2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：常見函數(shù)模型中的應(yīng)用（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)常見函數(shù)模型中的應(yīng)用含答案

常見函數(shù)模型的應(yīng)用

一、考情分析

有一些常見的函數(shù),如沙=ln(,+1)—羽y=1—①一1等，在導(dǎo)數(shù)解答題常常出現(xiàn)其身影,在導(dǎo)數(shù)解答題

中或利用其性質(zhì)進(jìn)行求解,或以其為模型進(jìn)行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，

并有目的的使用這些函數(shù)性質(zhì)解題，能迅速找到解題思想,并使問題得以解決.

二、解題秘籍

(一)常見對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)/&)=ln(z+1)-，在(—1,0)上是增函數(shù),在(0,+8)是減函數(shù),/⑸在，=0處取得最大值0,

2.f(x)—Ina:的圖象與直線y=c—1在①=1相切，以直線y—x—1為切線的函數(shù)有：y—\n.x,y—e?-1—

1,y—x2—x,—y—xlnx.

3.與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ln(o:+1)<cc.lno:W，一l,ln，>1——,lna;<a;,In?<Vx,Ina?<

X

2(x—(T>1),Inrr>2(/—(0<a;<1).

4.利用ln(/+l)&力可得到ln@+1)—hmV工，再借助疊加法可得到一些復(fù)雜的數(shù)列不等式.

n

【例1】函數(shù)/(，)=Ina;—a{x—l)e3其中aGR.

(1)若aWO,討論人,)的單調(diào)性；

(2)若0VaV

口)證明：/3)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

(ii)設(shè)g為/(，)的極值點(diǎn)，為為/(①)的零點(diǎn)，且電>g,證明：3rc0—a：i>2.

(二)常見指數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)/(c)=e。-2—1在(—8,0)上是減函數(shù)，在(0,+oo)上是增函數(shù),/(rc)在①=0處取得最小值0,

2.與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ex>x+l,ex>x,ex>ex,ex<-^—(x>0),ex<--(x<0),ex>

1-xX

1+1+-^-x2(x>0).

【例2】已知函數(shù)/(C)=(mx—l)ex,mER.

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

⑵若0eR,qe(0,+8),證明:當(dāng)恒=1時(shí),于(p+q)+-|-(P-q)2+2q＞于(p-q)+-|-(p+Q)2

（三）常見三角函數(shù)模型

1.函數(shù)/（力）=sin/一力在（0,+8）上是減函數(shù)，函數(shù)g（力）=yT2+COST在（。,+8）上是增函數(shù)

（"（/）=-/（/））,

2.與三角函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：sin力<x（x>0）,sin/<x<tan/（0<a:<,sinx>力—1—

-^-x2&cos力41—^-sin2a?.

【例3】（2023居四川看成都市商三上學(xué)期摸底）已知函數(shù)于（x）--1-x2+COSX.

（1）記函數(shù)/（力）的導(dǎo)函數(shù)是/'（力）.證明：當(dāng)力>0時(shí)，產(chǎn)（力）>0；

11

（2）設(shè)函數(shù)g（/）=s''+—2"—2,尸（/）=時(shí)（力）+g（力），其中a<Q.若0為函數(shù)F（多）存在非負(fù)

e

的極小值，求。的取值范圍.

㈣片T則=&?

V=等在（O,e）上是增函數(shù)，在（e,+8）上是減函數(shù)，①=6時(shí)取得最大值:，利用"=學(xué)性質(zhì)解題易

錯(cuò)點(diǎn)是該函數(shù)在（e,+°o）上是減函數(shù)，但該函數(shù)在（e,+°o）上沒有零點(diǎn)，因?yàn)閏>e時(shí)y>0.

【例41（2022屆“云載金1聯(lián)考我三下學(xué)期5月沖刺）已知函數(shù)/㈤=e^-axlnx在c=1處的切線與c

軸平行.

⑴求a的值；

（2）求證：/（,）在區(qū)間（0,+8）上不存在零點(diǎn).

（五）或

**?€r

討論"=旨的性質(zhì)要注意CWO,該函數(shù)在（-00,0）和（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增

【例51（2022屆貴州盾六叁水市第五中學(xué)高三上學(xué)期期末）設(shè)函數(shù)/（,）=tex+a（l—t）c（aeR,te（0,1））,其

中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e?2.71828?-?.

（1）若f⑸<e工在（0,+8）上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)亡=春時(shí)，若函數(shù)/㈤有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.?…―1_1-

/I

三、典例礪

【例1】(2022居吉林看東北彈范大學(xué)附舄中學(xué)高三第五次模擬)已知函數(shù)/(①)=腎，，e(l,+oo),

(1)判斷函數(shù)/(。)的單調(diào)性；

(2)證明：4T

【例2】(2022屆江西省九江市京三第三次模擬)已知函數(shù)/(①)=sinrr—x+ax2(aGR).

⑴當(dāng)a=0時(shí),試比較了(,)與。的大??；

(2)若/(,)>0恒成立，求a的取值范圍.

【例31(2022屆天津市理華中學(xué)i15三下學(xué)期二模)已知函數(shù)/(0=喑+In,—x(a>0).

(1)若a=L求函數(shù)/(,)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(,)存在兩個(gè)極小值點(diǎn)電,◎，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【例4】已知函數(shù)/&)=Ina?—ax2—bx(a,bEFl).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若/(6)&0在/￡(0,+oo)上恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(2)設(shè)為,電為*2)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：/⑶+22)<三1歲-2.

四、跟蹤檢測

1.已知函數(shù)/(力)=e"-Q.

(1)若函數(shù)/(⑼的圖象與直線g=c—1相切，求Q的值;

⑵若a42，證明/(6)>Inx.

2.已知函數(shù)/(劣)=(6+￡)ln/—QN,Q>0.

(1)若a=2,求函數(shù)/(力)的極值；

(2)設(shè)g(c)=1~(eQ"一Q宏?+?；),當(dāng)6>0時(shí),/(6)<"(6)("(0)是函數(shù)g(c)的導(dǎo)數(shù))，求a的取值范圍.

3.設(shè)函數(shù)/(力)=/Ina—aln/，a>1.

(1)若對(duì)任意力G[4,+8),都有/(力)>0,求Q的取值范圍；

(2)設(shè)g(x,n)=/(6)+/(。)4--卜/(%")，nEN*?當(dāng)0〈]V1時(shí)，判斷g(x,n),g(x,2n),g(x,3n)是否能

構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由.

4.已知函數(shù)/(力)=詈(QW0).

(1)若對(duì)任意的reeR,都有了㈤<十恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)設(shè)m,n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且m=nem~n,求證：m+n>2.

5.已知函數(shù)/(力)=e?！猠/+Q力(aGR).

⑴若/㈤在(—1,1+ln2)單調(diào)，求a的取值范圍.

(2)若g=/(劣)+exlnx的圖像恒在力軸上方，求a的取值范圍.

6.(2022屆山東省泰安市京三全真模擬)已知函數(shù)/Q)=g(0—Imr.

(1)若函數(shù)g(/)=a/+aln/,討論/(/)的單調(diào)性.

11

(2)若函數(shù)gQ)=62—xynx_|_，證明：/㈤>1亨).

7.已知函數(shù)/（力）=既如一e*.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論/（力）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)力＞0時(shí)，/（￡）＜—1,求Q的取值范圍；

（3）設(shè)九GN*,證明：/）+/[H---1--/，＞ln（n+1）.

Vl2+1V22+2Vn2+n

8.已知函數(shù)/（力）=QC—：—（a+l）lnc.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求/（力）的最大值；

（2）若/（力）恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

9.（2023屆江蘇省南通市如率市高三上孕期8月*斯）已知函數(shù)/（，）=*—In/+力—a.

（1）若/（2）＞0,求a的取值范圍；

（2）證明：若/（劣）有兩個(gè)零點(diǎn)為1,劣2,則力便2Vl.

10.（2022居青海省高三第四次模擬）已知函數(shù)/（力）=e/—力一1.

（1）求/（/）的最小值；

（2）若力＞0,證明：/（劣）＞/+（e—3）力.

11.已知函數(shù)/(力)—x\nx—ax.

(1)討論/(力)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a4-1時(shí)，設(shè)g(力)=/(%)—2csin/+%,求證:g(x)在(0,2兀)上只有1個(gè)零點(diǎn)

12.已知函數(shù)/(力)=alnx—Vx,aER.

(1)試討論/(力)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意/e(0,+8),均有/(6)&0,求。的取值范圍;

九1_____

⑶求證:Zin(取+谷〉61一「

常見函數(shù)模型的應(yīng)用

一、考情分析

有一些常見的函數(shù),如沙=ln（,+1）—羽y=1—2一1等，在導(dǎo)數(shù)解答題常常出現(xiàn)其身影,在導(dǎo)數(shù)解答題

中或利用其性質(zhì)進(jìn)行求解,或以其為模型進(jìn)行改編命題，無論以哪一種方式命題，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，

并有目的的使用這些函數(shù)性質(zhì)解題，能迅速找到解題思想,并使問題得以解決.

二、秘籍

（一）常見對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)/（①）=In（2+1）-，在（—1,0）上是增函數(shù),在（0,+8）是減函數(shù),/㈤在2=0處取得最大值0,

2.f（x）=Inc的圖象與直線9=2一1在必=1相切，以直線y—x—1為切線的函數(shù)有：y—\n.x,y—e?-1—

1,y—x^—x,y—1-y—xlnx.

3.與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：ln（a;+1）<re,Ino:W，一l,ln，>1——,lna;<a;,In?<Vx,Ina;<

X

2（,—1）（］>1），山力>2（/—（0<a;<1）.

4.利用ln（/+l）&力可得到ln@+1）—hmV工，再借助疊加法可得到一些復(fù)雜的數(shù)列不等式.

n

【例1】函數(shù)/（力）=Inc—a（x—l）e3其中a6R.

（1）若a&O,討論/（力）的單調(diào)性；

（2）若0VaV:.

（1）證明：/（力）恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

（ii）設(shè)g為/（力）的極值點(diǎn)，的為/（力）的零點(diǎn)，且力i>g,證明:3g—力i>2.

【解析】⑴/'（劣）~~~~［aex-\-a（x—l）e。］=-一e,xE（0,+oo）.丁a40時(shí)，廣（/）>0,函數(shù)/（名）

在（0,+8）上單調(diào)遞增.

（2）證明:⑴由⑴可知：/'（/）=——e,xE（0,+oo）.令g（/）=1—ax2ex,g'（力）=—a（rr2+2x）exV0

g'（力）<0,g3）在（0,+oo）上單調(diào)遞減，又g（l）=l—ae>。，且g（ln!）=1—a（ln-^-）2--1-=

2

1—（ln-^-）<0,g（x）存在唯一解x0E.且力e（0,g）時(shí)，g（力）>0,TG（Xo,+°°）時(shí)，g（力）<0,

即函數(shù)/（力）在（0,g）上單調(diào)遞增，在（g,+8）單調(diào)遞減.是函數(shù)/（劣）的唯一極值點(diǎn).令4力）=ln/

—6+1,3>0）,4（力）=1力%,可得九（/）<九（1）=0,re>1時(shí)，Ina?<a;—1,=ln（ln-^-）—

a（ln-^--l）eln?=ln（ln-^-）—（ln-^--1）<0.V/（^o）>/（l）=0.函數(shù)/（%）在（g,+8）上存在唯一零

點(diǎn).又函數(shù)/（力）在（0,g）上有唯一零點(diǎn)1.因此函數(shù)/（力）恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（近）由題意可得：/'（g）=0J

x

（Xi）=0,即axoe°=l,lng=a（x1—l）e時(shí),/.Inxi=0J鏟f,即留一的=力>1,可得Ina;<x—

XQXi-L

1.又?>g>l,故6—。=vN6（g1）=就，取對(duì)數(shù)可得:g—21nge2（g—l）,整理可

得：3g—rci>2.

（二）常見指數(shù)型函數(shù)模型

1.函數(shù)/（,）=e?！佟?在（一8,0）上是減函數(shù),在（0,+8）上是增函數(shù),于（x）在a=0處取得最小值0,

2.與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：e?z+l,e〉c,e?e,,ey±(,>()),e，<—5(z<O),e?

1+力+.1(宏>0).

【例2】已知函數(shù)/(6)=(mT-l)ex,mER.

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

⑵若pG7?,qG(0,+8),證明：當(dāng)館=1時(shí)，于(p+q)+-q)2+2q>f(p一q)++Q)2

【解析】(1)由題意得/(力)=(mx+m—l)ex,

①?n=0時(shí)，/'(力)=-ex<0恒成立，故/(力)在R上單調(diào)遞減，

②當(dāng)?n>o時(shí)，若力e—1,+8),廣(力)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)⑦e(―8,1?—1)時(shí)，(㈤vo,函數(shù)單

調(diào)遞減，

③當(dāng)?nVO時(shí)，若力6(+—1,+8),廣(力)V0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)力6(-8,*—1)時(shí)，/'(/)>0,函數(shù)單

調(diào)遞增；

(2)證明：772=1時(shí),『(X)=xex,

要證/(p+q)+-|-(p-q)2+2q>于(p-q)+-|-(p+q)2,

即證/(p+q)—y(p+q)2+2q>/(p—q)—-|-(p-q)2,

QQ

即證/(p+q)--2(p+a)?+P+q>/(p—q)—y(p-q)+(p—q),

令g⑸=f(x)--rr2+a:,上面不等式等價(jià)于g(p+q)>g(p-q),

要證明g(p+q)>g(p—q)對(duì)于任意p,q>0都成立，即證g(w)單調(diào)遞增，

又g'(力)=xex—3T+1,

令h(x)=e“一力+1,則h!(x)=ex-l,

當(dāng)。>0時(shí)，〃(r)=ex—1>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)。V0時(shí)，”(力)=ex—1<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

故拉(/)>九(0)=0,即ex—x+1>0恒成立，

xx

故當(dāng)力>0時(shí)，xe>/+力，Xe—30+1>/—26+1>0,

當(dāng)力V0時(shí)，OVe'Vl,xex-3x+l=x(ex-3+>0,

綜上可得，又/(/)=xex—30+1>0恒成立，故g(N)單調(diào)遞增，故原不等式得證.

(三)常見三角函數(shù)模型

1.函數(shù)/(力)=sin/一力在(0,+8)上是減函數(shù)，函數(shù)g(力)=yT2+COST在(。,+8)上是增函數(shù)

("(/)=—/(/))，

2.與三角函數(shù)有關(guān)的常見不等式有：sin力<x(x>0),sin/<x<tan/(0<a:<,sinx>力—1—

-^-x2&cos力41—^-sin2a?.

【例31(2023屆四川看成郡市高三上學(xué)期找底)已知函數(shù)/㈤=導(dǎo)2+cosc.

(1)記函數(shù)/(7)的導(dǎo)函數(shù)是/'(c).證明：當(dāng)①>0時(shí),[(c)>0；

(2)設(shè)函數(shù)g(c)=sma;+cosy—2劣—2,=af(x)+g(x)，其中a<0.若0為函數(shù)F(2)存在非負(fù)

的極小值，求a的取值范圍.

【解析】⑴/'(/)=x—sinx.令h(x)=f'(x),則h\x)=1—cos/.

cosxe[—1,1],hf（x）>0恒成立，即/'（%）在R上為增函數(shù).

V0,>/'（0）=0—sinO=0.ff（x）>0.

（2）F</）=af（x）+g'（i）=a（x—sin力）+~~:近力）=（3—sine）（a+士）.

由（1）知/'（力）在R上為增函數(shù).

當(dāng)力V0時(shí)，有/'（/）</z（0）=0,即x—sina;<0;

當(dāng)力>0時(shí)，有r（/）>r（o）=o,即x-sin/>0.

當(dāng)aV0時(shí)，由尸（力）=0,解得/1=0,j；2=ln（—看），且夕=。+看在R上單調(diào)遞減.

①當(dāng)一2VQVO時(shí)，x2>0.

當(dāng)zV0時(shí)，有F'（z）<0;當(dāng)OV/Vg時(shí)，有尸（土）>0;當(dāng)n>力2時(shí)，有尸（名）<0,

函數(shù)F（力）在（-oo,0）上為減函數(shù)，在（0,T2）上為增函數(shù)，在（力2,+8）上為減函數(shù).

?,?滿足0為函數(shù)尸（力的極小值點(diǎn)；

②當(dāng)Q=-2時(shí)，劣2=0.

/.TER時(shí)，有F'（N）<0恒成立，故F（N）在7i上為減函數(shù).

???函數(shù)F（?不存在極小值點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)Q<—2時(shí)，力2Vo.

*.*當(dāng)x<x2時(shí)，有尸（力）V0；當(dāng)x2<x<0時(shí)，有尸（力）>0；當(dāng)x>0時(shí)，有F'（X）<0,

工函數(shù)下（力）在（一8處）上為減函數(shù)，在（/2,0）上為增函數(shù)，在（0,+8）上為減函數(shù).

???0為函數(shù)F&）的極大值點(diǎn)，不符合題意.

綜上所述，若0為函數(shù)F（?的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（一2,0）.

㈣片T癡=急?

夕=等在（O,e）上是增函數(shù)，在（e,+8）上是減函數(shù)，7=6時(shí)取得最大值!，利用"=等性質(zhì)解題易

錯(cuò)點(diǎn)是該函數(shù)在（e,+8）上是減函數(shù)，但該函數(shù)在（e,+<x））上沒有零點(diǎn)，因?yàn)榱?gt;已時(shí)y>0.

【例4】（2022屆“云栽金榜”N1聯(lián)考高三下學(xué)期5月沖刺）已知函數(shù)/（力）=e?！猘/lmr在宏=1處的切線與。

軸平行.

⑴求。的值；

（2）求證：/（力）在區(qū)間（0,+8）上不存在零點(diǎn).

【解析】（1）/'（力）=ex—a（lnx+1）,由題意可得/'（1）=e—a=0,解得a=6；

（2）證明：要證/（2）=e。一ezine在區(qū)間（0,+8）上不存在零點(diǎn)，

即證/（力）=6。一e力In6=0在區(qū)間（0,+8）上不存在方程根，

-11Y1T/\-1/\1T1/、

化簡可得—2-----------=0,即證函數(shù)g（6）——廠與h（x）-----在區(qū)間（0,H-oo）上不存在交點(diǎn).

XXXX

g（c）=,定義域（0,4-0°）,

X

e⑦—1（力—2）a

g\x）=-----7則g（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，=/2）=牙；

h（x）=,定義域（0,+8）,

f

h（x）=-一粵■，則h（x）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減，/zmax（T）=h（e）

力/e

又3>工即函數(shù)g（2）=旦-V與九㈤=生些在區(qū)間（0,+8）上不存在交點(diǎn)，

4exx

即/（6）=e*—e/lmr=O在區(qū)間（0,+8）上不存在方程根，得證.

（五）%=￡或%=亳

3er

討論？/=*的性質(zhì)要注意2片0,該函數(shù)在（—8,0）和（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增

【例5】（2022居貴州唐六童水市第五中學(xué)高三上學(xué)期期末）設(shè)函數(shù)/（,）=加。+a{l-t）x（aGR,te（0,1））,其

中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e42.71828….

（1）若f（x）Ve。在（0,+8）上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)t9時(shí),若函數(shù)/（土）有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴解：因?yàn)?（①）<e"在（0,+8）上恒成立，即（力一l）（e，—ac）<

0,又tC（0,1）,故（t—1）<0,所以只需e"—aa;<0恒成立，故只需a>

e"

三，

令g（c）=3，或工）=e氣1）,當(dāng)ze（0,1）時(shí)，g'（x）<0,當(dāng)rcC（1,+00）

xX

時(shí)，g'3）>0,所以gQ）min==e，故aAe,即aC（e,+8）.

(2)當(dāng)t=時(shí)，/(①)=ye：r+~^ax,

當(dāng)c=0時(shí)，/(0)=y^0,

當(dāng)cWO時(shí)，令/（，）=0,分離參數(shù)得一a=*,

由⑴得gQ）=',在（—8,0）和（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增，可得圖像為:

所以一a>e,即Q<—e,即ae（―oo,—e）.

三、典例展示

【例1】(2022屆吉林省東北嬸篦大學(xué)府舄中學(xué)高三第五次模擬)已知函數(shù)/(7)=/爸，，e(1,+8),

(1)判斷函數(shù)/(，)的單調(diào)性；

(2)證明：空不</@)<1.

X—l1

]-------Inx

【解析】⑴因?yàn)?(2)=-^舁，xG(i,+8),所以廣㈤二一彳———,

設(shè)g(a?)=-Ina?,則g'(c)=<一白=^—^,

xxXX

因?yàn)榱(1,4-00),故d(力)VO,g(x)在區(qū)間(l,+oo)上單調(diào)遞減,

故gQ)<g⑴=0,即f\x)<0,

所以函數(shù)f(G在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明：一^—r<f(x)<l,xE(l,+oo)=I’-VlngV——1;

3CI_L37I_L

設(shè)p(/)=lnx—x+1,%6(l,+oo),p'{x)=-1--l<0,p{x}在區(qū)間(l,+8)上單調(diào)遞減，

xE(l,+oo),p(x)<p(l)=0,即Ina?V①一1,即f(x)<1;

設(shè)強(qiáng))=ln,一^^,丑(1,+8)3直)=5一^^=^=^>0,

則q(x)在(l,+8)上單調(diào)遞增，

Xe(L+8),q(x)>q⑴=0,

即Ina;>2(”J所以f(x)=>—|-j-.

1T+1J'/x—lx+1

綜上，3|7T

【例2】（2022屆江西看九江市高三第三次模擬）已知函數(shù)/（，）=sin/—力+ax2（aER）.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，試比較/（力）與0的大??；

（2）若于㈤>0恒成立，求a的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，/（%）=sinrc-x,因?yàn)椤猯&cos/Wl,

所以/'（力）=cos/—1W0,所以/（力）在R上單調(diào)遞減，又/（0）=0,

所以當(dāng)力V0時(shí)，/（r）>0;

當(dāng)力=0時(shí)，/（力）=0;當(dāng)％>0時(shí),f（8）<0.

（2）（兀）>0,

下證當(dāng)a>工時(shí)，/（必）>0,

兀

V—f（x）>sinx—6+-x2,令q（x）—sin力一力+—x2,

兀兀7U

要證/（力）>0,只需證g（c）>0,

①當(dāng)力C（—oo,0］時(shí)，g⑸=sin/—x+-^-x2>sin力一力，由⑴知，g（x）>0,

29

②當(dāng)力6（0,7T）時(shí),gr（x）—cosx—14--x—p{x）,p，㈤=—sin力+—=q（x）,

易知q（N）在（0爰）上單調(diào)遞減，在（與兀）上單調(diào)遞增，

,:q（o）=/>o,q管）=-1+,vo,q（兀）=1>o,

???3T1G（0,y）,x2e（y,7U）,使得q（g）=q（g）=0,

工當(dāng)優(yōu)e（0期），（力2,兀）時(shí)，q（x）>0；當(dāng)/e（如12）時(shí)，q（力）<o,

?"（名）在（0,電），（g,兀）上單調(diào)遞增，在（為，宓2）上單調(diào)遞減，

而p（o）=P（y）=P（兀）=0,

當(dāng)力e（o,y）時(shí),p（x）>0；當(dāng)力e（.兀）時(shí),0?vo,

.,.g（力）在上單調(diào)遞增，在（專，兀）上單調(diào)遞減.

而g（o）=g（兀）=0,，當(dāng)%e（0,兀）時(shí),g（劣）>0,

③當(dāng)力C［兀,+8）時(shí)，p（x）>cosx—1+2^0,

g（x）在［兀,+8）上單調(diào)遞增，工g（x）>g（兀）=0,

綜上所述，a的取值范圍是［］,+8）.

［^31（2022屆天津市聚華中學(xué)高三下學(xué)期二*）已知函數(shù)/（0=^f+lnx-x（a>0）.

（1）若a=l,求函數(shù)/（力）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（力）存在兩個(gè)極小值點(diǎn)電,g，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a*

【解析】⑴當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/（/）=w+lnN—力,

可得/,（/）=勺口+5—1=(力-1)O

令?n（N）=ex—x,xE（0,+oo）,可得TTV（力）=ex—1>。，所以函數(shù)m（/）單調(diào)遞增,

因?yàn)閙(x)>m(0)=1,所以m(x)>0,

當(dāng)力e(0,1)時(shí)，/'(力)<O,/(T)單調(diào)遞減;

當(dāng)力e（1,+°°）時(shí)，/'（力）＞o,/（力）單調(diào)遞增，

即函數(shù)/&）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（L+8）.

（2）由函數(shù)/（/）=幽一+111力一力，力E（0,4-oo）,

可得

XX

令u{x）=W,可得〃'（①）=1二”,

ee

所以函數(shù)〃（力）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，所以〃（名）&5，

當(dāng)力＞0時(shí)，可得所以

①當(dāng)a＞—時(shí)，Q—多＞0,此時(shí)當(dāng)xE（0,1）時(shí)，/（劣）＜0,f（x）單調(diào)遞減；

ee

當(dāng)1e（1,+8）時(shí)（力）＞o,/（力）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（c）的極小值為/（1）—ae—1,無極大值；

②當(dāng)0Va〈L時(shí)，u（a）=旦〈生=a,u（l）=—＞a,

eeaee

又由〃㈤在（a,l）上單調(diào)遞增，所以/,㈤在（a,1）上有唯一的零點(diǎn)如且署=a,

2—x

因?yàn)楫?dāng)%>e時(shí)，令g(/)=21nx—x,可得g'(/)———\—<0,

X

又因?yàn)間(e)=2—eVO,所以g(x)V0,即21na;V/，所以21n-^-<十,

In』21n—1

——=a----<a,a⑴=一>a,

in-41'''e

ea一

a

因?yàn)閡（x）在（l,+8）上單調(diào)遞減，所以廣（力）在（l」n5）上有唯一的零點(diǎn)如且善=a,

所以當(dāng)力6（O,Ti）時(shí)，/'（力）VO,/（力）單調(diào)遞減；

當(dāng)（g,l）時(shí),/'（力）＞0,/（N）單調(diào)遞增；

當(dāng)力G（1,電）時(shí)，/'（/）＜0,/（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)力e（力2,+8）時(shí)，/'（力）＞0,/（力）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)于（X）有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,：）.

【例4】已知函數(shù)/（劣）=Inx—ax2—bx（a,bER）.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，若/（6）&0在/e（0,+8）上恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）設(shè)◎，電為一位）的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：/（d+◎）＜色?-2.

【解析】（1）當(dāng)Q=0時(shí)，/（劣）=lnx—bx,

因?yàn)?（力）=1116一6力40在6G（0,+oo）上恒成立，

所以在力G（0,+oo）上恒成立，

令g（c）=乎■，即b＞g（，）max在cW（0,+8）上恒成立，則g'（x）=1—I，,

xx

令g'（力）＞0,解得0Ve,令g'Gr）V0,解得力＞e，所以g（力）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,4-oo）上單調(diào)遞

減.

故gQ）max=g（e）=等=,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[：,+8）.

（2）證明：要證明/（g+g）—2,

即證ln（?+12）—Q（/i+12尸—b（g+g）V力1：/_2,

只需證111（力1+電）<力1?力2和—Q（g+g）2—》（◎+g）<—2.

由⑴知，當(dāng)Q=0,匕=!時(shí)，/（/）=In力—力<0,即InT<■力,

所以ln（力1+22）&*1；電-.

要證一Q（力1+/2）*—b（g+力2）V—2,即證Q（?+/2尸+b（力1+62）>2.

因?yàn)殡?，?為/（力）的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)OVgVg,

所以ln/i=axl+bxY,lnx2—ax1+bx2,

則In—=a(g+62)(xi—x2)+b(?i—x2),

ln+(g+g)

xr+x2二2

兩邊同時(shí)乘以，可得=a(xY+g)2+b?i+x2),

Xi-x2(61一力2)

即Q(力i+02尸+b(力i+02)

生_1

力2

2

令m=也C(0,1),則a(xi+x2)+b(xi+x2)=(恒+?！吼^

62TTI—1

(m+1),Inm,2(m—1)4

即證1即證如

>2,G<^^=2—m+1,

4

即證Ina+^E—2V0.

令函數(shù)九(恒)=lnmd----1~一2,mE(0,1),則h\m)――------(一4、=^

m+1m(m+1)2m(m+1)2

所以無（?72）在（0,1）上單調(diào)遞增，所以九（m）</z（l）=0.

所以一。(力1+電)2—b(Ni+g)V—2.故/(21+力2)V/1：62—2.

四、跟蹤檢測

1.已知函數(shù)/（力）=e。一a.

（1）若函數(shù)/（力）的圖象與直線沙=力一1相切，求a的值；

（2）若aW2,證明/（力）>lnx.

【解析】⑴/（二）=ex-a,：.ff（x）=ex,令尸（力）=1,得力=0,

而當(dāng)力=0時(shí)，g=-1,即/（0）=—1,所以/（0）=e°—a=-1,解得a=2.

（2）證明a2,/（T）=ec—a>ere—2,

令（p{x}=ere一1一1,則0'（x）=e/—],令“（rr）=0nc=0,

:.當(dāng)力e（o,+8）時(shí)，/Q）>o；當(dāng)力e（—8,o）時(shí)，（pf（x）<o,

???8（力）在（一8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增，

/.9（力）min—8（。）=0,即>0,即e/>N+1,

.\ex—2^x—l,當(dāng)且僅當(dāng)x—Q時(shí)等號(hào)成立，

令h{x}—Inx—勿+1,貝Ift/（re）=:—1=1.”,令hr（x）=0n力=1,

/.當(dāng)宏e(o,1)時(shí)，〃(力)>o；當(dāng)ce(1,+8)時(shí)，//(力)vo,

???九㈤在(O,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

h(x)ma=h(l)=0,即h(x)O⑴=0,即Inx^x—1,

Inx<T—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

工ea;—2>/—1>In劣，兩等號(hào)不能同時(shí)成立，

err—2>In,即證/(力)>Inx.

2.已知函數(shù)/(/)=(6+f)ln力一QC,a>0.

(1)若。=2,求函數(shù)/(力)的極值；

⑵設(shè)g(c)=--(eax—ax2+ax)，當(dāng)力>0時(shí),/(力)<"(/)("(/)是函數(shù)g(C)的導(dǎo)數(shù))，求Q的取值范圍.

【解析】(1)/'(力)—Inx—I：1—1+十二(1—十)(1116—1),

令[(6)=0,得劣=1或力=e,

當(dāng)0V/VI或力>e時(shí)，>0,當(dāng)IV力Ve時(shí)，/'(力)<0,

所以函數(shù)/(力)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(力)的極大值為/(1)=-2,函數(shù)/(/)的極小值為/(e)=-1--e.

(2)g'(/)=ya(eaa:-2力+1),

(x+!)1HN-arcW-^a(eax-2rr+1),即2(T2+l)ln力&ax(eax+1),

即(/+l)lnT2<lnea:c(eaa:+1),

設(shè)9(4)=(/+l)ln/,/(/)=Ina;+~|~+1,

設(shè)k{x)=1+：+Inx,k\x)—*-2-,

當(dāng)0VcV1時(shí)，對(duì)⑸V0,當(dāng)力>1時(shí)，k\x)>0,

所以函數(shù)kQ)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

k(x))k⑴=2,即0‘(力)>“⑴=2,

則函數(shù)0(力)在(。,+8)上單調(diào)遞增，則由0(y)>0(42),

得?加》/在(0,+oo)上恒成立，即arr>21n/在(0,+oo)上恒成立.

設(shè)%(‘)=*,"(0=2(1一y),

,X

當(dāng)0<x<e時(shí),h!(x)>0,當(dāng)c>e時(shí)，//(力)<0,

所以函數(shù)九(力)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

9

所以h{x)<ftz(e)=—,

2

故Q>二.

e

3.設(shè)函數(shù)/(力)=Bna—aln/，a>1.

(1)若對(duì)任意力e[4,+8),都有/位)>o,求。的取值范圍；

(2)設(shè)g(c,n)=f(x)+/(T2)H---卜/(力")，nEN*.當(dāng)0VcV1時(shí)，判斷g(力，幾),g(cc,2n),。(力,3九)是否能

構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由.

【解析】(1)/(力)的定義域是(0,+8)D=lna一?=學(xué)^(力一言)

①若瑞44,則當(dāng)①€[4,+8)時(shí),山⑸>0,廣㈤在[4,+8)單調(diào)遞增,/(x)>0等價(jià)于/(4)>0,即

4111a—（zln4>0,由>1得y——4,.

Qmaln4m2

設(shè)九（力）=產(chǎn)~,x>l.//（6）=，*2I故九（劣）在（0,e）單調(diào)遞減，在（e,+8）單調(diào)遞增，而九⑵二九（4）

Inc［nx

=4■，所以需L焉的解集為⑵4］，

②若卷>4,則/（①）在［4,卷）單調(diào)遞減，在（品，+8）單調(diào)遞增，/Q）>0等價(jià)于/（卷）>0,即a

一a111自>°，即急&e,矛盾，故a的取值范圍是[2,4].

(2)/(/")=xn\na—alnxn=xnlna—anlnx.

g(xyn)=f(x)+/(/)-|---l-/(Tn)=(relna)(l+x-\---\-xn~x}—(alnx)(1+2H---\-n)

alnx

普(IT)—n(n+1).

L—X2

同理可得g（，,2九）=答-x2n）-包產(chǎn)2九（2n+1）,

g（c,2"）=壓野（1一/'）一包羅2九（2九+3）.

所以g(x,n)+g(cc,3n)—2g(劣,2")=—an2lnz—t：r"(l—a;")2.

下面證明g(x,n)+g(6,3n)—2g{x,2n)>0.

g（力）=n2lnx—日里?1/丁力"（1—xn）2］，且由（1）知今。&■，所以只需證明力G（0,1）時(shí)，一療山力—

xn(l-xny>0.令t=xn￡(0,1),即證一人n^(l-t)2>0.

e(l—T)e(l—我)

e(i，/lT)2一2班

設(shè)F(n)=—nlnt—口>1,Ff(n)—(1—tyXnt—1lnt>0,

一次（1一班）

廿（1一力）

所以F(t)>尸⑴=—In1—

Uy-3e

設(shè)G(t)=-Ini-儀1一力,G'⑴=-J—2t-30=_3t3-2t2-e<0,故G㈤在(0,1)單調(diào)遞減,

eEeec

G⑴>g⑴=0.

所以g(rr,?i)+g(x,3n)—2g(x,2n)>0,故g(a;,7i),g(x,2n),g(x,3n)不能構(gòu)成等差數(shù)列.

4.已知函數(shù)/Q）=詈（a40）.

（1）若對(duì)任意的26R,都有/（,）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)m,九是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且7n=碇團(tuán)一九.求證：m+n>2.

【解析】⑴當(dāng)a<0時(shí)）（!）=：,

aea

因?yàn)镺Ve蒼Ve,所以~^Y>—,即/（工）〉工，不符合題意；

e百eae

當(dāng)a>。時(shí)，/'（工）=工",

e

當(dāng)力e（-00,1）時(shí)，f（/）>o,當(dāng)（1,+8）時(shí)，/'（力）vo,

所以/（力）在（—00,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減.

所以告*

由/（力）<《恒成立可知■，所以aWl.

又因?yàn)閍>0,所以a的取值范圍為（0,1］.

(2)因?yàn)閙=,所以"le-munef,即匹=2.

ee

令g(N)=多，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)力，九，使得g(m?)=g伍).

e

由(1)可知gQ)在區(qū)間(-oo,l)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減.

不妨設(shè)m<n,則mV1<n.

設(shè)h(x)=g(x)-g(2-x)(x>l),

12x-2[

則hr(x)=gr(x)-[g(2-x)]'=-+(x-l)ex-2=(rc-1)---->0,

ee

所以無(力)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

所以人(力)>0,即g(6)>g(2—力)在區(qū)間(l,+oo)上恒成立.

因?yàn)?gt;1,所以g(n)>g(2—n).

因?yàn)間(m)=g(n),所以g(m)>g(2一九).

又因?yàn)?71V1,2—n<l,且。(力)在區(qū)間(—oo,l)上單調(diào)遞增，

所以館>2—九，即力十n>2.

5.已知函數(shù)/(力)=6。-e/+Q力(°eR).

⑴若在(-1,1+ln2)單調(diào)，求a的取值范圍.

(2)若y=f(x)+exlnx的圖像恒在x軸上方,求a的取值范圍.

【解析】⑴由題意得力G/'(力)=ex-2ex+a(aER).

f(x)在(—1,1+ln2)上單調(diào),即/'(力)=ex-2ex+a(aGR)在(—1,1+ln2)上大于等于0或者小于等于

0恒成立.

令g(x)—ex—2ex+a(aER),則g'{x)—ex—2e,當(dāng)g<x)=0時(shí)，/=ln2e=1+ln2.

當(dāng)—1<a?<1+ln2時(shí)，gf(x)<0,在(—1,1+ln2)上單調(diào)遞減，

???由題意得g(l+ln2)>0,或g(-l)<0,

解得a>2eln2或a4-2e—~~,

.?.a的取值范圍是(-8,—2e-SU[2eln2,+oo).

⑵y=ex—ex2+ax+exlnx的圖象恒在為軸上方，也即當(dāng)々e(0,4-oo)時(shí)，g>0恒成立.

也即a>ex---eln?在勿E(0,+oo)上恒成立.

ex1、ex2-ex-ex(x-l)(ex-ex)(x-1)

令秋6)=ex------elnx,fz^x)=----------弓--------=---------$-------,

xxx

令771(力)=e/—e",則=e—e",由=0得力=1,當(dāng)力VI時(shí)m/(rc)>0,當(dāng)力>1時(shí)，m\x)<0,

即力=1時(shí)，m⑸有極大值，也是最大值，所以7?1(力)W?n(l)=0,

所以e力&6*(當(dāng)力=1時(shí)取等號(hào))，再