2025年中考數(shù)學復習題型之分類討論試題（含解析）

題型06分類探討試題

1.在平面直角坐標系中，已知出b,設函數(shù)'=（工+。）（尤+6）的圖像與x軸有〃個交點，函數(shù)

>=（izx+l）（bx+l）的圖像與x軸有"個交點，則（）

A.M=N-1或/=N+1B.A/=N-l或M=N+2

C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-1

【答案】C

【分析】先依據(jù)函數(shù)y=（尤+4）（x+b）的圖像與X軸有〃個交點解得河=2,再對a,6分狀況探討，求得

答案.

【詳解】對于函數(shù)y=（尤+"）（尤+6）,當y=0時，函數(shù)與X軸兩交點為（一a,0）、（一6,0）,

'：a1b,所以有2個交點，故A/=2

對于函數(shù)>=（3+1）（法+1）

①交點為（—,0）,（—,0）,此時N=2=>M=N

ab

②a=0,bw0,交點為（-Lo）,此時7V=lnM=N+l

b

③b=0,aw0,交點為（―1,0）,此時N=lnM=N+l

a

綜上所述，M=N或M=N+l

故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與坐標軸的交點，解題的關鍵是分狀況探討a,b.

2.如圖，已知矩形ABCD,一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形（含三角形），若這兩個多邊形的

內角和分別為舷和N,則M+N不行能是（）.

A.360°B.540°C.720°D.630°

【答案】D

如圖，一條直線將該矩形被力分割成兩個多邊（含三角形）的狀況有以上三種,

①當直線不經(jīng)過任何一個原來矩形的頂點，

此時矩形分割為一個五邊形和三角形，

肝共540°+180°=720°；

②當直線經(jīng)過一個原來矩形的頂點,

此時矩形分割為一個四邊形和一個三角形,

③當直線經(jīng)過兩個原來矩形的對角線頂點,

此時矩形分割為兩個三角形,

3.已知是正六邊形跖的外接圓,產(chǎn)為。。上除C、2外隨意一點，則的度數(shù)為（）

B.30°或150°

C.60°D.60°或120°

【答案】B

【分析】連接OC,OD,分尸點在優(yōu)弧。力上時與尸點在劣弧切上時兩種狀況，依據(jù)圓周角定理進行解答即

可.

【詳解】解：連接OC,0D,

六邊形ABCDEF為正六邊形,

：.ZCOD=60°,

如圖1,當尸點在弧。2上時,

ZCPD=-ZCOD=30°；

2

圖i

如圖2,當戶點在弧繆上時，

1

ZCPD=-(360°-/COD)=150°.

2

故選區(qū)

【點睛】本題主要考查正六邊形的性質，圓周角定理，解此題的關鍵在于嫻熟駕馭其學問點，依據(jù)題意分

狀況進行探討.

4.數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度為1c處若在數(shù)軸上畫出一條長2024c〃的線段47,

則蓋住的整點個數(shù)是()

A.2024或2024B.2024或2024C.2024D.2024

【答案】A

【分析】依據(jù)線段的位置分為兩種：起點在整點、不在整點兩種，分別得到整點的個數(shù)即可.

【詳解】依題意得：①當線段46起點在整點時覆蓋2024個數(shù)；

②當線段46起點不在整點，即在兩個整點之間時覆蓋2024個數(shù).

故選：A.

【點睛】此題考查了利用數(shù)軸確定有理數(shù)的個數(shù).

5.已知等腰三角形的三邊長分別為。、氏4,且a、6是關于x的一元二次方程￡一12%+"/+2=0的兩根，

則m的值是()

A.34B.30C.30或34D.30或36

【答案】A

【分析】分三種狀況探討，①當a=4時，②當斤4時，③當爐6時；結合韋達定理即可求解；

【詳解】解：當。=4時，b<8,

,a、Z?是關于左的一元二次方程爐―i2x+m+2=0的兩根，

：A+b=12,

.?.b=8不符合；

當匕=4時，。<8,

a、是關于x的一元二次方程/一12%+加+2=0的兩根，

.4.4+。=12,

，。=8不符合；

當a=Z?時，

■a、Z?是關于x的一元二次方程為2—12%+加+2=0的兩根，

12=2a=2/7,

:.a=b=6,

:.m+2=36,

.,.加=34；

故選：A.

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系；依據(jù)等腰三角形的性質進行分類探討，結合韋達定理和

三角形三邊關系進行解題是關鍵.

6.二次函數(shù)尸3+(a-2)矛+3的圖象與一次函數(shù)尸x(1WXW2)的圖象有且僅有一個交點，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A.a=3±2也B.-lWa<2

C.a=3+26或-gwa<2D.a=3-26或-lWa<-g

【答案】D

【分析】依據(jù)二次函數(shù)的圖象性質即可求出答案.

【詳解】由題意可知：方程Y+(z2)a3=*在1忘才或2上只有一個解，

即7+(a-3)%+3=0在lWx/2上只有一個解，

當△=()時，

即(a-3)2-12=0,

5—3土2，

當天3+26時，

此時戶-也，不滿意題意，

當年3-2g時，

此時奸6,滿意題意，

當△>()時，

令y=x+(a-3)x+3,

令戶1,尸界1,

令后2,尸2Kl

(5+1)(2a+l)WO

解得：TWaW—，

2

當3=-1時，此時x=\或3,滿意題意；

1、3

當k-一時，此時產(chǎn)2或產(chǎn)一，不滿意題意，

22

綜上所述，之二3-2或-1.

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是將問題轉化為*+(廿3)x+3=0在1WXW2上只有一

個解，依據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出答案

二、填空題

7.如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊5。,。。分別在％軸，,軸上，A點的坐標為(-8,6),點尸

在矩形A30C的內部，點片在80邊上，滿意APBESACBO,當AAPC是等腰三角形時，P點坐標為

【分析】依據(jù)題意分狀況探討：①當尸點在AC的垂直平分線上時，點尸同時在5C上，AC的垂直平分線

與的交點即是E,依據(jù)APBEsACBO求出&；②尸點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧

與5c的交點為尸，過點尸作尸于依據(jù)AFBESACBO,求出尸￡,BE,則可得到0￡,故

而求出點P點坐標.

【詳解】解：???點P在矩形ABOC的內部，且AAPC是等腰三角形，

，P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當尸點在AC的垂直平分線上時，點尸同時在上，AC的垂直平分線與80的交點即是E,如圖1

所示：

VPELBO,COLBO,

PEI/CO,

：.APBE②ACBO,

???四邊形AB0C是矩形，A點的坐標為(—8,6),

二點P橫坐標為-4,0C=6,B0=8,BE=4,

"?APBEs\CBO,

PEBEPE4

?.-------,即nn----=—,

COBO68

解得：PE=3,

...點P(-4,3)；

②尸點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P,

過點P作于E,如圖2所示：

COLBO,

/.PE//CO,

：.APBEsACBO,

???四邊形4B0C是矩形，A點的坐標為(-8,6),

AAC=B(9=8,CP=8,AB=OC=6,

-?BC=VBO2+0C2=V82+62=10-

BP=2,

,/APBEsACBO,

PEBEBPPEBE2

??--=----=----,n即n:---=----=---,

COBOBC6810

解得：PE=《,BE=丁

??38一|=方

綜上所述：點尸的坐標為：(一~丁,丁)或(-4,3)；

【點睛】此題主要考查正方形的綜合，解題的關鍵是熟知相像三角形的判定與性質、矩形的性質及圓的性

質.

8.半徑為5的：。是銳角三角形ABC的外接圓，連接OB、0C,延長CO交弦A5于點。.若

05。是直角三角形，則弦的長為

【答案】56或50

【分析】分/0D爐90。與NDOB=90。兩種狀況分別進行求解即可.

【詳解】如圖1,當NODB=90時,

即CC

AD=BD，

AC=BC,

AB=AC,

.?▲ABC是等邊三角形,

ZDBO=30，

OB=5,

..5。=OBcos30°=逑

2

BC=AB=56

如圖2,當NDOB=90，

ZBOC=90，

.'BOC是等腰直角三角形，/如上45°,

BC=°B=572,

cos45°

綜上所述，若,OBD是直角三角形，則弦的長5有為或5加，

故答案為56或5JL

【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形等，

正確把握和敏捷運用相關學問是解題的關鍵.留意分類探討思想的運用.

9.把邊長為2的正方形紙片A3CD分割成如圖的四塊，其中點。為正方形的中心,點瓦/分別是AB,AD

的中點，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形"NPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊

形MNP。的周長是.

【答案】10或6+20或8+2血

【分析】先依據(jù)題意畫出圖形，再依據(jù)周長的定義即可求解.

【詳解】如圖所示：

圖1的周長為1+2+3+2應=6+2也；

圖2的周長為1+4+1+4=10；

圖3的周長為3+5+72+72=8+272.

故四邊形網(wǎng)附的周長是6+20或10或8+2夜.

故答案為：6+20或10或8+2血.

【點睛】考查了平面鑲嵌（密鋪），關鍵是得到與此正方形不全等的四邊形施倒（要求這四塊紙片不重疊無

縫隙）的各種狀況.

10.如圖，在平面直角坐標系x0y中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”.已知點A的坐標為

（5,0）,點8在x軸的上方，鉆的面積為萬，則鉆內部（不含邊界）的整點的個數(shù)為.

o

【答案】4或5或6.

【分析】依據(jù)面積求出8點縱坐標為3,結合直角坐標系，作圖視察即可求解.

【詳解】設8（典〃）

:點力的坐標為（5,0）

：.OA=5,

?.?△A06的…面3積=—1X5X/F1一5

22

72=3,

結合圖像可知：

當2V）＜3時，有6個整點；

9

當2c必<—時，有5個整數(shù)點；

2

當爐3時，有4個整數(shù)點，

故答案為4或5或6.

【點睛】此題主要考查點的坐標，解題的關鍵是熟知直角坐標系的坐標特點.

11.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，過8點的切線交AC的延長線于點。，E為弦AC的中

點，A￡>=10,BD=6,若點P為直徑AB上的一個動點，連接石P,當AAEP是直角三角形時，AP的

長為.

【分析】依據(jù)勾股定理求出4?,由△83△/龍得到比例式求出切的長，當A4EP是直角三角形時，分

//890°和/加石=90°兩種狀況進行探討，可求出/尸長有2種狀況.

【詳解】解：連接寬

.過8點的切線交AC的延長線于點

:.AB±BD，

AB=A/A￡)2-B￡>2=V102-62=8,

當ZAE7^90°時，AE=EC,

,石尸經(jīng)過圓心。，

AP^AOA；

當//1?石=90°時，則EP//BD,

,APAE

,AB-AD'

*8是直徑,

AZACB=90°.

比。=90°.

■:/BCD=/ABD,N2是公共角,

叢BC"叢ABD.

.BDCD

"AD~BD

DB-^CDAD，

"0=10—3.6=6.4,

AE—3.2,

,AP3.2

810

AP=2.56.

綜上AP的長為4或2.56.

故答案為4或2.56.

【點睛】本題考查的是切線的性質和相像三角形的判定與性質，嫻熟駕馭圓的性質是解題的關鍵.

12.在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為A(—2,4),5(T,0),0(0,0).以原點。為位似

中心，把這個三角形縮小為原來的;，得到..CDO,則點A的對應點C的坐標是

【答案】(—1,2)或(1,—2)

【分析】依據(jù)位似圖形的中心和位似比例即可得到點A的對應點C

【詳解】解：以原點。為位似中心，把這個三角形縮小為原來的;，點A的坐標為(-2,4),

.??點C的坐標為(―2xg,4*g)或(2義g,—4x；),即(―1,2)或(1,—2),

故答案為：(―1,2)或(1,—2).

【點睛】本題主要考查位似圖形的對應點，關鍵在于原點的位似圖形，要留意方向.

13.在口A3CD中,￡是助上一點，且點￡將/。分為2：3的兩部分，連接龐、”相交于凡則右^：

是.

【答案】4:25或9:25

【分析】分AE：ED=2：3、AE：&=3：2兩種狀況，依據(jù)相像三角形的性質計算即可.

【詳解】解：①當A￡：￡Z)=2：3時，

?.?四邊形4四是平行四邊形，

:.AD//BC,AE：6a2：5,

AAEFSACBF,

7

,q?q—(—>=4:25；

??0AAEF**ACBF

5

②當AE：田=3：2時,

3

同理可得，S^F：Sw（-）2=9：25.

故答案為：4：25或9：25.

【點睛】考查的是相像三角形的判定和性質、平行四邊形的性質，駕馭相像三角形的面積比等于相像比的

平方是解題的關鍵.

14.如圖，在心△被7中，/俏90°,/俏3,能=4,點￡,尸分別在邊比；AC上，沿鰭所在的直線折疊/C,

使點C的對應點，恰好落在邊46上，若△玨。和△力回相像，則4?的長為—.

【答案】:0或|5

【分析】△儂'與△/比'相像，分兩種狀況：①若CF：。層3：4,此時打〃48,看?為4?邊上的高；②若密

上3：4,由相像三角形角之間的關系，可以推出/左/以力與/小/人口，從而得到緇/場被即。點為

4?的中點.

【詳解】若△呼與△/氏?相像，分兩種狀況：

①若CF-.C夕3：4,

'：AC：B（=3：4,

：.CFxC序AC：BC,

：.EF//AB.

連接CD,如圖1所示:

A

由折疊性質可知，CDLEF,

：.CDLAB,即此時切為48邊上的高。

在成△被7中，；//巾=90°,力e3,BO4,

.,.^^AC2+BC2=5,

.?.皿月:絲S

AB5

39

AD=AC-cosA=3X—=—；

55

②若CE：67^3：4,

\'AC：除3：4,N信NC,

,:XCEFs^CAB,

:./CE2/A.

連接切，如圖2所示：

由折疊性質可知，ZCEF+ZECD=^°,

又：/力+/廬90°,

：./B=2ECD,

：.BD=CD.

同理可得：AA=AFCD,AD=CD,

點為46的中點，

95

故答案為：g或5

【點睛】此題考查三角形相像，勾股定理，三角函數(shù)，解題關鍵在于分狀況探討

15.一張直角三角形紙片ABC,ZACB=90，AB=10,AC=6,點。為邊上的任一點，沿過點。

的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點石處，當△SDE是直角三角形時，則的長為.

【答案】3或半

【分析】依據(jù)沿過點〃的直線折疊，使直角頂點。落在斜邊/方上的點￡處，當△皿應是直角三角形時，分

兩種狀況探討：/吩90°或/瓦片90°,分別依據(jù)勾股定理或者相像三角形的性質，即可得到。的長

【詳解】分兩種狀況：

①若ZD￡B=90，則ZAE0=9O=NC，CD=ED,

連接AD,則WAACDMR/AAEAD(4L),

.-.AE=AC=6,BE=lQ-6=4,

設CD=D￡=x,則50=8—x,

RtABDE中，DE1+BE2=BD2

%2+42=(8-X)2,

解得x=3,

CD=3；

②若ZBDE=90，則/。?！?/。跖=/。=90，CD=DE,

四邊形CDEF是正方形，

：.ZAFE=/EDB=94,ZAEF=ZB，

.-.AAEF-AEBD，

AF_EF

,~ED~~BD'

設CD=x,則EF=DF=x,AF=6—%,BD=8—x,

6-x_x

??一,

x8-x

24

解得*=3，

24

:.CD=—,

7

24

綜上所述，CD的長為3或三，

24

故答案為：3或三.

【點睛】此題考查折疊的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于畫出圖形

16.如圖，在矩形ABCD中，AD=3AB=3&6,點P是A。的中點，點E在上，CE=2BE,點、M、

N在線段上.若APMN是等腰三角形且底角與N0EC相等，則肱V=.

8

【分析】分兩種狀況：①仞V為等腰A/W的底邊時，作依，兒W于尸，則NPE0=ZP7W=9O°,由

矩形的性質得出=CD,

3C=AD=3AB=3而，ZA=ZC=90°,得出AB=CD=VI5，BD=VAS2+AD2=10-證明

pppD3

APDFABZM,得出——=—，求出尸尸=三，證出CE=2CD,由等腰三角形的性質得出板=,

ABBD2

NFCE

NPNF=NDEC,證出MWADEC,得出一=—=2,求出N/=2PP=3,即可得出答案;

PFCD

②腑為等腰4/W的腰時，忤PF1BD千F,設吩吩x,貝U冊3-x,在Rt叢PNF中,由勾股定理得出方程,

解方程即可.

【詳解】分兩種狀況：①仞V為等腰A/W的底邊時，作PEL肱V于歹，如圖所示:

則ZPFM=ZPFN=90°,

「四邊形ABCD是矩形，

■■AB=CD,BC^AD=3AB=3>/10,ZA=ZC=90°,

：.AB=CD=M，BD=\JAB2+AD-=10，

「點P是AD的中點，

，PD」AD=①，

22

ZPDF=ZBDA，

APDFABDA，

竺=竺，即反甲

ABBD麗二丁

3

解得：PF=~

CE=2BE,

BC=AD=3BE,

BE=CD,

CE=2CD,

APMN是等腰三角形且底角與/DEC相等，PFLMN,

■-MF=NF,ZPNF=ZDEC,

ZPFN=ZC=90°,

APNFNDEC,

NFCE

——=——=2,

PFCD

NF=2PF=3,

MN=2NF=6-.

②腑為等腰4/W的腰時，作小，如于凡如圖所示,

沒MN=PN=x,則7W=3—x,

在RJPNF中,(I)+(3—x)2=J,

解得：x=—,即MN="，

88

綜上所述，腑的長為6或”.

8

【點睛】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質、相像三角形的判定與性質、勾股定理等學問；嫻熟

駕馭矩形的性質和等腰三角形的性質，證明三角形相像是解題的關鍵.

17.在平行四邊形4頗中，NA=30°,AD=，BD=4,則平行四邊形46繆的面積等于.

【答案】16g■或8班

【分析】過點刀作膽力8,垂足為￡,分點￡在/夕上或48的延長線上兩種狀況，分別利用三角函數(shù)求出

AE,龐的長，利用勾股定理求出座的長，繼而可得絲的長，然后利用平行四邊形的面積公式進行求解即

可.

VZ^=30°,:.D±ADsiriiO。=2百，4良A9cos30°=6,

在Rt叢DBE中,BNBD?-DE?=2,

：.AB=AE+B^,

，平行四邊形"6切的面積為8x26=166；

如圖2,點后在的延長線上，

"：ZA=30°,：.DF=ADsin30°=2^3<A^ADcos300=6,

在放△小中，B^BD?-DE?=2,

:.A片AqB斤4,

，平行四邊形加力的面積為4x28=8百，

故答案為：16月或8石.

【點睛】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的面積，正確地畫出圖形是解題的關鍵.

3

18.如圖，直線y=——3交》軸于點A，交》軸于點3,點P是％軸上一動點，以點P為圓心，以1

個單位長度為半徑作；P,當P與直線A5相切時，點P的坐標是

【分析】依據(jù)函數(shù)解析式求得A(-4,0)，3(0,—3),得到Q4=4,03=3,依據(jù)勾股定理得到A5=5,

設0P與直線AB相切于。，連接P￡＞，則PD=1，依據(jù)相像三角形的性質即可得到結論.

3

【詳解】???直線y=--%-3交x軸于點4交y軸于點8,

4

?,?令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,

：.A(-4,0),B(0.-3),

???物=4,0B=3,

：.AB=5,

設?！ㄅc直線Z8相切于〃

如圖所示：連接如，

貝49=1,

VZADP=ZAOB=90°,/PAD=/BAO,

：./\APD^/\AB0,

.PDAP

"OBAB?

.1AP

??一=,

35

5

???"=一,

3

7、17

0P=—或0P=—,

33

717

:?PQ—-,0)或尸(—-，0).

33

【點睛】考查了切線的判定和性質、一次函數(shù)圖形上點的坐標特征、相像三角形的判定和性質，解題的關

鍵正確的理解題意，分兩種狀況解析.

3

19.如圖，在矩形4?中，AB=\,BC=a，點、E在邊8c上,且3后=11.連接/￡,將AABE沿力￡

折疊，若點8的對應點5’落在矩形/四的邊上，則a的值為.

【答案】9或正

33

【分析】分兩種狀況：①點8’落在4?邊上，依據(jù)矩形與折疊的性質易得即可求出a的值；②點

B落在"邊上，證明^ADBuAB'CE，依據(jù)相像三角形對應邊成比例即可求出a的值.

【詳解】解：分兩種狀況：

①當點8,落在絲邊上時，如圖L

v四邊形4%/是矩形，

:.ZBAD=ZB=9Q°，

■■將AABE沿/￡折疊，點6的對應點3,落在/〃邊上,

ZBAE=ZB'AE=-ZBAD=45°,

2

AB=BE，

②當點E落在切邊上時，如圖2.

?..四邊形465是矩形，

/BAD=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=a.

;將MBE沿四折疊，點6的對應點3'落在CD邊上，

3

:.ZB=ZAB'E=90°-AB=ABEB=EB=-a,

_____________32

=A/BA2-AD2=71-?2-EC=BC-BE=a--a=-.

在AAC?與AB'CE中，

ZB'AD=ZEB'C=90°-ZAB'D

ZD=ZC=90°

AAD5oA5CE，

DBAB業(yè)二￡1=J_

即23

CEBE—a—a

55

解得q=&，4=0（舍去）.

3

綜上，所求a的值為3或好

33

故答案為9或好

33

【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形態(tài)和大小不變，

位置改變，對應邊和對應角相等.也考查了矩形的性質，勾股定理，相像三角形的判定與性質.進行分類

探討與數(shù)形結合是解題的關鍵.

20.如圖，中，ZC=90°,AC=12,點。在邊上，CD=5,3。=13.點「是線段4￡>上

一動點，當半徑為6的圓P與A4BC的一邊相切時，AP的長為.

【分析】依據(jù)勾股定理得到AB=J122+182=6月，A￡)=VAC2+C￡>2=13-當。戶于成相切時，

點一到8c的距離=6,過P作PH1BC于H,則小6,當。尸于4?相切時，點尸到四的距離=6,依據(jù)相像三

角形的性質即可得到結論.

【詳解】：在心△/a'中，ZG=90°,AO12,即0>18,

.，?AB=V122+182=6A/13'

在股中，Z(=90°,AC=12,CD=5,

；?AD=VAC2+co2=13-

當?！ㄓ?c相切時，點尸到比的距離=6,

VZ0900

：.ACVBC,

：.PH//AC,

:.△DPHS^DAC,

.PDPH

"DA-AC'

?PD一6

??一,

1312

?,,月廬6.5,

...仍6.5；

當。戶于46相切時，點9至U/6的距離=6,

過戶作RLL怒于G,

則G6,

氏盼13,

/PAG^/B,

'：ZAG/^Z(=90°,

：.△AG》XBCA,

.APPG

*'ABAC'

.AP_6

"6V13-12，

:.A六3岳,

,：&9=5<6,

半徑為6的。戶不與△被7的47邊相切，

綜上所述，4P的長為6.5或3萬，

故答案為6.5或3舊.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，相像三角形的判定和性質，嫻熟正準確線的性質是解

題的關鍵.

三、解答題

21.如圖，直線y=-X+3與X軸、》軸分別交于8、C兩點，拋物線y=—爐+云+。經(jīng)過點3、C,與無

軸另一交點為A,頂點為￡).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在刀軸上找一點E,使EC+田的值最小，求EC+ED的最小值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得NAPfi=NOCB?若存在，求出尸點坐標；若不存在，

3

【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2)E(-,0)；(3)(1,可―石)或(1,6—麻).

【分析】由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，因此將反。兩點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線

的解析式.

作點C關于無軸的對稱點C，，連接CD'交”軸于點E,則此時EC+ED為最小，再將CD的坐標代入一

次函數(shù)表達式即可解得

分別求出點戶在x軸的位置即可.

【詳解】解：(1)直線y=-x+3與x軸、》軸分別交于5、。兩點，則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

—9+3b+c=0[Z?=2

將點8、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：<、，解得：\

c=3[c=3

故函數(shù)的表達式為：y=-x2+2x+3,

令y=0,則％=—1或3,故點4(—1,0)；

(2)如圖1,作點。關于％軸的對稱點C,連接CD'交》軸于點E,則此時EC+田為最小，

圖1

函數(shù)頂點坐標為(1,4),點C(0,-3),

將CD的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線CD的表達式為：y=7x—3,

3

當y=0時，x=—,

7

3

故點石(一,九)；

(3)①當點尸在1軸上方時，如下圖2,

VOB=OC=3,則NOCB=45O=NAPB,

過點B作朋，AH,設PH=AH=m,

則PB=PA=V2m，

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2^

16=m2+{\[lm-m）2,解得：加=且巫（負值已舍去），

2

則P6="〃=l+屈，

22

則yP=7（1+A/33）+2=屈-5

②當點P在％軸下方時，

則%=-（而-?

故點P的坐標為（1,J16-百）或（1,百—710）.

【點睛】本題考查二次函數(shù)，嫻熟駕馭二次函數(shù)的運算法則是解題關鍵.

22.如圖，在矩形ABCZ）中，AD=4cm,AB=3cm,E為邊BC上一點、,BE=AB,連接AE.動點尸、Q

從點A同時動身，點P以J&m/s的速度沿AE向終點E運動；點。以2m/s的速度沿折線AD-OC向

終點C運動.設點0運動的時間為x（s）,在運動過程中，點、P,點。經(jīng)過的路途與線段P。圍成的圖形面

積為y（c"）.

WAE=cm,ZEAD=°；

⑵求》關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量尤的取值范圍；

⑶當=機時，干脆寫出龍的值.

4

B

7

【答案】(1)3行，45；(2)y=x2(0<x<2),y=-/+8尤一8(2<x<3),y=x+4(3<x<-)；

(3)逑或”.

88

【分析】(1)由勾股定理可求/￡的長，由等腰三角形的性質可求/氏的度數(shù)；

(2)分三種狀況探討，由面積和差關系可求解；

(3)分三種狀況探討，由勾股定理可求解.

【詳解】解：(1)?.,/斤3。0，BE=AB="icm,

.?.脛辦/+BE?=3虎cm,/期后/龐4=45°,

VZJS4Z>90°,

二/物層45。

故答案為：3夜，45；

(2)當0<啟2時，如圖，過點戶作"工/。，

■：A占叵x,N%后45°,PFLAD,

:.P戶FAF,

12

尸SMQA—X4QXP六x；

2

(2)當2VxW3時，如圖，過點〃作杼工

D

■:PF^A擋x,Q-

:,DQ4-x,

y=—x+—(2『4+x)(4-jr)=-*+8r8；

22

7

當3VxW—時，如圖，點P與點￡重合.

2

■:CB(3+4)-2"7-2x,C±4-3=\cm,

：.y=-(1+4)X3--(7—2x)Xl=x+4；

22

(3)當0VxW2時，

,:Q六A打x,PFLAD,

C.PQ^AP,

5

*.*PQ^—cm,

4

A/2廣—，

4

.5V2

??x-------;

8

當2〈忘3時，過點？作題J_5,

.?.四邊形陽”是矩形,

:.PgD氏4-2x,MD=PF^x,

MQ=x-(2『4)=4~x.

■:MP+MgPQ,

25

二(4-2x)2+(4-x)

16

VA<0,

二方程無解，

7

當3cxW一時,

2

■:pgcP'CG,

25、2

一=1+（7-2x）2,

16

25

?.產(chǎn),

8

綜上所述：產(chǎn)”或述.

88

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，利用分類探討

思想解決問題是本題的關鍵.

37

23.如圖，已知；A的圓心為點（3,0）,拋物線丁=依2——x+c過點A，與?A交于6、。兩點，連接A6、

6

AC,且45,AC,B、C兩點的縱坐標分別是2、1.

（1）請干脆寫出點8的坐標，并求。、c的值;

（2）直線V=米+1經(jīng)過點3,與％軸交于點。.點E（與點。不重合）在該直線上，且AD=AE,請

推斷點E是否在此拋物線上，并說明理由；

（3）假如直線y=%x-1與14相切，請干脆寫出滿意此條件的直線解析式.

【答案】（1）B（2,2）,?=f,c=ll；（2）點E在拋物線上，見解析；（3）滿意條件的直線解析式為:

6

y=%―1或y=2x-l.

【分析】⑴證明尺ZABR4g4AASC（A4S）,即可求解；

（2）點E在直線BD上，則設E的坐標為+由AO=AE,即可求解;

（3）分當切點在x軸下方、切點在x軸上方兩種狀況，分別求解即可.

【詳解】解：（1）過點8、C分別作為軸的垂線交于點H、S,

?/ZBAR+ZRAB=9Q°,ZRAB+ZCAS=9Q°,

：.ZRAB=ZCAR,又AB=AC,

RtABRAqRA4SC（A4S）,

AS=BR=2,AR=CS=1,

故點3、C的坐標分別為（2,2）、（5,1）,

37

將點8、。坐標代入拋物線丁=依2——X+C并解得：

6

5一

a=—,c=ll,

6

S37

故拋物線的表達式為：y=———--x+11；

66

（2）將點3坐標代入了=履+1并解得：y=^x+l,則點。（—2,0）,

點A、B、C,。的坐標分別為（3,0）、（2,2）、（5,1）、（-2,0）,

則=5,

點E在直線BD上，則設E的坐標為+

VAD=AE,則52=（3—+,

解得：x=-2或6（舍去一2）,

故點E（6,4）,

S37

把x=6代入y=—x?---x+ll=4,

66

故點E在拋物線上；

（3）①當切點在左軸下方時，

設直線y=—1與（A相切于點X,直線與左軸、》軸分別交于點K、G（O,-1）,連接G4,

AH=AB=下,GA=W，

ZAHK=ZKOG=90°,ZHKA=ZHKA,：.AKOG^AKHA,

.KO=OGKO_1

"KHHA'',J（KO+3）2—5也,

解得：KO=2或—（舍去—）,

22

故點K（—2,0）,

把點K、G坐標代入y=%x—1并解得：

直線的表達式為：＞=

②當切點在x軸上方時，

直線的表達式為：y=2x-l；

故滿意條件的直線解析式為：y=—gx—1或y=2x—1.

【點睛】考核學問點：二次函數(shù)和相像三角形.數(shù)形結合分析問題是關鍵.特殊是嫻熟駕馭圓的性質和函數(shù)

性質.

24.如圖所示拋物線y=af+bx+c過點A（—l,0）,點C（0,3）,且03=0C

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點。,E在直線％=1上的兩個動點，且。石=1，點。在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小

值；

(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CBB4的面積分為3：5兩部分，求點尸的坐標.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,對稱軸為直線x=l；(2)四邊形ACDE的周長最小值為癡+而+1；

(3)原4,-5),鳥(8,-45)

【分析】(1)OB^OC,貝!J點8(3,0),則拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x-3)-a(V-2x-3)=a*-2a尸3a,

即可求解；

(2)CD^AE-A'ADC,則當/、D、C三點共線時，CD^AE-A'D^DC'最小，周長也最小，即可求解；

(3)SAPCB：SNCF—EBX—AEX=BE：AE,即可求解.

22

［詳解］(1)'：OB=OC,0),

則拋物線的表達式為：y=a(x+1)(『3)=a(x-2x-3)=ax-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a--l,

故拋物線的表達式為：戶-f+2戶3…①；

對稱軸為：直線x=l

(2)/儂的周長=4%旭⑦其中/俏麗、止1是常數(shù)，

故辦/￡最小時，周長最小，

取點C關于函數(shù)對稱點C(2,3),則CD=CD,

取點H(-1,1),則/店AE,

故：CJ^A^A'決DC,則當/、D、C三點共線時，CD^AE^A'ADC'最小，周長也最小，

圖1

四邊形應的周長的最小值=43出位/廬麗+1+"小%'="6+1+/C=710+1+713;

直線CF把四邊形物的面積分為3：5兩部分，

又■:SAPCB：SA俞LEBX（%'-%）：—AEX（小■-%>）-BE-.AE,

22

則應■:AE,=3：5或5：3,

53

則/田一或一，

22

31

即：點￡的坐標為（一，0）或（一，0）,

22

將點￡、。的坐標代入一次函數(shù)表達式：戶4x+3,

解得：k=-6或-2,

故直線配的表達式為：尸-2廣3或片-6戶3…②

聯(lián)立①②并解得：后4或8（不合題意值已舍去），

故點戶的坐標為（4,-5）或（8,-45）.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計算、點的對稱性等，其中（1）,

通過確定點/'點來求最小值，是本題的難點.

25.在矩形ABCD中，連結AC,點￡從點8動身，以每秒1個單位的速度沿著5fAfC的路徑運動,

運動時間為t（秒）.過點￡作石于點色在矩形ABCD的內部作正方形EEGH.

（1）如圖，當43=60=8時,

①若點〃在AABC的內部，連結A”、CH,求證：AH=CH；

②當0</W8時，設正方形ER汨與AA6C的重疊部分面積為S,求S與力的函數(shù)關系式；

（2）當AB=6,BC=8時，若直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分，求力的值.

t2(Oy,4)124872

【答案】（1）①證明見解析；②^二（3）力的值為一s或一s或一s.

+327—32(4<4,8)5117

【分析】(1)①如圖1中，證明兒4￡月0八以汨($45)即可解決問題.

②分兩種情形分別求解：如圖1中，當0<，44時，重疊部分是正方形EEGH.如圖2中，當4<fW8時，

重疊部分是五邊形EFGMN.

(2)分三種情形分別求解：①如圖3-1中，延長AH交8C于弘當R0=Q0=4時，直線AH將矩形

ABCD的面積分成1：3兩部分.②如圖3-2中，延長A”交CD于〃交5C的延長線于4,當

&以=?！?3時，直線期將矩形43。。的面積分成1：3兩部分.③如圖3-3中，當點￡在線段AC上

時，延長交CD于〃，交的延長線于正當。以=。暇時，直線AH將矩形ABCD的面積分成1

:3兩部分.

【詳解】解：⑴①如圖1中，

4

圖1

.四邊形EEGH是正方形，AB=BC,

：.BE=BG,AE=CG,ZBHE=ZBGH=90°.

???ZAEH=ZCGH=90°，

EH=HG,

：.AAEH心CGH(SAS),

：.AH=CH.

②如圖1中，當0</W4時，重疊部分是正方形EFG〃，S=t2.

如圖2中，當4</W8時，重疊部分是五邊形

11

s=S^ABC~S&AEN~S\CGM=-x8x8-2x—(8-?)9=T9+32/—32.

r(0<r?4)

綜上所述，s=

一產(chǎn)+32—32(4<t?8)

(2)如圖3-1中，延長AH交于四當5M=CM=4時，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3

兩部分.

.AE_EH

**AB-BM'

6—tt

??—―，

64

12

,?t-----.

5

如圖3-2中，延長AH交CD于〃交BC的延長線于4,當CM=￡)M=3時，直線A"將矩形ABCD的

面積分成1：3兩部分，易證AO=CK=8,

圖3-2

EH//BK,

.AE_EH

"AB-BK)

6—tt

??—,

616

,48

,,t-----.

11

如圖3-3中，當點￡在線段AC上時，延長AH交CD于必交的延長線于必當。0=。以時，直

線A”將矩形A3CD的面積分成1：3兩部分，易證AD=CN=8.

圖3-3

在RtM5c中，AC=A/62+82=10'

EF//AB,

.CEEF

"C4"AB）

.16-tEF

??一,

106

3

EF=-（16-t）,

,/EH//CN,

.EHAE