2025年高考數(shù)學總復(fù)習專項訓練：函數(shù)的奇偶性與周期性

專練8函數(shù)的奇偶性與周期性

［基礎(chǔ)強化］

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，在(0,+8)上單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是()

A.y—x2-B.y=~xi

C.y=-lg|尤|D.y—2x

答案：C

2.設(shè)函數(shù)人尤)，g(x)的定義域都為R,且犬x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.兀r)g(x)是偶函數(shù)

B.7(x)|g(x)|是奇函數(shù)

C.|/U)|g(無)是奇函數(shù)

D.|/(x)g(初是奇函數(shù)

答案：B

3.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當xd(0,+8)時，式x)=log2X,則八-8)=()

A.3B.

C.—gD.-3

答案：D

解析：：式尤)為奇函數(shù)，，八-8)=一八8)=-log28=—3.

.設(shè)式x)是周期為2的奇函數(shù)，當OWxWl時，五尤)=2x(l—x),則(一f)=(

)

?一2B，

答案：A

解析：尤)為奇函數(shù)且周期為2,

5.［2024?廣西桂林測試淀義在R上的偶函數(shù)段)滿足於+2)=於)，當尤引0,1］時，段)=3工，則()

A.A-1)=A2)B.A-D=X4)

c=f(4)

-環(huán))d-X高

答案：c

解析：???加+2)=危)，，/勸的周期為2,又黃尤)為偶函數(shù)，1)=汽1)=31=3,，八2)=<0)=1,.?.爪4)

=9)=1，

6.函數(shù)本)為奇函數(shù)，定義域為R,若加+2)為偶函數(shù)，且犬1)=1,貝或2016)+42017)=()

A.12B.—1

C.0D.1

答案：D

解析：：/^+2)為偶函數(shù)，，/(2+x)=A2—x),

又/U)為奇函數(shù)，，式一尤+2)=f>—2),

?，->+2)=-fix-2),.\>+4)=-?,

.?.人尤+8)=—?*+4)=大工)，

.?猶x)是以8為周期的周期函數(shù)，

?]0)=0,?,.八2016)=用)=0,式2017)=犬1)=1,

:小2016)+7(2017)=0+1=1.

7.[2023?全國乙卷(理)]已知/(x)=F二j是偶函數(shù)，貝Ua=()

A.12B.—1

C.1D.2

答案：D

解析：方法一兀0的定義域為{x|xW0},因為兀i)是偶函數(shù)，所以/(x)=/(一%),即冒、=/一，

即e^__e(?-i>_pe-x^即e(L小+?儂-1沈=^+?一，，所以1=±1,解得4=0(舍去)或4=2,故選

D.

方法二小)=/7=e51>：_b工，危)是偶函數(shù)，又y=x是奇函數(shù)，所以y=e"Fx—”是奇函數(shù)，

故a—1=1,即a=2,故選D.

8.(多選)[2023?新課標I卷]已知函數(shù)八x)的定義域為R,/(町)=>況)+^U),貝!]()

A.用)=0

B.加)=0

C.五龍)是偶函數(shù)

D.x=0為1尤)的極小值點

答案：ABC

解析：取x=y=O,則式0)=0,故A正確；取為=卜=1,則犬1)=式1)+/(1),所以式1)=0,故B正確;

取x=y=—1,則式1)=A—1)+八-1),所以式-1)=0,取y=-1,則式—x)=/U)+x2/(—1),所以八-x)=

fix),所以函數(shù)兀行為偶函數(shù)，故C正確；由于五0)=0,且函數(shù)4x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)“x)的圖象關(guān)于y軸

對稱，所以x=0可能為函數(shù)“r)的極小值點，也可能為函數(shù)人行的極大值點，也可能不是函數(shù)/U)的極值點，

故D不正確.綜上，選ABC.

9.已知八尤)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若式1)<1,式5)=-；，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-1,4)B.(-2,0)

C.(-1,0)D.(-1,2)

答案：A

解析：???兀0是周期為3的偶函數(shù)，

.?猶5)=<5-6)=黃-1)=黃1)=皆;，

又人1)<1,二茨;<1,得一

二、填空題

10.[2021.新高考I卷]已知函數(shù)危尸日"'—2-5是偶函數(shù)，則。=.

答案：1

解析：因為4x)=爐(。2"一2一，)，

故/一%)=—x3(a-2~x—2x),

因為/(x)為偶函數(shù)，故人-x)=/%),

即丁(02，一2一￡)=—x3(o2r—2工)，整理得到(a—1)(2"+2^)=0,故a=l.

IT

11.[2023?全國甲卷(理)]若/(x)=(x—l)2+ax+sin(x+5)為偶函數(shù)，則。=.

答案：2

解析：方法一因為八x)為偶函數(shù)，

所以八-x)=y(x),即(一x—l)2—辦+sin(―x+?=(x—l)2+ax+sin口+^)，

得a=2.

方法二因為於)為偶函數(shù)，所以(一XD，即(苫-1)~2a=(2—0a,得a=2?

12.若7(無)=ln。+1號+b是奇函數(shù)，則a=,b=.

答案：一3山2

解析：本題先采用特殊值法求出再檢驗正確性.

(0)=0,

因為/(x)為奇函數(shù)，所以—一，八_八

In|fl+l|+Z;=O①，

即41

In|a-l|+lna+g+26=0②.

由①可得一b=ln|a+l|③.將③代入②可得，(a—1)(a+1)=|a+lF.當g一l)(a+g)=(a+l)2

時，解得a=-3.把°=—3代入①，可得6=ln2,此時人x)=ln—3+1匕+ln2=ln|,所以

1—XI1XI

x)+/(x)=ln=+ln|=|=In1=0,所以危)為奇函數(shù)，且式0),穴2),大-2)均有意義.當(〃一

1?141

1)(。+§)=—(〃+1)2時，整理可得〃2+]=0,此時/=§—4X]<0,所以〃無解.綜上可得，a=

一號，b=\n2.

［能力提升］

2x~l

13.［2023?新課標II卷］若於)=(x+〃)ln斤百為偶函數(shù)，貝!Ja=()

A.-1B.0

C.；D.1

答案:B

解析：方法一設(shè)g(x)=ln：：+：,易知g(x)的定義域為(一8,—￡)U(j,+8),且g(—x)=ln

—2x—12x+l2x—1?r—1

_2x+i=也套=T=—M“zpj=~gM，所以g(x)為奇函數(shù)?若<x)=(x+〃)ln為偶函數(shù)，則y

=x+q也應(yīng)為奇函數(shù)，所以。=0,故選B.

2x—11

方法二因為兀勸=(九+a)ln2(+］為偶函數(shù)，八一l)=(a—l)ln3,/(l)=(〃+l)ln§=—(a+l)ln3,所

以(a—l)ln3=—(a+l)ln3,解得〃=0,故選B.

14.已知函數(shù)外)，g(x)的定義域均為R,且7(x)+g(2—x)=5,g(x)—/(%—4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于

直線1=2對稱，g(2)=4,則22f?=()

k=\

A.-21B.-22

C.-23D.-24

答案：D

解析：若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則g(2—x)=g(2+x).因為f(x)+g(2—x)=5,所以f(—x)

+g(2+x)=5,所以f(—x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).由g(2)=4,f(0)+g(2)=5,得f(0)=l.由g(x)—f(x—

4)=7,得g(2—x)=f(—x—2)+7,代入f(x)+g(2—x)=5,得f(x)+f(—x—2)=-2,所以f(x)的圖象關(guān)于點

(-1,—1)中心對稱，所以f(l)=f(—1)=—1.由f(x)+f(—x—2)=—2,f(—x)=f(x),得f(x)+f(x+2)=—2,

所以f(x+2)+f(x+4)=—2,所以f(x+4)=f(x),所以f(x)為周期函數(shù)，且周期為4.由f(0)+f(2)=—2,得

f(2)=—3.又因為f(3)=f(-l)=f(l)=-l,所以f(4)=-2-f(2)=l,所以22f(k)=6f(l)+6f(2)+5f(3)+5f(4)

=6乂(-1)+6><(-3)+5><(—1)+5*1=-24.故選。.

15.［2024?惠州一中測試］已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且滿足下列三個條件：

①對任意的尤1,xe［4,8］,當尤i<%2時，都有‘(-：°2)>0恒成立;

2X］%2

翻x+4)=-/(x)；

③y=/(x+4)是偶函數(shù)一

若。=五6),b=/ui),c=A2017),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

答案：B

解析：由①知函數(shù)4x)在區(qū)間［4,8］上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知/(x+8)=—y(x+4)=/(x),即函數(shù)式x)的

周期為8,所以c=/(2017)={252X8+1)=<1),>=八11)=<3)；由③可知函數(shù)次尤)的圖象關(guān)于直線x=4對

稱，所以6=犬3)=犬5),c=/U)=/(7).因為函數(shù)/(x)在區(qū)間［4,8］上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以人5)勺(6)勺(7),即

b<a<c,故選B.

16.(多選)［2022?新高考I卷］已知函數(shù)式x)及其導函數(shù)了㈤的定義域均為R,記g(x)=/(x).若<|—2x),

g(2+尤)均為偶函數(shù)，貝！|()

A.犬0)=0B.g(-0=0

C.八—1)=犬4)D.g(—l)=g(2)

答案：BC

3333

解析：因為灼一2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，所以黃］-2x)=fl^+2x),g(2+%)=g(2—x).令［=］—2x,

則x=(一叁，所以犬。=大3—力，即八x)=/(3—X).對兩邊求導，得7(x)=-/(3—尤)