中考數(shù)學(xué)綜合題復(fù)習(xí)講義

綜合題

綜合題一直是中考復(fù)習(xí)最后階段的重點(diǎn)和難點(diǎn)綜合題所考查的內(nèi)容涉及初中代數(shù)或幾

何中若干不同的知識(shí)點(diǎn)，這就需要我們既要扎實(shí)地掌握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，又具備靈活綜合運(yùn)

用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.在近年的中考命題中，綜合題的難度有所下降，形式與內(nèi)容也

有一定程度的創(chuàng)新.

(I)方程型綜合國(guó)

【簡(jiǎn)要分析】

方程是貫穿初中代數(shù)的一條知識(shí)主線.方程型綜合題也是中考命題的熱點(diǎn)，中考中的方

程型綜合題主要有兩類(lèi)題：一類(lèi)是與地、一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,

另一類(lèi)是與幾何相結(jié)合的問(wèn)題.

M考題例折】

例1:已知關(guān)X的一元二次方程X2+3X-機(jī)=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求機(jī)的取值范圍

(2)若兩實(shí)數(shù)根分別為x和X，且X+X%2+%2=11求機(jī)的值.

12112

例2:已知關(guān)于X的方程5+2)m—2ax+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根尤和x，并且拋物

12

線y=X2-(20+1H+24-5與》軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2,0)的兩旁.

(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

當(dāng)lx1+lxI=2五時(shí)，求a的值.

12

說(shuō)明運(yùn)用一元二次方程根的差別式時(shí)，要注意二次項(xiàng)系C

數(shù)不為零，運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意根存、‘‘一''、

在的前提，即要保證A>0.AZ1L——.——JB

例3：如圖2-4-18,ZB=900,O是AB上的一點(diǎn)，以

S2-4-18

0為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,與AC切于點(diǎn)D.若AD=20,且AB的長(zhǎng)是

關(guān)于x的方程—8x+左=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求。。的半徑.(2)求CD的長(zhǎng).

【提高訓(xùn)練1】

1?已知關(guān)于X的方程12-(左+l)x+|公+1=0的兩根是一矩形兩鄰邊的長(zhǎng).(1)左取何

值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為盧時(shí)，求左的值.

2.已知關(guān)于x的方程x2-2(m+l)x+加2-2機(jī)-3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根中有一個(gè)根

為0,是否存在實(shí)數(shù)化,使關(guān)于*的方程X2-(k-m)x-k-m2+5加-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

X1、x2之差的絕對(duì)值為1?若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.已知方程組產(chǎn)=2x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.(1)求k有取值范圍.(2)若方程組的兩

[y=kx-^-1

個(gè)實(shí)數(shù)解為x=\和x=x2是否存在實(shí)數(shù)k，使x+xx+X=1?若存

1122

〔y=乂b=y2

在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖2-4-19,以&ABC的直角邊AB為直徑的半圓。與

斜邊AC交于點(diǎn)D,E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE.(1)DE與半圓0相

切嗎？若不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若AD、AB的長(zhǎng)是方程

x2-10x+24=0的個(gè)根,求直角邊BC的長(zhǎng).

【提高訓(xùn)練1答案】1.(1)左、(2)k=22.存在，上=-2或43.(1)左＜；

(2)滿(mǎn)足條件的k存在，%=-34.(1)相切，證明略(2)3喬

(n)函數(shù)型綜合題

【簡(jiǎn)要分析】

中考中的函數(shù)綜合題聊了靈活考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)外還特別注重考查分析轉(zhuǎn)化能力、

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能力以及探究能力.此類(lèi)綜合題，不僅綜合了《函數(shù)及其圖象》一章的

基本知識(shí)，還涉及方程(組)不等式(組)及幾何的許多知識(shí)點(diǎn)，是中考命題的熱點(diǎn).善

于根據(jù)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，將函數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(或不等式)問(wèn)題，往往是解題

的關(guān)鍵.

【例考題例析】

例1：如圖2-4-20,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B、D.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo).(2)

求一次函數(shù)的解析式.(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于

圖2-4-20

二次函數(shù)的值的x的取值范圍.

說(shuō)明：本例是一道純函數(shù)知識(shí)的綜合題，主要考查了二次

函的對(duì)稱(chēng)性、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的求法以及

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用等.

例2如圖2-4-21，二次函數(shù)＞=ax1+bx+c(a*0)的圖象

與X軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C(0,

5XD(l,8)在拋物線上，M為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)求AMCB的面積.

說(shuō)明：以面積為紐帶，以函數(shù)圖象為背景，結(jié)合常見(jiàn)的平面幾何圖形而產(chǎn)生的函數(shù)圖象

與圖形面積相結(jié)合型綜合題是中考命題的熱點(diǎn)解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把相關(guān)線段的長(zhǎng)與恰

當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，必要時(shí)要會(huì)靈活將待求圖形的面積進(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化為特殊幾何圖形

的面積求解.

例3:已知拋物線丁=一%2+(~—4)x+2<+4與X軸交于A(x,O)、B(x,0),與y軸交于

12

點(diǎn)C，且X、X滿(mǎn)足條件x<x,x+2x=0

(1)求拋物線的角析式；

(2)能否找到直線y=kx+b與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，使V軸恰好平分ACPQ的面積？

求出院方所滿(mǎn)足的條件.

說(shuō)明本題是一道方程與函數(shù)、幾何相結(jié)合的綜合題，這類(lèi)題主要是以函數(shù)為主線.解

題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息與方程的代信息相互轉(zhuǎn)化.例如：二次函數(shù)與

軸有交點(diǎn).可轉(zhuǎn)化為一元二次旗號(hào)有實(shí)數(shù)根，并且其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的

解.點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)就滿(mǎn)足該函數(shù)解析式等.

例4已知：如圖2-4-23，拋物線y=的+bx+c經(jīng)過(guò)原

|y

點(diǎn)(0,0)和A(-1,5).pX[

(1)求拋物線的解析式.

(2)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.以O(shè)C為直

徑作。M,如果過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作。M的切線PD,切點(diǎn)向2-4-21

為D,且與y軸的正半軸交于點(diǎn)為E,連結(jié)MD.已知點(diǎn)E

的坐標(biāo)為(0,機(jī))，求四邊形EOMD的面積.(用含機(jī)的代數(shù)式表示)

(3)延長(zhǎng)DM交。M于點(diǎn)N,連結(jié)ON、0D,當(dāng)點(diǎn)P在(2)的條件下運(yùn)動(dòng)到什么

位置時(shí)，能使得s=s?請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

四邊形

【提高訓(xùn)練2】

1.已知拋物線的解析式為y^x2-(2m-l)x+m-m,(1)求證：此拋物線與x軸必有兩

個(gè)不同的交點(diǎn).(2)若此拋物線與直線y=x-3〃z+4的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求加的值.

12

2.如圖2-4-24,已知反比例函數(shù)y=—的圖象與一次函數(shù)y=kx+4的圖象相交于P、Q

XJ

兩點(diǎn)，并且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6.(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.(2)求WOQ的面積.

3.在以。這原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y^ax2+bx+c(a/0)與y軸交于點(diǎn)C(0,

3).與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè))，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是％=2,且

3

^oc=-.(1)求此拋物線的解析式.(2)設(shè)拋物線的頂

點(diǎn)為D,求四邊形ADBC的面積.

4.OABC是一張平放在直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，0為原

點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在V軸上，OA=10,OC=6.(1)

如圖2-4-25,在AB上取一點(diǎn)M，使得KBM沿CM翻折

后，點(diǎn)B落在x軸上，記作B，點(diǎn)，求所B'點(diǎn)的坐標(biāo).(2)

求折痕CM所在直線的解析式.(3)作BGIIAB交CM于點(diǎn)G,若拋物線y=LX2+m

過(guò)點(diǎn)G,求拋物線的解析式，交判斷以原點(diǎn)O為圓心，OG為半徑的圓與拋物線除交點(diǎn)G

外，是否還有交點(diǎn)？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出交點(diǎn)的坐標(biāo).

5如圖2-4-26在RfABC中/ACB=900乃。＞AC,

以斜邊AB所在直線為x軸，以斜邊AB上的高所在

的直線為V軸，建立直角坐標(biāo)系，若

OA2+OB2=17,且線段OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的

—元二次方程x2-mx+2(加-3)=0的兩根.(1)求

點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)以斜邊AB為直徑作圓與V軸交于

另一點(diǎn)E,求過(guò)A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式，并畫(huà)出此拋物線的草圖.(3)在拋物

線的解析式上是否存在點(diǎn)P，使AABP和AABC全等？若相聚在，求出符合條件的P點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【提高訓(xùn)練2答案】

1-(1)A=[一(2加—1)]2—4(加2—〃2)=1〉0,二拋物線與X軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(2)

機(jī)=-1+石或機(jī)=-1一62(1)y=x+4(2)S=163(1)y=%2—4x+3(2)

1172

S=4.4,(l)B'(8,0);(2)y=-x+6(3)拋物線方程為y=一.除

四邊形AQ5C363

了交點(diǎn)G外，另有交點(diǎn)為點(diǎn)G關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),其坐標(biāo)為(-8,W).

13

5.(l)C(O,2).(2)y=-x2-_%-2.(3)存在，其坐標(biāo)為(0,-2)和(3,-2).

(m)幾何型綜合題

【簡(jiǎn)要分析】

幾何型綜合題包括幾何論證型綜合題和幾何計(jì)算型綜合題兩大類(lèi)，一般以相似為中心,

以圓為重點(diǎn)，還常與代數(shù)綜合.它以知識(shí)上的綜合性與中考中的重要性而引人注目.

值得一提的是，在近兩年各地的中考試題，幾何綜合題的難度普遍下降，出現(xiàn)了一大批

探索性試題，根據(jù)新課標(biāo)的要求，減少幾何中推理論證的難度，加強(qiáng)探索性訓(xùn)練將成為幾

何型綜合題命題的新趨勢(shì).

3考題例析】「

例1：如圖2-4-27,四邊形ABCD是正方形，4ECF是等腰直F1

角三角形，其中CE=CF,G是CD與EF的交點(diǎn).

C

圖2-4-27

(1)求證：ABCF當(dāng)DCE.

(2)若BC=5,CF=3,zBFC=900，求DG:GC的值.

例2:已知如圖2-4-28,BE是。。的走私過(guò)圓上一點(diǎn)作

OO的切線交EB的延長(zhǎng)線于P.過(guò)E點(diǎn)作EDIIAP交。。于

D,連結(jié)DB并延長(zhǎng)交PA于C,連結(jié)AB、AD.

圖2-4-28

(1)求證：AB2=PB更D.

(2)若PA=10,PB=5,求AB和CD的長(zhǎng).

例2：如圖2-4-29,。。和。。相交于A、B兩點(diǎn)，圓心。

121

在。。上，連心線。。與。。交于點(diǎn)C、D,與。。交于點(diǎn)E,

21212

與AB交于點(diǎn)H,連結(jié)AE.圖2-4-28

(1)求證：AE為。Q的切線.

3

(2)若。。的半徑匚1,。。的半徑R=k，求公共弦AB的長(zhǎng).

122

(3)取HB的中點(diǎn)F,連結(jié)。F,并延長(zhǎng)與。。相交于點(diǎn)G,連結(jié)EG,求EG的長(zhǎng)

12

例4如圖2-4-30,A為。。的弦EF上的一點(diǎn)，OB是和這條弦垂直的半徑，垂足

為H,BA的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.

(1)求證:DA=DC

(2)當(dāng)DF:EF=1:8且DF=/時(shí)，求4c的值.

(3)將圖2-4-30中的EF所在的直線往上平移到。。

外,如圖2-4-31，使EF與OB的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C

作。。的切線交EF于點(diǎn)D.試猜想DA=DC是否仍然成立，并

證明你的結(jié)論.

圖2-4-30

【提高訓(xùn)練3】

1.如圖2-4-32,已知在SBC中，AB=AC,D、E分別是AB

和BC上的點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.若

DE=EF,求證：BD=CF.2.點(diǎn)。是SBC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

連結(jié)OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G圖2-4-33

依次連結(jié)，如果DEFG能構(gòu)成四邊形.（1）如圖2-4-33,當(dāng)。點(diǎn)在^ABC內(nèi)時(shí)，求證四邊

形DEFG是平行四邊形.（2）當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到AABC外時(shí),（1）中的結(jié)論是否成立？畫(huà)出圖

形，并說(shuō)明理由.（3）若四邊形DEFG為矩形，。點(diǎn)所在位置應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試說(shuō)明理

由.

A__p

3.如圖2-4-35,等腰梯形ABCD中，ADIIBC,NDBC=45O.翻折千/\

梯形ABCD,使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D,折痕分別交邊AB、BC于點(diǎn)F、E.若BE°

圖2-4-34

AD=2,BC=8，求：（1）BE的長(zhǎng).（2）zCDE的正切值.

4.如圖2-4-35,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，已知直徑AD=2,z

ABC=12Oo,zACB=45o，連結(jié)OB交AC于點(diǎn)E（1）求AC的長(zhǎng)（2）

求CE:AE的值.（3）在CB的延長(zhǎng)上取一點(diǎn)P,使PB=2BC,試判P

圖2-4-35

斷直線PA和。。的位置關(guān)系，并加以證明你的結(jié)論.

5.如圖2-4-36，已知AB是。。的直徑，BC、CD分別是。0

的切線，切點(diǎn)分別為B、D,E是BA和CD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).（1）

猜想AD與0C的位置關(guān)系，并另以證明.（2）設(shè)AOg9c的值為

S,OO的半徑為r，試探究S與r的關(guān)系.（3）當(dāng)r=2,%ZE=-

3

時(shí)，求AD和0C的長(zhǎng).

【提高訓(xùn)練3答案】

1.過(guò)D作DGIIAC交BC于G,證明^DGE當(dāng)FCE2.(1)證明DGIIEF即可(2)結(jié)

論仍然成立，證明略(3)0點(diǎn)應(yīng)在過(guò)A點(diǎn)且垂直于BC的直線上(A點(diǎn)除外)，說(shuō)理

3.(1)BE=5(2)tanZCZ)E=14.(1)AC=x/3(2)CE:AE=-(3

'''CE-.AE=-,PB=2BC,/.CE:AE=CB:PB./.BEllAP..-.A0±AP.「.PA為。0的切線

2

5.(1)ADllOC,證明略(2)連結(jié)BD,在3BD和-OCB中,/AB是直徑,..zADB=

zOBC=900.又：NOCB=zBAD,Rt△ABD-Rt△OCB.

—=—.S=AD^JC=ABg)B=2r&=2r2,：.S=2r2(3)AD=4",QC=2出

OBOC3

(W)動(dòng)態(tài)幾何綜合題

【簡(jiǎn)要分析】

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念.加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)思想方法的

考查是近年中考試題的一個(gè)顯著特點(diǎn).大量涌現(xiàn)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，即建立幾何中元素的函數(shù)

關(guān)系式問(wèn)題是這一特點(diǎn)的體現(xiàn).這類(lèi)題目的三亂扣帽子解法是抓住變化中的"不變".以"不

變"應(yīng)"萬(wàn)變”.同時(shí)，要善于利用相似三角形的性質(zhì)定理、勾股定理、圓幕定理、面積關(guān)

系，借助議程為個(gè)橋梁，從而得到函數(shù)關(guān)系式，問(wèn)題且有一定的實(shí)際意義，因此，對(duì)函數(shù)解

析式中自變量的取值范圍必須認(rèn)真考慮，一般需要有約束條件.

【典型考題例析】

例1:如圖2-4-37,在直角坐標(biāo)系中,0是原點(diǎn),A、B、(：三|y

C

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(18,0),B(18,6),C(8,6),四邊形//---------BD

OABC是梯形.點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其-----卜二

圖2-4-37

中點(diǎn)P沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿0C、

CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).

(1)求出直線0C的解析式.

(2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了1秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),

并寫(xiě)出此時(shí)r的取值范圍.

(3)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了1秒，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周

長(zhǎng)的一半時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請(qǐng)求出「的值；

如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2:如圖2-5-40,在RtWMN中，zP=9Oo,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD

的長(zhǎng)和寬分別為8cm和2cm,C點(diǎn)和M點(diǎn)重合，BC和MN在一條直線上.令RtWMN不

動(dòng)，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(dòng)(圖2-4-41),直到C點(diǎn)與N

點(diǎn)重合為止.設(shè)移動(dòng)x秒后，矩形ABCD與WMN重疊部分的面積為ycm2.求y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式.

PP

BM2F*TCN

圖2-4-43圖2-4-44

說(shuō)明：此題是一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，解答方法是將各個(gè)時(shí)刻的圖形分別畫(huà)出，將圖形則

"動(dòng)"這"靜"，再設(shè)法分別求解.這種分類(lèi)畫(huà)圖的方法在解動(dòng)態(tài)幾何題中非常有效，它可

幫我們理清思路，各個(gè)擊破.

【提高訓(xùn)練4】

Y

1.如圖2-4-45,在ABCD中，NDAB=6OO,AB=5,BC=3,鼎足之勢(shì)P從起點(diǎn)D出

發(fā)，沿DC、CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P所走過(guò)的路程為x,點(diǎn)P所以過(guò)的線段與絕無(wú)

僅有AD、AP所圍成圖形的面積為y,y隨x的函數(shù)關(guān)系的變化而變化.在圖2-4-46中，

能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是()

2.如圖2-4-47,四邊形AOBC為直角梯形，OC=f,OB=%AC,

0c所在直線方程為y=2x，平行于0C的直線/為'y=2x+tzI是

由A點(diǎn)平移到B點(diǎn)時(shí),1與直角梯形AOBC兩邊所轉(zhuǎn)成的三角形的

面積記為S.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)求「的取值范圍.(3)求出S與r之間的函數(shù)關(guān)系式.

3.如圖2-4-48,在3BC中，zB=9Oo,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊

向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)(：以2

m

cm/秒的速度移動(dòng).(