人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步講義-畫軸對(duì)稱圖形（原卷版）

第02講軸對(duì)稱作圖

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的作圖，能夠熟練的作出

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的另一半。

①軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形作圖

2.掌握對(duì)稱軸的畫法，能夠數(shù)量畫出軸對(duì)稱與軸對(duì)稱

②畫對(duì)稱軸

圖形的對(duì)稱軸。

③用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

3.掌握點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱以及關(guān)于特殊直線對(duì)稱的對(duì)

稱特點(diǎn)，熟練應(yīng)用其應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

步修

軸對(duì)稀與?對(duì)稱8B形的作BB

方法與羅?

畫對(duì)稱軸

關(guān)于4H祜獻(xiàn)加

關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)關(guān)于x?mv■人對(duì)稱

知識(shí)點(diǎn)01軸對(duì)稱作圖與軸對(duì)稱圖形作圖

1.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的作圖:

具體步驟:

（1）找圖形的.

（2）過關(guān)鍵點(diǎn)作對(duì)稱軸的.,并延長，使延長部分的長度等于關(guān)鍵點(diǎn)到.’的長度,

從而得到關(guān)鍵點(diǎn)的.

（3）按照連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

題型考點(diǎn)：①作圖。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，以直線/為對(duì)稱軸，畫出軸對(duì)稱圖形的另一半.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，△/2C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/(-4,1),5(-1,-1),C(-3,2).

(I)已知△/BC和△N131C1關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)小，Bi，Ci分別是點(diǎn)/,B,C的對(duì)稱點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

Ai,Bi,Ci的坐標(biāo)；

(2)在圖中畫出△/BC關(guān)于y軸對(duì)稱的△/*2c2.

知識(shí)點(diǎn)02畫軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖的對(duì)稱軸

1.垂直平分線的畫法:

具體步驟:

(1)如圖①：分別以線段兩端點(diǎn)為,大于線段長度的為半徑畫圓弧。兩弧分

別交于兩點(diǎn)M，No

(2)如圖②，連接兒W所在直線即為線段的垂直平分線。

2,垂直平分線的證明：

如圖③，連接M4,MB,NA,NB。

由作圖過程可知

MA=MB=NA=NB

在與△V2N中

MA=MB

<NA=NB

MN=MN?*賓螞

:.叢MAN9AMBN

：.ZAMO=ZBMO

在與ABMO中

AM=BM

<AAMO=ZBMO

MO=MO（公共邊）

叢AMO"ABMO

：.OA=OB,/AOM=/BPM=90°

MN垂直平分48。

3.對(duì)稱軸的畫法：

對(duì)稱軸過任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)且與線段垂直，所以對(duì)稱軸是任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂直平分線。

作對(duì)稱軸即是作任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂直平分線。按照垂直平分線的作圖即可。

題型考點(diǎn)：①尺規(guī)作圖垂直平分線。

②根據(jù)作圖痕跡求解題目。

③畫對(duì)稱軸。

【即學(xué)即練1】

3.如圖所示，一輛汽車在筆直的公路上由/向3行駛，M,N分別是位于公路兩側(cè)的村莊，請(qǐng)利用

尺規(guī)作圖法，在N3上找一點(diǎn)C,使得汽車行駛到C處時(shí)，到村莊N的距離相等.（保留作圖痕跡，

不寫作法）

【即學(xué)即練21

4.如圖，在△/BC中，NC=90°,NC=3,BC=4,分別以/、8為圓心，/C為半徑畫弧，兩弧分別交

于E、F,直線EF交BC于點(diǎn)、D,連接則△/CD的周長等于（）

A.7B.8C.9D.2

2

【即學(xué)即練3】

5.如圖，在△N3C中，分別以點(diǎn)N和點(diǎn)3為圓心，以相同的長（大于方旭）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)

”和點(diǎn)N,作直線龍W交A8于點(diǎn)。，交/C于點(diǎn)E,連接CD.若△CDS的面積為12,△/￡>￡的面積

【即學(xué)即練4】

6.如圖，兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱，畫出對(duì)稱軸.

知識(shí)點(diǎn)03用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

1.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：

點(diǎn)、P（X,J）關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

2,關(guān)于或>=僅對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：

P(a,b')關(guān)于直線x=7〃對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為o

P(a,b)關(guān)于直線y=m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為。

題型考點(diǎn)：根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)求坐標(biāo)。

【即學(xué)即練1】

7.已知點(diǎn)/(a,4)與點(diǎn)2(-2,b)關(guān)于x軸對(duì)稱，貝!I0+6=()

A.-6B.6C.2D.-2

【即學(xué)即練2】

8.已知點(diǎn)N(加，2021)與點(diǎn)8(2022,〃)關(guān)于y軸對(duì)稱，則加+〃的值為()

A.-1B.1C.4043D.-2022

【即學(xué)即練3】

9.已知點(diǎn)/(4,-3)和點(diǎn)8是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，且它們關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則平面內(nèi)點(diǎn)3的坐標(biāo)

為()

A.(0,-3)B.(4,-9)C.(4,0)D.(-10,3)

【即學(xué)即練4】

10.如圖，已知直線I經(jīng)過點(diǎn)(0,-1)并且垂直于y軸，若點(diǎn)尸(-3,2)與點(diǎn)0(a,b)關(guān)于直線I

對(duì)稱，則。+6=.

y八

^3O

題型精講

題型01軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的作圖與計(jì)算

【典例1】

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△48C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（1,1）B（4,2）C（2,3）.

（I）在圖中畫出△/3C關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△481Q；

（2）在圖中，若比（-4,2）與點(diǎn)8關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，則這條對(duì)稱軸是，此時(shí)。點(diǎn)關(guān)

于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)C2的坐標(biāo)為

（3）求△//Ci的面積.

【典例2】

如圖，在由邊長為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形/3C的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

（1）作出三角形/8C關(guān)于直線VN的軸對(duì)稱圖形三角形//iCi；

（2）求三角形4bBic1的面積;

（3）在直線上找一點(diǎn)P使得三角形BAC的面積等于三角形我C的面積.

【典例3】

如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,C,。均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

（1）畫出線段N3關(guān)于直線CD對(duì)稱的線段小囪；

（2）將線段N3向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到線段N*2,畫出線段加處;

（3）描出線段上的點(diǎn)M及直線CD上的點(diǎn)N,使得直線垂直平分48.

【典例4】

如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△

ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

（1）畫出△/BC關(guān)于直線的對(duì)稱圖形（不寫畫法）；

（2）若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長為1,求△N8C的面積.

題型02垂直平分線的作圖

【典例1】

如圖，在△/2C中，NC=90°.用直尺和圓規(guī)在邊3C上確定一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)/、點(diǎn)2的距離相等,

則符合要求的作圖痕跡是（）

B.

D.

【典例2】

如圖，己知△/8C,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在3C邊上找一點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到/、3兩點(diǎn)距離相等.（不寫作法,

保留作圖痕跡）

【典例3】

（1）圖1是小正方形的邊長均為1的方格紙，請(qǐng)你涂出一個(gè)圖形（所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），使其滿足如下

條件：①圖形的面積為7；②圖形是軸對(duì)稱圖形.

（2）如圖2,一條筆直的公路同一側(cè)有兩個(gè)村莊/和3,現(xiàn)準(zhǔn)備在公路上修一個(gè)公共汽車站點(diǎn)

尸，使站點(diǎn)尸到兩個(gè)村莊/和2的距離相等.請(qǐng)你用尺規(guī)作圖找出點(diǎn)P的位置，不寫作法，保留作圖痕

跡.

【典例4】

如圖，兩條公路CU和相交于。點(diǎn)，在/N08的內(nèi)部有工廠C和D,現(xiàn)要在//08內(nèi)部修建一個(gè)貨站

P,使貨站尸到兩條公路。/、05的距離相等，且到兩工廠C、。的距離相等，用尺規(guī)作出貨站尸的位

置.（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）

題型03利用垂直平分線的作圖痕跡解題

【典例1】

如圖，在△NBC中，分別以N,C為圓心，大于工/C長為半徑作弧，兩弧分別相交于N兩點(diǎn)，作直線

2

MN,分別交線段BC,NC于點(diǎn)。，E,若/E=3cm,的周長為10c〃z,則△43C的周長為（）

【典例2】

如圖，△NBC中，ZB=9Q°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)C為圓心，以大于/AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M

和點(diǎn)N,作直線兒W,分別交/瓦NC于點(diǎn)￡和點(diǎn)足若BC=3,AB=9,則的長為（）

【典例3】

如圖，在中，分別以2,C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，Q，作直線尸。，

分別交8C,/C于點(diǎn)。，E,連接BE.若/EBD=32°,則//的度數(shù)為（)

C.60°D.64°

【典例4】

如圖，在△NBC中，分別以點(diǎn)/和點(diǎn)2為圓心，以相同的長（大于/*）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)”和

點(diǎn)N,作直線交48于點(diǎn)。，交ZC于點(diǎn)E,連接CD.已知△（?￡>￡的面積比△CD3的面積小5,則

△4DE的面積為（）

C.3D.2

題型04關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1】

點(diǎn)(3,-2)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)是（)

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-3,2)D.(3,-2)

【典例2】

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a,3）與點(diǎn)。（-2,b）關(guān)于x軸對(duì)稱，貝Ua-6的值為（）

A.1B.-1C.5D.-5

【典例3】

已知點(diǎn)P（Q,3）和點(diǎn)。（4,b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值為（）

A.1B.-1C.7D.-7

【典例4】

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（4,1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(4,I)B.(-4,-1)C.(-4,I)D.(4,-1)

【典例5】

若點(diǎn)-1)與點(diǎn)N(-2,6)關(guān)于y軸對(duì)稱，則(a+6)2022的值是()

A.2022B.-2022C.1D.-1

【典例6】

已知點(diǎn)/(4,a-5)與點(diǎn)、B(6-1,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱，則力的值為()

A.-6B.-8C.工D.-工

88

題型05關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1】

點(diǎn)(2,5)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【典例2】

點(diǎn)尸(-2,-4)與點(diǎn)0(6,-4)的位置關(guān)系是()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.關(guān)于直線x=2對(duì)稱D.關(guān)于直線y=2對(duì)稱

【典例3】

若點(diǎn)/(a,4)在第二象限，則點(diǎn)4關(guān)于直線加(直線加上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-a,4)B.(4-a,4)C.(-a-4,-4)D.(-a-2,-4)

【典例4】

點(diǎn)(1,2m-1)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2m-1,1)B.(-1,2m-1)

C.(-1,1-2m)D.(2m-1,2m-1)

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-3,4)關(guān)于歹軸的對(duì)稱點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中有四個(gè)格點(diǎn)4、B、C、D,以其中一點(diǎn)為原點(diǎn)，網(wǎng)格線所在直線為坐標(biāo)軸

建立直角坐標(biāo)系，使其余三個(gè)點(diǎn)中存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條坐標(biāo)軸對(duì)稱，則原點(diǎn)是（）

A.AB.BC.CD.D

3.已知：點(diǎn)4(m-1,3)與點(diǎn)、B(2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則（加+幾）的值為（

A.0B.1C.-1D.3

4.如圖，在△45C中，ZB=30°,ZC=50°,請(qǐng)觀察尺規(guī)作圖的痕跡（D,E,方分別是連線與

邊的交點(diǎn)），則ND4E的度數(shù)是（

第5題

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.如圖，在中,結(jié)合尺規(guī)作圖的痕跡，已知40=2。加,AABE的周長為14c加，則△45C的周長是

()

A.17cmB.18cmC.19cmD.20cm

6.如圖，在△/BC中,//C8=90°,分別以點(diǎn)/和3為圓心，以相同的長（大于為半徑作弧,

2

兩弧相交于點(diǎn)M和N,作直線交于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連接CD,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C./A=NBEDD./ECD=/EDC

7.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美.如圖，蝴蝶剪紙是一幅

軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a,1）,其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)尸的

坐標(biāo)（2,?）,則（m+w）2022的值為（）

y八

E,F

A.1B.-1C.32022口.0

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若點(diǎn)C坐標(biāo)是(6,2),則經(jīng)過第

關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于謨由對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于謨由對(duì)稱

A.(-6,-2)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(6,2)

9.把點(diǎn)A(a+2,a-1)向上平移3個(gè)單位，所得的點(diǎn)與點(diǎn)/關(guān)于x軸對(duì)稱，則a的值為.

10.如圖，在△N8C中，48=10,BC=6,AC=8,分別以點(diǎn)/，點(diǎn)3為圓心，大于費(fèi)班的長為半徑畫弧,

兩弧相交于點(diǎn)M，N,作直線"N交ZC于點(diǎn)。，則線段CD的長為.

11.如圖，在△/BC中，按以下步驟作圖：①分別以3,。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交

于N兩點(diǎn)；②作直線交48于點(diǎn)。，連接CD.若/2=24°,則NCZX4的度數(shù)為.

12.已知點(diǎn)￡(xo,jo)，F(xiàn)