2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直課時作業(yè)37平面與平面垂直的判定新人教A版必修第二冊

PAGE1-課時作業(yè)37平面與平面垂直的判定知識點一二面角1.給出下列命題：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中真命題是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案B解析對于①，顯然混淆了平面與半平面的概念，錯誤；對于②，因為a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補，正確；對于③，因為所作射線不一定垂直于棱，所以錯誤；④正確．故選B.2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小為________．答案45°解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1－AB－C的平面角，大小為45°.知識點二平面與平面垂直的判定3．如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，則圖中互相垂直的平面共有()A．2對B．3對C．4對D．5對答案B解析如圖所示．因為PA⊥平面ACB，PA?平面PAC，PA?平面PAB，所以平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB.因為PA⊥平面ACB，CB?平面ACB，所以PA⊥CB.又AC⊥CB，且PA∩AC＝A，所以CB⊥平面PAC.又CB?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.共有：平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB，平面PAC⊥平面PCB.故選B.4．設(shè)有直線m，n和平面α，β，則下列結(jié)論中正確的是()①若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥β；③若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.A．①③B．②④C．①④D．②③答案B解析①錯誤，當(dāng)兩平面不垂直時，也能在兩個平面內(nèi)找到互相垂直的直線；③錯誤，當(dāng)兩平面不垂直時，在一個平面內(nèi)可以找到無數(shù)條直線與兩平面的交線垂直.知識點三平面與平面垂直的證明5．如圖所示，已知PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，點C是圓O上任意一點，過A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F.求證：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.證明(1)因為AB是圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因為PA⊥圓O所在的平面，即PA⊥平面ABC，而BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC，所以BC⊥AE.又AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因為AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF，所以PB⊥EF.6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：平面EFG⊥平面EMN.證明∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分別為PD，PC的中點，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN?平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.一、選擇題1．若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角的平面角()A．相等 B．互補C．相等或互補 D．關(guān)系無法確定答案D解析如圖所示，設(shè)平面ABCN⊥平面BCPQ，平面EFDG⊥平面ABCN，GD⊥平面BCPQ，當(dāng)平面HDGM繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDGM始終與平面BCPQ垂直，因為二面角H－DG－F的大小不確定，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定．2．如圖，設(shè)P是正方形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B．它們兩兩垂直C．平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，AD⊥PA.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.∵AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A.3．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC答案C解析如圖，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正確．∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正確．4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥CD，構(gòu)成幾何體A－BCD，則在幾何體A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析∵CD⊥平面ABD，從而CD⊥AB，又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在二面角α－l－β的一個面α內(nèi)有一條直線AB，若AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，則此二面角的大小是()A．30°B．30°或45°C．45°D．45°或135°答案D解析如圖所示，設(shè)AB與l交于一點C，在AB上任取一點M，過M作MN⊥β于N，過M作ME⊥l于E，連接NE，則NE⊥l.∠NEM為二面角α－l－β的平面角或它的補角，連接NC.∵∠BCE＝45°，∠BCN＝30°.設(shè)ME＝x，則MC＝eq\r(2)x，MN＝eq\f(\r(2),2)x.在Rt△MNE中，sin∠NEM＝eq\f(NM,ME)＝eq\f(\f(\r(2),2)x,x)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠NEM等于45°或135°，故選D.二、填空題6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于點B，BC⊥平面α于點C.若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為________．答案60°或120°解析如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC.設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角α－l－β的平面角的大小為60°或120°.7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下面三個結(jié)論：①點H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AC1與直線B1C所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號是________．答案①②③解析①正確，連接A1H，BH，DH.因為AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD，所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H，所以HB＝HD＝HA1.又△A1BD是等邊三角形，所以點H是△A1BD的中心．②正確，因為A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB，所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD，所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以B1C∥A1D.又A1D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.同理可證B1D1∥平面A1BD.又B1C∩B1D1＝B1，所以平面CB1D1∥平面A1BD.又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.③正確，連接BC1，AC1，AD1，因為四邊形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1.因為AB⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，所以B1C⊥AB.又BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又AC1?平面ABC1D1，所以AC1⊥B1C，所以直線AC1與直線B1C所成的角是90°.8．如圖，P是二面角α－AB－β的棱AB上一點，分別在α，β上引射線PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β的大小是________．答案90°解析在α內(nèi)過點M作MO⊥AB于點O，連接NO，設(shè)PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON為二面角α－AB－β的平面角．連接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝eq\f(\r(2),2)a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.三、解答題9．如圖所示，在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.(1)求證：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝2BD，求二面角A－DC－B的正弦值．解(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.∴CD⊥平面ABD.又CD?平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD.(2)由(1)知∠ADB為二面角A－DC－B的平面角．在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(5)BD，∴sin∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2\r(5),5).即二面角A－DC－B的正弦值為eq\f(2\r(5),5).10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.(1)若AB＝AD，直線PB與CD所成的角為45°，求二面角P－CD－B的大??；(2)若E為線段PC上一點，試確定點E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并說明理由．解(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．又直線PB與CD所成的角為45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.∴在Rt△PA