第17課弧長與扇形的面積（教師版）九年級數(shù)學(xué)上冊《考點題型技巧》完整版講與完整版練高分突破（浙教版）

第17課弧長及扇形的面積目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索弧長和扇形面積計算公式的過程.2.掌握弧長和扇形面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題.知識精講知識精講知識點01弧長公式在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為：l＝eq\f(nπR,180)．知識點02扇形的面積公式在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形(弧長為l)面積的計算公式為：S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR.能力拓展考點01弧長的計算能力拓展【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E．（1）求證：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求的長．【思路點撥】（1）如圖，連接AE，利用圓周角定理推知AE是等腰△ABC等邊上的高線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可以求得圓心角∠AOD的度數(shù)，然后利用弧長公式進(jìn)行解答．【解析】（1）證明：如圖，連接AE．∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是邊BC上的中線，∴BE＝CE；（2）解：連接OD，∵AB＝6，∴AO＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠OAD＝∠ODA＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴的長為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長的計算以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．通過作輔助線，利用圓周角定理（或圓半徑相等）的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)是解題的難點．【即學(xué)即練1】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF；?（2）若BE＝OE＝3，求的長度．【思路點撥】（1）由AB是⊙O的直徑，則∠ACB＝90°，而CE⊥AB，所以∠BAC＝∠BCE；由點C是的中點，得到∠DBC＝∠BAC，于是∠BCE＝∠DBC，即可得到CF＝BF；（2）連接OD，OC，BE＝OE＝3，可得圓的半徑為6，在直角三角形COE中，由cos∠COE＝＝，可得∠COE＝60°，進(jìn)而推出∠AOD等于60°，再用弧長公式求解即可．【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，又CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，∵點C是的中點，∴∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：連接OD，OC，∵BE＝OE＝3，∴OB＝BE+OE＝3+3＝6，∵OB＝OC，∴cos∠COE＝＝＝，∴∠COE＝60°，∵點C是的中點，∴∠DOC＝∠COE＝60°，∴∠AOD＝180﹣∠DOC﹣∠COE＝60°，∴的長度＝＝2π．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長的計算，難度適中．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點02扇形面積的計算【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，CF⊥AB于點F，CE⊥AD交AD的延長線于點E，且CE＝CF．（1）求證：點C是的中點；（2）若∠EAB＝60°，OA＝6，求圖中陰影部分的面積．【思路點撥】（1）由CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，得到∠DAC＝∠BAC，即可證明＝；（2）連接OD，由∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，推出△OAD是等邊三角形，得到∠AOD＝60°，求出扇形OAD的面積，△OAD的面積，即可求出陰影的面積．【解析】（1）證明：∵CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，∴∠DAC＝∠BAC，∴＝，∴點C是的中點；（2）解：連接OD，∵∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∴扇形OAD的面積＝＝6π，△OAD的面積＝OA2＝9，∴陰影部分的面積＝扇形OAD的面積﹣△OAD的面積＝6π﹣9．【點睛】本題考查扇形面積的計算，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)定理的逆定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】如圖所示，以?ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于點G．（1）求證：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求陰影部分弓形的面積．【思路點撥】（1）由同圓或等圓中相等的圓心角對的弧相等即可證明；（2）根據(jù)弓形的面積等于扇形面積減三角形的面積，即可計算．【解析】（1）證明：連接AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴＝；（2）解：作AH⊥BF于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB＝AF，∴△ABF是等邊三角形，∴BF＝AB＝2，∠BAF＝60°，∴S扇形BAF＝×π×22＝，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB?sin∠ABH，∴AH＝2×＝，∵S△ABF＝BF?AH，∴S△ABF＝×2×＝，∴S陰＝﹣．【點睛】本題考查圓的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中相等的圓心角對的弧相等；正確表示出陰影的面積．考點03組合圖形的面積【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，AD＝1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，分別與邊CD交于點E，與AD的延長線交于點F，則陰影部分的面積為．（結(jié)果不取近似值）【思路點撥】過E作EG⊥CD交AB于點G，證明四邊形BCEG，EGAD都是矩形，得到矩形EGAD是正方形，推出陰影部分的面積＝矩形BCEG的面積，據(jù)此求解即可．【解析】解：過E作EG⊥CD交AB于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四邊形BCEG，EGAD都是矩形，∵，AD＝1，∴，∴，∴矩形EGAD是正方形，∴DE＝EG，DF＝BG，∴陰影部分的面積＝矩形BCEG的面積＝，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定和性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】如圖，在扇形AOB中∠AOB＝120°半徑OC交弦AB于點且OC⊥OA，若，則陰影部分的面積為角線AC、BD交于點O，若OA＝2，則陰影部分的面積為+π．?【思路點撥】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決．【解析】解：作OE⊥AB于點F，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案為：+π．【點睛】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一個扇形的半徑是4cm，圓心角是45°，則此扇形的弧長是（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．8πcm【思路點撥】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【解析】解：由題意得，扇形的半徑為4cm，圓心角為45°，故此扇形的弧長為＝π（cm），故選：A．【點睛】此題考查了扇形弧長的計算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計算公式，難度一般．2．一個扇形的半徑是3，面積為6π，那么這個扇形的圓心角是（）A．260° B．240° C．140° D．120°【思路點撥】設(shè)這個扇形的圓心角是n°，根據(jù)，求出這個扇形的圓心角為多少即可．【解析】解：設(shè)這個扇形的圓心角是n°，由題意得，∴n＝240，∴這個扇形的圓心角為240度．故選：B．【點睛】此題主要考查了扇形的面積的計算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為S，則．3．已知一個扇形的面積是24π，弧長是2π，則這個扇形的半徑為（）A．24 B．22 C．12 D．6【思路點撥】扇形面積公式為，直接代值計算即可．【解析】解：，即，解得r＝24．故選：A．【點睛】此題考查扇形的面積公式，＝，解題關(guān)鍵是在不同已知條件下挑選合適的公式進(jìn)行求解．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長為（）A． B． C．π D．【思路點撥】根據(jù)圓周角的性質(zhì)，計算出弧DC所對的圓心角度數(shù)，按照公式求出弧長即可．【解析】解：連接OA、OD、OC，∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，∴∠DOC＝36°，∴＝＝π．故選：C．【點睛】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，同弧所對的圓周角是圓心角的一半．5.如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝30°，OB＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣2【思路點撥】根據(jù)S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC，計算即可．【解析】解：∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×＝π﹣，故選：B．【點睛】本題考查扇形的面積，圓周角定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．已知扇形面積為12π，半徑為6，則扇形的弧長為4π．【思路點撥】根據(jù)扇形面積的計算公式即可求出答案．【解析】解：設(shè)扇形的弧長為l，由扇形面積公式可得，l×6＝12π，解得l＝4π，故答案為：4π．【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算公式是正確解答的關(guān)鍵．7．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點，且滿足∠ADC＝120°，BC＝2，則的長為．【思路點撥】連接OC，先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠B＝60°，從而得知△BOC是等邊三角形，可得∠BOC＝60°，OB＝BC＝2，再利用弧長公式即可求解．【解析】解：連接OC，∵∠ADC＝120°，∴∠B＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∴∠BOC＝60°，OB＝BC＝2，則的長為，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長公式，求得△BOC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，用一個半徑為10cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了72°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了4πcm．【思路點撥】利用弧長公式計算即可．【解析】解：重物上升的高度為：（cm），故答案為：4π．【點睛】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．【思路點撥】（1）連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根據(jù)弧長公式計算即可；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠EAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠DBC，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代換得到答案．【解析】（1）解：如圖，連接OB，OC，∵∠BDC＝45°，∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，∴的長為＝π；（2）證明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠DCB，∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠EAD＝∠DCB，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分△ABC的外角∠EAC．【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．10．如圖，直角坐標(biāo)系中，有一條圓心角為90°的圓弧，且該圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．（1）該圓弧所在圓的圓心M坐標(biāo)為（﹣2，0）．（2）求扇形AMC的面積．【思路點撥】（1）根據(jù)垂徑定理結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)可得答案；（2）借助網(wǎng)格求出半徑，再利用弧長公式進(jìn)行計算即可．【解析】解：（1）由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點，由網(wǎng)格可得該點M（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）；（2）∵扇形的半徑r＝，∵∠AMC＝90°，∴S扇形AMC＝＝＝5π．【點睛】本題考查弧長的計算、垂徑定理，掌握垂徑定理以及網(wǎng)格特征是確定圓心坐標(biāo)的關(guān)鍵，求出弧所在圓的半徑和相應(yīng)圓心角度數(shù)是求弧長的前提．11．如圖：AB是⊙O直徑，弦CD垂直于AB，交AB于點E，連接AC，∠CDB＝30°，CD＝4．（1）∠CAB＝30°；（2）求半徑OC．（3）的弧長．（4）求陰影面積．【思路點撥】（1）根據(jù)圓周角定理得∠CAB＝∠CDB＝30°即可；（2）根據(jù)垂徑定理得CE＝DE＝2，∠COE＝2∠CAB＝60°，即可求出求半徑OC；（3）根據(jù)弧長公式求的長度即可；（4）陰影面積為扇形BOC的面積．【解析】解：（1）∵∠CDB＝30°，∴∠CAB＝∠CDB＝30°；故答案為：30°；（2）∵AB是⊙O直徑，弦CD垂直于AB，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠COE＝2∠CAB＝60°，∴sin∠COE＝sin60°＝＝＝，∴OC＝4，∴半徑OC為4；（3）∵＝π，∴的長度為π；（4）扇形BOC的面積為＝π，根據(jù)題意可知，陰影部分的面積等于扇形BOC的面積，∴陰影面積為π．【點睛】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、弧長公式以及扇形面積求法等知識，熟練應(yīng)用垂徑定理是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙D經(jīng)過原點O，與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點B坐標(biāo)為（0，2），OC與⊙D交于點C，∠OCA＝30°，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【思路點撥】連接AB，根據(jù)∠AOB＝90°可知AB是直徑，再由圓周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由銳角三角函數(shù)的定義得出OA及AB的長，根據(jù)S陰影＝S半圓﹣S△ABO即可得出結(jié)論．【解析】解：如圖，連接AB，∵∠AOB＝90°，∴AB是直徑根據(jù)同弧對的圓周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，∵OB＝2，∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝2AO＝4，即圓的半徑為2，∴S陰影＝S半圓﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．故選：C．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖是一塊四邊形綠化園地，四角都做有直徑為1m的圓形噴水池，則這四個噴水池占去的綠化園地（陰影部分）的面積為?（）A．πm2 πm2 πm2 D．不能確定【思路點撥】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°將陰影部分4個扇形拼成一個直徑為1m的圓，由圓面積的計算方法進(jìn)行計算即可．【解析】解：由于四邊形的內(nèi)角和是360°，所以陰影部分4個扇形可以拼成直徑為1m的圓，因此面積為：π×（）2＝ππ（m2），故選：C．【點睛】本題考查扇形面積的計算，掌握四邊形內(nèi)角和是360°以及圓面積的計算方法是正確解答的前提．14．扇子最早稱“翣”，在我國已有兩千多年歷史．“打開半個月亮，收起兜里可裝，來時荷花初放，去時菊花正黃．”這則謎語說的就是扇子．如圖，一竹扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為135°，AB的長為30cm，扇面BD的長為20cm，則扇面面積為（）cm2．A．π B．600π C．300π D．30π【思路點撥】根據(jù)扇形的面積公式，利用扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE進(jìn)行計算．【解析】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝10cm，∵∠BAC＝135°，∴扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝300π（cm2）．故選：C．【點睛】此題主要考查了扇環(huán)的面積求法．一般情況下是讓大扇形的面積減去小扇形的面積求陰影部分，即扇環(huán)面積．15．如圖，一根5m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【思路點撥】小羊的最大活動區(qū)域是一個半徑為5、圓心角為90°和一個半徑為1、圓心角為60°的小扇形的面積和．所以根據(jù)扇形的面積公式即可求得小羊的最大活動范圍．【解析】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5，所以面積＝＝πm2；小扇形的圓心角是180°﹣120°＝60°，半徑是1m，則面積＝＝（m2），則小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積＝π+＝π（m2）．故選：D．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，本題的關(guān)鍵是從圖中找到小羊的活動區(qū)域是由哪幾個圖形組成的，然后分別計算即可．15．如圖，半圓O的直徑為AB，點C、D為半圓O的三等分點，點P為直徑AB上任意一點，若陰影部分的面積為π，則半圓O的半徑為5．【思路點撥】連接OC、OD，利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，然后計算半徑即可．【解析】解：連接OC、OD、CD，∵△COD和△CPD同底等高，∴S△COD＝S△PCD，∵點C，D為半圓的三等分點，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴陰影部分的面積＝S扇形COD＝πcm2，∴＝π，解得：R＝5．故答案為：5．【點睛】此題主要考查了扇形面積求法，利用已知得出理解陰影部分的面積等于扇形OCD的面積是解題關(guān)鍵．16.如圖，以AB為直徑的半圓O，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B的對應(yīng)點為點C，AC交半圓O于點D，若，則圖中陰影部分的面積為π﹣2．【思路點撥】先根據(jù)S扇形ABC＝＝π，S半圓AB＝π×（）2＝π，得出S扇形ABC＝S半圓AB，即可得出S陰影＝2S弓形AD＝2×（S扇形OAD﹣S△AOD），然后根據(jù)扇形的面積公式以及三角形的面積公式計算即可．【解析】解：連接OD，∵半圓AB繞繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B的對應(yīng)點為點C，∴∠ABC＝45°，∴∠BOD＝90°，∵S扇形ABC＝＝π，S半圓AB＝π×（）2＝π，∴S扇形ABC＝S半圓AB，∴S陰影＝2S弓形AD＝2×（S扇形OAD﹣S△AOD）＝2（﹣）＝π﹣2，故答案為：π﹣2．【點睛】本題考查圓周角定理、扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C點是AB弧上的一點，CE⊥AB于E，點D是BC弧的中點，AD交CE于點F，交BC于點G．（1）判斷△FGC的形狀，并證明；（2）若∠CAD＝30°，AB＝12．①求CF的長；②求陰影部分的面積．【思路點撥】（1）結(jié)合已知條件，利用圓周角定理及等角的余角相等易證得∠AGC＝∠AFE，再利用對頂角相等及等角對等邊即可證得結(jié)論；（2）①結(jié)合（1）中所求及已知條件，利用直角三角形性質(zhì)易得AC＝6，然后利用三角函數(shù)求得CG的長度，從而得出CF的長度；②連接OC，利用等邊三角形的判定及性質(zhì)求得∠AOC的度數(shù)及OE的長度，然后利用勾股定理求得CE的長度，最后利用扇形AOC的面積減去△AOC的面積進(jìn)行計算即可．【解析】（1）△CFG是等腰三角形，證明過程如下：證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠AGC＝90°，∵CE⊥AB，∵∠AFE+∠BAD＝90°，∵D為的中點，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠AGC＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFG，∴∠CGF＝∠CFG，∴CF＝CG，∴△CFG是等腰三角形；（2）解：①∵∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAC＝30°+30°＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB＝×12＝6，∵∠ACG＝90°，∴tan∠CAD＝tan30°＝，∴CF＝CG＝AC?tan30°＝6×＝2；②如圖，連接OC，∵∠OAC＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝6，∵CE⊥AB，∴OE＝AE＝OA＝3，∴CE＝＝3，∴S陰影＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣×6×3＝6π﹣9．【點睛】本題考查圓與三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，圓的相關(guān)性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)都是重要知識點，必須熟練掌握并應(yīng)用．18.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，過點O作OE⊥AC交⊙O于點F，垂足為E．（1）∠CAB的度數(shù)為30°；（2）求OE的長；（3）求陰影部分的面積．【思路點撥】（1）由圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°；（2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性質(zhì)得到OE＝OA＝；（3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到陰影的面積＝扇形OCF的面積，求出扇形OCF的面積即可．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝60°∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°．故答案為：30°．（2）∵AB＝6，∴OA＝OC＝AB＝3，∵OF⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA＝1.5；（3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，∴∠AOE＝60°，∵OF＝OA，∴△OAF是等邊三角形，∴OE＝EF，∠AOF＝60°，∵∠CEO＝∠AEF＝90°，∴△OEC≌△FEA（SAS），∴陰影的面積＝扇形OCF的面積，∵∠B＝60°，OC＝OB，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°，∴扇形OCF的面積＝＝．∴陰影的面積＝．【點睛】本題考查圓周角定理，扇形面積的計算，關(guān)鍵是證明陰影的面積＝扇形OCF的面積．19.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB．（1）根據(jù)條件，寫出一對相等的線段或相等的角；（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；（3）若⊙O的半徑是（2）中求得的半徑，且，求的長．【思路點撥】（1）根據(jù)垂徑定理可得相等的線段；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理，由AB⊥CD得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半徑為10；（3）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，則2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度數(shù)，即可得出∠COD的度數(shù)，根據(jù)弧長的計算公式即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴CE＝DE；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，∴⊙O的半徑為10；（3）如圖，連接OC，∵OM＝OB，∴∠B＝∠M，∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，∵∠DOE+∠D＝90°，∴2∠B+∠D＝90°，∵弧CM＝弧BD，∴∠M＝∠D，∴∠B＝∠D，∴2∠D+∠D＝90°，∴∠D＝30°，∴∠DOE＝60°，∴∠COD＝120°，∴弧CAD的長為＝．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧長的計算等，運用方程思想是解題的關(guān)鍵．20.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，∠AOB+∠COD＝180°．（1）在圖（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接寫出圖中陰影部分的面積；（2）在圖（2）中，E是AB的中點，判斷OE與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點撥】（1）作OM⊥AB于M，利用垂徑定理得到AM＝BM，在Rt△OAC中計算出OM＝OA＝3，AM＝OM＝3，則AB＝2AM＝6，然后根據(jù)扇形面積公式，利用S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB進(jìn)行計算即可；（2）作直徑AF，連接BF，進(jìn)而得出BF＝DC，再利用三角形中位線的性質(zhì)得出答案．【解析】解：（1）∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∵CD＝6，∴OA＝OC＝CD＝6，作OM⊥AB于M，如圖（1），則AM＝BM，在Rt△OAM中，∠A＝30°，∴OM＝OA＝3，AM＝OM＝3，∴AB＝2AM＝6，∴S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣?6×3＝12π﹣9；（2）OE＝CD，證明：作直徑AF，連接BF，如圖（2），∵∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB+∠BOF＝180°，∴∠BOF＝∠COD，∴BF＝CD，∵E是AB的中點，O是AF的中點，∴OE為△ABF的中位線，∴OE＝BF，∴OE＝CD．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)．O中，弦AB垂直弦CD于點E（1）如圖1：若CE＝BE，求證：AB＝CD；（2）如圖2：若AB＝8，CD＝6，OE＝；①求圓的半徑；②求弓形CBD的面積．【思路點撥】（1）連接AD、BC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CE＝BE得∠B＝∠C，再根據(jù)圓周角定理得∠A＝∠C，∠B＝∠D，則∠A＝∠D，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)垂徑定理得AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，再根據(jù)勾股定理得OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，r2﹣42+r2﹣32＝（）2，即可求出圓的半徑；②根據(jù)勾股定理求出ON＝3，得∠COD＝90°，所以弓形CBD的面積為扇形的面積減去三角形的面積即可．【解析】解：（1）證明：連接AD、BC，如圖1，∵CE＝BE，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＝∠D，∴AE＝DE，∴AB＝CD；（2）解：①連接OA，OC，OD，OM⊥AB于點M，ON⊥CD于點N，設(shè)圓的半徑為r，則AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，ME＝ON，∵OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，∴r2﹣42+r2﹣32＝（）2，解得r＝3，∴圓的半徑為3；②∵DN＝3，∴ON＝＝3，∴∠D＝∠C＝45°，∴∠COD＝90°，∴弓形CBD的面積為﹣×3×＝﹣9．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式等，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來，正確作出輔助線．題組C培優(yōu)拔尖練22．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3，將扇形AOB沿過點B的直線折疊，使點O恰好落在AB上的點D處，折痕為BC，則陰影部分的面積為（）A． B．﹣3 C． D．【思路點撥】連接OD，可得△OBD為等邊三角形，再求出∠COD以及OC，得到三角形BOC的面積，又因為△BOC與△BDC面積相等，最后利用S陰影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC求解即可．【解析】解：如圖，連接OD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝BD＝OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠DBO＝60°．∵∠CBO＝∠DBO＝30°，∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB?tan∠CBO＝3×＝，∴S△BOC＝OB?OC＝，∵△BOC與△BDC面積相等，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC＝π×32﹣﹣＝﹣3．故選：B．【點睛】本題考查與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積求法，掌握割補法求面積是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π【思路點撥】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠AEC＝90°，再根據(jù)等腰三角形三線合一得出點E是BC的中點，從而得出OE是△ABC的中位線，于是OE∥AB，根據(jù)同底等高得到△AOD和△AED的面積相等，從而陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOD的面積，根據(jù)扇形面積公式計算出扇形AOD的面積即可得出陰影部分的面積．【解析】解：連接OE，OD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即點E是BC的中點，∵點O是AC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S陰影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積，圓周角定理，中位線定理，平行線間的距離相等，等腰三角形的三線合一，不規(guī)則圖形的面積求法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計算面積是解題的關(guān)鍵．24．如圖，以AC為直徑的半圓O交CD于點B，以點B為圓心，BD長為半徑的半圓B過點A與點O，若BD＝，則陰影部分的面積是π﹣．?【思路點撥】連接AB，OB，易得BD＝BA＝BO＝OA＝OC＝，△AOB為等邊三角形，再利用直徑所對的圓周角為直角及勾股定理可求得∠ABD＝∠ABC＝90°，BC＝3，則S△AOB＝S△BOC＝S△ABC＝，然后結(jié)合圖形，利用扇形面積公式及面積的和差運算進(jìn)行計算即可．【解析】如圖，連接AB，OB，由題意可得，BD＝BA＝BO＝OA＝OC＝，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∠BOC＝120°，∵AC為半圓O的直徑，∴∠ABD＝∠ABC＝90°，∵AC＝2OA＝2，∴BC＝＝＝3，∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△BOC＝S△ABC＝×AB?BC＝×××3＝，∴S陰影＝S扇形ABD