2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：三角恒等變換和解三角形（解析）

第01講三角恒等變換和解三角形

考法呈現(xiàn)

然考法一：三角函數(shù)和三角恒等變換

總例題分析

【例1】(2023?北京,統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)=sinto久cos,+cossxsincp(3〉0,|如＜5).

(1W(O)=-y,求9的值.

(2)已知/(x)在區(qū)間［-*色上單調(diào)遞增，/(g)=1，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為已知，使函數(shù)人尤)存在，求3,0的值.

條件①:/OS

條件②：f(-g=—1；

條件③：人無(wú))在區(qū)間［一會(huì)一才上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【分析】（1）把％=0代入/（%）的解析式求出sing,再由|勿|V］即可求出"的值；

（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把八支）的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)“久）在［冶國(guó)上的單調(diào)性及函數(shù)的

最值可求出T,從而求出3的值；把3的值代入/（久）的解析式，由J=—1和|如<5即可求出9的值；若

選條件③：由/'（X）的單調(diào)性可知/（X）在久=-己處取得最小值-1,則與條件②所給的條件一樣，解法與條件

②相同.

【詳解】（1）因?yàn)?（%）=sinaxcosg+cosa）xsin（p,to>0,|^|<-

所以/（。）=sin（3-O）cos0+cos（co-0）sin^=sin（p

因?yàn)?91Vl所以0=_g.

（2）因?yàn)?（%）=sincoxcostjp+coscoxsin^co>0,\（p\<p

所以/（%）=sin（3%+R）,3>。,附V梟所以/（%）的最大值為1,最小值為一1.

若選條件①：因?yàn)槿司茫?sin（3x+s）的最大值為1,最小值為-1,所以/倍）=&無(wú)解，故條件①不能使

函數(shù)/'（尤）存在；

若選條件②：因?yàn)?⑴在［冶可上單調(diào)遞增，且/?傳）=1,/（-0=-1

所以（=與_0=私所以7=2口,3=y=1,

所以/（%）=sin（x+g）,

又因?yàn)?（一§=-L所以sin（_g+g）=—1,

所以——4~（P~——H-2kji,/ceZ,

所以0=一聲2々兀,々€Z,因?yàn)閨0|V?所以g=一今

所以3=1,（p=-g

若選條件③：因?yàn)?（X）在［=司上單調(diào)遞增，在卜會(huì)-引上單調(diào)遞減，

所以/"（X）在X=—彳處取得最小值—1,即/9=-1.

以下與條件②相同.

滿分秘籍

■

①升用本點(diǎn)&：*<*=y,即可未出3.立中*,*能求出用過(guò)總H迷的右仞圖像上升?Tn)

的"拿點(diǎn)”?壹標(biāo)X..a令3Xo-*0(&3Xo4*JT).”可求出<p：

②代人最值法：aattA(<AA.?A)受標(biāo)代入鼾折A.今能令國(guó)好設(shè)行永住.

二、一文史(余)◎型峋0殖

一急算3X+叩4做一個(gè)外體.利用收元出“?附體傘的思蛆"號(hào).與三K屬教修關(guān)的方利

9(拿點(diǎn)問(wèn)電).通常?過(guò)用?與方者思想約化為圖像文5H題.再催就用像過(guò)行令析.

變式訓(xùn)練

【變式1-1](2021?陜西咸陽(yáng)??？级?已知函數(shù)/(%)=2cosx(sinx—cosx)+l,xGR

⑴求函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；

(2)當(dāng)久e片胃求函數(shù)/⑺的值域.

【答案】(1)函數(shù)/0)的對(duì)稱軸為x=￡+￡,kez,對(duì)稱中心管+；,o),kez

(2)[-l,V2]

【分析】(1)利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解；

(2)采用整體替換的方法，先確定出2%-：的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)確定出最值，由此求解出f(x)

的值域.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx—(2cos2%-1)=sin2x-cos2x=V2sin(2x—

*

^2x--=k7i+-,keZ,解得x=3+*,kez；

4228

令2x—三=kn,kez,解得x=蛆+三keZ；

428

所以函數(shù)/⑺的對(duì)稱軸為X=y+y,fcez,對(duì)稱中心得+M）,keZ.

⑵因?yàn)閤e片胃則2%一旨［0,詈

當(dāng)2x—：=泉即無(wú)=乎寸，函數(shù)/（幻取到最大值企;

當(dāng)2久一即”,時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值一1；

所以函數(shù)人久）的值域?yàn)椋?1,&］.

【變式1-2］（2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)/（無(wú)）=cos?比+9）在區(qū)間

（—輔）上單調(diào)，其中3＞。，0＜0（兀，且/（一￡）=一/0

（1）求y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)P（-盤,易在函數(shù)/⑺的圖象上，求函數(shù)/（久）的表達(dá)式.

【答案】⑴仁,0）

（2）/（%）=cos（2x+0

【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性，即可得出答案.

（2）由點(diǎn)P（/冷在函數(shù)/（嗎的圖象上，可得/（—白=曰＞/（總=。，知函數(shù)/⑶在區(qū)間（—匐上單

調(diào)遞減，再由詈+9=2a兀+g（/qez）和一詈+0=2七Ti+H&ez）,可得9=3又史22a一（一訓(xùn)，

1ZZ1ZO3Cl）La\o/J

可得出3=2,即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（―d）上單調(diào)，

且/（一9=一/（）可知/倨）=0，

故y=/（%）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（右,0）

（2）由點(diǎn)P（—熱苧）在函數(shù)A%）的圖象上，

有/（-白=冬又由-沁云云品

，（一總=苧＞/（白=。，

可知函數(shù)（（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由函數(shù)/(久)的圖象和性質(zhì)，

有駕+9=2自兀+式自ez),

又f(一自=苧，有一駕+*=2，兀+\(上2eZ),

將上面兩式相加，有2?=2(^+^)^+^^I6Z,/c2GZ),

有8=(附+k2)兀

又由。<0<兀，可得0=P

則a=24七+2(七GZ),

又由函數(shù)/(%)在區(qū)間(-K)上單調(diào)，

有§22E—(—,)],可得0<3<2,可得3=2,

故f(%)=cos(2x+.

【變式1-3](2023?安徽黃山?屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè))e=(Vising%,sinto%+cosax),~b=

(2cosa%,sincox—coso)x),/(%)=~a-b,

(1)若3=1,求/(J的值；

(2)若函數(shù)/(%)的最小正周期為兀

①求3的值；

②當(dāng)久e磊]時(shí)，對(duì)任意tER,不等式機(jī)戶+7n力+32/(%)恒成立，求m的取值范圍

【答案】(i)rQ=1

(2)①3=±1;②見(jiàn)解析.

【分析】(1)首先代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用三角恒等變形，化簡(jiǎn)函數(shù)，并代入求值；

(2)首先根據(jù)周期公式求3,并利用三角函數(shù)的性質(zhì)求f(x)的最大值，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問(wèn)題,

即可求解.

【詳解】(1)依題意，

~a-b=2V3sintoxcosd)x+sin2cox—cos2tox

=V3sin2tox—cos2a久

=2sin(2a)x一看)，

當(dāng)3=1時(shí)，/(x)=2sin(2%—J/(?)=2sin2=1

(2)①由(1)知/(%)=2sin03%

最小正周期7=普=兀，得3=±1,

|23|

②當(dāng)3=1時(shí)，/*(%)=2sin(2%_1),當(dāng)％￡修闈時(shí)，

2x-^G[py],當(dāng)2%—”會(huì)即％=押，/⑺的最大值為2,

不等式7nt24-mt+3>/(%)恒成立，即血產(chǎn)+mt+3>2恒成立,

整理為血產(chǎn)+血1+12o,t€R恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，1>0恒成立，

當(dāng)?nW0時(shí)，(一八，得0<血44,

綜上可得，04血工4,

當(dāng)3=—1時(shí)，/(%)=2sin(-2%—J=-2sin(2x+J當(dāng)%E修,'時(shí),

2%+2舟兀卜當(dāng)2%+?=兀，即％=〈時(shí),/(%)的最大值為0

oLIZJo1Z

不等式7nt2+mt+3>f(x)恒成立，即山產(chǎn)+mt+320恒成立,

整理為mt2+mt+3>0,teR恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，320恒成立，

當(dāng)加力0時(shí)，｛

綜上可得，0WmW12,

綜上可知，當(dāng)3=1時(shí)，0Wm44,當(dāng)3=-1時(shí)，0WznW12.

【變式1-4](2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2cos236一sinM%.

⑴求f(0)的值；

(2)從①31=1,32=2;②31=1,32=1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，作為題目的已知條件，求函數(shù)/(%)在

[-上的最小值，并直接寫(xiě)出函數(shù)/(X)的一個(gè)周期.

【答案】(1)2

(2)詳見(jiàn)解析

【分析】(1)代入公式即可求得/(0)的值；

(2)選①時(shí)，先化簡(jiǎn)題給解析式再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)/(%)的周期和在[-3H上的最小值；

選②時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得函數(shù)/(%)在卜;周上的最小值，并直接得到函數(shù)/⑺的一個(gè)周期.

22

【詳解】(1)/(x)=Zcos^1%—sina)2x,貝!j/(0)=2cos0—sin0=2

(2)選①31=Lo)2=2時(shí)，

/(%)=2cos2%—sin2x=1+cos2x—sin2x=V2cos(2x++1

由[一泉,，可得2久+[一,,日，

則一日Wcos(2x+j)<1,則0<V2C0S(2x+2+l<V2+1,

則當(dāng)2x+：=—p即％=-狎?函數(shù)f(x)取得最小值0,

函數(shù)/Q)的周期為弓=無(wú)

選②%=1,32=1時(shí)，

/1\217

/(%)=2cos2%—sinx=—2sin2%—sinx+2=—2(sinx+—1+—

由xe可得sinxe[—1，H，則1

則當(dāng)X=—]或久=機(jī)寸函數(shù)/(久)取得最小值1,

函數(shù)f(x)的周期為兀

【變式1-5](2023?上海松江??？寄M預(yù)測(cè))已知向量記=(2sin3%,cos23%),元=(VScostox,1),其中3>0,

若函數(shù)/(%)=m?五的最小正周期為兀

⑴求/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在4中,若/(B)=-2,BC=Va^sinB二百sia4,求瓦5?阮的值.

【答案】(1)[k兀—兀+2],/cEZ

3

⑵一5

【分析】(1)根據(jù)題意，由輔助角公式將函數(shù)/(￡)化簡(jiǎn)，再由函數(shù)周期即可求得3,再根據(jù)正弦型函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由(1)中函數(shù)/(%)的解析式可得8=與，再由正弦定理可得a=c,再結(jié)合平面向量數(shù)量

積的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)/(%)=m-n=V3sin2a>x+cos2a)x=2sin(2cox+

/(x)的最小正周期為兀,二T=烏=兀,二3=1.

2Ci)

故f(%)=2sin(2x+J,

令2/c兀一三W2x+-<2kn+g,解得/c?！猑<x<kji+-,kEZf

26236

故函數(shù)f(%)的單調(diào)增區(qū)間為卜兀冶,E+露kez

(2)設(shè)△ABC中角4B,C所對(duì)的邊分別是a,瓦c.

?；f(B)=-2,2sin(2B+§=—2,即sin(2B+J=—1,解得B=y.

???BC=V3,a=V3,sinB=V3sin24,-??b=V3a,-??b=3,sin4=p

0<AA=-,C=a=c=V3,

366

:.BA-BC=c?a?cosB=3x^—0=—|.

然考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形

)是例題分析

【例2】(2023?安徽安慶?安徽省桐城中學(xué)?？家荒?在△4BC中，三邊a,瓦c所對(duì)的角分別為48,C,已知a=4,

cosB+cosAcosC_4V3

sinFcosCb

(1)若c=2g，求sinA；

(2)若48邊上的中線長(zhǎng)為亨，求AB的長(zhǎng).

【分析】⑴根據(jù)題意，由正弦定理整理得sinAsinC=V^sinAcosC,得到sinC=V^cosC,求得C=泉再

由正弦定理，即可求解；

(2)設(shè)48邊上的中線為CD,得到2方=不+荏，結(jié)合向量的運(yùn)算，求得6=3,再利用余弦定理，即可

求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)?SB+：OS4：SC=華且a=4,

sinHcosCb

cosB+coSi4cosc4V3_V3a_Ksin-

由正弦定理得

sinBcosCbbsinB

整理得cosB+cosTlcosC=V3sin>lcosC,

因?yàn)閆+B+C=7i,可得cosB=—cos(Z+C)=sinXsinC-cos^cosC,

可得sin/sinC=V3sini4cosC,

又因?yàn)?6(0,71),可得sinZ>0,所以sinC=V3cosf,即tanC=V3,

因?yàn)镃€(0m),所以C=全

由正弦定理的號(hào)=三且c=2g,可得sim4=—=?*=l.

sm4sintc2v3

(2)解：設(shè)邊上的中線為CD,則2/=襦+而，

2

所以4|麗|=(Z貢+而)2=辰+/+2abcosC,

因?yàn)锳B邊上的中線長(zhǎng)為亨，可得37=房+16+4b,整理得/+46-21=0,

解得b=3或6=-7(舍去)，

所以AB—c—Va2+b2-2abcosC=J16+9—2x4x3x|=V13.

A

a

Bc

滿分秘籍

解三角心問(wèn)思，多為邊和角的求偵問(wèn)題，這就雷曼根掘正、余

儀定理M舍已知條件靈活科化邊和角之問(wèn)的美系，集g醫(yī)用余必定

理；如果其子中含有角的正儀或邊的一次式，制考慮用正必定現(xiàn)，

由正筑定理求角，注意利刖條件列慚角的范國(guó)，即硼定是一解還是

的解。

【變式2-1］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在三角形^ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且sin4=|,b=

^,c>b>a.

（1）從下列中選擇一個(gè)證明:

（2）求三角形448c面積的最小值.

【答案】（1）見(jiàn)解析

(2嚀

【分析】（1）根據(jù)向量關(guān)系，利用數(shù)量積運(yùn)算證明正弦余弦定理；

（2）根據(jù)面積公式，結(jié)合c變的最小值，求面積的最小值.

【詳解】（1）若選擇①，由條件可知，角4B都是銳角，過(guò)點(diǎn)4作與48垂直的單位向量］貝/與前垂直的夾

角為:一4貝行與前垂直的夾角為:一8,

c

因?yàn)檐?前=前，所以j?（四+阮）=j-AC^'j-AB+j-JC=pAC,

=|力|阿c*+|川園cos'-B）=訓(xùn)隔cos停-4）,

=asinB=bsinA,

日ri。b

sin?-sinB；

若選擇②，如圖，設(shè)前=E,AB=c,BC^a,

則b—下二方，兩邊平方后彥二（K—下）=b2+c2—2b-c,

_>2_>

則@2=|^|+[c|2—2同團(tuán)cos4即a?=b2+c2—2bccosA

b2+c2—a2

因?yàn)閏>b>a,所以c>4,

所以△4BC的面積的最小值為gx4=y.

【變式2-2](2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模)在A4BC中,4B、C所對(duì)邊a、氏c滿足(a+b-c)(a-b+c)=be.

⑴求4的值；

(2)若a=百，cosB=I，求△ABC的周長(zhǎng).

【答案】(15

（2冷

【分析】⑴利用題干條件和余弦定理求出4二$（2）先求出sinB=g,利用正弦定理求出b=旨再利用

余弦定理求出。=土”，求出周長(zhǎng).

【詳解】（1）（a+6-c）（a—b+c）=be化簡(jiǎn)得：b2+c2—a2=be,兩邊同除以2bc,及cosZ=因?yàn)閆G

（0,71）,所以4=

（2）因?yàn)閏osB=1且3G（0,兀），所以sinB=：因?yàn)閍=V3>由正弦定理得：—rn=2，故b—p由余弦

55sin--5

35

362

定理得：COS/=b;J"=即2S：；3=3,解得：C=3士其中c>0,所以。=1±衿，故△4BC的周長(zhǎng)

2bc2—c255

5c

為、L,0+.=3+4V3+,丁69二V3+9

【變式2-3]（2021?廣東佛山?統(tǒng)考二模）在①藝/一甯=5②說(shuō)?前，③sinA—sinB=苧這三個(gè)條

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

問(wèn)題：已知△力BC的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c；a=l,C=*求△ABC的面積.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】若選①：先根據(jù)二倍角公式得到cos24=1-2sin24cos28=1—2sin2B,然后根據(jù)正弦定理進(jìn)行

化簡(jiǎn)即可求出b的值，再根據(jù)面積公式S-BC=[absinC可求解出結(jié)果；

若選②：先根據(jù)向量的數(shù)量積公式和余弦定理得到瓦c的一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)角C的余弦定理得到6,c的另

一個(gè)關(guān)系式，由此求解出b的值，再根據(jù)面積公式SMBC=gabsinC可求解出結(jié)果；

若選③：根據(jù)4+以及兩角差的正弦求解出4的值，由此可求解出B的值，結(jié)合正弦定理可求解出b

的值，再根據(jù)面積公式S“BC=[absinC可求解出結(jié)果.

【詳解】右選①：因?yàn)椴乓欢?5,所以r------丁=5,所以/一記一（二------廠）=5，

又因?yàn)樘?hào)=_、，所以空華—空=o,所以吃—白=；,

smAsmBa"bLab2

又因?yàn)閍=1,所以b=V2,所以S“BC=Jabsinf=|xlxV2x^=^；

zZL4

若選②：因?yàn)辂?阮=I所以accosB=：,所以ac?巴4——=p所以c?—房=:,

442ac42

又因?yàn)閏?=a2+62—2abeosC,所以c?=b2—b+1,所以按—h+1=b2+1,

所以b—p所以=；absinC=^xlx-1x^=~

LLLZZo

若選③：因?yàn)閟in/—sinB=怖所以sinX-sin售-4)=拳所以［sinZ—y-cosA=-y,

所以sin(a-§=苧,又ae(o,⑶所以力*e(一輔)，

"7

所

以77T

7T--_--7r_-7T----7T-

3,741,7T3

421212

￡

IV24

a所

D以

-b_v6—v2_

—

一-=

M當(dāng)V212-V3,

SI44-V6+V2-

所以S“BC=gabsinC=1x1x（2-V3）xy=

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于正余弦定理、三角形的面積公式、三角恒等變換公式以及向量

的數(shù)量積公式的使用，對(duì)于轉(zhuǎn)化能力要求較高；在使用正余弦定理時(shí)，要注意選取合適的邊和角去計(jì)算.

【變式2-4】（2023?四川綿陽(yáng)?四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖,在梯形A8CD中，AB//CD,AB=2,

8=5,乙4BC一

（1）若AC=2V7,求梯形48CD的面積；

（2）^AC1BD,求tan/ABD.

【答案】（1）7療；（2）tan乙4BD=苧.

【分析】（12ABC中，利用含乙4BC的余弦定理表達(dá)式建立BC的方程，求出BC而得AABC面積，再利用

面積關(guān)系求△力DC的面積得解；

（2）由題設(shè)中角的信息用乙48。表示出△ABC與ABDC中的相關(guān)角，再在這兩個(gè)三角形中利用正弦定理建立兩

個(gè)方程，聯(lián)立整理得tanN力BD的方程，解之即得.

【詳解】⑴設(shè)BC=%,在小ABC中，由余弦定理AC?=人爐+BC2_2AB,BCcos乙4BC得：

28=22+x2—2-2?x?cos.,即/+2x—24=0,而x>0,解得x=4,

所以BC=4,則△ABC的面積S“BC=lAB-BC?sin4ABe=，2?4?日=2百，

梯形4BCD中，AB//CD,ZkABC與△4DC等高，且CD=拳，

所以△4DC的面積S“DC=史署=5V3,

則梯形ABCD的面積S=S^ABC+S^ADC=7V3；

(2)在梯形ABC。中，設(shè)Zu4BD=a,而4c1BD,

則NBDC=a,NB4C=g-a,乙DBC=勺-a,ABCA=a--,

236

AB—BC得.2_BC

在△力BC中，ph7P己方京理

sin48c4sinz.BACsin(a—)sin(--a)

BC用5_BC_

在八BDC中，由正弦定理

smz.DBCsinZ-tiDCsin(^—a)sma

2sin((—a)_sina=2-(—cosa+-sina)_sina

兩式相除得:

5sin(a—sin(-a)5?(^sina—^cosa)cosa

整理得5V3sin2a—7sinacosa—2V3cos2a=0,

即5V3tan2cr—7tana-2v5=0

解得tana=苧或tana=-y,

因?yàn)閍6貝ijtana=—,即tan乙480=—.

6233

【點(diǎn)睛】（1）三角形中已知兩邊及一邊對(duì)角求第三邊，利用余弦定理建立關(guān)于第三邊的一元二次方程求解；

（2）涉及平面多邊形問(wèn)題，把圖形拆分成若干個(gè)三角形，再在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.

【變式2-5］（2019?河南?校聯(lián)考二模）在2MBe中，內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為a、6、c,且滿足siM4+sin/lsinF-

6sin2B=0.

（1）求押值;

(2)若cosC=1，求sinB的值.

【答案】（1）2；（2）手

O

【分析】（1）對(duì)si/z+sinTlsinB-6sin2B=0兩邊同除以即可求得嬰=2,結(jié)合正弦定理即可得解.

（2）由余弦定理及？=2可得c=&b,再利用余弦定理即可求得cosB=乎，問(wèn)題得解.

b8

【詳解】（1）因?yàn)閟in?/+sin/sinB—6sin2J5=0,sinB豐0,

所以（當(dāng)丫+黑―6=0,得*=2或嗯=一3（舍去），

\smB/smtfsinFsinn

由正弦定理得？=%=2.

bsmB

（2）由余弦定理得cosC=當(dāng)了=J①

2ab4

將（=2,即a=2b代入①，得5b2一?2=3拄，得?=

222222

14■.人H?士TRM曰r>a+c-bn2b+4b-b5V2

由余弦定理得：cosB=———，R即n：cosB=丁,

2ac2義2bxy12b8

則sinB=Ji—(cos5)2=—.

8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查計(jì)算能力及方程思想，屬于中檔題.

【變式2-6】(2023?廣東東莞??？既?在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知6sinA=

acos(B-]

⑴求角B的大小；

(2)設(shè)a=2,c=3,求sin(2A-B)的值.

【答案】(1)2=9

(2彈

【分析】(1)運(yùn)用正弦定理求解；

(2)運(yùn)用兩角差公式求解.

【詳解】(1)在中，由正弦定理得：sinBsinZ=sirL4cos—J

因?yàn)閟inA>0,所以sinB=cos—三)，可得sinB=—cosB+-sin^,

即sinB=V3cosB,tanB=V3,又BG(0,兀)，可得B=p

(2)在△4BC中，由余弦定理得：b2=a21+c2-2accosB=7,b=V7,

由bsinV=acos(8—3,以及B=泉可得sin/=,

因?yàn)閍Vc,所以A是銳角，所以cosZ=a

因此sin24=2sin4cosZ=生與cos24=2cos2/—1=-,

77

所以，sin(2Z—B)=sin224cosB-cos2ZsinB=\x———x

綜上，B=1,sin(24—B)=當(dāng).

弘考法三：利用正弦定理求外接圓半徑

標(biāo)例題分析

【例3】(2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模)已知△4BC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,bcosC+V3csinF=a+c.

⑴求角B的大??；

(2)若△力BC為鈍角三角形，且a—c=2,求△ABC外接圓半徑的取值范圍.

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；

(2)利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到/?=/不，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閎cosC+V3csinB=a+c,由正弦定理可得sinBcosC+V^sinCsinB=sin/+sinf=sin(兀一

B—C)+sinC=sinBcosC4-cosBsinf4-sinf,

得至！jBsinfsinB=cosBsinC+sinC,又CG(0,兀)，所以sinCH0,

故舊sinB=cosB+1,即d^sinB—cosB=1,所以2sin(B--)=1,

又所以B1=g得到8=g

666663

(2)由正弦定理'-="-=￡=2R,得到a=2Rsin4c=2RsinC,

sinAsinBsinC

所以a—c=2R(sinZ-sinC)=2R卜inZ—sin(y—Z)]=27?(sinX-fcosZ—；sinZ)

=2R(-sinA--cosA>)=2/?sin(X--)=2,所以R=.1無(wú)，

223sin(?!--)

又因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，且a—c=2>0,又由⑴知B=導(dǎo)所以]<4(冬

所以4—：e(.,?),由丫=sinx的圖像與性質(zhì)知sin(4—g)€(g,苧)，所以

滿分秘籍

變式訓(xùn)練

【變式3-1］（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若.在

以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)：①bsinB—csinB=asin4—csinC；②2asin8=btanA,并解答下列問(wèn)題.

⑴求角4；

（2）若44BC的外接圓半徑為百.求小A8C面積的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答.則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1

【分析】（1）若選①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若選②利用正弦定理將邊化角即可求解；

（2）結(jié)合（1）結(jié)論，利用正弦定理求出a,再由余弦定理和基本不等式得到此39,再利用三角形面積公

式即可求解.

【詳解】（1）若選①：因?yàn)閎sinB-csinB=asia4-csinC,

所以由正弦定理得抉-be=a2-c2,

即4=b2+c2_bCf

又由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA,所以cosA=

又因?yàn)?E（0,兀），所以Z

選②：由2asinB=btari4得2asinBcoSi4=bsinA,

則由正弦定理得2sinZsinBcosA=sinBsin4,

因?yàn)锳,BE（0,71）,所以sinBsin/W0,所以cos/=

所以

（2）由（1）可知4=3又正弦定理可得號(hào)=2R=28，

3smA

解得。=3,

則由余弦定理得

a2=62+c2-2bccosA=b2+c2—be>2bc—be=be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，

又a=3,所以be<9,

所以SMBC=^besinA<|x9Xy=竽，

所以△力BC面積的最大值為苧.

4

【變式3-2］（2023?江蘇揚(yáng)州?江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,已知a=2,且?jiàn)士誦-c

b—a

⑴求△力BC的外接圓半徑R；

（2）求44BC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

【答案】（1）R=?

（2”（請(qǐng)）

【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得b2+c2-a2=bc,應(yīng)用余弦定理即可求COS4進(jìn)而確定其大小;

（2）由正弦定理有6=^sinB,c=^sinC,根據(jù)余弦定理有有=-J結(jié)合（1）及SA^C=gbcsinA=

］（a+b+c）r,應(yīng)用三角恒等變換有r=Wsin（B+f-f,由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即

可.

【詳解】（1）因?yàn)槊鬂?>,由正弦邊角關(guān)系得也=>，即辰+,2一=be,

smeb—acb—a

由余弦定理，得cos/=》:'J"=某=，,又ze(0,兀)，所以Z=W，

2bc2bc23

由2/?=」^=9=苧，則R=*

sm42233

2

(2)由正弦定理得々=三=9=3二%所以Z?=吃sinB,c=^sinf,

sinnsinesin?lsin-V3V3V3

由余弦定理，得4=/+—2Z?ccos^=(b+c)2—3bc,所以be=("?

利用等面積法可得S.BC=^besinA=1(a+6+c)r,

則丁=besinA=漁3+c)2-4=立的+C—2)

a+b+c62+b+c6

2V3./,TT\V3

=——sin8N+------,

3\6/3

Wb,.\BA=^,故BE（詞陪為則B+H/U黯）,

所以sin（8+J€1）,故7W（o,/）.

【變式3-3］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知△/BC的角4,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,滿足處=浮，且ab=:

ab—c3

a+b-V2c=0

⑴求C；

(2)求A4BC外接圓的半徑R.

【答案】(嗚

【分析】(1)由已知結(jié)合余弦定理求得結(jié)果；

(2)根據(jù)已知結(jié)合余弦定理先求出c,再利用正弦定理2R=三求出結(jié)果.

sine

【詳解】(1)由空=浮可得房一C?=ab-次，

ab-c

.「b2+a2-c21

>?cose-~~

2ab2

:ce?"=]

(2)Vab—pa+b=V2c,

b2+a2-c2_(b+d)2—2ab—c2_2c2---c2

cosC=

整理得?2=1,：,C=1.

由正弦定理可得2R=三=A=等,

sine3

R=f,即△ABC外接圓的半徑為祭

【變式3-4](2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)在四邊形48CD中，AB//CD.

(1)證明：AD-sinzBTlD=BC-sinzBCD；

(2)若AD=1,AB=3,BC=V3,乙BAD=2乙BCD,求△BCD外接圓的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)771

【分析】(1)由平行關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，在兩個(gè)三角形中分別使用正弦定理，在根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行傳遞.(2)

根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系對(duì)未知角的大小進(jìn)行求解，再在△BCD使用余弦定理對(duì)未知邊的大小進(jìn)行求解，最后在

△BCD中使用正弦定理得到外接圓半徑.

【詳解】(1)因?yàn)?B//CD,所以乙48。=々BDC,在△48。中，由正弦定理可知一^;=—^，在△BCD

smz.ABDsmz.BAD

中，由正弦定理可知，BC=BD,所以a。,sinNBAD=BD-sm^ABD,BC-sinzBCD=BD-sin乙BDC,

sinz.BDCsinz.BCD

故有4。-sinZ.BAD=BC-sin4BCD.

(2)由(1)可知，AD-sin^BAD=BC-sinzBCZ),^BAD=2Z.BCD=2a,又因?yàn)閆O=LBC=g,可得

sin2a=V3sina,BP2sinacoscr=V3sina,解得cosa=遺，所以燈=々在△BCD中，由正弦定理可知，2R=

26

—.所以/?=夕，所以△BCD的外接圓的面積為S=7CR2=7兀

sinZHCD

【變式3-5](2023?江蘇揚(yáng)州?揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))在△ABC中，角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.從

①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.①cos4=-g；②△ABC的面積是第；③c=3.

問(wèn)題：已知角/為鈍角，b=5,.

(1)求△ABC外接圓的面積；

(2)/。為角/的平分線，。在8C上，求的長(zhǎng).

【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，譽(yù)

(2)AD=^3

【分析】(1)選①②：由COS4=-3求得Sina=等，再結(jié)合三角形面積公式可求得c=3,利用余弦定理求

得e再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選①③：利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選②③：利用三角形面積公式可求得sinA=要，再求得cosA=-黃，利用余弦定理求得a,再利用正弦定

理求得外接圓的半徑，從而可解.

(2)設(shè)4=2a,則有sin2a=上署，求得sina=等，再利用等面積法可求.

【詳解】(1)選①②，

A17..n.-------------y-r4VH

cosA=-???smA=VI—cos￡A=-----,

2525

T7cITan6V2114V21j曰

又'?~-bcsinA，即----——X------X5XC,信C—o3，

△A"25225

由余弦定理，得/=b2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=言，

由正弦定理，得（2冏2=總=等，R2=譽(yù)，

所以，△ABC外接圓的面積為誓.

84

選①③，因?yàn)閏os/=—C=3.

所以由余弦定理，得小=62+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=等,

由正弦定理，得（2町2=亮=警，R2=鬻，

所以，△4BC外接圓的面積為誓.

84

選②③，

由；x5x3xsin4sin/=噂^,A為鈍角，得cos/=-11,

由余弦定理，得/=b2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x^=等，

由正弦定理，得（2/?）2=焉=警，R2=鬻，

所以，△ABC外接圓的面積為等.

84

（2）由AD為角A的平分線，設(shè)4=2a,ae（0,J

則有si■n2za=-1—c-o-s?l=―21,si.nVa21=—,

由^ZBC的面積=|x6xADxsincr+1xcxADxsina,

即一--=-x5xADx----x3xADx,角牛=一,

525252

故AD的長(zhǎng)為李

弘考法四：正弦和余弦定理邊角互化的應(yīng)用

,卷金，例題分析

【例4】(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，平面四邊形OZCB中，△ABC的三內(nèi)角48,C對(duì)應(yīng)的三邊為見(jiàn)瓦c.

給出以下三個(gè)條件：

①cos2Z—cos2C=2sin2B—2sin/sinB

②asin^|^=csin/

③XABC的面積為手02+b2-c2)

(1)從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，求角C；

(2)設(shè)。4=OB=2,4B=4C,在(1)的條件下，求四邊形。4cB的面積的最大值.

【分析】(1)對(duì)于①②：利用正、余弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；對(duì)于③：利用余弦定理和面積公

式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意利用余弦定理建立邊角關(guān)系，結(jié)合面積公式整理可得S=4sin(e-])+2W，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】(1)若選①:cos2A—cos2C=2sin2^—Zsin^sinB,

則(1—2sin2i4)—(1—2sin2C)=2sin2B—2sia4sinB,

整理得：sin2>l+sin2B—sin2c=sinAsinB,

由正弦定理得次+b2-c2=ab,所以cost*=。:

2ab2

因?yàn)?VCV兀，所以

若選②：因?yàn)閍sin=csinA,則asin=csinA,

_c

可得acos^=csinA,

由正弦定理得：sin4cosm=sinCsinZ,

err

因?yàn)閆G(0,7i),sin/W0,所以cos-=sinC=2sin-cos-,

因?yàn)?<C<7i,則0<|<梟可得cosg>0,

所以sin5=；,5=g即C=&

ZZZo3

若選③：△的面積為，(Q2+b2—c2),貝嶺absinC=^(a24-b2—c2),

所以sinC=8(。+：—)=百cosC,

2ab

所以tanC=V3,

因?yàn)椤?lt;C<TI,所以C=*

(2)因?yàn)榱=4C,由(1)可知C=(,所以△ABC為正三角形，

設(shè)=9,則0<9<兀，

可得SMOB=］。4,OBsinB=2sin0,

在440B中，由余弦定理ZB?=0A2+OB2-20A-OBcosd,

可得4B=V22+22—2x2x2cos0=V8—8cos0,

所以四邊形。力CB的面積S=SAA0B+SAABC=2sin0+苧力爐

V3ll

=2sin0+—(8—8cos6)=2sin0—2v3cos0+2V3

=4sin(8—：)+2百，

因?yàn)閛<e<兀，所以一(<8—

所以當(dāng)8冷=泉即。=由寸，四邊形CMCB的面積取到最大值4+2舊.

滿分秘籍

1,若巴如于良（或,本于乂）中左右育地均有關(guān)于逋的本次大立美于角內(nèi)壬短的弄

次大，乂的分子與》母關(guān)于逋的齊次火羔美于初的壬弦的#次女.TM正於定友

線6邊角￡化.

2LMitf邊的中才

變式訓(xùn)練

【變式4-1](2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))在△力BC中，角4B,C所對(duì)的邊

分別為Q,b,c,已知csin與=asinf

(1)求角A的大??；

(2)若b=l,sinB=亨，求邊c及cos(2B+4)的值.

【答案】(1)4=?

(2)c=f3,cos(2B+4)=-y1i1

【分析】(1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)己知等式可求sin?=g,根據(jù)角的范圍即可求解4的值；

(2)由已知利用正弦定理可得a的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求

sin2B,co