高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：等差數(shù)列題型戰(zhàn)法

第六章數(shù)列

6.1.1等差數(shù)列(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一等差數(shù)列的通項公式

若等差數(shù)列首項為為,公差為d,則通項公式為

an=%+(〃一l)d

二等差數(shù)列的前〃項和公式

S=^^=nai+^^d

22

三等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)對于等差數(shù)列,若m+n=p+q=2k,則+%+4=2%.

(2)若數(shù)列｛4｝與也〃｝為等差數(shù)列,則｛pc1n+qbn｝仍為等差數(shù)列

(3)2=(%—4)是關(guān)于n的一次式或常數(shù)函數(shù)，則｛2｝也是一個等差數(shù)列

n22n

(4)S“,S2n,昆“分別為｛4｝的前〃項和,前2〃項和,前3"項和，則S.，S2n-sn,S3,,42,成

等差數(shù)列

(5電"4=(2"—l)a.

(6)若等差數(shù)列｛見｝的前2九-1項的和為邑,1，等差數(shù)列仍“｝的前2〃-1項的和為(“T,則以0=答.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一等差數(shù)列的基本量計算

典例1.已知在等差數(shù)列｛%｝中，。4+q=20,%=12,則。9=()

A.8B.10C.14D.16

變式1-1.記S“為等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和.若-2,a2+a6=2,則Sg=()

A.-54B.-18C.18D.36

變式1-2.設(shè)S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知4=3,Sg=48,則％=()

A.5B.6C.7D.8

變式1-3.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，4=2,%=44，則r。=()

A.-110B.-115C.110D.115

變式1-4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若4=2,2S3=S2+a4,則々磔:)

A.-6065B.-6061C.6061D.6065

題型戰(zhàn)法二等差中項的應(yīng)用

典例2.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且滿足/+%+%0=75,則4+%2=()

A.42B.48C.50D.58

變式2-1.已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，若q+%+%=15,則4+%的值為()

A.4B.6C.8D.10

變式2-2.已知｛4｝是等差數(shù)列，且4T是0和生的等差中項，則｛為｝的公差為（）

A.-2B.-1C.1D.2

變式2-3.已知正項等比數(shù)列｛風(fēng)｝首項為1,且4%，，/2%成等差數(shù)列，則｛q｝前6項和為（）

口31「63

A.31B.—C.—D.63

3232

變式2-4.等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S",已知H，2sz,3s3成等差數(shù)列，則｛%｝的公比為（）

A.1B.-C.3D.-

243

題型戰(zhàn)法三等差數(shù)列中的最大（?。╉?/p>

典例3.設(shè)等差數(shù)列｛g｝的前”項和為S,,若％=T1,%+&=-6,則當S“取最小值時，”值為（）

A.8B.7C.6D.9

變式3-1.設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差為d〉0,且S”為其前〃項和，若%=9q+40d,則S“取最

小值時，〃等（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

變式3-2.等差數(shù)列｛%｝中，已知%>0,%+%<0,則｛4｝的前〃項和5〃的最小值為（）

A.S、B.56C.S]D.凡

變式3-3.等差數(shù)列｛2｝的前〃項和為S〃，公差為d,已知。心0且2q+7d=0.則使S.>。成立的最

小正整數(shù)〃的值為（）

A.4B.5C.8D.9

變式3-4.已知等差數(shù)列(??｝的前"項和為S“，若％>0,且&=九，使S“>0成立的最大〃值為()

A.13B.14C.26D.27

題型戰(zhàn)法四等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

典例4.等差數(shù)列｛風(fēng)｝的前幾項和為S“，若其=6,S6=21,則Sg=().

A.27B.45C.18D.36

變式4-L若｛q｝為等差數(shù)列，其前幾項和為I，S4=2,S8=6,則工=()

A.10B.12C.14D.16

變式4-2.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，已知Ss=5,&=21,則4=()

A.9B.10C.12D.13

變式4-3.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，Y=|,則"=()

A.—B.—C.—D.—

10389

變式4-4.在等差數(shù)列｛q｝中，其前〃項和為5.，若521。=6：1,則S28：S]4=()

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

題型戰(zhàn)法五兩個等差數(shù)列前n項和之比問題

典例5.設(shè)等差數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別是臬，若*=含，則充=()

CD

A.—B?日-T7-it

20

變式5-1.等差數(shù)列&｝,也｝的前〃項和分別為5“工，且米=累，貝（）

A-1B-1CAD-H

變式52若兩等差數(shù)列｛%｝,也｝前〃項和分別為4,B“,滿足上=辭!（〃€猴），則年的值為?

734「78

A.-B.-C.一D.—

42371

變式53已知5“工分別是等差數(shù)列也｝,也｝前項和，且率=fj￡!（”eN*）,則號/+）

1

n""乙%十"18。6十05

VB.IIC.gDc.—41

78

變式5-4.設(shè)等差數(shù)列｛4｝與等差數(shù)列也｝的前〃項和分別為S“，若對于任意的正整數(shù)〃都有

2〃+1”

)

c35

A.—B.—C.—D.——

52504846

題型戰(zhàn)法六等差數(shù)列的簡單應(yīng)用

典例6.我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有白米一百八十石，

令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”其意思為：“今有白米一百八

十石，甲、乙、丙三人來分，他們分得的白米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么

三人各分得多少白米？''請問甲應(yīng)該分得白米為（）

A.96石B.78石C.60石D.42石

變式6-1.在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬

至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、

雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

變式6-2.《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公

約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題:

“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布

增長（）

A.上尺B.3尺C.電尺D.色尺

7312915

變式6-3.中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙

、丁，戊五人遞差分之，要將甲、乙二人數(shù)與丙、丁，戊三人數(shù)同.問：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大

米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米

重量與丙，丁，戊三人所得大米重量相等，問每個人各分得多少大米？在這個問題中，丁分得大

米重量為（）

A.32石B.40石C.48石D.56石

變式6-4.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十二斤綿，贈分八子做盤纏，

次第每人多十六，要將第八數(shù)來言”.題意是：把992斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小

的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多16斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

題型戰(zhàn)法七由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列

典例7.數(shù)列｛q｝滿足4=6------

an-\

⑴求證：數(shù)列;是等差數(shù)列.

a-3j

⑵若q=6,求數(shù)列｛%｝的通項公式

變式7-1.已知數(shù)列｛4｝中，q=g,an-an+1=2anan+1.

⑴證明:數(shù)列是等差數(shù)列.

⑵求數(shù)列｛4｝的通項公式.

變式7-2.已知數(shù)列｛%｝中，4=2,?！?2設(shè)2=1^(〃€篦

an-\a〃—1

⑴求證：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

(2)求｛%｝的通項公式.

變式7-3.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足一工7，且幻=3(〃eN*).

⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

U-2J

(2)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式.

31

變式7-4.設(shè)S〃為數(shù)列｛q｝的前〃項和，且亍S向=2-3

(1)證明：數(shù)列占是等差數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛凡｝的通項公式.

題型戰(zhàn)法八含絕對值的等差數(shù)列前n項和

典例8.已知在前〃項和為S”的等差數(shù)列｛%｝中，2%-電=22,53=102.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛㈤｝的前20項和盤.

變式8-1.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，%+%=-2,邑=57.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式?！?；

(2)求數(shù)列｛|。.|｝的前〃項和T,.

變式82在等差數(shù)列｛%｝中，%=T86,09c+5O.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛同｝的前〃項和T".

變式8-3.記數(shù)列｛?！埃?，。1=-7,2=-6,a“+i=kz“+l(〃eN+#eR).

⑴證明數(shù)列｛%,｝為等差數(shù)列，并求通項公式

(2)記］=同+同+同+…+同，求T”.

變式8-4.數(shù)列｛%｝中，q=8,g=2,且滿足。皿-2*1+%=。.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設(shè)％=同,求數(shù)列出｝的前"項和.

第六章數(shù)列

6.1.1等差數(shù)列(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一等差數(shù)列的通項公式

若等差數(shù)列首項為由,公差為d,則通項公式為

an=ax

二等差數(shù)列的前〃項和公式

S,l=^^=nal+^^d

n212

三等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)對于等差數(shù)列｛〃/，若m+rt=p+q=2k,則4n+q=+4=2%.

⑵若數(shù)列｛%｝與｛〃｝為等差數(shù)列，貝網(wǎng)pan+qbn］仍為等差數(shù)列

(3)&+3-4)是關(guān)于〃的一次式或常數(shù)函數(shù)，貝IJ｛2｝也是一個等差數(shù)列

n22n

(4)S?,S2n,邑,分別為｛4｝的前幾項和,前2〃項和，前3〃項和,則S",S2n-Sn,

S3-S2"成等差數(shù)列

(5電,_1=(2〃一1)4

(6)若等差數(shù)列｛q｝的前2”-1項的和為邑等差數(shù)列仍“｝的前2〃-1項的和為,則

邑"-1_an

丁2“-1%

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一等差數(shù)列的基本量計算

典例1.已知在等差數(shù)列｛%｝中，&+4=20,%=12,則佝=()

A.8B.10C.14D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)公差為d,

q+3d+q+7d=20/日q=0

則

q+6d=12d=2

%="i+8d=16.

故選：D.

變式1-1.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若％=-2,。2+。6=2,則￡=()

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)公差為d,

則出+4=2al+6d=-4+6d=2,解得(7=1,

所以=〃-3,

9(%+佝)9x(-2+6)

所以S9=--------=----------=1O.

22

故選：C.

變式1-2.設(shè)5“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知名=3,$8=48,則％=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】結(jié)合已知及等差數(shù)列的通項公式及求和公式，可求解公差d,從而求得通

項公式,代入〃=5則可得出答案.

a.+2d=3%=-1

【詳解】由已知可得,8%+28"=48'解可得

d=2

cin——1+(7?—1)x2—2〃—3

a5=2x5—3=7

故選：C.

變式1-3.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",4=2,%=4%,則品,=()

A.-110B.-115C.110D.115

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式求出公差，結(jié)合等差數(shù)列前九項求和公式

計算即可.

【詳解】由題意知，4=2，%=4%,

得4+6d=4（6ZJ+2d）,解得d=-3,

所以九=10x2+業(yè)竽3*（-3）=-115.

故選：B

變式1-4.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，若4=2,2s3=Sz+%，貝心2儂=（）

A.-6065B.-6061C.6061D.6065

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式及通項公式，列出方程組求出公差d,從而

即可求解.

【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為力根據(jù)已知可得213x2+言V）=2x2+d+2+3d,

解得d=-3,

所以4022=2-3X（2022_1）=-6061.

故選：B.

題型戰(zhàn)法二等差中項的應(yīng)用

典例2.已知數(shù)列｛“"｝是等差數(shù)列，且滿足+。9+%0=75,則4+%2=（）

A.42B.48C.50D.58

【答案】C

【分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得%+%+%）=3%=75,則佝=25,因此，

a6+ai2=2a9=5。.

故選：c.

變式2-1.已知數(shù)列｛?｝為等差數(shù)列，若％+%+%=15,則和的值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】由等差中項的性質(zhì)進行計算

【詳解】由題意得：6+%+%=3%=15,所以%=5,

故%+4—2a§—10

故選：D

變式2-2.已知｛4｝是等差數(shù)歹U,且%-1是出和牝的等差中項，則｛%｝的公差為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式得出｛見｝的公差.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為由已知條件，得生+%=2（%-1）

即q+d+（4+4d）=2（卬+2d—l）,解得d=—2.

故選：A

變式2-3.已知正項等比數(shù)列?｝首項為1,且4%，%，2%成等差數(shù)列，則｛%｝前6項

和為（）

3163

A.31B.—C.—D.63

3232

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前九項和公式即可求解.

【詳解】???4%,%2%成等差數(shù)列，

2a3=4%+2&，

1?=46/+2〃]/,即2/+q—l=0,解得4=g或9=一1,

又?."">0,

2

故選：C.

變式2-4.等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，已知H，2s>3s3成等差數(shù)列，則｛%｝的

公比為（）

A.~B.—C.3D.—

243

【答案】D

【分析】利用等差中項以及等比數(shù)列的定義即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

因為S1,2s2,3邑成等差數(shù)列，所以4+353=2x28,

所以4q+3a2+3色=4q+4%,

化為：3〃3=〃2,解得4=；.

故選：D

題型戰(zhàn)法三等差數(shù)列中的最大（小）項

典例3.設(shè)等差數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，若a4+a6=-6,則當S“取最小值

時，〃值為（）

A.8B.7C.6D.9

【答案】C

【分析】先求得等差數(shù)列｛《｝的通項公式，即可得到4取最小值時〃的值.

.、，，.,[ci,=-11,[CL=—11

【詳解】由?,,可得，

[4+3d+q+5d——6[d=2

則等差數(shù)列｛%｝的通項公式為%=Tl+2伽-1）=2〃-13

則等差數(shù)列｛〃〃｝中：％<%<。3<〃4<“5<4=-1<0<1=%<“8<Q9V

則等差數(shù)列｛??｝的前〃項和S,取最小值時，n的值為6

故選：C

變式3-1.設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差為d>0,且S,,為其前〃項和，若&=9%+404,

則S"取最小值時，〃等（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

【答案】C

【分析】通過已知條件求得4=。，由此確定正確選項.

【詳解1因為幾=9%+40d,所以10q+45d=9ax+40d,所以％=-5d,即4=。.

因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差為d>o,所以〃=5或6時，s“取最小值.

故選：C.

變式32等差數(shù)列?｝中，已知%>。，?2+?io<O，則｛%｝的前“項和S”的最小值

為（）

A.S5B.$6C.S[D.58

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將%+%<。轉(zhuǎn)化為％<0，而%>。，可知數(shù)列是遞增數(shù)，

從而可求得結(jié)果

【詳解】???等差數(shù)列｛4｝中，2+4。<0,

1+410=2。6<0,即%<0.又%>°，

...｛??｝的前幾項和S”的最小值為色.

故選：B

變式3-3.等差數(shù)列｛氏｝的前〃項和為S“，公差為d,已知q<0且2q+7d=0.則使

S,>0成立的最小正整數(shù)〃的值為（）

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列求和公式結(jié)合條件可得S“=-與”2+9卬〃,然后解不等式即得.

2

【詳解】因為24+7d=0,d=--ax,

所以S'=叫+""；1"=_]〃2+：的,又4<0,

由S“>0,可得>一8〃>0,即〃>8,

所以使5“>。成立的最小正整數(shù)n的值為9.

故選：D.

變式3-4.已知等差數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，若%>0,且式=%,使4>0成立的

最大”值為（）

A.13B.14C.26D.27

【答案】C

【分析】由幾=幾可解得%=。，再利用等差數(shù)列的前”項和公式并結(jié)合等差數(shù)列

的性質(zhì)即可求解

【詳解】由兀=幾=陽+。“+%5=。=3%4=。=%4=。

又q>0,所以公差d<0

S16===130+%）>0

s_27(/+%)—27a-o

°27—2—N/44—U

所以使S“>0成立的最大n值為26

故選：C

題型戰(zhàn)法四等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用

典例4.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若邑=6,'=21,則Sg=().

A.27B.45C.18D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)可得邑，S',品-4成等差數(shù)列，從而可

列方程可求出結(jié)果.

【詳解】由已知S3,S6-S3,S9-S6,即6,15,項-21成等差數(shù)列,

所以2x15=6+(09—21),所以Sg=45,

故選:B.

變式4-1.若｛%｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，S4=2,S8=6,則品=()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)計算即可.

［詳解］由等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)可得兀-乞,邑,邑成等差數(shù)列，

.-.2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2(6-2)=2+S12-6,

得兀=12.

故選：B.

變式4-2.記等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，己知名=5,15=21,則1=()

A.9B.10C.12D.13

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)可知：s5,sw-s5,幾-九成等差數(shù)列，根據(jù)

等差中項的性質(zhì)列方程即可求解.

【詳解】因為S,是等差數(shù)列｛g｝的前"項，

由等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)可知：

Ss，Sw-S5,幾-幾成等差數(shù)列，

所以2（耳。一55）=55+（九一5。），

即2（%-5）=5+（21-%）,解得:%=12,

故選：C.

變式43已知數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，9=；,則m=（

"3J]?

A.—B.-C.-D

1038-I

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)求解即可

【詳解】由，=g，得$6=3邑，設(shè)$3=%則$6=3%

因為數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，

所以SSN-S.SL"，兀-',……，是以加為首項,m為公差的等差數(shù)列,

所以品-￡=3m,Sn-S9=4m,

所以89=6^,S12=10m,

?tS63m3

所以丁=77蔡=6，

d1210m10

故選：A

變式44在等差數(shù)列｛%｝中，其前〃項和為S“，若S"：S7=6:1,則$28：兒=（

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)求解即可

【詳解】由等差數(shù)列前”項和的性質(zhì)可得，$7,凡-邑㈤「跖，邑成等差數(shù)列，

設(shè)跖=s,則S"=6s,即s,幾一，，6S-、4成等差數(shù)歹U,故2（&-S）=S+6S-&，解得

S14=3S,故57,514-跖，521-、4,528-51即$，2$,35,45,故%-6s=4s,%=10s,故

$28：兒=1。：3

故選：D

題型戰(zhàn)法五兩個等差數(shù)列前n項和之比問題

典例5.設(shè)等差數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別是加1,若＞含，則詈=（）

1n十/線

【答案】B

【分析】利用魯=》求解.

b

641

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛叫，也｝的前〃項和分別是s〃z,

aY+anll(q+qi)

&2211

----

所以-%3O

22+2-

故選：B

變式5-1.等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項和分別為"，且A累，則￡=（）

19

D.

32

【答案】D

【分析】利用%冷於即可得解

【詳解】由題吟卷）二2x9+119

3x9+532,

故選：D

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

A7〃+3

變式52若兩等差數(shù)列｛4｝,他｝前“項和分別為4,紇，滿足才=G7（”€乂），

則》的值為.

bu

A7c34-78

A.-B.—C.—D.—

42371

【答案】B

【詳解】解：因為兩等差數(shù)列｛〃“｝、｛〃｝前〃項和分別為4、紇，滿足

變式5-3.已知S",分別是等差數(shù)列｛4｝,也｝前項和，且＞集|（〃eN*）,則

%0|

03+“18"6+015

【答案】D

【分析】利用孑=A5eN*）及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.

bnT2n-i

【詳解】S,,!；分別是等差數(shù)列｛q｝也｝的前項和，故詈=A（〃eN*）,且

"n12n-l

Z?3+Z?18=b6+bi5=bi0+bn,故

a+a

al0+_%o+11_ion_^20_2x20+1_41

b+b

4+%6i54o+%4+%a0+仄1T204X20-278

故選：D

變式5-4.設(shè)等差數(shù)列｛4｝與等差數(shù)列｛4｝的前〃項和分別為S“，人若對于任意的正

S2〃+1a

整數(shù)〃都有,=不「則才Q=（）

A.至B.衛(wèi)C.衛(wèi)D?史

52504846

【答案】B

【分析】先設(shè)Sa=（2〃+1）加，Tn=（3n-l）nt,由%W，々=7；-[直接計算，■即

可.

【詳解】設(shè)5“=（2〃+1）m，（=（3，-1）加，rwO.貝1]%=58-57=136-105，=31/,

LLI%31

&=心一1=234好184y50/,所以,=云.

b950

故選：B.

題型戰(zhàn)法六等差數(shù)列的簡單應(yīng)用

典例6.我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有白米

一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”

其意思為：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人來分，他們分得的白米數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”請問甲應(yīng)該分得白

米為（）

A.96石B.78石C.60石D.42石

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列中的項，根據(jù)等差數(shù)列的計算公式可得解.

【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙分得的米重量分別為生,%，則《1+。2+。3=3g=180,

且q—“3=-2d=36,解得％=60,d=—18,

所以q=60+18=78,

故選：B.

變式6-1.在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的

一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、

清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、

立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、

驚蟄、谷雨日影長之和為（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

【答案】A

【分析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為可

尺，公差為d尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出d,即可求出為,從而得到答案.

【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立

夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{6},如冬至日的日影長為外

尺，設(shè)公差為d尺.

由題可知，所以4+&+%=3L5=>3a4=31.5=>%=25，

%+%+%=28.5=>3%—28.5=>%=9.5,

d=%—=9.5—10.5——1,

6+4+%=3%=3（%+d）=3x（9.5—l）=3x8.5=25.5,

故選：A.

變式6-2.《張丘建算經(jīng)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的

成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問

題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共

織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長（）

A.*B,（尺C,2尺D.2尺

【答案】C

【分析】設(shè)每日織布增長X尺，根據(jù)題意，并利用等差數(shù)列的求和公式列出方程求

解即可.

【詳解】設(shè)每日織布增長x尺，則5+(5+x)+(5+2x)++(5+29x)=390,

(5+5+29^)x30

即=390,解得尤

2

故選：C.

變式6-3.中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有米二百四十石,

令甲，乙，丙、丁，戊五人遞差分之，要將甲、乙二人數(shù)與丙、丁，戊三人數(shù)同.問：

各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量

依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重量相

等，問每個人各分得多少大米？在這個問題中，丁分得大米重量為()

A.32石B.40石C.48石D.56石

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量。-2〃，a-d,a,a+d,

a+2d,根據(jù)已知條件列方程求參數(shù)a、d,即可求丁分得大米重量.

【詳解】設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得大米分別為a—2d,a—d,a,a+d,a+2d,

??彳衣昂頁后、，ci—2d+ci—d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,

3^.a—2c/+a—d+a+a+d+a+2d—5a=240,角軍d導(dǎo)a=48,

綜上，可得d=-8,

工丁分得大米重量為a+d=40(石)，

故選：B.

變式6-4.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十二斤綿，贈分

八子做盤纏，次第每人多十六，要將第八數(shù)來言”.題意是：把992斤綿分給8個兒

子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多16斤綿，那

么第8個兒子分到的綿是()

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

【答案】C

【解析】由題意設(shè)第9-〃個兒子分到的綿是與，構(gòu)造等差數(shù)列｛%｝,利用等差數(shù)列

求和公式求解q.

【詳解】設(shè)第8個兒子分到的綿是生,第9-〃個兒子分到的綿是%,則｛%｝構(gòu)成以%

為首項，-16為公比的等比數(shù)列

Ss=84+=X(T6)=992

解得q=180

故選：C

【點睛】與數(shù)列有關(guān)的實際問題，可由條件構(gòu)造等差或等比數(shù)列，利用求和公式構(gòu)

造等式求解.

題型戰(zhàn)法七由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列

典例7.數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=6-——(〃eN*,〃N2).

an-\

(1)求證：數(shù)列」是等差數(shù)列.

(2)若4=6,求數(shù)列｛%｝的通項公式

【答案】(1)證明見解析

3

(2)%=3+—

n

【分析】(1)由遞推關(guān)系可證得，-一二=：,由此可證得結(jié)論；

(2)由等差數(shù)列通項公式可求得」，由此可得％.

(1)

]______1_1__1二%__1_J

a-33<7-9a-3

當〃22時，?！ㄒ?an_x-36__2__3n-\n-in-i3%-93,

*一

數(shù)列是以:為公差的等差數(shù)列.

4-3J3

(2)

；.數(shù)列<二-J首項為公差為9，/

Jyan-3]33〃〃-3JJJ

33

貝I」—3=一,/.％=3H■一.

nn

變式7-1.已知數(shù)列｛%｝中，4=；，4-4,+1=2。必+1.

⑴證明:數(shù)列是等差數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛g｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析；

1

⑵

【分析】(1)根據(jù)已知條件，證明一一一；為常數(shù)即可;

Un+\an

(2)根據(jù)⑴的結(jié)論和等差數(shù)列通項公式即可求｛%｝的通項公式.

(1)

由已知得，5=2]a“-.什]2,c_2

an~aa~aa'

??+inn+1nn+l

所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.

(2)

由⑴知，卜%ZU"，，“小

變式7-2.已知數(shù)列｛4｝中，4=2,a,=2-——(n>2,we^*),設(shè)N=-三，zeN*).

an-\4—1

⑴求證：數(shù)列圾｝是等差數(shù)列；

(2)求｛qj的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

⑵-1+加收

【分析】⑴根據(jù)題意化簡得到％鵬=己-六=7結(jié)合等差數(shù)列的定義,

即可求解;

(2)由(1)得到6.=2=M〃eN*),即可求得｛4｝的通項公式.

an1

(1)

證明：因為?！?2-—―,所以%+1=2-'.

an-lan

1111a1

則么+='=^=l

4+1T?！?12-

所以｛2｝是首項為A=4=1,公差為1的等差數(shù)列.

2—1

⑵

1

解：由⑴知2=〃，所以2==n(neN\解得4=1+_L,

n

所以｛%｝的通項公式為=l+'(〃eM

n'

6%-4

變式7-3.已知數(shù)列｛cm｝滿足加奴=且0=3(代N*).

〃“+2'

1

(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

-2

(2)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

2〃+10

⑵，2N*

n+3

11

【分析】(1)由已知條件轉(zhuǎn)化可得進而結(jié)合等差數(shù)列

?！?1—24-2

的定義即可得出結(jié)論;

1

(2)利用等差數(shù)列的定義可求出數(shù)列的通項公式，進而求出結(jié)果.

⑴

114+2〃〃-2+411

--------------------------------——\~

由%-26a-43?！ㄒ??！ㄒ?

證明—2——-248424an-2

4+2

111

即——7——7r“GN*，故數(shù)列是等差數(shù)列.

%+1_24-2M一2

⑵

111n+3

由⑴知%-2=a「2x-=----

+(?-044

2〃+10

所以％,“GN*.

n+3

31

變式7-4.設(shè)S“為數(shù)列｛q｝的前〃項和，且5=亍Sz=2-3

(1)證明：數(shù)列［占I是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛為｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

［31

—,n=l

(2)%=產(chǎn)

----------,n>2

〃(幾+1)

1s

【分析】(1)根據(jù)題意化簡得到十二7=七,結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證得數(shù)

列|』是等差數(shù)列.

(1)由(1),利用等差數(shù)列的通項公式，求得S"U+1,結(jié)合當“N2時，4=S,_S,T，

n+1

即可求得數(shù)列｛4｝的通項公式.

(1)

11S-1

解：由題意，數(shù)列｛%｝滿足"+1=2-不，可得S"+-1=1-7=T，

則，=工所以」_____L=二-一—L=邑匚=1

人」S“+「l所以S"+「1S?-lS?-lS?-lS?-l'

31

又由所以「［=2,

25.I

所以數(shù)列表示首項為2,公差為1的等差數(shù)列.

(2)

解：由數(shù)列［￡］表示首項為2,公差為1的等差數(shù)列,

可得17=2+(〃T)X1=W+1,所以5“=1+1,

當〃22時，可得?！?Sn~Sn-l=~T+l-(—+1)=--/1

n+1nn(n+i)

33

因為H=E，可得q不適合上式,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=<

-----,n>2