2025版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何初步-原卷版

專題09立體幾何初步

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2022?新高考I卷，4

1.高考對立體幾何初步的考查，重點是2023?新高考I卷，14

掌握基本空間圖形及其簡單組合體的2024?新高考I卷,5

柱、錐、臺體的表面積與體積

概念和基本特征、解決多面體和球體的2022?新高考n卷，11

相關(guān)計算問題。同時需要關(guān)注異面直線2023?新高考n卷，9

的判定和成角問題、空間點線面的位置2023?新高考n卷，14

關(guān)系問題、夾角距離問題、截面問題。2022?新高考I卷，8

這些問題對考生的空間想象能力要求球的切接問題2023?新高考I卷,12

有所提升，需要考生有強大的邏輯推理2022?新高考n卷，7

能力。2022?新高考I卷，9

夾角問題

2024?新高考n卷，7

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，n卷考查了以棱臺為背景的線面角

的求法，總的來說，基本立體圖形的表面積和體積屬于?？键c，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式

和提升計算能力比較重要。預(yù)計2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺

體的表面積和體積計算。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為則圓錐的體

積為（）

A.26兀B.C.6乖inD.96兀

52

2.（2024新高考n卷-7）已知正三棱臺的體積為石，AB=6,44=2,則4/與平面/8C

所成角的正切值為（）

A?-2B.1C.2D.3

近年真題精選

一、單選題

1.（2022新高考I卷-4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已

知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為"O.Okn?；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為

180.0km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升至t]157.5m時,

增加的水量約為（不。2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2x10sm3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考I卷-8）己知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為367，且

34/436，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■81]「27811「2764]…

A.18,—B.-C.—D.r[i1n8,27]

_4J144」L43_

3.（2022新高考n卷-7）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為36和46，其頂點都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.1287rC.1447tD.192兀

二、多選題

4.（2022新高考I卷-9）已知正方體/BCD-&qGA，貝I（）

A.直線與所成的角為90°B.直線與C4所成的角為90°

C.直線8G與平面"?自。所成的角為45°D.直線8G與平面/BCD所成的角為45°

5.（2023新高考I卷-12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

6.（2022新高考II卷?“）如圖，四邊形/8CO為正方形，即，平面/BCD,必〃瓦》,48=￡。=2尸8,記

三棱錐E-/CO,F-ABC,尸-/CE的體積分別為匕匕，匕，貝U（）

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考n卷-9）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。，N2為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,

點C在底面圓周上，且二面角尸-/C-0為45。，貝U.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=242D.△尸NC的面積為G

三、填空題

8.（2023新高考I卷-14）在正四棱臺/BCD-44GA中，=2,/e=1,/4=&，則該棱臺的體積

為.

9.（2023新高考II卷-14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

必備知識速記

一、棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面

所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱

錐.

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺

叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

斜棱柱四

梭柱棱

柱

長方體

棱錐一?正棱錐一-正四面體

正

方

正多面體體

二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球(球面距離:

經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度).

5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計算公式

1、表面積公式

a

一

S正棱臺=~n(a+d)h+S上+S下

臺體

S圓臺-欣丫'2+r2+r'l+r/)

?

球S=4兀N

2、體積公式

/

柱體匕主二S/z

錐體噓=興j\

體

積

臺體七=^(s+4ss'+S')h

?

4&

球V=—7TR3

3

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于O'y',使/x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平平面.

(3)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線段，且長度保持不變;

在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于了軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,

縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去K軸、了'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為VL4.

五、四個基本事實

基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7

符號aC\b=Pa\\bap\a=A,b<^a,A^b

公共點個數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一

個平面內(nèi)

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號1ualC\oc=Pl\\a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

八、平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

\r-T

￡17

符號aIIPp-1a1(3,a[}(3=1

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在唯無數(shù)個公共點且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/IIa

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平

l//lx

線II線二>線面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直I】ua>n/〃a

II面線和這個平面平行（簡記為“線線IqLa

平行=>線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個平a//B'

>na//[3

面1面n線面內(nèi)的所有直線都平行于另一個//QU%

II面平面//

3、性質(zhì)定理1（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個1//a

平面平行，經(jīng)過這條iu/3，=>/〃/'

線II面二）線1|線a[\/3—l'

直線的平面和這個平/1

面相交，那么這條直Z

線就和交線平行

H一~?、兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和4,若分=。，則aII，

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相

線II面=>交的直線都平行于另一個a〃B，b///3^>a//f3

//

面II面平面，那么這兩個平面平行

（簡記為'線面平行n面面

平行

線J_面=>如果兩個平面同垂直于一I.La]

卜nallP

面II面條直線，那么這兩個平面平"J

行/1/

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面n

在一個平面中的所有直a!1(3}“

線〃面\na110

線都平行于另外一個平QU幻

面

如果兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那么Q/a//6]

性質(zhì)定理他們的交線平行（簡記為aC\/=a>=>a//b.

“面面平行n線面平/3C\y=b

行”）

如果兩個平面中有一個

面〃面=>垂直于一條直線，那么另al10}

線，面一個平面也垂直于這條7/±aJ

直線

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平

1a,bua

面內(nèi)的兩條相交直aVI

判斷定理>=>/J_a

線都垂直，則該直bLl

acb=P

線與此平面垂直y

兩個平面垂直，則

a10

在一個平面內(nèi)垂直ac0=a

面1面=>線1面>nb_La

于交線的直線與另bu[3

bLa

一個平面垂直J

n

一條直線與兩平行

/

平面中的一個平面alIp

平行與垂直的關(guān)系a10

垂直，則該直線與a.La

另一個平面也垂直z

兩平行直線中有一gb

條與平面垂直，則a1lb、

平行與垂直的關(guān)系_7>n6_La

另一條直線與該平aLa

面也垂直

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

ab

垂直于同一平面的兩aLa],,

性質(zhì)定理\=a1lb

條直線平行bLa]

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一直線a-La]

垂直與平行的關(guān)系"all。

的兩個平面平行匚aL(3\

如果一條直線垂

直于一個平面，則

線垂直于面的性質(zhì)I_La,auan/_LQ

該直線與平面內(nèi)

所有直線都垂直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac〃=CD,CO_L/,S^acy=AB,0cy=BE,ABLBE,則a_L6）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一b-La]

卜=>a_L4

bu[\

個平面的垂線，則上

這兩個平面垂直7

知識點6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一a工B

個平面內(nèi)垂直于交acB=a

>=b_La

bu(3

線的直線與另一個

b.La

平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的

斜線，斜線和平面的交點/叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點尸向平面a引垂線尸。，過垂足。和斜足/的

直線NO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0。.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90。.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角，的范圍是0°<3<90°.

④直線與平面所成的角。的取值范圍是0。W6W90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為面分別為a,￡的二面角記作二面角a-48-/7,如果棱記作/,那么這個二面角記作二面角a

-l-p,如圖⑴.

②若在a,6內(nèi)分別取不在棱上的點P,Q,這個二面角可記作二面角如果棱記作/,那么這

個二面角記作二面角尸-/-0,如圖(2).

3、二面角的平面角

①自然語言

在二面角a-//的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面a和￡內(nèi)分別作垂直于棱/的射線OA和

OB,則射線OA和OB構(gòu)成的乙408叫做二面角的平面角.

②圖形語言

③符號語言

aCt/3=l,0^1,0A（Za,0B（Z（3,0A±l,>乙4。8叫做二面角a-//的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是0°；當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時，

規(guī)定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角…的范圍是0。WaW180。.

一、單選題

TT

1.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長為2,且母線與底面所成角為?，則該圓錐的側(cè)面積為（）

4

A.瓜B.2兀C.2亞兀D.4兀

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知加，"表示兩條不同的直線，1表示平面，則（）

A.若n//a,則加〃7?B.若機||<7,m,則〃_La

C.若加_La,mLn,貝！J“〃aD.若加_La,〃ua,則

3.（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長為2的正四棱柱/BCD-44G2的體積為16,則直線/C與

所成角的余弦值為（）

A2百口石_Vion3廂

551010

4.（2024?山東濰坊?三模）某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成.已

知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為

（）

AVioRi「后nVi5

A.b.—C.U.

5225

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口,

弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可

近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃

地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：兀的值取3,725,4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行

平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過

高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為

%=9MS+4S0+S）,其中S,S'分別是上、下底面的面積，耳是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為擬

柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的

長、寬比下底的長、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運，則至少

需要運（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.51車B.52車C.54車D.56車

7.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱/8C-44。中，E,廠分別為NC的中點，平面E4G尸將

三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

C,

8.（2024?新疆?三模）設(shè)四棱臺23CD-/4G。的上、下底面積分別為岳，昆，側(cè)面積為S,若一個小球

與該四棱臺的每個面都相切，則（）

A.S?=S&B.S=S,+S2

C.S=2^S^D.#+叵

9.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人

航天活動.從神話“嫦娥奔月"到古代"萬戶飛天"，從詩詞"九天攬月"到壁畫"仕女飛天"……千百年來，中國人

以不同的方式表達著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成

由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將

其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

10.（2024?山東泰安?二模）已知四面體/BCD的各頂點都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4拒,平面平面3C。，則該球的表面積是（）

A.40KB.80KC.100兀D.160兀

11.（2024?天津?二模）在如圖所示的幾何體中，底面/BCD是邊長為4的正方形，AAi,BG,C￡,DD,

均與底面ABCD垂直，且A4=CG=DD、=2BG=46，點E、F分別為線段BC、CC,的中點，記該幾何

體的體積為K，平面/在將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

12.（2024?江西鷹潭?三模）在菱形/5CD中，AB=2,/C=2百，將沿對角線/C折起，使點8到

達9的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐夕-/CD的外接球的表面積為（）

A.5兀B.16兀C.20TID.100兀

二、多選題

13.（2024?山西?三模）將一個直徑為10cm的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是（）

A.底面直徑為8cm,高為6cm的圓柱體B.底面直徑為8cm,高為8cm的圓錐體

C.底面直徑為7cm,高為9cm的圓錐體D.各棱長均為8cm的四面體

14.（2024?浙江?二模）正方體/BCD-44。口中，E,尸分別為棱/。和。2的中點，則下列說法正確的

是（

A.4DJ/平面BEF

B.30_1_平面班》

C.異面直線4A與E尸所成角為60°

D.平面8所截正方體所得截面為等腰梯形

15.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）已知正方體/BCD-44。。的棱長為1,尸為8a的中點，。為線段/C

上一動點，則（）

A.異面直線4尸與4D1所成角為30。