2025年山西省運城市空港新區(qū)一中學業(yè)水平考試模擬卷三數學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025年山西省運城市空港新區(qū)一中學業(yè)水平考試模擬卷三數學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知實數、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.2.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.3.已知復數,若,則的值為()A.1 B. C. D.4.在關于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.定義在R上的偶函數滿足,且在區(qū)間上單調遞減,已知是銳角三角形的兩個內角,則的大小關系是()A. B.C. D.以上情況均有可能6.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)現三人走的線路均不同,且均沒有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路;事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對一半,根據以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路7.已知定點,,是圓上的任意一點,點關于點的對稱點為,線段的垂直平分線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓8.設點,P為曲線上動點,若點A,P間距離的最小值為,則實數t的值為()A. B. C. D.9.在條件下,目標函數的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.210.設,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x12.函數的值域為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在長方體中,,E,F,G分別為的中點,點P在平面ABCD內,若直線平面EFG,則線段長度的最小值是________________.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.15.已知,分別是橢圓:()的左、右焦點,過左焦點的直線與橢圓交于、兩點,且,,則橢圓的離心率為__________.16.設常數,如果的二項展開式中項的系數為-80,那么______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)若是函數的極值點,求的單調區(qū)間;(2)當時,證明:18.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線l過右焦點F,且與橢圓C交于A、B兩點,已知Q點坐標為,求的值.19.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)證明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.20.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數,具體數據如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數12241515151215151524從這20天中隨機選取一天,隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數.(Ⅰ)求X的分布列與數學期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結論)21.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點在線段上移動(不與重合),是的中點.(1)當四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)若數列前n項和為,且滿足(t為常數,且)(1)求數列的通項公式:(2)設,且數列為等比數列,令,.求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標函數對應的直線,結合圖象知當直線過點時,取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部,如下圖表示:當目標函數經過點時,取得最大值,最大值為.故選:C.本題主要考查線性規(guī)劃等基礎知識;考查運算求解能力,數形結合思想,應用意識,屬于中檔題.2.B【解析】

連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.3.D【解析】由復數模的定義可得:,求解關于實數的方程可得:.本題選擇D選項.4.C【解析】

討論當時,是否恒成立;討論當恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,由開口向上,則恒成立;當恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.本題考查了命題的關系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.5.B【解析】

由已知可求得函數的周期,根據周期及偶函數的對稱性可求在上的單調性,結合三角函數的性質即可比較.【詳解】由可得,即函數的周期,因為在區(qū)間上單調遞減,故函數在區(qū)間上單調遞減,根據偶函數的對稱性可知,在上單調遞增,因為,是銳角三角形的兩個內角,所以且即,所以即,.故選:.本題主要考查函數值的大小比較,根據函數奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵.6.D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選:D本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內容進行分類討論,屬于基礎題型.7.B【解析】

根據線段垂直平分線的性質,結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點,如下圖所示:所以有,而是中點,連接,故,因此當在如下圖所示位置時有,所以有,而是中點,連接,故,因此,綜上所述:有,所以點的軌跡是雙曲線.故選:B本題考查了雙曲線的定義,考查了數學運算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.8.C【解析】

設,求,作為的函數,其最小值是6,利用導數知識求的最小值.【詳解】設,則,記,,易知是增函數,且的值域是,∴的唯一解,且時,,時,,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.本題考查導數的應用,考查用導數求最值.解題時對和的關系的處理是解題關鍵.9.B【解析】

畫出可行域和目標函數,根據平移得到最值點,再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標函數,根據圖像知:當時,有最大值為,即,故..當,即時等號成立.故選:.本題考查了線性規(guī)劃中根據最值求參數,均值不等式,意在考查學生的綜合應用能力.10.C【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據不等式的解法是解決本題的關鍵.11.A【解析】分析:根據離心率得a,c關系,進而得a,b關系,再根據雙曲線方程求漸近線方程,得結果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a212.A【解析】

由計算出的取值范圍,利用正弦函數的基本性質可求得函數的值域.【詳解】,,,因此,函數的值域為.故選:A.本題考查正弦型函數在區(qū)間上的值域的求解,解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

如圖,連接,證明平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小,再求此時的得解.【詳解】如圖,連接,因為E,F,G分別為AB,BC,的中點,所以,平面,則平面.因為,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG,所以點P在直線AC上.在中,,故當時.線段的長度最小,最小值為.故答案為:本題主要考查空間位置關系的證明,考查立體幾何中的軌跡問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14.【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示長方體對角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學生空間想象能力以及基本計算能力,是一道基礎題.15.【解析】

設,則,,由知,,,作,垂足為C,則C為的中點,在和中分別求出,進而求出的關系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設,則,,由橢圓定義知,,因為,所以,,作,垂足為C,則C為的中點,在中,因為,所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關系;利用橢圓的定義,結合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.16.【解析】

利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.本小題主要考查根據二項式展開式的系數求參數,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】

(1)根據函數解析式,先求得導函數,由是函數的極值點可求得參數.求得函數定義域,并根據導函數的符號即可判斷單調區(qū)間.(2)當時,.代入函數解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構造函數,并求得,由函數單調性及零點存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數的最小值,由對數式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數可求得,則解得所以,定義域為,在單調遞增,而,∴當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,此時是函數的極小值點,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當時,,因此要證當時,,只需證明,即令,則,在是單調遞增,而,∴存在唯一的,使得,當,單調遞減,當,單調遞增,因此當時,函數取得最小值,,,故,從而,即,結論成立.本題考查了由函數極值求參數,并根據導數判斷函數的單調區(qū)間,利用導數證明不等式恒成立,構造函數法的綜合應用,屬于難題.18.(1);(2).【解析】

(1)根據橢圓的離心率為,得到,根據直線與圓的位置關系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯立,利用韋達定理,向量的數量積,結合已知條件求得結果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當直線l的斜率不存在時,,,由于;②當直線l的斜率為0時,,,則;③當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為,,,由及,得,有,∴,,,,∴,綜上所述:.該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,求向量數量積,在解題的過程中,注意對直線方程的分類討論,屬于中檔題目.19.(Ⅰ)見解析(Ⅱ).【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系,求出平面的法向量,通過計算與的夾角得出與平面所成角.【詳解】(I)證明:取AC的中點M,連接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP?平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M為原點,以MB,MC的方向為x軸,y軸的正方向,以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M﹣xyz,如圖所示:則A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),設平面ACP的法向量為(x,y,z),則,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos,|.本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理使用,難度一般.20.(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數學期望;(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為:,或,或.經計算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.本題考查離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差,屬于中等題.21.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由題意,先求得為的中點,再證明平面平面,進而可得結論;(2)由題意,當點位于

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