部編數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊專項(xiàng)訓(xùn)練：冪的運(yùn)算（九大考點(diǎn)解析版）

專題04笨的運(yùn)算重難點(diǎn)精練（九大考息）

一.同底數(shù)幕的乘法

二.同底數(shù)幕的除法

三.嘉的乘方與積的乘方（注意整體思想的運(yùn)用）

幕

的

運(yùn)四.幕的運(yùn)算中的規(guī)律

算

重

五.新定義

難

點(diǎn)

精六.閱讀類一緊扣例題，化歸思想

練

七.整式除法（難點(diǎn)）

八.巧妙比大小…化相同

九?易的運(yùn)算的綜合提升

丁,實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

同底數(shù)幕的乘法

1.己知2加?2加?8=211,則加=4

試題分析：將已知中的2恤2加-8化為同底數(shù)的幕，然后利用同底數(shù)塞的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再根

據(jù)指數(shù)相同列式求解即可.

答案詳解：解：2〃~2加?8=2a?2加.23=2加+加+3,

,.?2m>2m-8=2u,

m+m+3=11,

解得加=4.

所以答案是4.

2.已知2x+3y-2=0,求尹?27〉的值.

試題分析：直接利用募的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而化簡得出答案.

答案詳解：解：：2x+3y-2=0,

??2x+3y=2,

9工?27、=32x?33、=32+3丫=32=9.

3.已知3升2=加，用含加的代數(shù)式表示3x()

mm

A.3x=m-9B.3X=—C.3x=m-6D.3X=—

Vo

試題分析：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則解答即可.

答案詳解：解：?；3升2=3詠32="，

m

?OX--

??°—9?

所以選：B.

同底數(shù)幕的除法

、2

4.已知：3m=2,9〃=3,貝！|3%2"=-.

-3-

試題分析：先利用哥的乘方變?yōu)橥讛?shù)累，再逆用同底數(shù)嘉的除法求解.

答案詳解：解：：9"=32"=3,

...3加-2c〃=3冽,c——2,

2

所以答案是：--

15454

5.已知=n=^7o>那么2016刈一"=1.

試題分析：根據(jù)積的乘方的性質(zhì)將m的分子轉(zhuǎn)化為以3和5為底數(shù)的幕的積，然后化簡從而得到

m=n,再根據(jù)任何非零數(shù)的零次幕等于1解答.

15434-5454

答案詳解:

344—344-340’

??冽=〃,

.\2016mn=2016°=l.

所以答案是：1.

6.己知產(chǎn)=4,2=6,產(chǎn)=9,2b+c-3b+c=6a-2,則9。+276=9.

試題分析：先將9。+27°變形，再由寸=4,2=6,k=9,2計(jì)八3計(jì)。=6。-2分別得出0,b,c的

關(guān)系式，然后聯(lián)立得方程組，整體求得(2a-36)的值，最后代入將27b變形所得的式子即

可得出答案.

答案詳解：解：9。+27'

=(32)"+(33)b

=(3)2a-3b,

VF=4,依=6,下=9,

...代?乃:=依?依，

:.k°+c=@,

a+c=26①；

?：2b+c.3b+c=6a-2t

：.(2X3)b+c=6a-2t

b+c—a-2(2)；

聯(lián)立①②得：黑二三,

?(c=2b-a

**(c=a—2—b9

?*?2b~a=a-2-bj

??2a-3b'='2,

W27b

=(3)?a-3b

=32

=9.

所以答案是：9.

三.塞的乘方與積的乘方(注意整體思想的運(yùn)用)

7.已知2m=a,32n=b,m,〃為正整數(shù)，則加+1?！?/乂.

試題分析：根據(jù)積的乘方與幕的乘方及同底數(shù)塞的乘法的運(yùn)算法則解答.

答案詳解：解：：2，"=a,32及="

.".25m+10w=(2m)5.(25)2n=(2m)5*322n=(2m)5*(32n)2=a5b2,

所以答案是：a5b2.

8.計(jì)算：(-0.2)100X5101=5.

試題分析：根據(jù)幕的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，將所求的式子變形為(-0.2X5)I00X5,再求

解即可.

答案詳解：解：(-0.2)100X5101

=(-0.2)100X5100X5

=(-0.2X5)100X5

=5,

所以答案是：5.

9.若x+3y-3=0,則2%?郎=8.

試題分析：根據(jù)已知條件求得、=3-3?然后根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則進(jìn)行解答.

答案詳解：解：??h+3廠3=0,

「?x=3-3y,

???2%??=23-3y?23y=23=8.

所以答案是：8.

四.幕的運(yùn)算中的規(guī)律

10.閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值.

解：設(shè)5=1+2+22+23+24+…+22017+22018①,將等式兩邊同時(shí)乘2,#25=2+22+23+24+25+—

+22018+22019②，

②-①，得2S-S=22°19-1,即S=22°19-I,

所以1+2+22+23+24+…+22°17+22°18=22°19-1.

請你仿照此法計(jì)算：

(1)1+2+22+23+24+—+29+210；

(2)1+3+32+33+34+…+3”-1+3"(其中"為正整數(shù)).

試題分析：(1)直接利用例題將原式變形進(jìn)而得出答案；

(2)直接利用例題將原式變形進(jìn)而得出答案.

答案詳解：解：(1)設(shè)S=1+2+22+23+24+…+2?①

將等式兩邊同時(shí)乘2得：

25=2+22+23+24+---+21°+211,②

②-①得2S-S=2"-1,

即S=2n-1,

A1+2+22+23+24+--+210=211-1.

(2)設(shè)5=1+3+32+33+34+…+3”,①

將等式兩邊同時(shí)乘3得：

35=3+32+33+34+—+3/?+3n+1,②

②-①得3S-S=3"+1-1,

1,

即S=-(3n+1-1),

1

l+3+32+33+34+—+3n=-(3"+i-1).

11.(1)通過計(jì)算比較下列各式中兩數(shù)的大?。?填或“=”)

?12<21,@23<32,?34>43,

(4)45>54,(5)56>65,…

(2)由(1)可以猜測/+1與(〃+1)為正整數(shù))的大小關(guān)系：當(dāng)“W2時(shí),nn+l<

(〃+1)"；當(dāng)”23時(shí),〃"+1>(?+1)”；

(3)根據(jù)上面的猜想，可以知道：20082009>20092N8.

試題分析：先要正確計(jì)算(1)中的各個(gè)數(shù)，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果確定所填的符號(hào)，觀察所填符號(hào)，

總結(jié)規(guī)律.

答案詳解：I解：⑴①；12=1,21=2,

：.12<2',

0V23=8,32=9,

：.23<32,

③：34=81,43=64,

.\34>43,

(4)V45=1024,54=625,

.".45>54,

⑤:56=15625,65=7776,

.\56>65,—

（2）由（1）可以猜測或+1與（〃+1）"（〃為正整數(shù)）的大小關(guān)系:

當(dāng)nW2時(shí)，當(dāng)+1）"；

當(dāng)時(shí)，nn+l>(〃+1)”；

(3)Vn=2008>3,

.,.20082009>20092008.

1111

…可得規(guī)律5+7+W+…+市=1

~+—=1--

1111

—+—+—=1——,

2488'

11111

--L--L--I---4--------=1---------

24822。。2200，

???1+2-1+2-2+2-3+2-4+???+2-200

1111

=1+—+-+-d---+--------

2482200

1

=1+1--------

112200

1

=2--------

42200,

13.探究：22-21=2X21-1X21=2(I)

23-22=2X22-1X22=2<2>,

24-23=2X23-1X23=2<3>,

（1）請仔細(xì)觀察，寫出第4個(gè)等式；

（2）請你找規(guī)律，寫出第"個(gè)等式；

（3）計(jì)算：21+22+23+—+22019-22020.

試題分析：（1）根據(jù)給出的內(nèi)容，直接可以仿寫25-24=2X24-1X24=24,

（2）2"1-2"=2義2"-1義2"=2",

（3）將原式進(jìn)行變形，即提出負(fù)號(hào)后，就轉(zhuǎn)化為原題中的類型，利用（1）（2）的結(jié)論，直接得

出結(jié)果.

答案詳解：解：探究：22-21=2X2-1X21=21,

23-22=2X22-1X22=22,

24-23=2X23-1X23=23,

(1)25-24=2X24-1X24=24；

(2)2"+i-2"=2義2"-1X2"=2"；

2

(3)原式=-(22020-22019_22018_2^17-...-2-2)

=-2.

所以答案是：1；2X22-1X22；2；2X23-1X23；3

五.新定義

14.定義一種新運(yùn)算(a,b),若那=6,貝|(a,b)=c,例(2,8)=3,(3,81)=4.已知(3,

5)+(3,7)=(3,x),則x的值為35.

試題分析：設(shè)加=5,3〃=7,根據(jù)新運(yùn)算定義用機(jī)、〃表示(3,5)+(3,7),得方程，求出x

的值.

答案詳解：解：設(shè)3"=5,3"=7,

依題意(3,5)=m,(3,7)=n,

(3,5)+(3,7)—m+n.

(3,x)=m+n,

...無=3"+”

=3aX3"

=5X7

=35.

所以答案是：35.

15.規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運(yùn)算，記作(a,6)；如果。。=兒那么(a,6)=c.例如：因?yàn)?3=

8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：

①(5,125)=3,(-2,-32)=5；

1

②若(x,—)=-3,則x=2.

(2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,試探究a,b,c之間存在的數(shù)量關(guān)系;

(3)若(加，8)+(tn,3)=(m,t),求f的值.

試題分析：(1)①根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；

②根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

答案詳解：解:①；53=125,

工(5,125)=3,

(-2)5=-32,

(-2,-32)=5,

所以答案是：3；5；

1

②由題意得：x~3

O

則X-3=2-3,

?'?x=2,

所以答案是：2；

(2)(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,

;.4。=5,4b=6,4c=30,

V5X6=30,

：.4a-4b=4c,

??a+b=c.

(3)設(shè)(冽，8)=p,(mf3)=q,(m,t)=%

r

???冊=8,加9=3,m=tf

(m,8)+(m,3)=(m,t),

??p+q=r,

'.mp+q—mr,

?u.mp*mr=mt,

即8X3=6

.」=24.

16.規(guī)定兩數(shù)Q,6之間的一種運(yùn)算，記作(a,b)：如果那么(a,b)=c.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：

1

(3,27)=3,(5,1)=0,(2,了)=-2.

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：(3",4")=(3,4),小明給出了如下的證明：

設(shè)(3〃，4")=x,貝ij(3〃)x=4〃，即(3、)〃=4"

所以次=4,即(3,4)=x,

所以(3",4")=(3,4).

請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)

試題分析:(1)分別計(jì)算左邊與右邊式子，即可做出判斷；

(2)設(shè)(3,4)=x,(3,5)=y，根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則即可求解.

答案詳解：解：(1)，：33=27,

(3,27)=3；

(5,1)=0；

,1

.?.2-2=了

1

(2,-)=-2；

(2)設(shè)(3,4)=x,(3,5)=y,

則3%=4,”=5,

.?.3%+刀=3%?3'=20,

(3,20)=x+y,

：.(3,4)+(3,5)=(3,20).

所以答案是：3,0,-2.

六.閱讀類--緊扣例題，化歸思想

17.閱讀下列材料：

一般地，"個(gè)相同的因數(shù)。相乘aY-a記為心如2X2X2=2』8,此時(shí)，3叫做以2為底8的

幾個(gè)

對(duì)數(shù)，記為log28(即log28=3).一般地，若求=b(。>0且aWl,6>0),則"叫做以。為底6

的對(duì)數(shù)，記為log/(即loga6=〃).如34=81,則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381(即log381

=4).

(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：

log?4=2,log,16=4,log』64=6.

(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎

樣的關(guān)系式；

(3)由(2)的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？

logc(MN)；(。>0且aWl,M>0,N>0)

(4)根據(jù)幕的運(yùn)算法則：?產(chǎn)以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論.

試題分析：首先認(rèn)真閱讀題目，準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)的定義，把握好對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系.

(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；

(2)認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：4X16=64,log24+log216=log264；

(3)由特殊到一般，得出結(jié)論：logJW+logaN=loga(MN)；

(4)首先可設(shè)log“M=bi，logaN=b2，再根據(jù)幕的運(yùn)算法則：陵以及對(duì)數(shù)的含義證明

結(jié)論.

答案詳解：解：(1)log24=2,log216=4,log264=6；

(2)4X16=64,Iog24+log216=log264；

(3)\ogaM+\ogaN=logo(MN)；

(4)證明：設(shè)logaA/=6i，log°N=62，

貝!|a"=Af,a62=N,

：.MN=abl-ab2=abl+b2,

：,bi+b2=\oga(MN)即logaM+logfl^=logfl〈MN).

18.閱讀下列材料：

若於=2,〃=3,則0,6的大小關(guān)系是a>b(填或

解：因?yàn)?5=(03)5=25=32,〃5=(")3=33=27,32>27,所以。15>扭5,

所以a>b.

解答下列問題：

(1)上述求解過程中，逆用了哪一條累的運(yùn)算性質(zhì)C

A.同底數(shù)幕的乘法

B.同底數(shù)幕的除法

C.嘉的乘方

D.積的乘方

(2)己知/=2,胃=3,試比較x與y的大小.

試題分析：(1)根據(jù)幕的乘方進(jìn)行解答即可；

(2)根據(jù)題目所給的求解方法，進(jìn)行比較.

答案詳解：I解：；涼5=(.3)5=25=32,-5=(〃)3=33=27,32>27,所以小〉小,

所以。>6,所以答案是：>；

(1)上述求解過程中，逆用了幕的乘方，所以選C；

(2)Vx63=(x7)9=29=512,/3=(/)7=37=2187,2187>512,

：.x63<y6i,

19.閱讀下面一段話，解決后面的問題.

觀察下面一列數(shù)：1,2,4,8,我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都

等于2.

一般地，如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等

比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的比.

(1)等比數(shù)列5,-15,45,…的第四項(xiàng)是-135.

CL2

(2)如果一列數(shù)對(duì)，。2,的，。4,…是等比數(shù)列，且公比為q,那么根據(jù)上述的規(guī)定，有工=q，

CL3

=q,Q3=，以6Z3=Q2q=q=Qiq2,。4=。3夕=(4/2),q〃二

aig"1(用含對(duì)與q的代數(shù)式表示).

(3)一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是10,第三項(xiàng)是20,則它的第一項(xiàng)是5,第四項(xiàng)是40.

試題分析：(1)由于-15+5=-3,45+(-15)=-3,所以可以根據(jù)規(guī)律得到第四項(xiàng).

(2)通過觀察發(fā)現(xiàn)，第"項(xiàng)是首項(xiàng)牝乘以公比q的(?-1)次方，這樣就可以推出公式了;

(3)由于第二項(xiàng)是10,第三項(xiàng)是20,由此可以得到公比，然后就可以得到第一項(xiàng)和第四項(xiàng).

答案詳解：解：(1)：-15+5=-3,454-(-15)=-3,

:.第四項(xiàng)為45X(-3)=-135.

故填空答案：-135；

(2)通過觀察發(fā)現(xiàn)，第〃項(xiàng)是首項(xiàng)對(duì)乘以公比g的(?-1)次方，即：an=axq'

故填空答案：a?"」；

(3):公比等于20+10=2,

二第一項(xiàng)等于：10+2=5,

nl

第四項(xiàng)等于20X2=40.an—a\q.

故填空答案：它的第一項(xiàng)是5,第四項(xiàng)是40.

七.整式除法(難點(diǎn))

20.我閱讀：類比于兩數(shù)相除可以用豎式運(yùn)算，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也可以用豎式運(yùn)算，其步驟是:

(z)把被除式和除式按同一字母的降塞排列(若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊).

(")用豎式進(jìn)行運(yùn)算.

5)當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，運(yùn)算終止，得到商式和余式.

我會(huì)做：請把下面解答部分中的填空內(nèi)容補(bǔ)充完整.

求(5X4+3X3+2X-4)-T-(x2+l)的商式和余式.

解：

答：商式是5X2+3X-5,余式是-x+1；

我挑戰(zhàn)：已知工4+13+。工2+%+人能被%2+工+1整除，請直接寫出a、b的值.

5xz+3r-5

r2+Or-HJ5工4+3工3+(什2工一4

5x4+Ox5+5x2

3X5+()+2X

3a?+07+3r

()—x—4

試題分析：我會(huì)做：根據(jù)“我閱讀”的步驟，計(jì)算填空即可;

我挑戰(zhàn)：用豎式計(jì)算，令余式為0即可算出a,b的值.

答案詳解：解：我閱讀：

(m)

5r+3x—5

r2+0x-H_7514+3工3+6孑+2工一4

5x4+0x3+5x2

3/+(5科2x

3，+0,+3r

-5x3—1—4

。爐+0大?5)

(-x+1)

余式是-x+1,

所以答案是：(h2,-5x2,-5x2,-5X2+0X-5,-x+1；

我挑戰(zhàn)：

+g-i)

x4+―+x+b

x4+x3+x2

(。-1謂+x+b

(q-l)x+o-1

(2?a)x+b-m4

x4+x3+tzx2+x+Z?=(x2+x+l)(/+a-1)+(2-a)x+b-a+1,

*.*x4+x3+tzx2+x+Z>能被N+x+1整除，

**.(2-a)x+b-a+1=0,

.*.2-。=0且6-。+1=0,

解得〃=2,b=\.

21.計(jì)算：3a^b2-^-a2+b*Ca2b-3ab）.

試題分析：根據(jù)單項(xiàng)式的除法以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可.

答案詳解：解：原式=3"2+/62-3仍2

=a2b2.

22.計(jì)算：（2。3?3〃-2。）4-（-2a）

試題分析：依據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，然后再依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可.

答案詳解：解：原式=（6。4-2a）4-（-2〃）

=6d）4-（-2。）-2a-T-（-2〃）

-—3a3+1.

八.巧妙比大小一一化相同

23.閱讀下列解題過程，試比較21°°與375的大小.

解：...2100=（24）25=1625,375=。3）25=2725,而16<27,

.?.2100<375

請根據(jù)上述解答過程解答：比較255、344、433的大小.

試題分析：根據(jù)哥的乘方的逆運(yùn)算，把各數(shù)化為指數(shù)相同、底數(shù)不同的形式，再根據(jù)底數(shù)的大小

比較即可.

答案詳解：M：V255=3211,344=81",433=64n,

且32<64<81,

A255<433<344.

24.比較20162。17與ZOU。"的大小，我們可以采用從“特殊到一般”的思想方法：

（1）通過計(jì)算比較下列各式中兩數(shù)的大?。海ㄌ罨颉?”）

@12<21,@23<32,@34>43,（4）45>54,（5）56>65,…

（2）由（1）可以猜測〃"+1與（〃+1）"（〃為正整數(shù)）的大小關(guān)系：

當(dāng)“W2時(shí),〃"+1<（〃+1）"；當(dāng)〃>2時(shí),nn+i>（〃+1）”；

（3）根據(jù)上面的猜想則有：20162017>20172016（填或"=，，）.

試題分析：（1）通過計(jì)算可比較大??；

（2）觀察（1）中的符號(hào)，歸納/+1與（”+1）"（"為正整數(shù)）的大小關(guān)系;

（3）由（2）中的規(guī)律可直接得到答案；

答案詳解：解：（1）①：12=1,21=2,

.\12<21,

@V23=8,32=9,

：.23<32,

③:34=81,43=64,

.".34>43,

（4）V45=1024,54=625,

.,.45>54,

（5）V56=15625,?=7776,

.,.56>65,

(2)通過觀察可以看出；“W2時(shí)，nn+l<(n+1)”；

〃>2時(shí)，〃"+i>("+1)”；

(3)由(2)得到的結(jié)論；2016>2,

.,.20162017>20172016.

所以答案是：(1)<,<,>>>；W2,>2；>.

25.(1)用填空：35<36,53<63

(2)比較下列各組中三個(gè)數(shù)的大小并用連接：①4986,164②255,344,433.

試題分析：(1)根據(jù)底數(shù)為大于1的正數(shù)時(shí)，底數(shù)相同指數(shù)越大幕越大和指數(shù)相同時(shí)，底數(shù)越小

幕越小填空即可；

(2)①先把這3個(gè)數(shù)化為底數(shù)都為2的幕比較大?。虎诟鶕?jù)(冊)"=，"(〃?，〃是正整數(shù))

的逆運(yùn)算把三個(gè)數(shù)化為指數(shù)相同的數(shù)，再比較底數(shù)的大小即可.

答案詳解：解：(1)V3>1,

.".35<36,

所以答案是：<;

Vl<5<6,

.?.53<63,

所以答案是：<;

(2)①：41°=⑷)5=220,16占⑷)4=216,一=218,

V220>218>216,

.,.164<86<410；

②???255=⑵)I344=(34)11,433=⑷)”,

又；25=32<43=64<34=81,

.".255<433<344.

九.幕的運(yùn)算的綜合提升

,11

26.已知5"=2b=10,求一+工的值.

ab

試題分析：想辦法證明ab=a+b即可.

答案詳解：解：???5。=2，=10,

(5°)*=106,(2&)。=10。，

；.5仍=10"2仍=10°,

二5而?2很=10—10%

.?.10而=1()。+"

?*ub—~ci~^~b,

11a+b

3+1年=L

1

27.己知6*=192,32y=192,貝l|(-2017)<“口