義lxlx2=§,故B項正確；

對于C項，如圖③，連接4。,因DC_L平面40n4,故直線4G與平面所成角即NG4。,

1F5

在Rt△G^4,Z）中，tan/GA1D=-----=—產(chǎn)=.故C項正確：

A.D2a4，

11

圖④

對于D項，如圖④，連接BE,EF,BC1，GF,易得EF/BG，

因平面NZ)A4〃平面則5G為過點8,E,尸的平面與平面的一條截線,

即過點8,E,尸的平面即平面3ERG-

由EF=立,BE=#,BC、=2&,G尸=書可得四邊形BEFCX為等腰梯形,

故其面積為：SyW(虎+2物>林)^^=乎*4=|,即D項錯誤

故選：D.

12【答案】C

【解析】令g(x)=冬，

e

貝！1f(x)+e4x/(-x)=0,即g(x)+g(-x)=0,

故函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

當(dāng)xe[0.2)時，/,(x)>2/(x),則g，(x)=/'(x)$〃x)>0,

e

故g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增，在(-2,0]上單調(diào)遞增，

所以g(x)在(一2,2)上單調(diào)遞增，

又/(l)=e2,貝(]86=季=1,

則不等式e2'7(2-x)<e4,即=g(2-x)<l=g(l),

—2<2—x<2

故Vr,,解得1<X<4?

2-x<1

故選：C.

7Q

13.【答案】上或9

33

12

【解析】因為f(x+7i)=f(r),所以函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于直線工=四對稱，

所以sinj烏0+二)=±1,即二&+3=￥+而，k&Z,

(26J262

2

解得6y=—+2左，AreZ,

3

vco>0,k>0,keZ,

因為f(x)在區(qū)間［一上單調(diào)，所以展一［一；)41,解得343.

28

經(jīng)檢驗，當(dāng)左=0時，。=一，當(dāng)k=1時，。=一均滿足題意.

33

14.【答案】48

【解析】因為(X+2)”的展開式的通項是4+1=5/"。2’，所以所求常數(shù)項為—24+2C；-23=48.

15【答案】4

【解析】拋物線1=-4y的焦點為產(chǎn)(0,-1),準(zhǔn)線為/：y=l,

設(shè)P是拋物線上的任意一點，則題目所求為|尸尸|+|尸司的最小值，

過尸作7W_L/,垂足為

根據(jù)拋物線的定義可知|P尸|=\PH|,

所以題意所求為歸冏+|產(chǎn)司的最小值，

根據(jù)圖象可知，當(dāng)ER〃三點共線時，|產(chǎn)目|+|尸局的值最小，

故最小值為3+1=4.

故答案為：4

16【答案】32幣“

【解析】在△43C中，AB=2,AC=2y/3,ZABC=60°,由余弦定理得

13

AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSZABC，

即12=4+8C2-2BC，整理得3c2-230-8=0，mBC>0,解得3c=4,

^AC2+AB2=BC2,即N&4C=90°,則443C外接圓的半徑r=』3C=2,

2

令球心O到平面ABC的距離為d，而AABC的面積為S△抬C=gAB-AC=26,

由棱錐O-45C的體積為生尼，得Lx2/xd=@5,解得d=2ji，

333

球。的半徑R，則有&2=戶+/=]2，R=2出,

所以球O的體積/=：成3=g兀.(2/)3=324兀.

故答案為：32幣”

(2)ac=6

【分析】(1)選①利用余弦定理即可求出；選②根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角即可得到答案；

3

(2)首先求出sin4sinC=-，再利用正弦定理整體求出即可.

8

【小問1詳解】

選擇條件①：

因為COS4=生心，在△Age中，由余弦定理可得"+‘2-優(yōu)=至二q,

2b2bc2b

口「)))nd672+c2-b2ac1

即a'+c'一"=ac?貝！13sB=-----------=----=—，

laclac2

因為3e(0,7r),所以3

選擇條件②：

因為方cosC=(2a-c)cos4,在△45c中，由正弦定理可得sinBcosC+sinCeos5=2sin4cos3,

14

即sin(5+C)=2sin48s3,則sin4=2sin4cosB,

因為/e(0,兀)，所以sin4H0,則］cos3=L,

2

因為Be(0,7t),所以B=g.

【小問2詳解】

因為8=乙，所以4+C=@,貝!|cos(4+C)=—！，

332

即8s48sC-sin/sinC=-1,又8s/cosC=一2，

28

113

所以sin4sinC=———二一.因為A43C的外接圓半徑X=2，

288

ac3

所以由正弦定理可得sin4sinC=-----=-，所以比=6.

448

18.解：(D因為｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)也｝首項為4,公差為d,

va4=2%+L；.ai+3d=2q+2Y+l,

二勾=47-1.

c?(M-1),d(d\

：S"=、2~=~n2+1a\~~\n

二q=Ld=2.

:.an=2n-l.

(2);a“=2n-L,

-b=______i______=ip______M

*(2?-l)-(2?+l)2(2〃-12?+l/

TZ.Z.2.L1(1)〃

T=b+b+^+---+^?=-1-T--T=Z—T.

-'-nl2212n+l)2M+1

19.解：(D證明：如圖，連接4c交8。于點O,連接EO,

?二四邊形43co是正方形，.'O為4c的中點，

???E是尸4的中點，,EO//PC,

,：EOc平面EBD,PC<T平面EBD,：.PC//平面EBD.

(2)易知ZU,OC,Z>尸兩兩垂直，

以Z)為原點，加,。。,。尸分別為工軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

15

則5(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l).

二CB=(2,0,0),P5=(2,2,-2),P￡=(1,0,-1),

設(shè)方=九而，則

￡F=PF-PE=2(2,2,-2)-(1,0,-1)=(22-1,22,1-22).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n-CB=0,f2x=0,一,、

則《一即V令y=i,貝!|〃=(O,L1).

元.PB=0,[2x+2y-2z=0,

,—M￡F11

cos<n,EF>=-----=-------------==——/----

|方||￡F|V2x7(22-l)2+(22)2+(1-22)22,6無-4%+1

又直線EF與平面PBC的夾角為60,，

1_73解得2=L

'Z&X?-42+123

M=i

忸產(chǎn)|2

20.解：(1)因為點尸(2,1)是拋物線C:d=2勿(p>0)上的一點,

所以22=20，解得p=2,所以。的方程為-=4y,

所以。的焦點為(0,1).顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為》=h+1,4(和必),5(孫%),

(y=Ax+l,

由<2,得一一4七:一4二0，所以西+吃=4左，再超二一4,

[x=4y

所以=-7---十=1，

44

所以O(shè)A?OB-Xj%2+必為=-4+1=-3.

16

2

(2)設(shè)4(玉,乂),3(毛,無)，顯然直線取的斜率存在，且斜率為必一1_7~-1一七+2,

七一2jq-24

所以直線產(chǎn)/的方程為y—l=43(x—2),

所以囚=1+^^?(-2)=_1/，即而=(o,一:x］,

同理可得，而=］。,一；馬)，

14-

所以O(shè)A八QVX?|=1，所以再巧二4,即x2—,U

一3)須

Wx1

顯然直線，的斜率存在，且斜率為%一乂_N~—7_再+工2，

X2-X1電一百4

所以直線/的方程為》-二=止2(工-/)，②

44

4

將①式代入②式，整理得再+—x—4尸4=0,

I

所以直線/恒過定點(0,-1).

21.(1)解：的定義域為(0,+℃),/,(x)=e+—=

若加之0,則/''(X)=空詈>0恒成立，

所以/(X)在(0,+叼上單調(diào)遞增.

若加〈0,令f(x)=-----=0,得方=一一，

xe

當(dāng)詞0,—‘時，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe+/J時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)相對時，f(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞福當(dāng)加<0時，/'(X)在［(),-：)上單調(diào)遞減，在+8

上單調(diào)遞增.

17

（2）證明：當(dāng)加=—1時，f（x）=er-Inx.

所以［f馬）］二（3/xiL一山｛種2）=/再X、_2cJjqx?In，罕二+山？J再電，

/（七）/（超）=（叼一山西）（勿2-山%）=/%送2—1口巧+電1口%）+Inx11nx2.

要證（再），巧），

即證In?Jjqq—24須與In^jqx2=：In2（再三）一?/陽馬In（陽馬）

＞InX!Inx2-e（xjInJG+x2Injq）,

即證［（In演+In0-cjjqx?In（x1x2）+e（x1lnx2+x2lnjq）＞lnx1lnx2.

由（a+b）’＞4abf得（in/+In/J4InxxInjq,

即;（In演+In三）’之In須In0，

c（x11nx2+x2In/—cj再x?In（jqx2）

=?］百?（后-嘉1111再+毒?（?―冉）出々

=2e（百一?）（曰In亞一?.In百）

聲一

>0.

下面給出證明：設(shè)%（x）=/（x＞3）,貝！|"（x）=W^,

當(dāng)xw（3,+℃）時,“（x）＜0恒成立,〃（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)%＞方2＞9時，，

所以（百-嘉）［M百）-〃（點）］＜。；

當(dāng)陽=々時，嘉-向'=0，所以（6一百'）［》（喜）-〃（百'）］=0;

當(dāng)*2＞再＞9時，＜0,卜（y1^）_,

所以（括-嘉）［4（y）-"（百）］＜。.

所以（、/1*（JE）］?0對任意的西，x2€（%+℃）恒成立,

18

即20南(阮一嘉)羋］

NO對任意的天,馬6(9,+00)恒成立.

x

綜上所述，1(比i+Inx2)"-ejx62In(x/r2)+e(/Inx,+x2Injq)>InXjlnx2恒成立,

xx

故對任意的再，x2e(9,+oc),^/(l)/(2)-

22【答案】(1)(X+5)2+(J-4)2=5,x-2y-2=0；

(2)［2而,4同

【分析】(1)消去參數(shù)求出曲線C的普通方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的