2023年初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)考點知識點例題

二次函數(shù)

命題點年份各地命題形式考察頻次2023考察方向

二次函數(shù)的圖2023云南（T12填）填空1個近3年考察2次，重要考察對圖

象和性質(zhì)2023昭通（T9選）選擇1個象的認識與性質(zhì)的理解，估計

2023年考察時也許性較大.

2023昆明（T23解），曲靖（T24解）解答2個高頻考點：近3年考察12次，

確定二次函數(shù)昆明（T23解），曲靖（T24解），大理重要考察求二次函數(shù)的解析式，

的解析式2023（T23解），昭通（T25解），玉溪解答9個一般出目前壓軸題中，估計

（T23解），普洱（T23解）,德宏2023年考察的也許性很大.

（T23解），紅河（T23解），西雙版納

（24解）

2023云南（T23解）解答1個

KAODIANJIEDU

01，■=亨1n二工

知識清單化

考點打描

考點1二次函數(shù)的概念

一般地，形如①（a,b,c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a、b、c分別為函數(shù)體現(xiàn)式的

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

考點2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a二0）

aa>0a<0

圖象

A十工

開口方向拋物線開口向②—，并向上無限延伸拋物線開口向③—，并向下無限延伸

對稱軸

直線x=--直線x=--

2a2a

頂點坐標b4ac-b2b4ac-b2

(-f)(-，)

2a4a2a4。

最值bb

拋物線有最低點，當x二.——時，y有最小拋物線有最高點，當）＜=丁時，y有最大值，y最大

2a2a

.4ac-b2/土4ac-b2

值，y取小值二值二，

4a4〃

增減性bb

在對稱軸的左側(cè)，即當x＜時，y隨x在對稱軸的左側(cè)，即當XV-—時，v隨xa1增大而

2a2a

的增大而④____；在對稱軸的右側(cè)，即當Xb

⑥______;在對稱軸的右側(cè)，即當＞時，隨

bxyx

＞——a時，y隨xa（增大而⑤____,簡記2a

2a的增大而⑦—，簡記左增右減

左減右增

【易錯提醒】二次函數(shù)的增減性一定要分在對稱軸日勺左側(cè)或右側(cè)兩種狀況討論.

考點3二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系

字母或代數(shù)式字母的符號圖象的特性

aa>0開口向⑧|a|越大開口越⑩

—

a<0開口向⑨

bb=0對稱軸為?___軸

ab>O（b與a同號）對稱軸在y軸?___側(cè)

ab<O（b與a異號）對稱軸在y軸?__側(cè)

cc=0通過?

c>0與V軸?_半軸相交

c<0與V軸?_半軸相交

b2-4acb2-4ac=0與X軸有?____交點（頂點）

b2-4ac>0與X軸有?___不一樣交點

b2-4ac<0與X軸型____交點

特殊關(guān)系當x=l時，y=絲

當x=-1時，y=Q

若a+b+c>0,即當x=l時，y@____0

若a+b+c<0,即當x=l時，yQ____0

考點4確定二次函數(shù)的解析式

措施合用條件及求法

一般式若已知條件是圖象上的三個點或三對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為?

頂點式若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最大值（最小值），可設(shè)所求二次函數(shù)為0.

交點式若已知二次函數(shù)圖象與X軸的兩個交點的坐標為（XI,0）,（X2,0）,可設(shè)所求的二次函數(shù)為?_____.

【易錯提醒】（1）用頂點式代入頂點坐標時橫坐標輕易弄錯符號；（2）所求的二次函數(shù)解析式最終要化成一般式.

考點5二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系

二次函數(shù)與一二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與絲___軸的1交點的____坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的1根.

元二次方程

二次函數(shù)與不拋物線y=ax2+bx+c在x軸上方的部分點日勺縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2

等式+bx+cQ_0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應(yīng)日勺x時值就是不等式ax2+

bx+c?____0的解集.

考點6二次函數(shù)的應(yīng)用

運用二次函數(shù)處理實際問題的環(huán)節(jié)

（1）通過閱讀理解題意;

（2）分析題目中的變量與常量，以及它們之間的關(guān)系；

（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系或圖形的有關(guān)性質(zhì)列出函數(shù)體現(xiàn)式；

（4）根據(jù)問題的實際意義或詳細規(guī)定確定自變量的取值范圍;

（5）運用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，在自變量的取值范圍內(nèi).

方法技巧

1.二次函數(shù)y=（x-h）2+k的圖象平移時，重要看頂點坐標的變化，一般按照“橫坐標加減左右移”、“縱坐標加減

上下移”的措施進行.

2.二次函數(shù)的圖象由對稱軸分開，在對稱軸的同側(cè)具有相似的性質(zhì)，在頂點處有最大值或最小值，假如自變量的

取值中不包括頂點，那么在取最大值或最小值時，要根據(jù)其增減性而定.

3.求二次函數(shù)圖象與x軸的交點的措施是令y=0解有關(guān)x的方程；求函數(shù)圖象與v軸的交點的措施是令x=0得v

時值，最終把所得的數(shù)值寫成坐標的形式.

G￡GEJIPO

02

-各午市破問跌情景化

命題點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1（2023?昭通）已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）的I圖象如圖所示，則下列結(jié)論中對的（改1是（）

A.a>0B.3是方程ax2+bx+c=O的一種根

C.a+b+c=OD.當x<l時，y隨x的I增大而減小

措施歸納：處理此類問題應(yīng)注意觀測所給拋物線日勺特性，逐一排除不符合日勺選項.

題組訓(xùn)練

1.（2023?上海）假如將拋物線y=x2向右平移1個單位，那么所得的拋物線的體現(xiàn)式是（）

A.y=x2—1B.y=x2+1C.y=(x—I)2D,y=(x+1)2

2.（2023?巴中）對于二次函數(shù)y=2（x+l）（x-3）,下列說法對的的是（）

A.圖象的I開口向下B.當x>l時，y隨x時增大而減小

C.當x<l時，y隨x的增大而減小D.圖象時對稱軸是直線x=-1

3.（2023?云南）拋物線y=x2-2x+3時頂點坐標為___.

4.（2023?珠海）如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1,0）,（3,0）兩點，則它的對稱軸為.

y

5.（2023?濱州）已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.

（1）用配措施求其函數(shù)的頂點C的坐標，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的狀況;

（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點A,B的坐標（A在B的I左側(cè)），及4ABC的面積.

命題點2二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

例2拋物線y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，則下列說法對的的）是（）

b

A.b2-4ac<0B.abc<0C.---V；D.a-b+c<0

2a

b

措施歸納：處理此類問題應(yīng)當理解a,b,c,A=b2-4ac,a+b+c,a-b+caI符號鑒定的I措施，同步還要觀測對稱軸x=

la

題組訓(xùn)練

1.（2023?黔東南）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，下列4個結(jié)論:

①abcVO；②bVa+c；③4a+2b+c>0；(4)b2-4ac>0.

其中對的結(jié)論的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.（2023?陜西）二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）的I圖象如圖，則下列結(jié)論中對aI的）是（）

A.c>-1B.b>0C.2a+bW0D,9a+c>3b

3.（2023?巴中）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，則下列論述對時的是（）

A.abc<0B,-3a+c<0

C.b2-4ac^0D.將該函數(shù)圖象向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+c

命題點3確定二次函數(shù)的解析式

例3（2023?泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2時正方形0ABe的I頂點A,C分別在x軸、y軸時正

2

半軸上，二次函數(shù)y=-]x2+bx+c的|圖象通過B,C兩點.

（1）求該二次函數(shù)的解析式;

（2）結(jié)合函數(shù)的圖象探索：當y>0時x的取值范圍.

【思緒點撥】（1）通過正方形的邊長得出點B,C的坐標，然后裔入函數(shù)解析式列方程求解;

（2）求出函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，結(jié)合圖象求解.

【解答】

措施歸納：求二次函數(shù)的解析式，一般采用待定系數(shù)法，根據(jù)題目給出的條件選擇不一樣的函數(shù)體現(xiàn)式，這樣便

于計算.

題組訓(xùn)練

1.（2023?安徽）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（1,-1）,且通過原點（0,0）,求該函數(shù)的解析式.

2.（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的）圖象過A（2,0）,B（0,-1）和C（4,5）三點.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)二次函數(shù)的I圖象與x軸的I另一種交點為D,求點DaI坐標;

（3）在同一坐標系中畫出直線y=x+l,并寫出當x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)時值不小于二次函數(shù)時值.

ZHENGHEJIXUN

°3?整合集訓(xùn)反饋層級化

：〔苗礎(chǔ)過關(guān)

1.（2023?益陽）拋物線y=2（x-3）2+1的頂點坐標是（）

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

2.（2023?宿遷）若將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的解析式為（）

A.y=（x+2/+3B.y=（x-2）2+3C.y=（x+2）2-3D.y=（x-2）2-3

3.（2023?泰安）設(shè)A（-2,丫1）網(wǎng)1,丫2）,（：（243）是拋物線丫=-僅+1產(chǎn)+171上的三點，則y02,y3時大小關(guān)系為（）

A.yi>yz>y3B.yi>y3>yzC.y3>yz>yiD.y2>yi>y3

4.（2023?東營）若函數(shù)y=mx2+（m+2）x+Lm+1的I圖象與x軸只有一種交點，那么maI值為（）

2

A.OB.0或2C.2或-2D.0,2或-2

5.（2023?畢節(jié)）拋物線y=2x2,y=-2x2,y=^x2共有的性質(zhì)是（）

2

A.開口向下B.對稱軸是y軸C.均有最低點D.y隨xaI增大而減小

6.（2023?黃石）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）aI圖象如圖所示，則函數(shù)值y>0時，x的I取值范圍是（）

A.x<-1B.x>3C.-l<x<3D.x<-1或x>3

7.(2023?新疆)對于二次函數(shù)y=(x-1)2-卜2的圖象，下列說法對歐1的是（）

A.開口向下B.對稱軸是x=；C.頂點坐標是（1,2）D.與x軸有兩個交點

Q

8.（2023?淄博）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c日勺圖象過點B（0,-2）.它與反比例函數(shù)y二--X-的1圖象交于點A（m,

4）,則這個二次函數(shù)的解析式為（）

A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D,y=x2+x+2

L

9.（2023?廣安）己知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=l.下列結(jié)論：

①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0.

其中對時的是（）

A.①③B.只有②C.②④D.③④

10.(2023?長沙)拋物線y=3(x-2尸+5日勺頂點坐標是.

11.(2023?北京)請寫出一種開口向上，并且與y軸交于點(0,1)的拋物線的解析式.

12.已知函數(shù)y=-3(x-2產(chǎn)+4,當x=時，函數(shù)獲得最大值為.

?河南)點是二次函數(shù)2的圖象上兩點，貝！］與的大小關(guān)系為

13.(2023A(2,yi),B(3,y2)y=x-2x+lyiy2

（填或“="）.

yi<y2

14.(2023?安徽)某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，后來每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x,

則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y(元)有關(guān)x的函數(shù)關(guān)系式為.

15.(2023?溫州)如圖，拋物線y=a(x—l)2+4與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.過點C作CD〃x軸交拋物線的對

稱軸于點D,連接BD.已知點A的坐標為(-1,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)求梯形COBD的面積.

16.(2023?龍東)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸交于A(-3,0)和B(1,0)兩點，交y軸于點C,點

C,D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B,D.

（1）請直接寫出D點的坐標;

（2）求二次函數(shù)的解析式;

（3）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值不小于二次函數(shù)值日勺X的取值范圍.

：??…|能力提升

1.（2023?荊州）將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的拋物線解

析式是（）

A.y—（X—4）2—6B.y—（X—4）2—2（1丫=僅-2）2—2D.y=（x—I）2—3

2.（2023?黔東南）已知拋物線y=x2-x-l與x軸的一種交點為（m,0）,則代數(shù)式m2-m+2014時值為（）

A.2012B.2013C.2014D.2015

3.（2023?長沙）函數(shù)丫=巴與y=ax2（aW0）在同一平面直角坐標系中的I圖象也許是（）

4.（2023?泰安）已知函數(shù)y=-（x-m）（x-n）（其中m<n）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)

y二竺之的圖象也許是（）

X

V,

5.（2023?涼山）下圖形中陰影部分的面積相等的是（）

A.②③B.③④C.①②D.①④

6.（2023?棗莊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x,y的部分對應(yīng)值如下表:

X-10123

y51-1-11

則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（）

53

A.y軸B.直線x=—C.直線x=2D.直線x=—

22

7.（2023?煙臺）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（一1,0）,對稱軸為直線x=2,下列

結(jié)論：其中對時的結(jié)論有（）

①4a+b=0;

②9a+c>3b;

③8a+7b+2c>0;

④當x>—1時，y的I值隨xa（值的I增大而增大.

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2023?齊齊哈爾）如圖，已知拋物線的頂點為A（1,4），拋物線與y軸交于點B（0,3）,與x軸交于C,D兩

點.點P是x軸上的一種動點.

(1)求此拋物線的I解析式;

(2)當PA+PB時值最小時，求點P的I坐標.

9.(2023?徐州)某種商品每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.

(1)銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元?

(2)銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元?

參照答案

考點解讀

①y=ax2+bx+c②上③下④減?、菰龃螈拊龃螈邷p?、嗌息嵯垄庑?/p>

@/??原點(J5JE頌◎唯一?兩個不一樣?沒有?a+b+c

@a-b+c?>?<@y=ax2+bx+c?y=a(x-h)2+k?y=a(x-xi)(x-xz)?x

⑥橫?>?<

各個擊破

例1B

解析：根據(jù)拋物線的開口向下，可判斷a<0,故A錯誤；由拋物線與x軸的交點(-1,0)和對稱軸x=l可知拋物線

與x軸的另一種交點是(3,0),故B對時；由當x=l時，y=a+b+cW0,故C錯誤；從圖象即可看出，當x<1時，

y隨x的增大而增大，故D錯誤.故選B.

題組訓(xùn)練

l.C2.C3.(1,2)4.直線x=2

5.(l)y=x2-4x+3=x2-4x+4-l=(x-2)2-l,

...其函數(shù)的頂點C的坐標為(2,-1),

.,.當xW2時，y隨x的增大而減小；當x>2時，y隨x的增大而增大.

2

(2)令y=0,貝?。輝-4x+3=0,解得XI=1,X2=3,

AA(1,0),B(3,0),AB=|1-3|=2.

過點C作CD_Lx軸于D,貝l|Z\ABC的面積=1AB-CD=-X2X1=1.

22

例2C解析：由圖象與x軸有2個交點可判斷A錯誤；根據(jù)圖象的開口方向、對稱軸、與y軸的交點可判斷a<

b

0,-------<-1,c>0,即abc>0,故B錯誤，C對的J；由當x=-l時，y=a-b+c>0可判斷D錯誤.故答案選C.

2a

題組訓(xùn)練

l.B2.D3.B

例3(1)由題意可得：B(2,2),C(0,2),

24

將B,C坐標代入y=——x2+bx+c,得c=2,b=—,

33

24

二次函數(shù)的I解析式是y=--x2+-x+2.

33

24

⑵解一§x2+§x+2=0,得xi=3,x2=-l.

由圖象可知：y>0時x的取值范圍是；<x<3.

題組訓(xùn)練

1.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)Ji(aWO),

:函數(shù)圖象通過原點(0,0),

；.a(0-1)2-1=0,解得a=L

.?.該函數(shù)解析式為y=(x-1)2-l.

2.⑴?.?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過B(0,-1),

二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx—1.

:二次函數(shù)y=ax2+bx—laI圖象過A(2,0)和C(4兩點,

4a+2。一1=0,

解得4

16。+4b—1=5.

⑵當y=0時，—X2——X—1=0,

22

解得x=2或x=-l,

AD(-1,0).

⑶如圖，當：<x<4時，一次函數(shù)時值不小于二次函數(shù)時值.

X

整合集訓(xùn)

基礎(chǔ)過關(guān)

l.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C

10.(2,5)ll.y=x2+l12.2413.<14.y=a(l+x)2

15.⑴把A(-1,0)代