1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（解析版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識點(diǎn)一點(diǎn)坐標(biāo)的書寫【【解題思路】1.建立空間直角坐標(biāo)系的原則（1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面．（2）充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．3.空間點(diǎn)對稱問題的解題策略(1)空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．(2)對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．【例1-1】（22-23高二·全國·課堂例題）已知是單位正交基底，分別寫出下列空間向量的坐標(biāo)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由題意，是單位正交基底，，∴.（2）由題意，是單位正交基底，，∴.（3）由題意，是單位正交基底，，∴.（4）由題意，是單位正交基底，，∴.【例1-2】（22-23高二上·浙江臺州·階段練習(xí)）已知是空間向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵向量在基底下的坐標(biāo)為，∴，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則，∴，解得，即.故選：D.【例1-3】（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為 B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為【答案】C【解析】由圖可得，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，故A正確；由于，所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，故B正確；點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C不正確；由于點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，故D正確.故選：C.【例1-4】（22-23高二·全國·課堂例題）長方體的長、寬、高分別為，，．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求頂點(diǎn)A，B，C，D，，，，的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】以A為原點(diǎn)，分別以有向直線AB，AD，為x軸、y軸、z軸的正方向，以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則點(diǎn)A，B，C，D都在平面xAy內(nèi)，因而其豎坐標(biāo)z都為0，因此A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，．由于點(diǎn)，，，都在一個(gè)垂直于z軸的平面內(nèi)，又，所以這四點(diǎn)的豎坐標(biāo)z都是5．又過，，，分別作xAy平面的垂線，垂足分別A，B，C，D，因此，，，的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y分別與A，B，C，D的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y相同．因此，，，的坐標(biāo)分別是，，，．【例1-5】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，已知平行六面體的底面為邊長為的正方形，分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】四邊形為正方向，，由題意知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，，.【變式】1．（2024湖北）在正方體中，若點(diǎn)是側(cè)面的中心，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，為的中點(diǎn)，∴，∴坐標(biāo)為.故選：D2．（2024上海）如圖，正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點(diǎn)，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】，，，，，.【解析】因?yàn)檎襟w的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點(diǎn)所以，，，，，3．（22-23高二下·全國·課后作業(yè)）在平行六面體中，底面是矩形，，，平行六面體高為，頂點(diǎn)在底面的射影是中點(diǎn)，設(shè)的重心，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)；(2)；(3)；【答案】(1)，，，(2)(3)【解析】（1）

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，以過點(diǎn)作的平行線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在平面上則，由圖可知它到軸投影對應(yīng)數(shù)值，則，到軸投影對應(yīng)數(shù)值為，則，即，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在平面上則，由圖可知它到軸投影對應(yīng)數(shù)值，則，到軸投影對應(yīng)數(shù)值為，則，即，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在平面上則，由圖可知它到軸投影對應(yīng)數(shù)值，則，到軸投影對應(yīng)數(shù)值為，則，即，且點(diǎn)在軸上，則.（2）是的重心，由三角形重心公式可得.（3）設(shè)，且，則，，又，即點(diǎn)B坐標(biāo)為.4．（23-24高二·江蘇）如圖，在三棱柱中，平面平面，，且，，請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】已知平面平面，，在平面取一向量，由于平面平面，所以平面，又，所以，OA，OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示因?yàn)?，，所以到z軸的距離為，三棱柱的高為，則，，，，，.5．（23-24江西）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，．已知，，．請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】在平面上過點(diǎn)作垂直的直線，與相交于點(diǎn)，如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，則，所以，，，，，，側(cè)面，側(cè)面，，又，平面，，平面，平面，則，設(shè)，則，中，由余弦定理，，中，由余弦定理，，中，，，解得或，為棱上異于的一點(diǎn)，所以，則有.知識點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)【【解題思路】向量坐標(biāo)的求法(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)形式完全相同；(2)起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運(yùn)算求得．【例2】（2024河北邯鄲）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【變式】1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）（多選）在棱長為2的正方體中，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意可知，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD2．（22-23高二下·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.寫出向量，，的坐標(biāo).

【答案】答案見解析【解析】根據(jù)題意可得，又E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，可得，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，即；，即；，即；所以可得，，.3．（22-23高二·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.寫出向量，，的坐標(biāo).

【答案】答案見解析【解析】根據(jù)題意可得，又E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，可得，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，即；，即；，即；所以可得，，.知識點(diǎn)三空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【【解題思路】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定；(2)直接計(jì)算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計(jì)算．(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo)．【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，向量，所?故選：C【例3-2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，則，且，所以，則向量在向量上的投影向量為.故選：C【例3-3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知、，且與夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椤?，且與夾角為鈍角，則且與不反向，若，則，解得，若與反向，設(shè)，則，解得，綜上可得的取值范圍是.故選：D【例3-4】（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知，，，則“”是“構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】①當(dāng)“”時(shí)，，設(shè)，則，無實(shí)數(shù)解，故不共面，能構(gòu)成空間基底；②設(shè)，則，即，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，即不共面，故無實(shí)數(shù)解，即.綜上，“”是“構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的充分不必要條件.故選：A【變式】1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，則等于（

）A．-4 B．-6 C．-7 D．-8【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所以，則，故選：B2．（2024江蘇無錫）已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以共面，則存在使得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為1．故選：A．3．（23-24甘肅白銀）已知空間向量,若,則（

）A．6 B． C．36 D．5【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所?故選：A4．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，，由與互相垂直，得，即，所以.故選：D5．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，，且，，所以，解得或，所以?故選：A6．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量的模為（

）A．3 B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑵M足，且，所以，向量在向量上的投影向量為，則其模長為．故選：D．7．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【解析】由，由，.所以.故選：D知識點(diǎn)四空間平行垂直問題【【解題思路】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)．(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直問題．【例4-1】（23-24高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖所示，平面，底面是邊長為1的正方形，，P是上一點(diǎn)，且．

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見詳解【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，，,∵，∴，解得，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）由（1）知，，∵，∴．【變式】1.（23-24高二上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．證明：(1)；(2)不與平行；(3)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】（1）證明：設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，所以，，，則，又因?yàn)椴辉谥本€上，所以，.（2）證明：，，顯然、不共線，所以，不與平行.（3）證明：，，則，所以，.2．（2024福建莆田·階段練習(xí)）在正棱錐中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，是的重心，，分別是，上的點(diǎn)，且.求證：（1）平面平面；（2），.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）以三棱錐的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以??所在的直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系.令，則，，，，，，.∴，.故，∴.又平面，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）∵，，.∴，.∴，.知識點(diǎn)五夾角、距離【【解題思路】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)．(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化夾角與距離問題．【例5-1】（22-23高二·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在長方體中，，，點(diǎn)M在上，，N為的中點(diǎn)，求M，N兩點(diǎn)間的距離．

【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，，所以，，所以.

【例5-2】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，，分別在棱，上，，．

(1)求線段的長．(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，即線段的長為.（2），，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．

【變式】1．（22-23高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知直三棱柱中，，且D，E分別是棱的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求與的長．【答案】，【解析】在直三棱柱中，，，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，因此，棱的中點(diǎn)，棱的中點(diǎn)，所以.2．（2024甘肅）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，分別為，，的中點(diǎn)．若，．

(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）以為原點(diǎn)，分別以射線??為軸?軸?軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，所以，則.

（2）由（1）知，，所以；3．（2024云南）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且．求．【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，，，，，，，，所以，，.所以.知識點(diǎn)六空間向量解決探索性問題【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在點(diǎn)，使得？(2)在上是否存在點(diǎn)，使得平面？【答案】(1)存在(2)存在【解析】（1）直三棱柱中，，，，則、、兩兩垂直如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別為軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．

（1）假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得，則，其中，則，于是，由于，且，所以，得，所以在AB上存在點(diǎn)D，使得，且這時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．（2）假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得平面，則，其中，則，．又，，平面，所以存在實(shí)數(shù)，使成立，∴，，．所以，所以在上存在點(diǎn)使得平面，且是的中點(diǎn)．【變式】1．（24-25高二下·全國·期末）在直三棱柱中，，分別為棱中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，且，則當(dāng)為何值時(shí)，有？【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，分別為的中點(diǎn)，結(jié)合題意得，且，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），取中點(diǎn)為，則有，連接，由題意得底面，如圖以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，則，得，由題意得，即當(dāng)時(shí)有.2．（23-24高二上·浙江·期末）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，

(1)求證；(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，，所以，又，，所以，而，，故，因，平面，故平面，又平面，所以；?）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，而，所以，所以，所以，又，因?yàn)?，故，所以，解得，所以?/p>

3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱中，所有的棱長均為2，M是邊的中點(diǎn)，則在棱上是否存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為？

【答案】不存在【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由棱長都等于2，可得，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)N在棱上，可以設(shè)，則有，，∴，,，，，即，解得，而這與矛盾，所以在棱CC1上不存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為.【題組一點(diǎn)坐標(biāo)的書寫】1．（23-24高二下·四川·階段練習(xí)）（多選）在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3，4)B．點(diǎn)關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，2，－3)C．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，－1，－5)D．兩點(diǎn)間的距離為3【答案】BCD【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；點(diǎn)關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；關(guān)于原點(diǎn)的對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C正確；兩點(diǎn)間的距離為，故D正確.故選：BCD2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，則PD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【答案】【解析】依題意，，則，則點(diǎn)，而點(diǎn)，所以PD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為：3．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎强臻g不共面的一組向量，是空間不共面的另一組向量，若向量在下的坐標(biāo)為，則向量在下的坐標(biāo)是．【答案】【解析】由向量在下的坐標(biāo)為，則，設(shè)向量在下的坐標(biāo)是，則，則，解得，所以向量在下的坐標(biāo)是，故答案為：4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱中，平面為棱的中點(diǎn)，已知.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】，【解析】在平面上過點(diǎn)作垂直的直線，與相交于點(diǎn)，如圖所示，側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面，,又,所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，則，所以，，，，，，為棱的中點(diǎn)，則有.5．（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，，M為線段AD上一點(diǎn)，，N為PC的中點(diǎn)．請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】答案見解析【解析】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，且，所以，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)?所以,所以.【題組二空間向量的坐標(biāo)】1．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出，C，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C，(2)；；；．【解析】（1）點(diǎn)在z軸上，且，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）；；；．2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：(1)向量，，的坐標(biāo)；(2)，的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)【解析】（1）由已知，則，，（2）,.【題組三空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．（23-24高二上·河南信陽·階段練習(xí)）（多選）已知向量,，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，所以A正確；，，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，，故D正確；故選：ABD2．（23-24高二上·山西朔州·階段練習(xí)）（多選）已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)橄蛄?，可得，對于A中，由，設(shè)，即，可得，此時(shí)方程組無解，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由，所以，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BCD.3．（23-24高二上·廣東江門·期中）已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得，故選：C4．（23-24高二上·安徽·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，故，，，．故選：A5．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．與夾角的余弦值為C． D．【答案】C【解析】對于A：，因?yàn)?，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對于B：與夾角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對于C：，，則，即，故C正確；對于D：，，故D錯(cuò)誤；故選：C6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多選）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，故A正確；由題得，而，所以不成立，故B不正確；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，故D錯(cuò)誤；故選：AC.7．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎臻g向量與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)榭臻g向量與夾角為鈍角，所以，得到，即，由，得到，此時(shí)與共線反向，夾角為，不合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【題組四空間平行垂直問題】1．（2024河北）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．求證：PC⊥BF，PC⊥EF．

【答案】證明見解析【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四邊形ABCD是矩形，∴，∴|PB|＝，∴|PB|＝|BC|，又F為PC的中點(diǎn)，∴PC⊥BF，∵|PE|＝，|CE|＝，∴|PE|＝|CE|，又F為PC的中點(diǎn)，∴PC⊥EF．2．（23-24黑龍江）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、.（2）證明：依題意可得、，則，，所以，，所以.3．（22-23高二上·重慶江北·期末）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥平面PCD；(2)求點(diǎn)C到平面MND的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD.（2）∵平面PCD，∴，設(shè)點(diǎn)C到平面MND的距離為，，，則有，解得.故點(diǎn)C到平面MND的距離為4．（2024新疆）如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點(diǎn)．已知，．(1)證明：；(2)若，求該圓柱的體積．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）連結(jié)，可知平面平面（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)圓柱的高為可得由題意得，解得故圓柱的體積5．（23-24北京）如圖，已知多面體ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.證明：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，．因此，，．由，得．由，得．又因?yàn)?，所以平面．【題組五夾角、距離】1．（23-24高二上·海南?？凇て谥校┤鐖D，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，若直線與平面AEF交于點(diǎn)M，則線段的長度為（

）

A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】如圖所示，連接，直線與都在平面內(nèi)，所以直線與的交點(diǎn)，即與平面的交點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，則，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，可得，設(shè)點(diǎn)，可得，解得，即點(diǎn)，所以.故選：C.2．（23-24高二上·江西·期中）如圖，在直三棱柱中，線段，，的中點(diǎn)分別為，，.已知，，.

(1)證明：；(2)求.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由題意易知，，兩兩相互垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.因?yàn)?，，所以，因?（2）因?yàn)椋?，則，，可得，所以.3．（2024·重慶巴南）如圖所示，直三棱柱中，，，棱．、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與直線所成夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)橹比庵校?，所以兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，、分別是、的中點(diǎn)．所以，，，，，，，所以，所以，即，所以（2）解：根據(jù)（1）得，，，，所以，，所以所以直線與直線所成夾角的余弦值為.4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長度．

【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，.5．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問題