2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：圓的方程

專練43圓的方程

［基礎(chǔ)強化］

一、選擇題

1.已知直線/過圓f+。一3>=4的圓心，且與直線尤+y+1=0垂直，貝門的方程是()

A.x~\~y—2—0B.x—y+2=0

C.尤+y—3=0D.尤—y+3=0

答案：D

解析：設(shè)所求的直線/的方程為x—y+C=0,：直線/過圓心(0,3),—3+C=0,C=3,故所求的

直線方程為x—y+3=0.

2.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(龍一ly+G-1尸=1

B.(x+l>+(y+1)2=1

C.(x+iy+(y+lp=2

D.(x—iy+Q—1產(chǎn)2

答案：D

解析：半徑r—yj(1—0)2+(1—0)2=啦,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—l)2+(y—l)2=2.

3.已知點A是直角AABC的直角頂點，且A(2a,2),8(—4,a),C(2a+2,2),則AABC外接圓的方

程是()

A.d+ty—3)2=5B.X2+CV+3)2=5

C.0—3)2+丁=5D.(x+3)2+y2=5

答案：D

解析：為直角，：.AB±AC,.?.2°=—4,。=一2,

△ABC外接圓的圓心(一3,0),半徑7=丁=工-----------------2-------------------=小，

/.所求的圓的方程為(x+3>+y2=5.

4.已知方程/十產(chǎn)一2x+2y+a=0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(-2,+8)

C.（一8,2）D.（一8,1）

答案：c

解析：由題意得。2+E2—4Q0,，4+4—4a>0,

5.點P(5a+1,12。)在(x—1)2+9=1的內(nèi)部，則。的取值范圍是()

A.\a\<\B.

C.\a\<^D.\a\<^j

答案：D

解析：由題意得2542+144<72<1,；./<白，得⑷.

6.直線y=fcr-24+1恒過定點C,則以C為圓心，以5為半徑的圓的方程為()

A.(x-2)2+(j；-l)2=5

B.(x—2)2+(J—1)2=25

C.(x+2)2+(y—1戶25

D.(尤+2/+0+1>=5

答案：B

解析：?.'y=fcr—24+1可化為y=4(x—2)+1,恒過定點(2,1),

則所求的圓的方程為(x—2>+。一1)2=25.

7.已知圓M與直線3x—4y=0及3尤一4y+10=0都相切，圓心在直線y=—x—4,則圓M的方程為()

A.(x+3)2+(y—1)2=1

B.(X—3)2+3+1)2=1

C.(x+3>+(y+1)2=1

D.(X-3)2+(J-1)2=1

答案：C

解析：3x-4y=0及3x—4y+10=0的距離為=2,顯然圓的半徑r=|=1,與3x

—4y=0和3元一4y+10=0的距離相等的直線為3尤一4y+5=0,

[3x—4y+5=0,x=—3,

由彳得

〔尸一了一4,J=T，

.,.圓心(-3,—1),

二所求的圓的方程為(x+3>+(y+1)2=1.

8.圓(x—l)2+(y—1>=2關(guān)于直線〉=履+3對稱，則上的值是()

A.2B.—2

C.1D.-1

答案：B

解析：由題意得圓心(1,1)在直線y=Ax+3上，.,?左=-2.

9.(多選)已知點4—1,0),3(1,0),若圓(x—2a+1)2+。-2°—2)2=1上存在點M滿足向-MB=3,

則實數(shù)。的值為()

A.l2B.—1

C.2D.0

答案：BD

解析：設(shè)點A/(無，y),則跖4=(一無一1,—y),MB=(—x+1,—y),

所以屬MB=(-%-1)(-%+1)+^=3,

所以點〃的軌跡方程為圓f+y2=4,圓心為(0,0),半徑為2.

由此可知圓(x—2a+l)2+(y—2a—2>=1與圓/+產(chǎn)=4有公共點.

又圓(x—2a-\-l)2+(y—2a—2)2=1的圓心為(2a—1,2。+2),半徑為1,

所以1可⑵-1)2+(2a+2)2W3,解得一iWaW3.故選BD.

二、填空題

10.若2,0,1,,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+“-1=0表示的圓的個數(shù)為.

答案：1

解析:方程x2+y2+ax+2〃y+2/+。-1=0表示圓的條件是/+4〃2—4(2次+〃-1)>0,即3?2+4?—4<0,

解得一2<a<|,又2,0,1,1j，二僅當(dāng)a=0時該方程表示圓.

11.[2022?全國甲卷(文)，14]設(shè)點M在直線2尤+丫-1=0上，點(3,0)和(0,1)均在。M上，則。M的

方程為.

答案：(無一17+。+1)2=5

解析：因為點M在直線2x+y—l=0上，所以設(shè)M(a,1—2班由點(3,0),(0,1)均在。M上，可得點

(3,0),(0,1)到圓心M的距離相等且為。M的半徑，所以r=yj(a-3)2+(l-2a)2=

y/a2+(l—2a—l)2,解得。=1.所以M(l,—1),r=y[5,所以。M的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.

12.直線=1與無軸、y軸分別相交于點48,。為坐標(biāo)原點,則44。8內(nèi)切圓的方程為

答案:(x-l)2+(y-l)2=l

解析：設(shè)△AOS內(nèi)切圓的圓心為機)(心0),半徑為m,直線點+］=1可化為3x+4y—12=0,

由題意得艮牛萼手=m,得機=1或機=6(舍去)".△AOB內(nèi)切圓的方程為(x—l)2+(y—1)2=1.

弋3'+4’

［能力提升］

2

13.已知一個圓的圓心在曲線>=嚏(x>0)上，且與直線2尤+y+1=0相切，則當(dāng)圓的面積最小時，該圓

的方程為()

A.(無一1)2+52)2=5

B.(x-2)2+(y_1)2=5

C.(x—l)2+(y—2尸25

D.(尤―2)2+g1尸25

答案：A

2

2工+一+1

'2'x

解析：設(shè)圓心為=小，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，所以當(dāng)圓的

面積最小時，即圓的半徑最小時，此時圓心(1,2),半徑為止,所以圓的方程為(x—l)2+(y—2)2=5.

14.(多選)設(shè)有一組圓(X—k)2+O—?2=4(AGR),下列說法正確的是()

A.不論人如何變化，圓心C始終在一條直線上

B.所有圓G均不經(jīng)過點(3,0)

C.經(jīng)過點(2,2)的圓以有且只有一個

D.所有圓的面積均為4

答案：ABD

解析：對于A選項，圓心(鼠◎一定在直線y=x上，故A正確；對于B選項，將(3,0)代入圓C*的方

程整理得2M—6左+5=0,其中/=—4<0,方程無解，故所有圓C&均不經(jīng)過點(3,0),故B正確；對于C

選項，將(2,2)代入圓Ct的方程整理得4左+2=0,其中/=16—8=8>0,故經(jīng)過點(2,2)的圓Q有兩

個，故C錯誤；對于D選項，所有圓的半徑均為2,面積均為4,故D正確.故選ABD.

15.已知直線/：x—3y+6=0與圓/+尸=12