北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義-難點(diǎn)探究：化簡(jiǎn)絕對(duì)值4類(lèi)熱點(diǎn)題型講練（原卷版）

第08難點(diǎn)探究專(zhuān)題：化簡(jiǎn)絕對(duì)值（4類(lèi)熱點(diǎn)題型講練）

目錄

【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】.............................................................1

【考點(diǎn)二分類(lèi)討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】.............................................................2

【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】.........................................................3

【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】...................................................................6

【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023春?上海徐匯?六年級(jí)上海市西南位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）°、6、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)的位置如圖所示，計(jì)算：\a-b\+\b+c\=

ca0b

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?六年級(jí)統(tǒng)考期中）有理數(shù)Q,b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)

|Z）+c|+|?-c|=.

_____?ill?

cb0a

2.（2023秋?廣西南寧?七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知。，b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，所

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.

CBA

____II__I!_?

cb0a

⑴填空：A,8之間的距離為,B,。之間的距離為.

（2）化簡(jiǎn):一|2c—耳+2年一小.

3.（2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）有理數(shù)6,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.

_________II_______________________I____________|___________________W

ab0c

⑴用“V〃連接：a「a,b,—b,c,—c；

⑵化簡(jiǎn):|?-Z)|+|tz+/)|+|Z)-c|.

4.（2023秋?湖南邵陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）Q,b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示:

⑵。、b>c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則：化簡(jiǎn)：-耳+卜-4；

5.（2023春?上海?六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置.

_?_________I_____I______I_?

aobc

（1）a+b0,abc0,_0.填。"或"<"）

c

（2）如果a、c互為相反數(shù)，求q=—.

c

（3）化簡(jiǎn)：|b+c|-2\a-b\-\b-c\.

【考點(diǎn)二分類(lèi)討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023春?黑龍江綏化?六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?。、6、。均為不等式0的有理數(shù)，則

國(guó)+例+忖的值為_(kāi)_____.

abc

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?七年級(jí)單元測(cè)試）若ab<0,貝++與7=.

2.（2023秋?河南南陽(yáng)?七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎獂+awO、尤+6/0,那么包包+叵叫

x+ax+b

\a\a

3.（2023春?上海?六年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）若心0,U=.若公0,n=；

a悶

（2）若肯+#。，貝4回=;

同例—ab-------

abc

（3）右次<0,則同+阿+甲——?

4.（2023秋?陜西西安?七年級(jí)西安市第八十三中學(xué)?？计谀┯?jì)算：已知忖=5,回=3.若孫<0,求|x-y|

的值.

5.（2023.江蘇.七年級(jí)假期作業(yè)）如果，，b,c是非零有理數(shù)，求式子評(píng)》言就的所有可能的值.

6.（2023?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題:

（2I）

（1）已知。，6是有理數(shù)，當(dāng)。>0時(shí)，則「=_______；當(dāng)6<0時(shí)，則苗=_______

1?11^1

b+ca+ca+b

（2）已知Q,b,。是有理數(shù)，a+b+c=O,abc<0,求^―-+~r—+--的值.

⑷⑸?

⑶已知。，b,C是有理數(shù)，當(dāng)歷CWO時(shí)，求回+學(xué)+?的值.

abc

【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023秋?浙江?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：

-5-4-3-2-1012345

⑴數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是；表示-2和1兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表

示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于加-"|.

⑵如果|x+l|=2,那么尤=；

⑶若卜-3|=4,1+2|=3,且數(shù)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)/、點(diǎn)2,則43兩點(diǎn)間的最大距離是,

最小距離是.

⑷若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-3與5之間，貝山+3|+,-5|=.

⑸當(dāng)。=時(shí)，l|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東梅州?七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)/、3在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a、b,/、8兩點(diǎn)之間

的距離為d

⑶點(diǎn)/表示的數(shù)為x,式子|x+2］、表示/、3兩點(diǎn)之間的距離，則點(diǎn)3表示的數(shù)是_；若|x+2|=l,則x

⑷適合式子］x+21+1x-31=5的整數(shù)x的值是_；

（5）式子|x+71+|x—81的最小值是多少？

2.（2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）【閱讀】若點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。，b,A,B兩點(diǎn)之間的距

離表示為|48],則以同=卜-6|,即|5-3|表示為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

⑴點(diǎn)A,8表示的數(shù)分別為-7,2,貝！||/耳=,卜+2|在數(shù)軸上可以理解為；

(2)若年一3.1|=4,則％=,若|y+4|=|y_3|,則^=；

【應(yīng)用】

(3)如圖，數(shù)軸上表示點(diǎn)。的點(diǎn)位于-3和2之間，求|。+3|+M-2|的值；

-5-4-3-2-101234567x

⑷由以上的探索猜想，對(duì)于任意有理數(shù)無(wú)，,+6|+歸+3|+卜-1|是否有最小值？如果有，求出最小值，并寫(xiě)

出此時(shí)x的值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

3.(2023?四川自貢??？家荒?結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：

1????1????a

-4-3-2-1012345

⑴數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上

表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于.

(2)如果卜+1|=3,那么x=；

⑶若|a-3|=2,0+2|=1，且數(shù)°、6在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)4點(diǎn)B,則4、B兩點(diǎn)間的最大距離是,

最小距離是.

⑷利用數(shù)軸，找出所有符合條件的x,使卜+2|+卜-5|=10,貝曦=____.

(5舊知(x+1Wx-2|)x(|y+l|+|y-2|)x(|z+U/|z-3|)=3(,求x+y+z的最大值和最小值.

4.(2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè))如圖，請(qǐng)回答問(wèn)題：

ABC

.7-6-5-4-3-2-101234567

⑴點(diǎn)B表示的數(shù)是—，點(diǎn)C表示的數(shù)是—.

⑵折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點(diǎn)8和點(diǎn)C重合，則點(diǎn)/與數(shù)字____重合.

⑶加、"兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|機(jī)-n\,如5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間

的距離可以表示為|5-(-2)|,從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與-2兩點(diǎn)之間的距離是7.

①若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x-3|+|x-6|的最小值=.

②若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x-4|+|x+3|=7,則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)x的和是—.

③當(dāng)尤=時(shí)，2|x-2|+2|x-3|+5|x-4|取最小值.

④當(dāng)x取何值時(shí)，2|2x-l|+|3x-2|+|x-g|+|2x-7|+|3x-9|取最小值？最小值為多少？

【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】

例題：(2023春?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))閱讀與探究：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫

做“含有絕對(duì)值的方程如：卜|=3,卜2x+l|=2,...都是含有絕對(duì)值的方程，怎樣求含有絕對(duì)值的方程的

解呢?基本思路是：把“含有絕對(duì)值的方程"轉(zhuǎn)化為"不含有絕對(duì)值的方程”.例如：

解方程x+3|x|=4.

解：當(dāng)xNO時(shí)，原方程可化為：x+3x=4,解得x=l,符合題意；

當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為：x+3x=4,解得x=—2,符合題意.

所以，原方程的解為：x=l或x=-2.

根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：

(1)若卜一2|=2-x,則x的取值范圍是；

⑵解方程：x+2|x-l|=4.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè))解下列方程：

(l)|x+5|=3⑵|2x-l|=7⑶；x+4=l3

(4)-|X+5|-2=4

2.(2023秋?遼寧鞍山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料并回答問(wèn)題:

國(guó)的含義是數(shù)軸上表示數(shù)X的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即國(guó)=忖-0|,也就是說(shuō)，國(guó)表示在數(shù)軸上數(shù)X與數(shù)0對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷歸-1|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.例如，|x-l|=2,就

是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即為x=-1或x=3；回答問(wèn)題：

（1）若上|=2,則x的值是；

⑵利用上述方法解下列方程:①上一3|=2；0|x-l|+|x-3|=8

3.（2023?四川內(nèi)江■?？既＃╅喿x下列材料：

我們知道|刈的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)無(wú)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即|尤|=,-0］；