2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用 專項(xiàng)訓(xùn)練

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用能用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決問(wèn)題

二、核心綱要

1.旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

②對(duì)應(yīng)邊所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角.

2.常見的幾種基本旋轉(zhuǎn)圖形

Z5+ZD=|80°.^\EF=BE+Di

3.常見的添加輔助線的方法

旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件相對(duì)集中，以便

于條件的綜合與推演.常用的方法有：

(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋轉(zhuǎn)60?；?0。.

(2)圖形中有線段的中點(diǎn)，通常旋轉(zhuǎn)180°.

(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)且相等的線段，通常旋轉(zhuǎn)夾角的度數(shù).

⑷共端點(diǎn)或共線的三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形，通?？紤]旋轉(zhuǎn).

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)性質(zhì)、常用基本圖形、常用的輔助線.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將OA繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到OA，,則點(diǎn)A，的坐標(biāo)是().

A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)

2.如圖2321所示，等腰直角三角形ABC中,NB=90o,AB=a,O為AC中點(diǎn).EO_LOF則BE+BF=_,四邊形BEOF的面

積為一.

3.(1)如圖23-2-2所示，在四邊形ABCD中,/BAD=/BCD=9(T,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長(zhǎng)是

____cm.

⑵如圖23-2-3所示，在四邊形ABCDZADC=ZABC=90°,AD=CD,DP±AB于點(diǎn)P,若四邊形ABCD的面積是4

9,貝UDP的長(zhǎng)為—.

圖23-2-1圖23-2-2圖23-2-3

4.⑴如圖2324(a)所示,△ABC和4CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點(diǎn)共線，連接AD、BE相交于點(diǎn)P,求證:BE

=AD.

(2)如圖2324(b)所示，在△BCD中,.ABC。＜120。,分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、

等邊三角形CDE和等邊三角形BDF,連接AD、BE和CF交于點(diǎn)P,下列結(jié)論中正確的是_____(只填序

號(hào)即可).

①AD=BE=CF②/BEC=/ADC?ZDPE=ZEPC=ZCPA=60°

⑶如圖2324(b)所示，在⑵的條件下,求證:PB+PC+PD=BE.

圖23-2-4

5.閱讀下列材料：

問(wèn)題:如圖2325(a)所示,已知點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/APB=15O。,試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)

系.

明明同學(xué)的想法是：?jiǎn)栴}中的線段比較分散，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中在一起，從而解決問(wèn)題.于是

他將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到了△CBP,然后連接PP'.

請(qǐng)你參考明明同學(xué)的思路，解決下列問(wèn)題：

(1)圖23-2-5(b)中的PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系為.

⑵如圖23-2-5(c)所示，點(diǎn)P在等邊△ABC的外部(在直線AB左側(cè))，滿足NAPB=30。。)中的結(jié)論仍成立嗎？說(shuō)明你

的理由.

(3)如圖2325(d)所示，點(diǎn)P在等邊△ABC的外部(在直線BC下方)，滿足/BPC=120。,請(qǐng)?zhí)骄烤€段PA、PB、PC之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(4)如圖23-2-5(e)所示，點(diǎn)P在等邊△ABC的外部(在直線BC下方)，滿足NBPC￥120。,?)中的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)直接

寫出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

圖23-2-5

能力提升

6.如圖23-2-6所示,0是正△ABC內(nèi)一點(diǎn),OA=3,OB=4,OC=5,將線段B0以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段

BO,下列結(jié)論:①△BCTA可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到;②點(diǎn)O與。'的距離為4；circle3^A0B=150

°；circZe4S=6+3曲;circleSSMa+SM0B=6+乎其中正確的結(jié)論是().

四也形AURO4

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

7.在等邊4ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，則以AP、BP、CP為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為。，則().

A.0>90°B.0<12O°C.0=12O°D.0=135°

8.如圖23-2-7所示，等腰直角三角形ABC中,NB=9(T,AB=a,0為AC中點(diǎn),/￡(^=45。貝必BEF的周長(zhǎng)為.

9.如圖23-2-8所示，在△ABC中,NBAC=9(T,AB=AC=22點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn),BD=1,將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)45。得到射線AE,交直線BC于點(diǎn)E,則DE=.

圖23-2-6圖23-2-7圖23-2-8

10.如圖2329所示,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng),AE平分/BAF交BC邊于點(diǎn)E.

⑴求證:AF=DF+BE.

⑵設(shè)DF=x(0WxWl)CADF與公ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.⑴如圖23210(a)所示，點(diǎn)P為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=4,PB=3,PC=5廁/APB=-

⑵如圖23210(b)所示，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=?PB=電,PC=1,,求NBPC的度數(shù)和正方

形的邊長(zhǎng).

(3)如圖23210(c)所示，點(diǎn)P為正六邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=g,P8=2,PC=1,,請(qǐng)直接寫出ZBPC的

度數(shù)及正六邊形的邊長(zhǎng).

圖23-2-10

12.已知:AD=2,BD=4,以AB為一邊作等邊三角形ABC,使C、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

⑴如圖23-2-11所示當(dāng)NADB=60。時(shí)，求AB及CD的長(zhǎng).

(2)當(dāng)/ADB變化,且其他條件不變時(shí),求CD的最大值及相應(yīng)NADB的大小.

13.在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),AE=AB,過(guò)點(diǎn)E作直線EF在EF上取一點(diǎn)G,使得/EGB=/EAB,連

接AG.

⑴如圖23212(a)所示當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若/EAB=60。.求證:EG=AG+BG.

⑵如圖23212(b)所示，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，目NEAB=90。,請(qǐng)你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

⑶當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若NEAB=120。,請(qǐng)你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系.

(a)(b)

圖23-2-12

14.在口ABCD中./BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.

(1)在圖23-2-13(a)中，證明:CE=CF.

⑵若/ABC=9(F,G是EF的中點(diǎn)(如圖23213(b)所示)，直接寫出/BDG的度數(shù).

(3)若/ABC=120。,FG〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖23213(c)所示)，求/BDG的度數(shù).

圖23-2-13

15.如圖23214(a)所示在正方形ABCD中點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若/MBN=45。,易證:MN=AM+CN.

⑴如圖23214(b)所示,在梯形ABCD中,BC〃AD,AB=BC=CD,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若乙MBN=34ABC

，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明.

(2)如圖23214(c)所示，在四邊形ABCD中,AB=BC,NABC+/ADC=180。,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上,

若=試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出猜想，不需證明.

(b)(c)

圖23-2-14

16.若點(diǎn)P為4ABC所在平面上一點(diǎn)，且乙4PB=乙BPC=^CPA=120。,則點(diǎn)P叫做△ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).如圖23215所示，在銳角小ABC的外側(cè)作等邊△ACB\連接BB：求證:BB'過(guò)公

ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且.BB'=PA+PB+PC.

C

圖23-2-15

17.閱讀下面材料：

小雨遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖23216(a)所示,直線與12之間的距離是1,12與13之間的距離是2,

試畫出一個(gè)等腰直角三角形ABC,使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線小G伍上，并求出所畫等腰直角三角形ABC的面

積.

小雨是這樣思考的：要想解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋

轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.具體作法如圖23-2-16(b)所示：在直線11任取一點(diǎn)A，作ADL12于點(diǎn)D,作

“AH=90。,,在AH上截取.AE=4D,過(guò)點(diǎn)E作EB1AE交13于點(diǎn)B,連接AB,作4BAC=90。,交直線12于點(diǎn)

C,連接BC,即可得到等腰直角三角形ABC.

請(qǐng)你回答：圖23216(b)中等腰直角三角形ABC的面積等于.

參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問(wèn)題：

如圖23216(c)所示直線h與12之間的距離是2,12與b之間的距離是1,試畫出一個(gè)等邊三角形A

BC,使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線L上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC的面積(保留畫圖痕跡).

/2

(a)b

(c)

圖23-2-16

18.請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題如圖23217(a)所示在菱形ABCD和菱形BEFG中點(diǎn)A,B,E在同一：

直線上,P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG,PC.若4ABC=乙BEF=60。,，探究PG\

與PC的位置關(guān)系及案的值.\

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使"B

\a/

問(wèn)題得到解決.nC

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：/\

⑴寫出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系及案的值.\

⑵將圖23217(a)中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對(duì)角\

線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條)代

件不變(如圖23-2-17(b)所示).你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(b)

出你的猜想并加以證明.

圖23-2-17

19如圖23218所示,P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BP,已知./K

AP'B=135°,P'A:P'C=1:3,則P'A:PB=().

71.1:V2B.l:2C./3:2D.l:/3------1

20.在△ABC中,AB=AC,NBAC=a(0o<a<60。),將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6犬得到線段BD.；

⑴如圖23219(a)所示，直接寫出/ABD的大小(用含a的式子表示).A/V\

⑵如圖23219(b)所示,/BCE=15(T,NABE=60。,判斷△ABE的形狀并'/。\

以證明.y\

⑶在⑵的條件下，連接DE若NDEC=45。,求ot的值.BCB~C

圖23-2-19

巔峰突破

21.已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為近+逐,求此正方形的邊長(zhǎng).

基礎(chǔ)演練

1.A2.a14a

3.(1)473(2)

4.⑴證明：：AABC和4CDE都是等邊三角形.

BC=AC,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°

ZBCE=ZACD.

ABCE^AACD(SAS).，BE=AD.

(2)①②③

⑶如下圖所示.在PE上截取PM=PC,連接CM,由⑴可知,△BCE也△ACD,；.Z1=Z2設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G,,在

ACGE^CJAPGD中

VZ1=Z2,ZCGE=ZPGD,

/DPG=/ECG=60°同理NCPE=60°.

.??△CPM是等邊三角形.

CP=CM,ZPMC=60°..\ZCPD=ZCME=120°.

VZ1=Z2,.\ACPD^ACME.

PD=ME.BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.即PB+PC+PD=BE.

5.(1)PC2=PA2+PB2.

(2)仍成立，即PC2=PA2+PB2,

方法一：如圖(a)所示，作乙PAP'=60。,且P'A=P4連接PP、PC,易證4APP為等邊三角形，且AACP1^A

ABP,又：，NAPB=30°,???乙PP'C=60°+30°=90°

APC2=PP'2+P'C2.即PC2=PA2+PB2.

方法二:如圖(b)所示，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至小CBP：得等邊△BPP和RtAP'PC.

方法三:如圖(c)所示，將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至小ACP得等邊△CPP和RtAP'PA.

⑶如圖(d)所示，延長(zhǎng)PC至P.使CP'=BP,連接AP,易證△ABP^AACP',HAAPP為等邊三角形.于是PC+C

P'=4P.即PA=PB+PC.

(4)不成立，結(jié)論是:PA<PB+PC.

(C)(d)

能力提升

513

6.A7.C8.a9-—

333

10.(1)延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G,使得BG=DF,連接AG.

ABCD是正方形,AD=AB.

ZADF=ZABG=90°,DF=BG.

/.RtAADF^RtAABG.

AF=AG,ZDAF=ZBAG.

又：AE是/BAF的平分線ZEAF=ZBAE,

ZDAF+ZEAF=ZBAG+ZBAE.

即/EAD=/GAE.

VAD/7BC,.*.ZGEA=ZEAD,/.ZGEA=ZGAE,

；.AG=GE.即AG=BG+BE.

AF=BG+BE.AF=DF+BE.

(2)S=SADF+SABE=^DF-AD+lBE-AB

■：AD=AB=1,S=久。尸+BE).

由⑴知,AF=DF+BE,所以S=|XF.

在RtAADF中,AD=l,DF=x,；.AF=/x2+l,???S=1Vx2+1.

由上式可知，當(dāng)x2達(dá)到最大值時(shí)，S最大而0SXW1,所以，當(dāng)x=l時(shí)，S最大值為科值不I=當(dāng)

11.(1)150°;~

(2)如下圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BP1±BP且.BP，=BP連接AP、PP,易證△PP'B為等腰直角三角形，目△PCB0P'AB

PP'=42BP=2,AP'=PC=1,

在4APP，中”.l2+22=(Vs)P'A2+P'P2=PA2^AP'P=90°,

又丫ZPP'B=45°,.\ZAP'B=ZBPC=135°.

過(guò)點(diǎn)B作BELAP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易證△P'EB是等腰直角三角形.

P'B=PB=VX

...P'E=BE=^P'B=1.

在RtAABE中，

AB2=AE2+BE2,AE=AP'+P'E=1+1=2.

AB=yjAE2+BE2=V22+l2=V5.

AD

BC

(3)NBPC=120。.邊長(zhǎng)為/7.

12.⑴如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AG±BC于點(diǎn)G.

ZADB=60°,AD=2,

???DG=1,AG邛,??.GB=3,??.AB=2/3.

AZABG=30°.

???AABC是等邊三角形,JZDBC=90°,BC=V3

由勾股定理得：CD=y/DB2+BC2=J42+(2V3)2=2/7.

DGB

⑵如下圖所示作NEAD=60。,且使AE=AD,連接ED、EB.

.?.△AED是等邊三角形，

AABC是等邊三角形,，AB=AC,/BAC=60。.

ZEAD+ZDAB=ZBAC+ZDAB,gpZEAB=ZDAC,.*.AEAB^ADAC..,.EB=DC.

當(dāng)點(diǎn)E、D、B在同一直線上時(shí)，EB最大，

；.EB=2+4=6,

???CD的最大值為6,此時(shí)/ADB=120。.

13.⑴如下左圖所示作/GAH=/EAB交GE于點(diǎn)H.

ZGAB=ZHAE.

ZEAB=ZEGB,ZAPE=ZBPG,

/.ZABG=ZAEH.

又AB=AE,.\△ABG絲AAEH.

BG=EH,AG=AH.

ZGAH=ZEAB=60°,Z.AAGH是等邊三角形.

AG=HG.EG=AG+BG.

(2)EG=立AG-BG.

如下右圖所示，作NGAH=/EAB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

ZGAB=ZHAE.

*.?/EGB=/EAB=90。，

ZABG+ZAEG=ZAEG+ZAEH=180°.

ZABG=ZAEH.

又AB=AE,.\△ABG絲AAEH.

/.BG=EH,AG=AH.

,/ZGAH=ZEAB=90°,

AAAGH是等腰直角三角形.

五AG=HG.：.EG=V2AG-BG.

(3)EG=V3XG+BG.

14.(1)：AF平分/BAD,；.ZBAF=ZDAF.

四邊形ABCD是平彳亍四邊形,；.AD//BC,AB//CD.

ZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF.ZCEF=ZF.

/.CE=CF.

(2)ZBDC=45°.

(3)分別連接GB、GE、GC(如下圖所示).

*.?AB〃DC,/ABC=120。,，ZECF=ZABC=120°.

：FG〃CE且FG=CE,

四邊形CEGF是平行四邊形.

由(1)得CE=CF.,.口CEGF是菱形.

???EG=EC/GCF=AGCE=jzECF=60°,

AECG是等邊三角形.，EG=CG.①NGEC=NEGC=60。.；.ZGEC=ZGCF.

/.ZBEG=ZDCG.②

由AD〃BC及AF平分NBAD可得/BAE=/AEB.

，AB=BE.

在口ABCD中,AB=DC".BE=DC.③

由①②③得△BEG^ADCG.BG=DG,Z1=Z2.

ZBGD=Z1+Z3=Z2+Z3=ZEGC=6O°.

.NBDG=180~BGD=60

2

15.(1)MN=AM+CN.

理由如下：

如下左圖所示，：BC//AD,AB=BC=CD,

/.梯形ABCD是等腰梯形，

/A+/BCD=180。,作/CBM，=NABM,且BM'=BM,連接CM',

AB=BC,.\△ABM^ACBM,.

.*.AM=CM',ZA=ZBCM'.

.-./.BCM'+乙BCD=180。....點(diǎn)M;C、D三點(diǎn)共線.

???Z.MBN=-^ABC,

2

/.ZM'BN=ZM'BC+ZCBN=ZABM+ZCBN=^ABC-乙MBN=-/.ABC,：.乙MBN=4M'BN.

2

BN=BN,△BMN之△BM'N.MN=M'N.

又M'N=CM'+CN=AM+CN,MN=AM+CN.

(2)MN=CN-AM.

理由如下:如下右圖所示，作NCBM，=NABM交CN于點(diǎn)M；

VZABC+ZADC=180°,

???Z.BAD+ZC=360°-180°=180。，

又「ZBAD+ZBAM=180°,ANONBAM,

AB=BC,JAABM^ACBM；

i

???乙MBN=-^LABC,

2

：.ZM'BN=ZABC-(ZABN+ZCBM')=ZABC-(ZABN+ZABM)=ZABC-ZMBN|2zABC

.\ZMBN=ZM'BN,

,?BN=BN,；.AMBN^AM'BN..*.MN=M'N,

M'N=CN-CM'=CN-AM,AMN=CN-AM.

16.設(shè)點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)即/APB=NBPC=/CPA=120。.

如下圖所示，把△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°gljABCE,連接PE,則小EPC為正三角形.

"?ZB'EC=ZAPC=120°,ZPEC=60°,

AB'EC+乙PEC=180°.

即P、E、B，三點(diǎn)在同一條直線上

/BPC=120°,NCPE=60°,；.ZBPC+ZCPE=180°.

即B、P、E三點(diǎn)在同一直線上

，B、P、E、B，四點(diǎn)在同一直線上，即BB，過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P.又PE=PC,B，E=PA,

BB'=EB'+PB+PEPA+