高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)題（含答案）

復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合

一、單選題

1,若函數(shù)/(%)=五-尸⑴Inx,則■⑴=()

A.0B.-C.士D.1

42

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤▁)=4-/'(l)lnx,所以「⑴毛屋一邛),

_11

貝^'(1)=：1義15--(1),解得(⑴="

2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)-(X)的圖象如圖所示，則“X)的極小值點(diǎn)為()

A.x3B.x4C.x5D.X]和乙

【答案】C

3.設(shè)實(shí)數(shù)初〉0,若對(duì)任意的xe(l,y),不等式2e?小-皿20恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為()

m

A.—B.—C.1D.一

22ee

【答案】B

]nY

【詳解】因?yàn)闄C(jī)>0,不等式2e2皿—20成立，即2根e2加之In%,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為2館至2蛆2%lnx=e1nx恒

m

成立，構(gòu)造函數(shù)g(%)=xe",可得g'(%)=e"+xe'=(x+l)e",

當(dāng)x>0,g'(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增，則不等式2加膏皿2e—lnx恒成立等價(jià)于g(2m"g(lnx)恒成立,

Inx

即2m〉lnx恒成立，即2機(jī)2,恒成立，

x

設(shè)〃(x)=F，可得

當(dāng)0<x<e時(shí)，"(尤)>0,用⑺單調(diào)遞增；當(dāng)元〉e時(shí)，”(X)<0,力⑴單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e,函數(shù)//(“取得最大值，最大值為人(e)=L

e

所以2機(jī)2工，即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是+00].

eL2e)

4.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足〃力>:")+1,/(0)=2023,則不等式

xx

&-f(x)>e+2022(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集是()

A.(2022,+<?)B.(^o,2023)C.(0,+co)D.(-8,0)

【答案】D

【詳解】定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為(⑺，〃x)>口卜)+1,

令函數(shù)8(萬)=曾二，求導(dǎo)得g'⑺JCx)一/")+l<0，即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

ee

由"0)=2023,得g(0)=*T=2022,不等式「/(力>。+2022等價(jià)于g(x)>g(0),解得x<0,

所以不等式e-y(x)>葭+2022的解集是0).

5.已知函數(shù)/(x)=sin2xcose+sin"2sin2xsin6>的圖象關(guān)于直線x=W對(duì)稱，其中一貝廳⑺在

(0,2兀)上的極值點(diǎn)有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

27rIT

【詳角軍】由題設(shè)/(x)=sin2xcose+cos2xsine=sin(2x+e),且一+0=—+kii,keZ,

32

JTTTJT

所以e=——+kn,kez,x--<6><o,貝一二，

626

所以/(x)=sin(2x-f),在(0,2兀)上2尤一三e(-巴，里馬，

0666

對(duì)于>=sinx在(一^,竽)上，=cosx=0,有x=g或若或當(dāng)或，，

662222

所以/(X)在(0,271)上的極值點(diǎn)有4個(gè)極值點(diǎn).

故選：C

6.已知。=0.99,6=cos?0.1,c=----------,則。，仇c的大小關(guān)系為()

2-cosO.l

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

因?yàn)?a=cos20.]-0.99=cos20.1+(0.1)2-1,故考慮設(shè)/(力=852%+/—l,xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)

性，由此比較匕的大小,

因?yàn)閏-6=r1-COS?。1,考慮設(shè)=———產(chǎn)je(o,l),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)機(jī)(。的單調(diào)性，由此比

2—cos0.12—t

較b,c的大小，由此確定結(jié)論.

2

方法二：因?yàn)閎=l-sin2().l,a=l-0.1,構(gòu)造函數(shù)夕(x)=x-sinx,xe(O,l),利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,由

此證明因?yàn)閏-6=---------------cos20.1,

2-cosO.l

考慮設(shè)機(jī)⑺=1--f2Je(O,l),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相⑺的單調(diào)性，由此比較b,c的大小，由此確定結(jié)論.

2—?

n1

7.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉在研究調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)得到了這樣的成果：當(dāng)"很大時(shí)，E-=ln/1+r(r為常數(shù)).基

11

400001460000169000019

于上述事實(shí)，已知。=ZT--，b=E---C=E一亍，貝心，b,c的大小關(guān)系為()

1=700011/

?=30001131=5000113

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】D

40000iA40000i300001AA44

【詳解】由題意得，a=---=2L--^---=ln40000+r-ln30000-r--=ln^-^,

i=3000iI3,=|i,=1z3333

同理可得，&=ln|-|,c=ln!-1；令/(x)=lnx-x,則〃尤)=1一1,

故當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)<0,即函數(shù)/(x)在。,口)上單調(diào)遞減,

而》X，所以—(?>痔)>痔)，^b>c>a.

x

8.已知/(%)=neq-+lnx-x存在唯一極小值點(diǎn)，則〃的范圍是()

A.a>-B.a>-C.a<eD.a>e

ee

【答案】A

【詳解】由/(%)=千+lnx—x,XG(0,+oo),

、xex—ex1aex(x—1)exx(x—1)

f(x)=a-—+「=

當(dāng)aVO時(shí)，”-5<0恒成立，所以在xe(0,l)上外")>0,/(幻單調(diào)遞增,

在xe(l,+s)上/'(￡)<0,/(x)單調(diào)遞減，所以Ax)沒有極小值點(diǎn)，只有極大值點(diǎn)，不合題意,

Xe-xe

當(dāng)4>0時(shí)，令g(X)==xe(0,+oo),令g'(x)=0得尤=1,

g'(x)=?)2

所以在xe(0,l)上g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，在無e(l,+oo)上g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

g(x)max=g(l)=1,g(0)=0,當(dāng)x>0時(shí)g(x)>0,且當(dāng)x->+8時(shí)，g(尤)->0,

①若0<〃<L則存在加￡(0,1),ne(l,+oo),使得g(m=g5)=a,即八刈)=/?)=(),

e

x

所以在xe(0,〃2)上，了一1<0,a--7>0,f\x)<0,/(元)單調(diào)遞減，

X

在尤e(見1)上，無一1<0,->0,f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在無上，X—1>0,a----<0,/'(%)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

e

x

在無上，x-l>0,a一一->0,f\x)>0,/(九)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0<。<!時(shí)，/(X)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，不合題意，

e

1Y

當(dāng)心一時(shí),a>g(x),即。一一>0,在xe(0,l)上/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

ee

在尤e(L+◎上尸(x)>0,單調(diào)遞增，所以AM有唯一極小值點(diǎn)x=l,無極大值點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)a22時(shí)，/(x)有唯一極小值點(diǎn).

e

故選：A

二、多選題

9.己知函數(shù)/(x),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x),g'(x)的定義域均為R,〃x+l)為偶函數(shù)，函數(shù)y=g(x+l)的圖

像關(guān)于(-L0)對(duì)稱，則()

A.%⑴)=〃2+g(T))B.g(〃l))=-g(〃2))

C.〃g〈T))=/(2-gQ)D.g，(「(T))=g，(r(3))

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)?(x+1)為偶函數(shù)，所以“X)關(guān)于直線X=1對(duì)稱，

又函數(shù)y=g(x+i)的圖像關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，所以g(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

又g(-x)=—g(x),所以［g(T)］，=［一g(無)丫，得至|Jg，(f)=g，(x),所以g［x)為偶函數(shù)，同理可得/'(x+l)為

奇函數(shù)，

選項(xiàng)A,因?yàn)?+g(-l)=2-g⑴，又x=g⑴與x=2-g⑴關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以y(g⑴)=/(2+g(-l)),

故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)橛深}得不出/。)=-7(2),故沒有g(shù)(〃l))=-g(/(2)),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,因?yàn)間'(x)為偶函數(shù)，所以g'(-l)=g'⑴，又x=g⑴與x=2-g⑴關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，所以

/(g'(T))=/(2-g'(l)),故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,因?yàn)?'(x+1)為奇函數(shù)，所以/2+1)=((—1)=-尸(2+1)=-尸(3),

又g'(x)為偶函數(shù)，所以g'(/'(T)=g'(-/'⑶戶g'Cf⑶)，故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

10.定義在R上的函數(shù)〃％)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有/(-x)=e2"(x),且滿足

2/(x)+/,(x)=2x+l-e-2',則()

A.函數(shù)戶(x)=e"(x)為偶函數(shù)B./(0)=0

C.〃尤)7(l+e口)D.不等式e"(x)+g>e的解集為(1,+⑹

【答案】ABD

【詳解】F(x)=eV(x),函數(shù)定義域?yàn)镽,由〃T)=e2"(x),有片"(=)=e"(x),即尸(一力=”力,

函數(shù)F(x)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；

由2/(x)+/,(x)=2x+l-e^,得2e2x/(x)+e2V(x)=(2x+l)e2x-l,

即[e21/(^)]=(2x+l)e2x-1,[/(--r)]'=(2x+l)e21-1,

有一/，(一力=(2了+1)/'-1,得(尤)=(l—2x)e%-l,

.-.2/(x)=2x+l-e-2x—(尤)=2x(1—e-2-T),

得〃O)=O,故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

er/(x)+—=^(1-e-2,)+—=.rev--+—=.rer,

exexexex

令g(x)=xe3則，(%)=(%+l)e",當(dāng)%>-1時(shí)，g'(%)>。，g(尤)單調(diào)遞增，

當(dāng)了<—1時(shí)，/(九)<0,g(x)單調(diào)遞遞減，且當(dāng)％<0時(shí)，g(%”0,又g6=e,

則不等式e"(x)+W>e即為g(x)>g⑴且x>0,

e

x

所以x>l,即e"(x)+W>e的解集為(l,+oo),故D正確.

e

故選：ABD.

11.關(guān)于函數(shù)/("=6"+?1?,xe(-7i,+oo),下列說法正確的是()

A.當(dāng)a=l時(shí)，〃x)在(0,/⑼)處的切線方程為2x-y+l=0；

B.當(dāng)a=l時(shí)，“X)存在唯一極小值點(diǎn)馬，且-1<〃不)<0；

C.對(duì)任意a>0,“X)在(-兀,+8)上均存在零點(diǎn)；

D.存在a<0,“X)在(-71,+8)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，〃力=3+41?可得尸(耳=/+85繼而廣(0)=2,可求〃尤)在(0,/(0))處的切線

方程;對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=e*+sinx可用隱零點(diǎn)的處理手段虛設(shè)零點(diǎn)，求得最值再整體代換即可；

對(duì)于C、。選項(xiàng)，可用函數(shù)與方程的思想將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)相交問題.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí),/(x)=e"+sinx,f'(x)=ex+cosx,f,(0)=2,/(0)=l,

\/(x)在(0,”0))處的切線方程為V-l=2x,即2x-y+l=0,故A正確；

(3兀71)

當(dāng)〃=]時(shí)，f(x)=ex+sinx,XG(-+g(x)=f\x)=cx+cosx,g\x)=ex-sinxxeI--^，一,)時(shí)，

g，(x)>0,所以r(x)=e*+COS尤在(T上單調(diào)增,又<0所以存在唯一x°e(音4]

使得—(%)=0,即e*。=-cos尤0,

且當(dāng)xe]-5，xj,f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xw(a，+co),第x)>0,“X)單調(diào)遞增，

\/(X)存在唯一極小值點(diǎn)吃,

v

-ft/(^0)=e"+siiu0=sinx0-cosx0=V2sin,x0,.-.-l</(x0)<0,故B正確；

令〃x)=e、+asinx=0,當(dāng)awO時(shí)，分離參數(shù)可得-工=哼，

ae

設(shè)g(x)=^^,xe(一兀，+8),g，(尤)=cojsinx,令g，(x)=o,解得無=配+￡,keZ,

作出g(x)=W^,xe(f,+8)的圖像，

當(dāng)』與時(shí)，g(“取極小值，也是xe(Ti,+e)上的最小值為

當(dāng)x=：時(shí)，g(x)取極大值，也是XC(-兀,+8)上的最大值為,屋"

由圖像可知當(dāng)a時(shí)，”X)在(-兀，+8)上沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，

F)網(wǎng)

當(dāng)-券e”<.<0時(shí)，〃x)在(-兀,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

綜上，正確的是ABD.

故選：ABD.

三、填空題

12.若函數(shù)/(%)=；尤2-x+qQ+inx)沒有極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[3-20,+e)

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/⑴沒有極值，所以尸(尤)=x_]+q[l+g)=1+(a；l)x+a在(0,+8)上沒有變號(hào)的零

點(diǎn)，令m(x)=f+(〃-1)%+4

(1)當(dāng)，即時(shí)，由根(°)20解得所以a?l；

(2)當(dāng)-號(hào)■>(),即a<l時(shí)，由△=(a-l)2-4a<0解得3-aV3+2點(diǎn)，

所以此時(shí)3-2忘4"1;由⑴、⑵得ae[3-2&,+oo).

故答案為：[3-20,+co).

13.若e，—e，=l,X,yeR,則2x-y的最小值為.

【答案】2歷2/歷4

【分析】由e，-e〉=l表示出X,代入2x-y,可得到關(guān)于丁的函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性極值，進(jìn)而求出最值.

【詳解】因?yàn)閑*—e>=l,所以eX=e>+l,于是x=ln(l+e>),

貝U2%-y=21n(l+e，)-y,

py_i

令/(y)=21n(l+e>)-y,貝lj=,

l+eve-+1

由尸(y)=o,得y=。，當(dāng)"。時(shí)，/'(y)<。，單調(diào)遞減，

當(dāng)y>。時(shí)，r(y)>0,/(y)單調(diào)遞增，

故y=o為f(y)唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，

故/(>)血n=/(l)=21n2,

故答案為：21n2

14.若關(guān)于x的方程々=-/+彳+1有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

e

【答案】[一:，0]

【詳解】由已知可知關(guān)于X的方程m=(-x2+x+l)ex有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)y=(-d+x+l)e'的圖象與直線>=根有三個(gè)公共點(diǎn)，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(-x2+x+l)e)求導(dǎo)/。)=-5-1)(工+2)/,

令g'(x)=0,解得%=1,3=-2

當(dāng)xe(-2,1)時(shí)，g，(x)>0,故g(x)在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)?shù)秬(-8,-2)口(1,+00)時(shí)，gXx)<0,故g(x)在區(qū)間(-8,-2)和(l,+oo)上單調(diào)遞減，

且g(-2)=-?，g(l)=e,當(dāng)x<匕5或x>匕好時(shí)，g(x)<0,

e222

且當(dāng)%f-8時(shí)，g(%)-0,當(dāng)％f+8時(shí)，g(%)->fO,

畫出g(無)=(-/+x+1上工的大致圖象如圖，要使g(x)的圖象與直線>=機(jī)有三個(gè)交點(diǎn)，需g(-2)<機(jī)<0,即

-^<m<0,即機(jī)的取值范圍是

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=X2+x-lnx.

⑴求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的x>0J(x)+e、>X2+x+2.

【詳解】(1)由題可知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?O,+e)J(x)=x2+x-Inx

2x2+x-1_(2xT)(x+1)

f'(x)=2x+1-----=

''xXX

令F(x)=。得x=1■或x=-l(舍去)

X

~2

((X)-0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以，/(X)在(oq]上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

(2)/(x)=x2+x-lnx,

要證明/("+爐>d+了+2,只用證明eA-lar-2>0，令g(x)=e*-lnx-2,g[x)=e*,

設(shè)〃(x)=eX-L"(尤)=e，+3>0,即g[x)單調(diào)遞增，g(j]=A-2<0,g(l)=e-l>0,

XX、乙)

可得函數(shù)g'(x)有唯一的零點(diǎn)與優(yōu)>0且5Hl),滿足e?-工=0,

xo

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x)與g(x)的變化情況如下，

X(0，%)(%”)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以g(x)min=g(Xo)=e'°T啄-2='+毛-2,

xo

因?yàn)楣?無。一222L%-2=0,因?yàn)椴?,所以不取等號(hào)，即，+x「2>。，即g。).>。恒成立,

%Vo%

所以，e*-lnx-2>0恒成立，所以，對(duì)Vx>0,/(x)+e工+X+2成立.

16已知函數(shù)/(x)=xlnx-(〃+l)x+Z?(〃,b￡R).

⑴若a=0,b=l,求函數(shù)斜率為1的切線方程；

(2)若:=e,討論/(x)在［e,/］的最大值.

【詳解】(1)已知/(%)=xlnx—(a+l)%+b(a,b￡R),函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)〃=0,b=l時(shí)，函數(shù)/(x)=xln%-%+l,可得尸(x)=lnx,

不妨設(shè)切點(diǎn)為(%0，%)，此時(shí)/'(%)=In%,因?yàn)榍芯€斜率為1,所以ln%=l,解得

所以/a))=elne-e+l=l,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為(e,l),則曲線>=/(尤)在點(diǎn)(e,l)處的切線方程為y-l=lx(x-e),

即％_y_e+l=0；

b

(2)若一=e,即Z?=tze,

a

此時(shí)/(x)=%ln九一%—辦+〃e,函數(shù)定義域?yàn)椋?f］,

可得了'(尤)=1+也%一1一。二也%-。，令/'(%)=。，解得％=e",

當(dāng)eYe,即aVl時(shí)，八%)>0,此時(shí)函數(shù)〃幻在定義域上單調(diào)遞增，

則/Wmax=/(e2)=e2-ae2+ae；

當(dāng)e<e"<e2,即l<a<2時(shí)，

當(dāng)e4尤<e°時(shí)，/(幻<0,/⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)e"<xVe2時(shí)，rW>0,/⑺單調(diào)遞增，

所以/(*?=max{/(e),/(e2)),

又/(e)=elne-e-ae+ae=0,/(x)^=f(e2)=e2—6ze2+ae,

當(dāng)/(e)>/(/),即0>，-ae?+ae時(shí)，可得----,

所以當(dāng)\<。<2時(shí)，/(x)max=/(e)=0;

當(dāng)即OWe?—ae?+ae時(shí)，可得a4----,

所以當(dāng)1<。<一■時(shí)，/W=/(e2)=e2-ae2+ae；

e-1max

當(dāng)e〃Ne2,即。22時(shí)，Ax)<0,此時(shí)函數(shù)/⑺在定義域上單調(diào)遞減，

貝！J/(X)max=/(e)=。，

Ae

綜上，當(dāng)---時(shí)，函數(shù)/(*)的最大值為。；當(dāng)----7時(shí)，函數(shù)/(X)的最大值為e?-ae?+〃e.

e-1e-1

17.已知函數(shù)y(x)=(i-w.

(1)討論在區(qū)間(o,+功上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)加=1時(shí)，若存在滿足a+ln(l-a)=6+ln(l-6),證明：,+：>0.

ab

【詳解】(1)當(dāng)根=0,〃尤)=1-%在(。,+。)單調(diào)遞減;

當(dāng)機(jī)wO時(shí)，/'(X)=——1H—^e/7U,

①當(dāng)力>1時(shí)，0<%v1-----，x)>0,x>1------，/'(%)<0；

mv7m

②當(dāng)0<根41時(shí)，((無)<0在(0,+。)恒成立；

③當(dāng)771Vo時(shí)，0vx<1-----,fr(x]<0,x>1------,f^(x)>0；

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綜上所述，當(dāng)/>1時(shí)，“X)在單調(diào)遞增，在[1-5，+[單調(diào)遞減；

當(dāng)0W加W1時(shí)，/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

(2)由a+ln(l-a)=Z?+ln(l—6),得ln[(l—a)e[=ln[(l—"e[,gp(l-o)efl=(1-Z?)e\

由(1)可知，當(dāng)〃?=1時(shí)，/(x)=(1—x)e*,y*(x)=(1—x—l)ex=—xex,

當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，f/x)〉。；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/'(x)<0,

/(元)在(-咫。)單調(diào)遞增，在(0,+")單調(diào)遞減，

又當(dāng)xe(-co,l),/(%)>0,當(dāng)"zw(l,+co)時(shí)，/(x)<0,

故。<0<6<1,即。6<0.欲證一+:>0,即證a+b<0.

ab

設(shè)g(x)=/(x)-〃一元),0<x<l,

貝1Jg'⑺=-3+/，(-x)=%(e-x-ev)<0,

即g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,

又g(0)=0,所以g(x)<0,即〃b)<〃詢,

又所以/(。)</(一6),

又因?yàn)?(%)在(-8,0)單調(diào)遞增，〃<0,—b<0,

所以。<-匕，即〃+/?<0得證.

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