2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想 解答題專題訓(xùn)練

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想》解答題專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）在AC上是否存在點(diǎn)P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，與三角形另一頂點(diǎn)的連線恰好平分△ABC的面積，求出t的值．（3）若點(diǎn)P恰好在△ABC的角平分線上（頂點(diǎn)除外），請(qǐng)直接寫出t的值.2．如圖，D，E分別是銳角△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，P是與△ABC在同一平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D，點(diǎn)E不在同一直線上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．（1）如圖1，當(dāng)P是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)時(shí)，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度數(shù)．（2）當(dāng)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，直接寫出∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖2，當(dāng)P是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．3．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以O(shè)C為邊作等邊△OCD，連接AD．（1）求證：△BOC≌△ADC；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，△ABC經(jīng)過平移后得到△DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'（a﹣2，b﹣4）．（1）寫出D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）在圖中畫出△DEF．（3）△DEF的面積為．5．如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊長(zhǎng)為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，同時(shí)擺動(dòng)臂DM可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，已知∠BAC＝90°，BC＝16，AD＝6，DM＝2．（1）直接寫出AB的長(zhǎng)；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)以A，D，M為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形時(shí)，直接寫出AM的長(zhǎng)；（3）如圖2，把擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接DE，EC．①當(dāng)∠AEC＝135°，CE＝7時(shí)，求BE的長(zhǎng)．②當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，直接寫出BE的長(zhǎng)．6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)兩點(diǎn)都停止移動(dòng)，時(shí)間為t．（1）如圖1，若PQ＝4時(shí)，求時(shí)間t的值：（2）如圖2，連接AC，作BG⊥AC，垂足為點(diǎn)G，作△PBQ的外接圓⊙O．①判斷點(diǎn)G與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．②連接GP、GQ，若△PGQ的面積等于9，求t的值．7．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AD＝CD，∠DAC＝∠ABD＝45°，AG平分∠CAB，交DB于點(diǎn)G．（1）如圖①，求證：DA＝DG；（2）如圖①，求證：AC2＝2DE?DB；（3）如圖②，過點(diǎn)C作CF⊥AG，垂足為F，若∠ABC＝90°，，求的值．8．（1）證明推斷如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE，BD的垂線，分別交直線BC于點(diǎn)F、G．推斷：AE與EF的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）（2）類比探究如圖2，在矩形ABCD中，＝m，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE，BD的垂線分別交直線BC于點(diǎn)F，G．探究的值（用含m的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運(yùn)用在（2）的條件下，連接CE，當(dāng)m＝，CE＝CD時(shí)，若CG＝1，求EF的長(zhǎng)．9．閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與AB重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問題：（1）如圖1，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，請(qǐng)求出AB：BC的值．10．（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①線段OD的長(zhǎng)；②求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC＝90°？請(qǐng)給出證明．11．定義：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O，且有OP'＝k?OP（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心，（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，以PQ為邊作菱形PQMN，點(diǎn)N在線段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，請(qǐng)畫出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面積最大（不要求尺規(guī)作圖）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面積；（3）如圖，四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個(gè)菱形，CD、EF相交于點(diǎn)M，連接BG、CF．請(qǐng)用定義證明：△ABG與△MCF位似．12．已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，并以CF，EF為邊作?DEFC．（1）直接寫出?DEFC對(duì)角線CE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，問：點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值，反之，請(qǐng)說明理由；（3）連接AD，分別交OC，EF于點(diǎn)M，N，當(dāng)?DEFC為矩形時(shí)，求AN的長(zhǎng)．13．已知直線MN⊥PQ，兩條直線相交于點(diǎn)O，△ABC為等腰三角形，點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線OP上．（1）如圖1，點(diǎn)C在∠MOQ內(nèi)部，若∠BAC＝90°，CH⊥MN于H，證明：CH＝AO．（2）如圖2，AB＝AC，點(diǎn)C在射線OQ上，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，若∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE．求證：BF＝CE；（3）如圖3，點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)點(diǎn)E在∠PON內(nèi)部，BE⊥AE，連接OE，求∠BEO的度數(shù)．14．探究問題：（1）方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF＝45°∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝°．即∠GAF＝∠．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌．∴＝EF，故DE+BF＝EF．（2）方法遷移：如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且．試猜想DE、BF、EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E、F分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足：，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF＝EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說明理由）．15．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQN．若點(diǎn)P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點(diǎn)P是折線段MQN的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段POA的中點(diǎn)．若∠APO＝30°，則PB＝；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A為⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAB＝45°，若AB＝8，BC＝10，則AD＝．16．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)E，弦CF⊥BD于點(diǎn)G，連結(jié)AG，且滿足∠1＝∠2．（1）求證：四邊形AGCD為平行四邊形．（2）設(shè)tanF＝x，tan∠3＝y(tǒng)．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．②已知⊙O的直徑為2，y＝，點(diǎn)H是邊CF上一動(dòng)點(diǎn)，若AF恰好與△DHE的某一邊平行時(shí)，求CH的長(zhǎng)．③連結(jié)OG，若OG平分∠DGF，則x的值為．17．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），連接AD，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，使∠DAE＝90°，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，直接寫出線段BD與線段CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：①數(shù)量關(guān)系：；②位置關(guān)系：；（2）如圖2，當(dāng)＝＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BD與線段CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BE，分別取線段BE，DE的中點(diǎn)M，N，連接MN，CM，CN，若AB＝2，∠ADB＝45°，請(qǐng)直接寫出△CMN的面積．18．如圖，在8×6的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）直接寫出△ABC的面積＝；（2）諸僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡：①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出△ABC的高BH；②請(qǐng)?jiān)趫D1中在線段BC上找一點(diǎn)D，使∠DAC＝45°．③在圖2中畫出所有滿足條件△ABC的面積＝△ACE的面積的格點(diǎn)E．19．[課本再現(xiàn)]（1）我們知道，平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)都屬于全等變換，如圖1，是4×4正方形網(wǎng)格，A，D，C均是格點(diǎn)，B，E分別在CD和AC上，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，請(qǐng)你判斷△ABC是通過怎樣的變換得到△DEC的？填：．[深入探究]（2）在圖1中，AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)用F表示，連接CF，如圖2，探究CF與DE的關(guān)系；[柘展延伸]（3）將圖2中的點(diǎn)B，E繞著點(diǎn)C同時(shí)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B′，E′，連接AB′，DE′，作AB′的中點(diǎn)F'，連接CF′，如圖3，猜想CF′與DE′的關(guān)系，并進(jìn)行證明．20．【問題初探】如圖（1），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BE，BE與CD的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．【類比再探】如圖（2），△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝ME，連接BE，求∠EBD的度數(shù)．【方法遷移】如圖（3），Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)．點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)且BD＝1，連接MD，以MD為一邊作△MDE，使∠DME＝90°，MD＝，連接BE，求BE的長(zhǎng)．

參考答案20．（1）解：由折疊可知∠BAE＝∠EAC，∠DAF＝∠FAC，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAF＝22.5°，∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形，∵DF＝BE，BC＝CD，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形，故答案為：45°，△AEF，△CEF；（2）解：延長(zhǎng)CB到G，使BG＝DQ，連接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADQ（SAS），∴AG＝AQ，∠DAQ＝∠GAB，∵∠PAQ＝45°，∴∠GAP＝45°，∵AG＝AQ，∠PAQ＝∠GAP，AP＝AP，∴△GAP≌△QAP（SAS），∴PQ＝GP，∵GP＝GB+BP＝DQ+BP，∴PQ＝DQ+BP，故答案為：PQ＝DQ+BP；（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACD＝∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABM∽△ACQ，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，故答案為：；（4）證明：將△AND繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AHB，連接HM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝45°，∵AN＝AH，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴HM＝MN，∵∠D＝∠HBA＝45°，∠ABD＝45°，∴∠HBM＝90°，在Rt△HBM中，HM2＝HB2+BM2，∴BM2+DN2＝MN2．1．解：（1）∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，如圖1，存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，理由如下：此時(shí)PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，PA＝PB；（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AC上時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，BP平分△ABC的面積，∵AC＝4cm，∴AP＝2cm，∴t＝1s；當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)處，AP平分△ABC的面積，∵AC+CP＝4+＝cm，∴t＝s；綜上所述：t的值為1s或s；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C或點(diǎn)B處時(shí)，一定在△ABC的角平分線上，此時(shí)t＝2或t＝3.5秒；當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上時(shí)，作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖2，此時(shí)AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，∵△APM∽△ABC，∴AP：AB＝PM：BC，即：2t：5＝（4﹣2t）：3，解得：t＝；當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，作PN⊥AB，如圖3，此時(shí)BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），∵△BPN∽△BAC，∴BP：BA＝PN：AC，即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，解得：t＝．綜上，當(dāng)t＝2、3.5、、秒時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的角平分線上．2．解：（1）∵∠2＝65°，∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°，∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°；（2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P位于DE下方時(shí)，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2），∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2；當(dāng)點(diǎn)P位于DE上方時(shí)，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2，∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°；（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下：設(shè)DP與BC交于點(diǎn)Q，∴∠CQD＝∠2+∠DPE，∵∠1+∠C+∠CQD＝180°，∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°，∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°．3．（1）證明：∵△ABC和△ODC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，∴∠ACD＝∠BCO，在△BOC和△ADC中，，∴△BOC≌△ADC（SAS）；（2）解：△ADO是直角三角形，理由如下：理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∵∠ADO+∠DAC＝∠DOC+∠ACO，∴∠CAD＝120°﹣∠α+∠ACO，∵∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣（60°+200°﹣α）﹣∠ACO＝α﹣80°﹣∠ACO，∴∠OAC+∠CAD＝40°，即∠OAD＝40°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴200°﹣α＝α﹣60°，∴α＝130°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α﹣60°＝40°，∴α＝100°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴200°﹣α＝40°，∴α＝160°．∴當(dāng)α為130°、100°、160°時(shí)，△AOD是等腰三角形．4．解：（1）∵P為AC上的點(diǎn)，P平移后P?（a﹣2，b﹣4）表示向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位．∴A（﹣2，2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（﹣4，﹣2）；B（2，0）對(duì)應(yīng)點(diǎn)E（0，﹣4）；C（3，3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)F（1，﹣1）．∴D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F(xiàn)（1，﹣1）；（2）如圖，△DEF即為所求；（3）如圖所示，將D，E，F(xiàn)連線即可．三角形DEF的面積為：3×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×3＝15﹣﹣4﹣＝7．故答案為：7．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC2＝2AB2，∵BC＝16，∴AB＝，故答案為：8；（2）當(dāng)∠ADM＝90°時(shí)，∵AD＝6，DM＝2，∴AM＝＝2；當(dāng)∠AMD＝90°時(shí)，AM＝＝4；綜上所述：AM的長(zhǎng)為2或4，故答案為：2或4；（3）①連接CD，∵AE＝AD，∠CAD＝90°﹣∠EAC＝∠BAE，AC＝AB，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠AED＝45°，∵∠AEC＝135°，∴∠CED＝90°，∵AD＝AE＝6，∴ED＝6，∵CE＝7，∴CD＝＝11，∴BE＝11；②連接EC，CD，由①可知△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC，∵∠AED＝45°，∴∠AEB＝∠ADC＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°，∵BE＝CD，∴BD＝6+CD，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，∴256＝（6+CD）2+CD2，解得CD＝或CD＝，∴BE的長(zhǎng)為或，故答案為：或．6．解：（1）∵AB＝6cm，BC＝12cm，∴BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵PQ＝4，∴4＝，解得t＝2或t＝；（2）①以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在是直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)G作GE⊥AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GF⊥BC交于點(diǎn)F，∵AB＝6，BC＝12，∴AC＝6，∴sin∠ACB＝＝，∵∠ABG+∠GBC＝∠GBC+∠ACB＝90°，∴∠GBE＝∠ACB，∴＝，∵S△ABC＝×6×12＝6×BG，解得BG＝，∴EG＝，EB＝，∴G（，），∵⊙O是△PBQ的外接圓，∠PBQ＝90°，∴PQ的中點(diǎn)為圓O的圓心，∵P（0，6﹣t），Q（2t，0），∴O（t，3﹣t），PQ＝，∵GO＝，∴GO＝PQ，∴G點(diǎn)在圓O上；②∵S△PBQ＝×2t×（6﹣t）＝t（6﹣t），S△BPG＝×（6﹣t）×＝（6﹣t），S△BGQ＝2t×＝t，∴S△PQG＝S△BPG+S△BGQ﹣S△PBQ＝（6﹣t）+t﹣t（6﹣t），∵△PGQ的面積等于9，∴（6﹣t）+t﹣t（6﹣t）＝9，解得t＝3或t＝﹣（舍）．7．（1）證明：∵AG平分∠CAB，∴∠EAG＝∠BAG，∵∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAG＝45°+∠EAG，∠AGE＝45°+∠BAG，∴∠DAG＝∠AGE，∴DA＝DG；（2）證明：∵AD＝CD，∠DAC＝45°，∴∠DCA＝45°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝2AD2，∵∠DAE＝∠ABD，∴△DAE∽△DBA，∴＝，∴AD2＝DE?DB，∴AC2＝2DE?DB；（3）解：連接CG，∵CF⊥AG，∴∠F＝90°，∵AG平分∠CAB，∴∠BAF＝∠CAF，∴△ABH∽△AFC，∴＝，設(shè)BH＝3m，，則CF＝2m，∵AD＝CD＝AB，∴∠DAG＝∠AGD，∠DGC＝∠DCG，∵∠ADC+2∠DGA+∠2∠DGC＝360°，∴∠DGA+∠DGC＝135°，∴∠CGF＝45°，∴GF＝2m，∴CG＝2m，∵∠ABD＝∠CGH＝45°，∠ABC＝90°，∴∠GBC＝45°，∴△CGH∽△CBG，∴＝，即＝，解得CH＝5m，∴＝，故答案為：．8．解：（1）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°，BE＝EG，∴△ABE≌△FEG（ASA），∴AE＝EF，故答案為：AE＝EF；（2）∵AE⊥EF，EG⊥BD，∴∠AEF＝∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠FEG，∵∠EBG+∠EGB＝∠ABE+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠EGB，∴△AEB∽△FEG，∴＝，∵∠DBC+∠BDC＝∠EBG+∠EGB＝90°，∴∠EGB＝∠BDC，∴△BEG∽△BCD，∴＝，∵＝m，∴＝m，∴＝m；（3）過點(diǎn)E作EQ⊥AB交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥BD交于P點(diǎn)，∵m＝，∴BC＝2CD，AE＝2EF，設(shè)CD＝x，則BC＝2x，BD＝x，∵S△BCD＝BC×CD＝BD×CP，∴CP＝x，∴DP＝x，∵CE＝CD，∴EP＝PD＝x，∴BE＝x，BP＝x，∵EG⊥BD，CP⊥BD，∴EG∥CP，∴＝，即＝，解得BG＝3，∴BC＝4＝2x，∴x＝2，∴BE＝，CP＝，∵S△BCE＝BE×CP＝BC×BQ，∴BQ＝，∴AQ＝，QE＝＝，∴AE＝＝，∴EF＝．9．解：（1）∵∠A＝∠DEC＝45°∴∠ADE+∠AED＝135°，∠BEC+∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；（2）如圖中所示的點(diǎn)E和點(diǎn)F為AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，CE＝AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE＝，∴＝，∴＝，∴BC＝AB，∴AB：BC＝2：．10．解：（1）①由旋轉(zhuǎn)可知△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BDO＝60°，∴OD＝BO，∵OB＝4，∴OD＝4，故答案為：4；②∵OA＝3，OB＝4，∴OD＝BO＝4，CD＝AO＝3，在△ODC中，OD＝4，CD＝3，CO＝5，∵CO2＝DO2+CD2，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＝150°；（2）由旋轉(zhuǎn)可得△ABO≌△CBD，∴BO＝BD，CD＝AO，∠ABO＝∠CBD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠OBD＝90°，∴△BDO是等腰直角三角形，∴OD＝BO，∵∠ODC＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，∴OC2＝2OB2+AO2．11．解：（1）如圖：（2）∵四邊形P'Q'M'N'在△ABC內(nèi)，∴當(dāng)M'點(diǎn)在BC上時(shí)，菱形P'Q'M'N'的面積最大，∵四邊形PQMN是菱形，四邊形P'Q'M'N'是菱形，∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，∵∠APQ＝120°，∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴△BM'N'是等邊三角形，∴M'B＝M'N'＝Q'M'，∵AB＝6cm，∴BC＝3cm，∴CM'＝3﹣BM'，在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，∴Q'M'＝2CM'，∴BM'＝2（3﹣BM'），解得BM'＝2，在△BM'N'中，過點(diǎn)M'作M'E⊥BN'交于點(diǎn)E，∵BM'＝2，∠B＝60°，∴M'E＝，∴菱形P'Q'M'N'的面積＝2；（3）延長(zhǎng)GF、BC交于O點(diǎn)，連接AO，∵四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個(gè)菱形，∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，∴∠OGB＝∠OBG，∴OG＝BO，∵GF＝BC，∴OF＝OC，∴＝，連接OM，∵∠GFE＝∠BCD，∴∠MFO＝∠MCO，∵∠OFC＝∠FCO，∴∠MCF＝∠FCM，∴CM＝FM，∴△MOF≌△MOC（SAS），∴∠FOM＝∠COM，∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，∴△AGO≌△ABO（SAS），∴∠FOA＝∠BOA，∴MO與AO重合，∴A、M、O三點(diǎn)共線，∴GF、BC、AM的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)O，∴MF∥AG，∴＝，∵CM∥AB，∴＝，∴＝＝，∴△ABG與△MCF位似．12．解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，∴E（2，0），∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），∴CE＝2；（2）點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離是定值，理由如下：過點(diǎn)D作DG⊥OC交于點(diǎn)G，∵AF⊥OA，CO⊥OA，∴CG∥AF，∵DG⊥OC，EA⊥OC，∴DG∥EA，∴∠DCG＝∠EAF，∵四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF，∴△DCG≌△EFA（AAS），∴DG＝EA＝2，∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離是定值2；（3）∵?DEFC為矩形，∴∠DEF＝90°，∴∠HEO+∠FEA＝90°，∵∠HEO+∠OHE＝90°，∴∠FEA＝∠OHE，∴△HEO∽△EFA，∴＝，∵OE＝AE＝2，∴OH?AF＝4，設(shè)OH＝t，則AF＝，由（2）知，△DCG≌△EFA（AAS），∴CG＝AF＝，DG＝OE＝2，∵DG＝OE，∠DHG＝∠OHE，∠DGH＝∠HOE，∴△DGH≌△EOH（AAS），∴HG＝OH＝t，∴2t+＝6，解得t＝2或t＝1，當(dāng)t＝1時(shí)，AF＝4，∴F（4，4），D（﹣2，2），設(shè)直線EF的解析式為y＝kx+b，，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x﹣4，設(shè)直線AD的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得，∴N（，），∴AN＝；當(dāng)t＝2時(shí)，F(xiàn)（4，2），D（﹣2，4），同理可求直線EF的解析式為y＝x﹣2，直線AD的解析式為y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得，∴N（，），∴AN＝；綜上所述：AN的長(zhǎng)為或．13．（1）證明：∵∠BAC＝90°，∴∠HAC+∠BAO＝90°，∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠HAC＝∠ABO，∵AC＝AB，∴△ABO≌△CAH（AAS），∴CH＝AO；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AEF＝∠ACB＝2∠OAE，∴∠AEF＝∠ABE，∵∠AEC＝∠ABE+∠FAE，∠BFE＝∠FAE+∠AEF，∴∠AEC＝∠BFE，設(shè)∠OAE＝α，則∠AEF＝∠FBE＝2α，∴∠FEB＝90°﹣3α，∠BAC＝180°﹣4α，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠FAO＝90°﹣2α，∴∠FAE＝90°﹣α，∵∠FBE＝2α+90°﹣3α＝90°﹣α，∴AF＝AE，∴△AEC≌△EFB（AAS），∴BF＝CE；（3）解：過點(diǎn)O作OG⊥AE交于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OH⊥BE交于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∵AE⊥BE，∴∠BEA＝90°，∵∠BFE＝∠AFO，∠BEA＝∠AOF＝90°，∴∠FBE＝∠GAO，∴△AGO≌△BHO（AAS），∴GO＝OH，∴EO是∠GEH的角平分線，∴∠GEO＝∠OEH＝45°，∴∠BEO＝90°+45°＝135°．14．解：（1）將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，故DE+BF＝EF；故答案為：EAF，△EAF，GF．（2）EF＝DE+BF，理由如下：如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝90°+90°＝180°，∴點(diǎn)H、B、F三點(diǎn)共線，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）當(dāng)∠B與∠D滿足∠B+∠D＝180°時(shí)，可使得DE+BF＝EF，延長(zhǎng)CB在上截取BG＝DE，連接AG，∵∠ABF+∠ABG＝180°，∠ABF+∠D＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵AB＝AD，DE＝GB，∴△ABG≌△ADE（SAS），∴AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝DE+BF．15．（1）解：∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠APO＝30°，AO＝2，∴PO＝4，∴PO+AO＝6，∵B是折線段POA的中點(diǎn)，∴PB＝3，故答案為：3；（2）證明：在BC上截取CG＝AB，連接MC、MG、MB、MA，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG（SAS），∴MB＝MG，∵M(jìn)D⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG＝CD，∴D是折弦ABC的中點(diǎn)；（3）解：BD＝AB+CD，理由如下：在BD上截取BG＝AB，連接MC、MA、MB、MG，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∵∠ABM＝∠MBG，∴△MAB≌△MGB（SAS），∴MA＝MG，∴MC＝MG，∵DM⊥BC，∴CD＝DG，∴AB+CD＝BG+DG＝BD；（4）解：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AB＝8，BC＝10，∴AC＝6，當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，如圖5，∵∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠DAC＝45°，過D點(diǎn)作DG⊥AB交于點(diǎn)G，∴BG+AC＝AG，∴AG＝×（6+8）＝7，∴AD＝7；當(dāng)D點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，∠BAD＝45°，過點(diǎn)D作DH⊥AB交于H點(diǎn)，∵AH+AC＝AB，∴AH＝（8﹣6）＝1，∴AD＝；綜上所述：AD的長(zhǎng)為7或，故答案為：7或．16．（1）證明：∵AB為直徑，CF⊥BD，∴∠ADB＝∠DGC＝90°，∴AD∥CG，∴∠1＝∠2＝∠ACD，∴AG∥CD，∴四邊形AGCD為平行四邊形；（2）解：①過點(diǎn)A作AP⊥CF交于P，則四邊形ADGP是矩形，∵四邊形AGCD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD＝CG，DE＝EG，∠DAC＝∠ACF，∴AF＝CD，AP＝DG，∴Rt△APF≌Rt△DGC（HL），∴CG＝GP＝PF＝AD，設(shè)CG＝a，DE＝b，則FG＝2a，GD＝2b，∵BG?DG＝CG?GF，∴BG＝，在Rt△BGC中，tan∠3＝y(tǒng)＝＝，在Rt△APF中，tanF＝x＝＝，∴x＝2y，∴y＝x；②由①知y＝，∵y＝，∴b＝a，∴GD＝2b＝a，GB＝a，∴BD＝DG+BG＝a，∵AB＝2，∴a2+（a）2＝（2）2，解得a＝，如圖2，當(dāng)DH∥AF時(shí)，∵AD∥FH，∴四邊形ADHF是平行四邊形，∴AD＝FH＝a，∴CH＝2a＝；如圖3，當(dāng)EH∥AF時(shí)，∵四邊形AGCD是平行四邊形，∴AE＝EC，∴H是CF的中點(diǎn)，∵CF＝3a＝，∴CH＝；綜上所述：CH的長(zhǎng)為或；③如圖4，過點(diǎn)O作OM⊥CF交于M，過點(diǎn)O作ON⊥BD交于N，∵OG平分∠DGF，∴OM＝ON，∴BD＝CF，∴3a＝2b+，整理得，a2﹣3ab+2b2＝0，解得a＝b或a＝2b，∵x＝，∴x＝2或x＝1，故答案為：2或1．17．解：（1）①∵＝＝1，∴AC＝AB，AE＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故答案為：BD＝CE；②由①可知△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ECA，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BD，故答案為：CE⊥BD；（2）EC＝2BD，CE⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ECA，∵＝＝2，∴△BAD∽△CAE，∴＝2，∴EC＝2BD，∵∠ABD+∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACB＝9