江蘇省南京市秦淮區(qū)2025屆高三數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE24-江蘇省南京市秦淮區(qū)2025屆高三數(shù)學上學期期中試題（含解析）留意事項：1.本試卷共4頁，包括填空題（第1題～第14題），解答題（第15題～第20題）兩部分，本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學校，班級、學號寫在答題卡的密封線內(nèi).試題的答案寫在答卷紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后，交回答卷紙.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答卷紙相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】，，.故答案為:.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于零，即可求解.【詳解】函數(shù)有意義須，，所以函數(shù)的定義域為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.3.計算：_______.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.【詳解】.故答案為:2.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.不等式的解集為_________.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化為，求解即可.【詳解】，化為，解得，所以不等式的解集是.故答案為:.【點睛】本題考查指數(shù)不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.在平面直角坐標系xOy中，點在直線上，則OP的最小值為______．【答案】【解析】【分析】OP的最小值為點O（0，0）到直線x+y﹣4＝0的距離．【詳解】∵在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）在直線x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值為點O（0，0）到直線x+y﹣4＝0的距離：d2．故答案為2．【點睛】本題考查兩點間的距離的最小值的求法，考查點到直線的距離公式等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．6.已知平面對量，，則與的夾角為______.【答案】【解析】【分析】求出向量的坐標，然后利用向量夾角的余弦公式可計算出與的夾角的余弦值，進而可求出這兩個向量的夾角.【詳解】，，，.設(shè)與的夾角為，則，，，因此，與的夾角為.故答案為：.【點睛】考查向量坐標加法和數(shù)量積運算，以及向量夾角的余弦公式，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)函數(shù)，（其中，）的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式為_______.【答案】【解析】【分析】由過求的值，依據(jù)五點畫法坐標求出，即可求出結(jié)論.【詳解】過點，，或，函數(shù)在軸右側(cè)第一個最高點坐標為若時，，若時，（舍去），.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)圖像求解析式以及五點畫法點的坐標，屬于中檔題.8.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象在點處的切線方程為，則的值為______.【答案】4【解析】【分析】切點在切線上求出，再由導數(shù)的幾何意義和切線方程可得，即可求解.【詳解】的圖象在點處的切線方程為，.故答案為:4.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，留意運用切點在切線上，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)，若對于隨意的都有，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】【詳解】因為函數(shù)的圖象開口向上的拋物線，所以要使對于隨意的都有成立，，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．10.在平面直角坐標系中，已知一動直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積比直線的縱截距、橫截距之和大1，則該三角形面積的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線方程為，求出直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積，建立關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求出的最小值，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線方程為，依題意得，當且僅當時，等號成立，或（舍去），，所求的三角形面積的最小值為.故答案為:.【點睛】本題以直線方程為背景，考查應(yīng)用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖，已知四邊形為平行四邊形，，，是邊上一點，且，若，則______.【答案】【解析】【分析】以為基底，將用基底表示，由已知求出，再由向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】，，.故答案為:.【點睛】本題考向量的線性運算、向量基本原理、向量的數(shù)量積，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知可得為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，不等式化為，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量不等式，即可求解.【詳解】的定義域為，，是奇函數(shù)，設(shè)為增函數(shù)，在為增函數(shù)，在為增函數(shù)，在處連續(xù)的，所以在上單調(diào)遞增，，化為，等價于，即，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案:【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，嫻熟駕馭函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.13.在平面直角坐標系中，過點向圓和圓各引一條切線，切點分別為.若，且平面上存在肯定點，使得到的距離為定值，則點的坐標為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)切線性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為與半徑關(guān)系，求出點軌跡，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，整理得，點的軌跡為以為圓心半徑為的圓，所以為所求.故答案為:.【點睛】本題考查求軌跡、直線與圓的位置關(guān)系，利用圓的切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】或【解析】【分析】時，求出，分析單調(diào)性確定零點的個數(shù)，當，通過配方結(jié)合二次函數(shù)的圖像，分析出零點的狀況，綜合二者，即可求出結(jié)論.【詳解】當時，，當時，，單調(diào)遞減，且，沒有零點，當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，取得極大值.當，當或時，在存在唯一零點，而在沒有零點，只有一個零點，不合題意，當時，，在有兩個零點，而此時在沒有零點，有兩個零點，滿意題意，當時，在不存在零點，則需在存在兩個零點，而，，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，且，的解為，綜上，或時，恰有兩個零點.故答案為:或.【點睛】本題考查二次函數(shù)的零點、利用導數(shù)探討函數(shù)的零點，考查分類探討思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算實力，屬于中檔題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知，且，.（1）求證：；（2）求的面積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，可得，代入已知等式，即可證明結(jié)論；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理，求出的值，即可求解.【詳解】（1），依據(jù)正弦定理得，，，；（2），，解得或（舍去），，的面積為.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.16.在平面直角坐標系中，已知圓過點，，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓的性質(zhì)，圓心為的垂直平分線和直線的交點，求解得圓心坐標，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)直線方程為，求出圓心到直線的距離，依據(jù)相交弦長公式，建立的方程，即可求解.【詳解】（1）的垂直平分線方程為，即，圓心為直線與直線的交點，聯(lián)立，解得，圓心，半徑，圓的標準方程為；（2）直線平行于，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為，，解得，或（舍去），直線方程為.【點睛】本題考查圓的標準方程、直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)用圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解實力，屬于中檔題.17.己知向量，，其中，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得出，結(jié)合平方關(guān)系，即可求解；（2）利用，結(jié)合兩角差的正弦公式，求出值，即可求出結(jié)論.【詳解】（1），，，；（2），，，.【點睛】本題以向量坐標及平行向量為背景，考查應(yīng)用三角恒等變換、同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值、求角；考查計算求解實力，屬于中檔題.18.設(shè)二次函數(shù).（1）若，求的解析式；（2）當，時，對隨意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)在兩個不同零點，將關(guān)于的不等式的解集記為.已知函數(shù)的最小值為，且函數(shù)在上不存在最小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，由根與系數(shù)關(guān)系，求解即可；（2）求出對稱軸，分類探討求出，求解不等式，即可求出結(jié)論；（3）由已知求出關(guān)系，進而求出集合，再由條件可得在上具有單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】（1），得，解得，；（2）對隨意的，恒成立，只需，當，時，對稱軸方程為，當，即時，，即，解得或（舍去），當時，，或，與沖突，舍去，綜上，實數(shù)的取值范圍是；（3），的最小值為，關(guān)于的不等式的解集，，對稱軸方程為，函數(shù)在上不存在最小值，所以在上具有單調(diào)性，或解得或（舍去），所以的取值范圍是.【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)最值以及單調(diào)性、一元二次不等式的求解，駕馭二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學計算實力，屬于中檔題.19.如圖，一段南北兩岸相互平行、寬度為的景觀河.靠南岸水域有一半徑為半圓形親水平臺，圓心在南岸邊上，北岸邊有一風雨亭（底座大小忽視不計），風雨亭距位于北岸邊上的點（在的正北方，在的右側(cè)）.為了便利市民休閑，現(xiàn)確定修建折線型步行棧道（圖中粗線所示），其中與圓相切，段的造價為4萬元/，段和段分別在南北兩岸邊上（其中為半圓的一條直徑的左端點），段和段的造價都為2萬元/.記為，.（1）若，求棧道段的長；（2）設(shè)三段棧道總造價為，求的最小值.【答案】（1）；（2）萬元.【解析】分析】（1）設(shè)直線與圓切于，過做，垂足為，，在中分別求出，即可求解；（2）由（1）得，在中，求出，求出總造價，依據(jù)函數(shù)特征，利用導數(shù)法求出微小值，進而求出其最小值.【詳解】（1）設(shè)直線與圓切于，過做，垂足為，在中，，在中，，，當時，；（2）由（1）得，，在中，，令，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以當時，取得微小值，也是最小值，此時，最小值為萬元.【點睛】本題考查三角函數(shù)實際應(yīng)用問題，應(yīng)用導數(shù)求最值，意在考查數(shù)學建模、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學計算實力，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）若，，并且函數(shù)在實數(shù)集上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）若，都不為0，記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點，是曲線上的不同兩點，點為線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點.試問：曲線在點處的切線是否平行于直線？并說明理由.【答案】（1）；（2）當?shù)闹涤蚴?，當?shù)闹涤蚴?，當?shù)闹涤蚴?；?）曲線在點處的切線不平行于直線，理由詳見解析.【解析】【分析】（1）只需在上恒成立，依據(jù)二次函數(shù)根的判別式，即可求解；（2）求導，對分類探討，求出在單調(diào)性，進而求出極值最值，即可得出結(jié)論；（3）由已知得到點坐標，由兩點式求出的斜率，再由導數(shù)得到曲線在處的斜率，由斜率相等，設(shè)，得到，令，后構(gòu)造函數(shù)，推斷是否存在零點，即可得出結(jié)論.【詳解】（1），當時，，函數(shù)在實數(shù)集上是單調(diào)增函數(shù)，在上恒成立，，實數(shù)的取值范圍；（2）當，，時，，當，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當，，，當，，當，綜上，當?shù)闹涤蚴?，當?shù)闹涤蚴?，當?shù)闹涤蚴?；?），都不為0時，點橫坐標為函數(shù)，，曲線在處的切線斜率為，直線的斜率為，則，假設(shè)曲線在點處的切線平行于直線，則，即，不妨設(shè)，則，令，時恒成立，所以在上是增函數(shù)，又，，即在上不成立，曲線在點處的切線不平行直線.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值值域、證明等式問題，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類探討思想方法，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算實力，屬于較難題.高三數(shù)學Ⅱ附加題部分說明：本試卷共4小題、滿分40分，考試時間30分鐘.請將答案填寫在答題紙上.21.已知矩陣的一個特征值所對應(yīng)的一個特征向量.（1）求矩陣；（2）求矩陣的另外一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量.【答案】（1）；（2）矩陣的另一個特征值為，對應(yīng)的一個特征向量是.【解析】【分析】（1）依據(jù)特征值和特征向量的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式，轉(zhuǎn)化成線性方程組可得，即可求出矩陣；（2）依據(jù)特征行列式求出另一個特征值，依據(jù)特征值求出特征向量即可.【詳解】（1）矩陣的一個特征值所對應(yīng)的一個特征向量，；（2），令，解得的另一個特征值為，當時，，令，則，于是矩陣的一個特征向量是，所以矩陣的另一個特征值為，對應(yīng)的一個特征向量是.【點睛】本題考查矩陣特征值和特征向量，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.22.在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)）.在以原點為極點、以軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.若直線與圓有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】將圓方程化為一般方程，直線極坐標方程方程綻開，利用，化為直角坐標方程，再由圓心到直線的距離小于半徑，建立的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】（為參數(shù)，為常數(shù)），消去參數(shù)，得，圓心，半徑為，得，由，直線的直角坐標方程為，直線與圓有兩個公共點，圓心到直線的距離為，，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查參數(shù)方程與一般方程互化、極坐標方程和直角坐標方程互化、直線與圓的位置關(guān)系，考查計算求解實力，屬于中檔題.23.已知實數(shù)滿意，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】對進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為含有形式，然后通過不等關(guān)系得證.【詳解】解：因為，所以,得證.【點睛】本題考查了肯定值不等式問題，解決問題的關(guān)鍵是要將要證的形式轉(zhuǎn)化為已知的條件，考查了學生轉(zhuǎn)化與化歸的實力.【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計20分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24.盒中共有10個球，其中有5個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同.