2023年初中三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)中考復(fù)習(xí)

銳角三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、。的平方和等于斜邊c的平方。a2+b2=c2

2、如下圖，在Rt^ABC中，NC為直角，則/A的銳角三角函數(shù)為（NA可換成NB）：

\定義體現(xiàn)式取值范圍關(guān)系

的對邊

正..ZA?A0<sinA<l

sinA=-----s-i-n--A---=--一a

弦斜邊c（NA為銳角）sinA=cosB

cosA=sinB

余./A的鄰邊0<cosA<122

C°SA=斜邊cosA,=一bsinA+cosA=l

弦c（NA為銳角）

tanA=cotB

正,的對邊atanA>0

tanA=-----,,人tanA4=—cotA=tan5

切/A的鄰邊b（NA為銳角）

tanA=----（倒數(shù)）

余./A的鄰邊bcotA

切cotA>0

cotA=------....——cotAA=—tanAcotA=1

ZA的對邊a（NA為銳角）

3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由NA+4=90。

sinA=cosB------------------------>sinA=cos^0°-A）

得ZB=90?！狽A

cosA=sinBcosA=sin（90°-A）

4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角時正切值。

由/A+4=90。

tanA=cotB------------------------>tanA=cot?。。-A）

得ZB=90。一NA

cotA=tanBcotA=tan（90°-A）

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

j_V2V3

01

sina~2~2~~2

V3V2

cosa10

~2~2~~2

V3

tana015不存在

亍

V3

cota不存在耳10

3

6、正弦、余弦的增減性:

當(dāng)0。WaW90。時，sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減小。

7、正切、余切的增減性:

當(dāng)0。<tz<90°時，tana隨a的增大而增大，cota隨a的增大而減小。

1、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）一所有未知的邊和角。

根據(jù)：①邊的關(guān)系：a2+b2^c\②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。（注意：盡量防止

使用中間數(shù)據(jù)和除法）

2、應(yīng)用舉例：

（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

h

（2）坡面的鉛直高度”和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母，表達(dá)，即，=亍。坡度一般寫成1:加時形式，如

，=1：5等。

h

把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=7=tana。

3、從某點(diǎn)的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目的方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD的方向角分

別是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向線與目的方向線所成的不不小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD

的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

反比例函數(shù)知識點(diǎn)整頓

一、反比例函數(shù)的概念

k/\

1、解析式：y=-（k^6）

X

其他形式：①取=左②'=丘「1

例1.下列等式中，哪些是反比例函數(shù)

1/2531

(1)y=—(2)y-----(3)xy=21(4)y=------(5)y=----(6)y=—I-3(7)y=x-4

"3'xx+2'2xx

例2.當(dāng)m取什么值時，函數(shù)y=(m-2)x3-m2是反比例函數(shù)？

例3.若函數(shù)y=(2〃z—是反比例函數(shù)，且它的圖像在第二、四象限，則加時值是

例4.已知函數(shù)丫=丫1+丫2，yi與X成正比例，y2與X成反比例，且當(dāng)x=l時，y=4；當(dāng)x=2時，y=5

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式

(2)當(dāng)x=—2時，求函數(shù)y改I值

2.反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：xy=k

例1.已知反比例函數(shù)的圖象通過點(diǎn)(m,2)和(-2,3)則加時值為

例2.下列函數(shù)中，圖像過點(diǎn)M(-2,1)的反比例函數(shù)解析式是()

2211

A.y=—B.y=—C.y=—D.y=----

xx2x2x

例3.假如點(diǎn)(3,-4)在反比例函數(shù)y=±的圖象上，那么下列各點(diǎn)中，在此圖象上的是()

X

A.(3,4)B.(一2,—6)C.(—2,6)D.(—3,—4)

例4.假如反比例函數(shù))=幺的圖象通過點(diǎn)(3,-1),那么函數(shù)的圖象應(yīng)在()

x

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D(zhuǎn).第三、四象限

二、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、基礎(chǔ)知識

化＞0時，圖像在一、三象限，在每一種象限內(nèi)，y伴隨X的增大而減?。?/p>

左＜0時，圖像在二、四象限，在每一種象限內(nèi)，y伴隨x的增大而增大；

例1.已知反比例函數(shù)丁=(0一2口”“，當(dāng)x＞。時，丫隨*的增大而增大，求函數(shù)關(guān)系式

2k+1

例2.已知反比例函數(shù))=------的圖象在每個象限內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，且k時值還滿足

x

9—2（2左-l）N2k—1,若k為整數(shù)，求反比例函數(shù)的解析式

2,面積問題

⑴三角形面積：

例1.如圖，過反比例函數(shù)丁=工（x>0）的圖象上任意兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂

X

線，垂足分別為C、D,連接OA、OB,設(shè)AAOC和△BOD的）面積分別是Si、S2,比較

它們的大小，可得（）

（A）Si>S2（B）Si=S2

（C）S1VS2（D）大小關(guān)系不能確定

1

y=一

例2.如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)無時圖象上任一點(diǎn)，PA垂直在R軸，垂足為A,

設(shè)AOAP的面積為S,則s的值為

例3.直線OA與反比例函數(shù)y=上上w0）的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，AB，x軸于

X

點(diǎn)B,若AOAB的面積為2,則左=

例4.如圖，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=&（左NO）的圖象上，軸于點(diǎn)M,

X

的面積為3,則左=

第17虺圖

例5.如圖，在x軸時正半軸上依次截取。4=44=44=44=44，過點(diǎn)

2

4、4、4、4、4分別作X軸的垂線與反比例函數(shù)的y=—（九。0）的圖象相交于點(diǎn)

X4】44歲444sX

常1穗圖

《、鳥、生馬、月,得直角三角形424、AEA、A舄A,、并設(shè)其面積

分別為耳、色、S3、邑、55,則S5時值為

2

例6.如圖，A、8是函數(shù)丁=—的圖象上有關(guān)原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，BC〃x軸，AC//

x

y軸，△ABC的!面積記為S,則（）

A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>4

（2）矩形面積：S矩形QBAC=Ik|

例1.如圖，P是反比例函數(shù)y=K（4<0）圖象上的一點(diǎn)，由P分別向X軸和y軸引垂

X

線，陰影部分面積為3,則1<=o

例2.如圖，已知點(diǎn)C為反比例函數(shù)y=-9上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C向坐標(biāo)軸引垂線，垂足分

x

別為A、B,那么四邊形A08C的面積為.

3

例3.如圖，點(diǎn)A、3是雙曲線丁=—上的點(diǎn)，分別通過A、3兩點(diǎn)向無軸、y軸

x

作垂線段，若S陰影=1,則5]+邑=—.

例4、如圖，矩形AOCB的兩邊OC,0A分別位于x軸，y軸上，點(diǎn)°鑿屋行為B

20

（——，5）,D是AB邊上的一點(diǎn)，將AADO沿直線0D翻折，使A點(diǎn)恰好落在對角線

3

0B上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是.

k1k

例5.兩個反比例函數(shù)y二一和y二一在第一象限內(nèi)的I圖像如圖3所示，點(diǎn)P在y二一的I

XXX

圖像上，PCLx軸于點(diǎn)C,交丫=工時圖像于點(diǎn)A,PDLy軸于點(diǎn)D,交y=,的圖像于

XX

點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在y=人的圖像上運(yùn)動時，如下結(jié)論:

①△ODB與AOCA的面積相等；

②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；

③PA與PB一直相等

④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn).

其中一定對時的是（把你認(rèn)為對的結(jié)論的序號都填上，少填或錯填不給分）.

3.運(yùn)用圖像比較大小問題

（1）比較點(diǎn)的坐標(biāo)大小

E+1

例1.已知點(diǎn)（-1,yi）、（2,y2）、（兀，y3）在雙曲線丁二-------上，則下列關(guān)系式對時時是（）

x

(A)yi>y2>y3(B)yi>y3>y2(C)y2>yi>y3(D)ys>yi>y2

_k

例2.已知三點(diǎn)X）,鳥（孫為）,巴（「一2）都在反比例函數(shù)，X的圖象上，若不<°,%2>0,則下

列式子對時的是（）

A.%<%<0B.%<°<%c.%>%>°D.%>°>%

一2

例3.反比例函數(shù)y=——，當(dāng)x=-2時，y=___；當(dāng)xV—2時；y的I取值范圍是_；

x

當(dāng)X>一2時；y時取值范圍是

例4.點(diǎn)A（2,1）在反比例函數(shù)y=工的圖像上，當(dāng)1<x<4時，y的取值范圍是.

X

例5.若4%，%）、B（X2,為）在函數(shù)>的圖象上，則當(dāng)玉、馬滿足時，

%>內(nèi)?

1o

例6.在反比例函數(shù)y=---"的I圖象上有兩點(diǎn)人（石,乂），B（%2，%），當(dāng)西<0<%2時，有M<%，則加的I

X

取值范圍是（）

八八11

A、m<0B、m>0C、m<—D、m>—

22

k

例7、已知反比例函數(shù)y=—（左<0）的I圖像上有兩點(diǎn)A（x-％）,B（x2,y2）,且匹<%2，則丫1一乃時值是

x

（）

A、正數(shù)B、負(fù)數(shù)C、非正數(shù)D、不能確定

（2）比較函數(shù)值大小

例1.如圖是一次函數(shù)yi=kx+b和反比例函數(shù)”=絲的圖象，觀測圖象寫出〃>以

X

時，工的取值范圍

2

例2.如圖，一次函數(shù)y「x—l與反比例函數(shù)y2二二的I圖像交于點(diǎn)/（2,1）,夕（一1,一

X

2）,則使y]>y2的x的取值范圍是（）

A.x>2B.x>2或一lVxVOC.-l<x<2D.x>2或xV—l

三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題

(1)在同一坐標(biāo)系中的圖像問題

例1.一次函數(shù)y=H-左與反比例函數(shù)y=上在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大體圖象是()

(2)其他類型

Q

例1.如圖，已知一次函數(shù)丫=左％+人的圖象與反比例函數(shù)y=—2的圖象交于A、B兩

x

點(diǎn)，且點(diǎn)Aa(橫坐標(biāo)和點(diǎn)BaI縱坐標(biāo)都是-2,求：

(1)一次函數(shù)的解析式；

(2)ZXAOB的面積.

4

例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=6-x與函數(shù)y=—(x>0)的圖象相交于點(diǎn)A、B,設(shè)點(diǎn)A

尤

的坐標(biāo)為(xi,,yj,那么長為x“寬為力的矩形面積和周長分別為()

A.4,12B.8,12C.4,6D.8,6

例3.如圖：已知一次函數(shù)丁=丘+6(左/0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B

兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y='（mwO）的圖象在第一象限交于C點(diǎn)