2023-2024學年人教版九年級數(shù)學上冊重難點題型突破訓練：旋轉重難點模型（5大類型）（含答案與解析）

專題3旋轉重難點模型(5大類型)

_Um靠氫如他獨____________________________________

【題型1手拉手模型】

【題型2“半角”模型】

【題型3構造旋轉模型解題】

【題型4奔馳模型】

【題型5費馬點模型】

一旦-擦魚方逆___________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：兩個等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點。

模型說明：如圖1,AABE,AACF都是等邊三角形，可證▲AECg^ABF。

如圖2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可證^ADC絲AABE

如圖2,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過旋轉“使相等的邊重合，拼出特殊角”

模型說明：

(1)如圖，在正方形ABCD中，NEAF=45°,將AADF繞點A順時針旋轉90°,得至

可證▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF

（2）如圖，在等腰直角AABC中，NMAN=45°,將^ACN繞點A順時針旋轉90°,得到▲

ABQ,可證▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?

（3）如圖，等腰上ABC中，AB=BC,NDBE=〈NC3A.將ACBD繞點B逆時針旋轉NCBA

的度數(shù)得到^ABD，可證▲DBEWAD'BE.

BH

模型三：構造旋轉模型解題

方法指導：若一個圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點為旋

轉中心進行旋轉，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.

常見圖形旋轉：

（1）”等邊三角形”的旋轉

方法歸納：將等邊三角形內的一個小三角形，旋轉60度，從而使小三角形

的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點，得三角形.通過旋

轉將不相關的線段轉化到同一個三角形中，將分散的已知條件集中起來，使問題

得以解決.

模型四：奔馳模型

如圖，等邊aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

模型五：費馬點模型

【費馬點問題】

問題：如圖1,如何找點P使它到△耳?三個頂點的距離之和PA+PB+PC最??？

圖文解析：

如圖1,把aAPC繞C點順時針旋轉60。得到△APC,連接PP.則ACPP，為等邊三角形,

CP=PP',PA=P'A',

???PA+PB+PC=PA+PB+PPBC.

???點A，可看成是線段CA繞C點順時針旋轉60。而得的定點，BA，為

定長

.?.當B、P、P\A,四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小.最小

值為BA/

-國道至更/_______________________________

【題型1“手拉手”模型】

【典例1】（2022春?西安期末）如圖，在。中，BC=5,以4C為邊向外作等邊^(qū)

ACD,以N8為邊向外作等邊△4BE,連接CE、BD.

（1）若ZC=4,N4cB=30°,求CE的長；

（2）若/4BC=60°,48=3,求5。的長.

【變式1-1］（2022秋?荔灣區(qū)校級期中）以AABC的AB,4C為邊分別作正方形

正方形4CG尸，連接DC,BF.

（1）CD與8R有什么數(shù)量與位置關系？說明理由.

（2）利用旋轉的觀點，在此題中，AlOC可看成由哪個三角形繞哪點旋轉多少角度得到

的.

D

【變式1-2](2022九上?吉林期末)如圖①，在△ABC中，ZC=9O°,AC=BC=迎,

點D,E分別在邊4C,BC上,且CD=CE=?,此時AD=BE,ADJ.BE成立.

圖①圖②圖③

(1)將△CDE繞點C逆時針旋轉90。時，在圖②中補充圖形，并直接寫出BE的長度；

(2)當△CDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，AD與BE的數(shù)量關系和位置關系是否

仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；

(3)將△CDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，當A,D,E三點在同一條直線上時,

請直接寫出4。的長度.

【題型2“半角”模型】

【典例2】(秋?錦江區(qū)期末)在△EC中，AB=AC,點E,尸是邊BC所在直線上與點8,

C不重合的兩點.

(1)如圖1,當NA4C=90°,NE4尸=45°時，直接寫出線段BE,CF,￡尸的數(shù)量關系:

(不必證明)

(2)如圖2,當NA4C=60°,ZEAF=30°時，已知BE=3,CF=5,求線段EF的長度；

(3)如圖3,當NB4c=90°,Z￡L4F=135°時，請?zhí)骄烤€段CE,BF,E尸的數(shù)量關系,

并證明.

【變式2-1】(春?金牛區(qū)校級期中)類比探究：

(1)如圖1,等邊△/BC內有一點尸，若4尸=8,BP=15,C尸=17,求N4P8的大小:

(提示：將八18尸繞頂點4旋轉到A4CP處)

(2)如圖2,在△4BC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為8c上的點，且2瓦4尸=

45°.求證：EF2=BE2+FC2；

(3)如圖3,在△48C中，ZC=90°,ZABC=30°,點O為內一點，連接

AO、BO、CO,且N4OC=NCO5=NBO4=120°,若/C=L求O4+OB+OC的值.

圖1圖2圖3

【變式2-2](2022春?西山區(qū)校級月考)如圖，己知正方形點E、F分別是48、

3C邊上，且NEDF=45。，將△D4E繞點。逆時針旋轉90。，得到△OCM.

(1)求證：AEDF冬/XMDF；

(2)若正方形43co的邊長為5,4E=2時，求所的長？

【變式2-3］（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形488內作NE4尸=45°,

4E交BC于點、E,■交CD于點尸，連接E尸，將△4￡）尸繞點4順時針旋轉90°得到△

ABG.

（1）求證：GE=FE;

（2）若D尸=3,求BE的長為

【變式2-4】（2022秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點

構成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如圖1,在正方形488中，以/為頂點的/及4尸=45°,AE、AF與BC、8邊分別交

于E、尸兩點.易證得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將尸繞點4順時針旋轉90°,得到由NHBE=

180°可得H、B、E三點共線，NHAE=NEAF=45°,進而可證明△4E7WZX4E/，

故EF=BE+DF.

任務:

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形488中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBZD=120°,以4為頂點

的NE4尸=60°,AE.4F與BC、CD邊分別交于E、F兩點.請參照閱讀材料中的解題

方法，你認為結論EF=BE+Z）產是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

【題型3構造旋轉模型解題】

【典例3】（九上?江津期中）請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=V3，PC=1,求4BPC

度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.

李明同學的思路是：將aBPC繞點B逆時針旋轉60。，畫出旋轉后的圖形（如圖

2）,連接PP：可得△PTB是等邊三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的

逆定理可證），所以NAPB=150。，而4BPC=NAPB=150。，進而求出等邊aABC的邊長

為V7，問題得到解決.

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內有一

點P,且PA=芯，BP=&，PC=1.求/BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.

【變式3-1】（九上?南昌月考）如圖，在等邊三角形ABC內有一點P,且PZ=2,PB=

百，PC=1,求ABPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長.

B

【變式3-2】（九上?德州期中）當圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分

繞著公共端點旋轉，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的.

（1）如圖1,等腰直角三角形ABC內有一點P,連接AP,BP,CP,NAPB=135。,

為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關系，我們可以將aABP,繞點A逆時針旋轉

90。得到△ACP',連接PP',貝iJPP=AP,ACPP是三角形，AP,

BP,CP三條線段的數(shù)量關系是.

（2）如圖2,等邊三角形ABC內有一點P,連接AP、BP、CP,zAPB=150°,請

借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關系.

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，ADIIBC,點P在四邊形的內部，且PD=PC,zCPD

=90°,zAPB=135°,AD=4,BC=5,請直接寫出AB的長.

【題型4奔馳模型解題】

【典例4】（2023?嶗山區(qū)模擬）閱讀下面材料:

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形/5C內有一點尸，且R4=3,

PB=4,PC=5,求N4PB的度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉和全等的知識構造△ZP'C,連接

PP',得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決.

請你回答：圖1中N4P3的度數(shù)等于—.

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,在正方形4SC。內有一點尸，且PB=\,PD=

g則N4P5的度數(shù)等于—，正方形的邊長為—;

(2)如圖4,在正六邊形45cDE廠內有一點尸，且尸N=2,PB=\,PF=

V13,則N4P5的度數(shù)等—，正六邊形的邊長為

【變式4-1](2023春?廣東期中)18.如圖，尸是正三角形48c內的一點，且

PA=6,PB=8,PC=10.若將△尸NC繞點N逆時針旋轉后，得到

(1)ZMAP=°,連接尸則尸；

(2)求N4P5的度數(shù).

【變式4-2](2023春?古田縣期中)閱讀材料，解決問題：

(1)如圖①等邊△A8C內有一點尸，若點尸到頂點/、B、C的距離分別為

5,12,13,求N4P3的度數(shù).為了解決本題，我們可以將AAS尸繞頂點/旋

轉到△NCP處，此時ZUCP咨/XABP,這樣就可以利用旋轉變換，將三條

線段尸/、PB、尸C轉化到一個三角形中，從而求出N4P3=；

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題，已知如圖②，△

48。中，ZC45=90°,AB=AC,E、產為5c上的點且NE4/=45。，求證:

EFi=BE2+FC2.

A

【變式4-3］（2023春?市南區(qū)期中）如圖，點O是等邊△48C內一點，。是△

45C外的一點，ZAOB=WG°,ZBOC=a,將△臺。。繞點。順時針旋轉

60°得A1DC,連接。Z）.

（1）當a=150°,ZODA=；

（2）當a為多少度時，是等腰三角形？說明理由.

【變式4-4］（2023春?金牛區(qū)校級月考）如圖，在等邊△48。中，點D為LABC

內的一點，ZADB=120°,ZADC^90°,將40繞點N逆時針旋轉60°得

AE；

(1)求證：AABD*AACE；

(2)求NDCE的度數(shù)；

(3)若BD=1,求40,CZ)的長.

【變式4-5](2022春?侯馬市期末)如圖①，△N3C和△40七中，ZBAC=Z

DAE=90°,點刀、E分別在邊48、AC±,ZABC=ZADE=45°.

(1)如圖②，將△40石繞點Z逆時針旋轉到如圖位置，若/BAD=30。，

求/員4￡的度數(shù)；

(2)如圖②，將△4DE繞點/逆時針旋轉過程中，當旋轉角度a=時,

直線NC與?！甏怪?0°VaW360°)；

(3)如圖③，繞點2在平面內自由旋轉，連接5。，且40=4,AB=

10,求的最大值和最小值.

【題型5費馬點模型解題】

【典例5】(秋?祁江區(qū)期末)背景資料：

在已知所在平面上求一點尸，使它到三角形的三個頂點的距離之和最

小.

這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的,

所求的點被人們稱為“費馬點”.

如圖①，當△々C三個內角均小于120°時，費馬點尸在△4BC內部，此時

ZAPB=ABPC=ZCPA=120°,此時，尸/+尸3+尸。的值最小.

解決問題：

（1）如圖②，等邊△/SC內有一點尸，若點尸到頂點/、B、C的距離分別

為3,4,5,求N4P5的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將尸繞頂點/旋轉到處，此時△NCP

分ABP,這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段上4,PB,尸C轉化到一個

三角形中，從而求出N4PB=；

基本運用：

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖③，A45C中，ZC45=90°,AB=AC,E,尸為5c上的點，且產

=45°,判斷應；EF,尸。之間的數(shù)量關系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在RtAZffC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點尸為

RtA45C的費馬點，連接4P,BP,CP,求正/+尸5+尸。的值.

【變式5-1］（2022秋?大冶市期末）如圖，。是等邊三角形48。外一點，連接

AD,BD,CD,已知5。=8,8=3,則當線段40的長度最小時，

①/BDC=；

@AD的最小值是

【變式5-2］（2022?荷塘區(qū)模擬）在△月5c中，若其內部的點。滿足N

BPC=ZCPA=12G°,則稱尸為A45C的費馬點.如圖所示，在A43C中，已

知/加C=45°,設尸為A45C的費馬點，且滿足NPA4=45°,PA=4,則4

PAC的面積為

BC

專題3旋轉重難點模型(5大類型)

_Um靠氫如他獨___________________________________

【題型1手拉手模型】

【題型2“半角”模型】

【題型3構造旋轉模型解題】

【題型4奔馳模型】

【題型5費馬點模型】

?-援筌變修________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：兩個等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點。

模型說明：如圖1,AABE,AACF都是等邊三角形，可證▲AECg^ABF。

如圖2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可證^ADC絲AABE

如圖2,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過旋轉“使相等的邊重合，拼出特殊角”

模型說明：

(1)如圖，在正方形ABCD中，/EAF=45°,將AADF繞點A順時針旋轉90°,得到AABG

可證▲AEFWAEG,所以可到DF+BE=EF

（2）如圖，在等腰直角AABC中，NMAN=45°,將^ACN繞點A順時針旋轉90°,得到▲

ABQ,可證▲AMN/▲AMQ,所以可得CN?+BM?=MN?

（3）如圖，等腰AABC中，AB=BC,NDBE=JNCUA.將ACBD繞點B逆時針旋轉NCBA

的度數(shù)得到^ABD，可證▲DBEWAD'BE.

BH

模型三：構造旋轉模型解題

方法指導：若一個圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點為旋

轉中心進行旋轉，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.

常見圖形旋轉：

（1）”等邊三角形”的旋轉

方法歸納：將等邊三角形內的一個小三角形，旋轉60度，從而使小三角形

的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點，得三角形.通過旋

轉將不相關的線段轉化到同一個三角形中，將分散的已知條件集中起來，使問題

得以解決.

模型四：奔馳模型

如圖，等邊aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

則①NAPB=150°,②SAABCAB2=*!更匹

44

模型五：費馬點模型

【費馬點問題】

問題：如圖1,如何找點P使它到△耳?三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

如圖1,把aAPC繞C點順時針旋轉60。得到△APC,連接PP.則ACPP，為等邊三角形,

CP=PP',PA=P'A',

.??PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC'.

???點A，可看成是線段CA繞C點順時針旋轉60。而得的定點，BA，為

定長

.?.當B、P、P\A,四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小.最小

值為BA/

-國道至變/_______________________________

【題型1“手拉手”模型】

【典例1】(2022春?西安期末)如圖，在△慫。中，BC=5,以4C為邊向外作等邊^(qū)

ACD,以48為邊向外作等邊AIBE,連接CE、BD.

(1)若4C=4,ZACB=30°,求CE的長；

(2)若NZBC=60°,48=3,求5。的長.

【解答】解：(1)???△48E與ZUCD是等邊三角形,

.'.AC—AD,AB=AE,

：.ZDCA=ZCAD-ZEAB=60°,

，ZEAB+ZBAC^ZCAD+ZBAC,

即NE/C=NB4D

在△區(qū)4c和△B4D中，

'AE=BA

<NEAC=NBAD，

LAC=AD

:?△EAgABAD(SAS),

：.EC=BD9

又?.?NZCB=30°,

：?NDCB=NACB+NDCA=90°,

■:CD=AC=4,BC=5,

BD=TBC2@D2=425+16=V41,

AC￡=V41；

(2)如圖，作EK垂直于C5延長線于點K.

Y^ABE與/\ACD是等邊三角形，

^.AC=AD,AB=AE,

ZDCA=ZCAD=ZEAB=6Q°,

/.NEAB+NBAC=NCAD+/BAC,

即NE4C=NR4Z).

在△瓦4c和△切。中，

rAE=BA

,NEAONBAD，

LAC=AD

AEAC^/\BAD(SAS),

:,EC=BD,

VZABC=60°,NABE=60°,

/.ZEBK=60°,

/.ZBEK=3Q°,

13

:?BK=±BE=0,

22

【變式1?1】（2022秋?荔灣區(qū)校級期中）以△々C的45,ZC為邊分別作正方形40”,

正方形4CGR連接DC,BF.

(1)8與5尸有什么數(shù)量與位置關系？說明理由.

(2)利用旋轉的觀點，在此題中，△ADC可看成由哪個三角形繞哪點旋轉多少角度得到

的.

【解答】解：(1)CD=BFS.CD±BF,理由如下：

?.?四邊形48即和四邊形4CG尸都是正方形，

：.AD=AB,AC=AF,ZDAB=ZCAF=90°,

又VNDAC=ZDAB+ZBAC,NB4F=ZCAF+ZBAC,

：.ZDAC^ZBAF,

在△D4C與△切尸中，

'AD=AB

-ZDAC=ZBAF,

,AC=AF

:.ADAgABAF(SAS),

：.DC=BF,

：.ZAFB=ZACD,

又,：4AFN+NANF=90°,NANF=NCNM,

：.ZACD+ZCNM=9QQ,

/.ZNMC=9Qa,

：.BF±CD；

(2)'：AD^AB,AC=AF,CD=BF,ZDAB=ZCAF=90°,

...△/LDC可看成是AIS/繞點4順時針旋轉90°得到的.

【變式1-2](2022九上,吉林期末)如圖①，在△ABC中，zC=90°,AC=BC=^,

點D,E分別在邊4C,BC上,且CD=CE=V^,MAD=BE,AD_LBE成立.

圖①圖②圖③

(l)將△CDE繞點C逆時針旋轉90。時，在圖②中補充圖形，并直接寫出BE的長度;

(2)當△CDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，與BE的數(shù)量關系和位置關系是

否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；

(3)將△CDE繞點C逆時針旋轉一周的過程中，當A,D,E三點在同一條直線上

時，請直接寫出AD的長度.

【答案】解：如圖所示，

BE=2V2；

(2)解：AD^BE,ADJ.BE仍然成立.

證明：延長AD交BE于點H,

AACD=Z-ACB-Z.BCD,

ABCE=ADCE-ABCD,

：.AACD=ABCE,

又,：CD=CE,AC=BC,

:.△BCE,

：.AD=BE,zl=z2,

在RtZXABC中，zl+z3+z4=90°,

.\z2+z3+z4=90°,

：.AAHB=90°,

J.ADLBE.

(3)4。=而-1或4。=返+1

【題型2“半角”模型】

【典例2】(秋?錦江區(qū)期末)在△疑。中，AB=AC,點E,尸是邊所在直線上與點5,

C不重合的兩點.

(1)如圖1,當NA4C=90°,NE4尸=45°時，直接寫出線段BE,CF,M的數(shù)量關

系：(不必證明)

(2)如圖2,當NA4C=60°,NEAF=30°時，己知BE=3,CF=5,求線段E尸的長

度；

(3)如圖3,當NA4c=90°,ZEAF=135°時，請?zhí)骄烤€段CE,BF,EF的數(shù)量關系，

【解答】解：(1)結論：EF1=BE1+CF1.

理由：VZBAC=90a,AB=AC,

...將△/LBE繞點4逆時針旋轉90°得AlCG,連接尸G,如圖1中,

：.AG=AE,CG=BE,N4CG=NB,ZEAG=90a,

NFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90a,

/.FG2=FC2+CG2=BE2+FC2:

又；NE4F=45°,

而NEAG=90°,

：.ZGAF=90°-45°=45°,

；?NEAF=NGAF,

\'AF=AF9AE=AG,

，/\AEFW/\AGF(SAS),

:.EF=FG,

：.EF2=BE2+CF2.

(2)如圖2中，VZBAC=6O0,AB=AC,

???將A4BE繞點Z逆時針旋轉60°得A4CG,連接產G,作交BC的延長線于

H.

圖2

VZBAC=60°,NEAF=30°,

/.ZBAE+ZCAF=ZCAG+ZCAF=ZFAG=3Q°,

JNE4F=NFAG,

\'AF=AF,AE=AG,

:.△AEgAAGF(SAS),

：.EF=FG,

在RtZXCGH中，?:CG=BE=3,NGS=60°,

...NCGN=30°,

.?.Ca=2CG=g

22

在Rtz^FG”中，F(xiàn)G

：.EF=FG=1.

(3)結論：EF1=EC1+BF2

理由：如圖3中，將八位：。繞點Z順時針旋轉90°,得到—BG,連接FG.

/.ZABC=ZACB=45°,

9：/\ACE^/\ABG,

：.ZCAE=ZBAGfEC=BG,ZACE=ZABG=45°,

：.ZCAB=ZEAG=90Q,ZGBF=90°,

AZFAG=3600-Z.EAF-ZEAG=360°-135°-90°=135°,

/.ZFAE=ZFAG9

■:FA=FA,AG=AE9

:AFAEQ/\FAG(SAS),

：?EF=FG,

在RtZ\TOG中，TN尸3G=90。,

.'.FG^^BG2+BF2,

'：FG=EF,BG=EC,

：.EF2=EC1+BF2.

【變式2-1】(春?金牛區(qū)校級期中)類比探究：

(1)如圖1,等邊△/BC內有一點尸，若4P=8,BP=15,CP=11,求N4PB的大小;

(提示：將ZUBP繞頂點/旋轉到A4CP處)

(2)如圖2,在△4BC中，ZC4B=90°,AB=AC,E、尸為上的點，且/瓦4產=

45°.求證：EF2^BE2+FC2；

(3)如圖3,在△NBC中，ZC=90°,ZABC=30°,點。為△ZBC內一點，連接

40、BO、CO,且NNOC=NCO5=NBOZ=120°,若/C=l,求OZ+OB+OC的值.

【解答】解：（1）如圖1,將AlPB繞著點4逆時針旋轉60°得到△4CP',

J.^ACP'^/\ABP,

：.AP'=4P=8、CP'=5尸=15、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉角NR4P=60°,

J.^APP'為等邊三角形，

：.PP'=AP=S,ZAP'尸=60°,

,:PP’2+pC2=82+152=172=PC2,

：.APP'C=90°,

:.NAPB=NAP'C=NAP'P+NPP'C=60°+90°=150°

（2）如圖2,把△ABE繞著點4逆時針旋轉90°得到△4CE',

則4E'=AE,CE'=CE,ZCAE'=NBAE,

'：ZBAC=9Q°,ZEAF=45°,

:.NBAE+NCAF=NCAF+NCAE'=NFAE'=45°,

:.NEAF=NE'AF,S.AE=AE,AF=AF,

：.^AEF9/\AE'F(.SAS},

：.EF=E'F,

VZB^-ZACB=90°,

/.ZACB+ZACEr=90°,

AZFCEr=90°,

：.ErF2=CF2+CEf2,

：.EF2=BE2+CF2i

(3)如圖3,將繞點8順時針旋轉60°至△/'O'B處,連接OO',

???在RtZUBC中，ZC=90°,AC=19ZABC=3Q0,

：.AB=29

???BC=VAB2-AC2=V3，

,?,△208繞點5順時針方向旋轉60°,

??.△Z'Of8如圖所示；

ZArBC=ZABC+6^=30°+60°=90°,

VZACB=90°,AC=19ZABC=30°,

A.B=224C=2f

,?,△203繞點3順時針方向旋轉60。，得到△/'O'B,

：.ArB=AB=2,BO=BO',HO'=AO,

：./\BOO'是等邊三角形，

：.BO=OO',Z.BOO'=NBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

:.NCOB+NBOO'=NBO'A'+ZBO'0=120°+60°=180°,

：.C.O、A'.O'四點共線，

在RtA4'8c中，A'C—VBC2+A?B2—V7，

：.OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=中.

【變式2-2】(2022春?西山區(qū)校級月考)如圖，己知正方形力5。),點￡、F分別是A3、

BC邊上，且NEZ)F=45。，將△ZME繞點。逆時針旋轉90。，得到△QCM.

(1)求證：4EDFm△MDF：

(2)若正方形488的邊長為5,4￡=2時，求E尸的長？

【解答】(D證明：?.?四邊形458是正方形，

:.NA=NB=NDCF=90°,AD=AB=BC=5,

由旋轉得：

ZA=ZDCM=90a,DE=DM,NEDM=90°,

/.ZDCF+ZDCM=1800,

二尸、C、M■三點在同一條直線上，

；NED尸=45°,

:.ZFDM=ZEDM-NEDC=45°,

:.NEDF=FDM,

?:DF=DF,

：.4ED0/\MDFCSAS)；

(2)設CF=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋轉得：AE=CM=2,

：.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

---△EDgAMDF,

：.EF=FM=2+x,

在RtZ\EB尸中，BE2+BF2=EF2,

/.9+(5-x)2=(2+x)2,

?丫15

7

：.EF=2+x=^-,

7

尸的長為29.

7

【變式2-3](2022春?路北區(qū)期末)如圖，在邊長為6的正方形488內作NE1F=45°,

4E交BC于點E,AF交CD于點F,連接E尸，將△〃)尸繞點4順時針旋轉90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

【解答】(1)證明：???將AID尸繞點2順時針旋轉90°得到A43G,

:?DF=BG,ND4F=NBAG,

VZDAB=90°,NEAF=45°,

:.NDAF+NEAB=45°,

/.ZBAG^-ZEAB=45°,

???ZEAF=NEAG,

在△及4G和產中，

<AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

,AE=AE

A^EAG^/XEAF(SAS),

:,GE=FE,

(2)解：設5E=x,貝ijGE=BG+3E=3+x,CE=6-x,

：.EF=3+X9

YCD=6,D尸=3,

ACF=3,

VZC=90°,

/.(6-x)2+32=(3-hr)2,

解得，x=2,

即BE=2,

【變式2-4】(2022秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點

構成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如圖1,在正方形488中，以Z為頂點的NE4尸=45°,AE、AF與BC、8邊分別交

于E、尸兩點.易述得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將尸繞點4順時針旋轉90°,得到△48",由NHBE=

180°可得“、B、E三點共線，NHAE=NEAF=45",進而可證明

故EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形月58中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=120a,以Z為頂點

的尸=60°,AE、4F與BC、CD邊分別交于E、尸兩點.請參照閱讀材料中的解題

方法，你認為結論E尸=5E+Q尸是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

【解答】解：成立.

證明：將尸繞點4順時針旋轉120°得到ZUBM,

:.△ABMWdADF,ZABM^ZD=90a,NMAB=NFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=NABM+N/BE=180°,

:.M、B、E三點共線，

NMAE=NMAB+NBAE=NFA"NBAE=/BAD-ZEAF=60a,

:.ZMAE=NFAE,

?：AE=AE,AM=AF,

：.^MAE^^FAE(.SAS'),

：.ME=EFf

:?EF=ME=MB+BE=DF+BE.

圖3

【題型3構造旋轉模型解題】

【典例3】（九上?江津期中）請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=V3，PC=1、求NBPC

度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.

李明同學的思路是：將aBPC繞點B逆時針旋轉60。，畫出旋轉后的圖形（如圖

2）,連接PP，，可得aPTB是等邊三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的

逆定理可證），所以NAPB=150。，而/BPC=NAPB=150。，進而求出等邊aABC的邊長

為V7，問題得到解決.

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內有一

點P,且PA=V^,BP=V2，PC=1.求NBPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.

將ABPC繞點B逆時針旋轉90。，MABP^,RIJABPC^ABP-A.

，AP，=PC=1,BP=BP，=V2；

連接PP',

在RtABPT中，

VBP=BPf=V2，/PBP，=90。，

，PP，=2,zBP'P=45°；

在AAPP中，AP，=LPP，=2,AP=yfs,

Vl2+22=(V5)2,BPAP，2+PP，2=AP2；

.?.△APP是直角三角形，即/APP=90。，

."APB=135。，

."BPC=/APB=135。.

過點B作BE1AP，，交AP的延長線于點E,

."BEP，=90。，

；NAP'B=135。，

."EP'B=45。，

...△BEP，是等腰直角三角形，

VBP'-y[2,

；.EP，=BE=1,

.".AE=AP,+EP,=2；

.?.在Rt^ABE中，由勾股定理，得AB=V^；

.,.zBPC=135°,正方形邊長為V5.

【變式3-1】(九上?南昌月考)如圖，在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=

百，PC=1,求Z.BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長.

【解答】解：?.WABC是等邊三角形

：.^ABC=60°

將ABPC繞點B順時針選轉60°，連接BP'

/.AP'=CP=1,BP，=PB=K,zBPC=/-P'BA,z.AP'B=Z-BPC

■:乙PBC+AABP=乙ABC=60°

.?.乙4BP+乙4BP=乙ABC=60°

：.AP'PB是等邊三角形

:.PF=5,z_PP'B=60°

'：AP'=1,AP=2

：.AP'2+PP'2=AP2

：.APP'A為直角三角形

；.NBPC=NAPB=150°

過點B做BM1AP',交AP'的延長線于點M

：.AMP'B=30°,BM=@

2

3

?'?AM—1+堤=與

22

由勾股定理得：AB=IJAM2+BM2~V7

等邊三角形ABC的邊長為y/y.

【變式3-2】（九上?德州期中）當圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分

繞著公共端點旋轉，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的.

（1）如圖1,等腰直角三角形ABC內有一點P,連接AP,BP,CP,zAPB=135°,

為探究AP,BP,CP三條線段間的數(shù)量關系，我們可以將AABP,繞點A逆時針旋轉

90。得到△ACP',連接PP',則PP=AP,ACPP'>三角形，AP,

BP,CP三條線段的數(shù)量關系是.

(2)如圖2,等邊三角形ABC內有一點P,連接AP、BP、CP,zAPB=150°,請

借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關系.

⑶如圖3,在四邊形ABCD中，ADIIBC,點P在四邊形的內部，且PD=PC,zCPD

=90。，NAPB=135。，AD=4,BC=5,請直接寫出AB的長.

【解答】(1)V2；直角；PC2=BP2+2AP2

(2)解：如圖所示，將4ABP繞點B順時針旋轉60。得到4CBP',連接PP,,

由旋轉的性質可得：Bp=BP,zCp，B=z^4PB=150°,"Bp，=60",AP'

=AP,CP'=AP,

/.△BPP'是等邊三角形，

：.BP=PP',ABP'P=60°,

APP'C=Z-CP'B-ABP'P=90°,

：.PC2=PP'2+P'C2,

：.PC2=BP2+AP2；

(3)解：=V4i

【題型4奔馳模型解題】

【典例4】(2023?嶗山區(qū)模擬)閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形力3c內有一點尸，且尸力=3,

尸5=4,PC=5,求N4P5的度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉和全等的知識構造△&?'C,連接

PP',得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決.

請你回答：圖1中NAPB的度數(shù)等于150。.

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,在正方形48C。內有一點尸，且尸PB=\,PD=

V17,則N4P6的度數(shù)等于135°,正方形的邊長為V13；

(2)如圖4,在正六邊形/5。刀石尸內有一點尸，且PN=2,PB=\,PF=

V13,則N幺尸3的度數(shù)等于120°,正六邊形的邊長為

V7.

【答案】見試題解答內容

【分析】閱讀材料：把△4P5繞點/逆時針旋轉60°得到—。尸‘，根據旋

轉的性質可得PA=PA,P'C=PB,APAP'=60°,然后求出△⑷，P是

等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出產產'=PA=3,ZAP'尸=60°,

再利用勾股定理逆定理求出NPPC=90°,然后求出N4P'C,即為N4P5

的度數(shù)；

(1)把△4P5繞點N逆時針旋轉90°得到△4DP,根據旋轉的性質可得

P'A=PA,P'D=PB,ZPAP'=90°,然后判斷出A4PP是等腰直角三

角形，根據等腰直角三角形的性質求出尸P,ZAP'尸=45°,再利用勾股

定理逆定理求出NPP。=90°,然后求出N4P'D,即為N4P5的度數(shù)；再

求出點尸'、尸、3三點共線，過點幺作?尸尸'于E,根據等腰直角三角

形的性質求出,然后求出5E,在Rt△幺跳:中，利用勾股定

2

理列式求出AB即可；

(2)把△4P5繞點/逆時針旋轉120。得到A4"',根據旋轉的性質可得

P'A=PA,P'F=PB,APAP'=120°，然后求出A4PP是底角為30。的

等腰三角形，過點Z作㈤/，尸尸'于跖設尸P與力尸相交于N,求出aw=

1,再求出尸尸'，ZAP'尸=30°,再利用勾股定理逆定理求出NPPF=

90°,然后求出N/PF,即為N4P5的度數(shù)；根據P尸、4M的長度得到

P'F=AM,利用“角角邊”證明△力和N全等，根據全等三角形

對應邊相等可得4V=網，P'N=MN,然后求出MM在RtA4A/N中，利用

勾股定理列式求出3,然后求出/尸即可.

【解答】解：閱讀材料：把△4P5繞點/逆時針旋轉60。得到△4CP',

由旋轉的性質，P'幺=R4=3,P'D=PB=4,NPAP'=60°,

：.AAPP'是等邊三角形，

：.PP'=24=3,AAP'尸=60°,

"：PP'2+尸'C2=32+42=25,尸02=52=25,

：.PP'2+P'C=Pd

：.APP'C=90°,

/.ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

^LZAPB=ZAP'C=150°；

(1)如圖3,把△4P6繞點N逆時針旋轉90°得到△ZDP,

由旋轉的性質，PA=PA=2?,P'D=PB=1,/PAP'=90°,

：./\APP'是等腰直角三角形，

：.PP'=V2P^=72X272=4,NAP'P=45°,

'：PP'2+p3=42+12=17,PZ>2=V172=17,

：.PP'2+P'小=產。2,

:.乙PP'0=90°,

ZAP'D=/AP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故，ZAPB=ZAP'0=135°,

?：4APB+/APP'=135°+45°=180°,

...點P、尸、3三點共線，

過點幺作4ELLPP于E,

則=』X4=2,

22

：.BE=PE+PB=2+\=3,

在Rt/\ABE中，^-5=VAE2+BE2=A/22+32=<^13;

(2)如圖4,?正六邊形的內角為上X(6-2)*180°=120°,

6

...把△4P5繞點力逆時針旋轉120°得到A4/P',

由旋轉的性質，P'A=PA=2,P'F=PB=LZPAP'=120°,

AZAPP'=/AP'P=1(180°-120°)=30°,

過點/作N/LPP于/,設尸P與ZE相交于N,

則W=UN=_1X2=1,

22

P'M=PM="\/PA2-AM2=^22-12=?

：.PP'=2PM=2M，

'：PP'2+P'產=(273)2+y=i3,尸產=后2=”，

：.PP'2+P'產=尸產，

AZPP'F=90°,

AZAP'F=ZAP'P+ZPP'F=30°+90°=120°,

故，ZAPB=ZAP'F=120°,

,:P‘F=4M=1,

■:AAMN和AFP，N中，

'/PP'F=ZAMN=90°

<NP'NF=ZANM，

PF=AM

AAAMN^AFP'N(AAS),

：.AN=FN,P'N=MN=kp'M=?,

在中，42癡2+股2

故答案為：150°；(1)135°,V13;(2)120°,4.

【變式4-1](2023春?廣東期中)18.如圖，尸是正三角形48c內的一點，且

PA=6,尸5=8,PC=10.若將繞點Z逆時針旋轉后，得到△腿48.

(1)ZMAP=