高考數(shù)學全套知識點總結(jié)

高考數(shù)學全套知識點（通用版）

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B、C中元素

各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={x|x?-2x-3=0卜B={x|ax=l}

若BuA,則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答：］1，0,小

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合{%,a2,……，a』的所有子集的個數(shù)是2%

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）A（CuB）,Cu（AAB）=（CuA）U（CuB）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值范圍。

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（人）和“非”（「）.

若PAq為真，當且僅當p、q均為真

若pvq為真，當且僅當p、q至少有一個為真

若「P為真，當且僅當p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

(互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。)

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對

應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對一，多對一，允許B中年元素無原象)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

(定義域、對應(yīng)法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定義域是

(答：[a,-a])

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（—對應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎?

（①反解X；②互換x、y；③注明定義域）

1+x(x>0)

如：求函數(shù)f（x）=,；(的反函數(shù)

-x2(x<0)

x-l(x>l))

（答：f-（X）=，

(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些?

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?

（取值、作差、判正負）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?

15.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f，(x)NO則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若F(x)40呢？

值是()

A.0B.1C.2D.3

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則即a"

，a的最大值為3)

16.函數(shù)小)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(—x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一

個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎?

函數(shù)，T是一個周期。）

如:

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于金班對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于建對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點對稱

f(x)與f-'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

!?熾)與寅22-*)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

將y=f(x)圖象-a>°)個單位>丫=小+.

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個單位：y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換:

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwO)

(2)反比例函數(shù)：y=K(kw0)推廣為y=b+^^(kw0)是中心O，(a,b)的雙曲線。

(3)二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(a*0)=a[x+\]+4a：b圖象為拋物線

應(yīng)用：①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程

②求閉區(qū)間[m,n]上的最值。

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩根者B大于ko<--—>k

2a

f(k)>0

由圖象記性質(zhì)!（注意底數(shù)的限定?。?/p>

v

(6)“對勾函數(shù)"y=x+-(k>0)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

log^=logaM-logaN,logaVM=l^M

21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)

性法，導數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值:

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式

嗎？

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

又如：求函數(shù)y=的定義域和值域。

(V1-V2sinx>0

sinx<—，如圖:

2

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、

對稱軸嗎？

y=sinx的增區(qū)間為—,2kn+^-(keZ)

減區(qū)間為2k7r+￡,2kn+y(keZ)

圖象的對稱點為(km0),對稱軸為*=1＜兀+'(1￡€2)

y=cosx的增區(qū)間為［2k7i,2kn+TI］(kGZ)

減區(qū)間為［21＜兀+兀，2k7t+2K］(kGZ)

圖象的對稱點為‘兀+^，0)，對稱軸為x=k兀(k￡Z)

y=tanx的增區(qū)間為［k7i—'，k;i+keZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin(cox+(p)的圖象和性質(zhì)要熟記。［或y=Acos(cox+(p)］

_2兀

(1)振幅k|A|,周期丁=向

若f(x())=士A,貝！Jx=X。為對稱軸。

若f(x0)=0,則(x0,0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令sx+(p依次為0,g,兀，y,2n,求出x與y,依點(x,y)作

圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、8、(p值)

解條件組求8、（P值

A正切型函數(shù)y=Atan（（ox+<p）,T=—

l?l

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角

的范圍。

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

（1）點P（x,y）才=6，k）>p,（X，,丫,），貝=x+h

平移至[y-y+k

（2）曲線f（x,丫）=0沿向量：=（11,k）平移后的方程為f（x-h,y-k）=O

如：函數(shù)y=2sin12x--1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的圖象?

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導公式了嗎?

“k?>a”化為a的三角函數(shù)一“奇變，偶不變，符號看象限”'"奇一偶

指k取奇、偶數(shù)。

,9n（I一2■）+sin（21兀）=

如n：cos—+tan|

sina+tana

又如:函數(shù)y=,貝Uy的值為

cosa+cota

A,正值或負值B.負值C.非負值D.正值

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降塞公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系:

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含

三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如p=(a+p)_a,=……

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降嘉公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

如：已知sinac°sa=],tan(a-p)=-2,求tan(p-2a)的值。

1-cos2a3

,sinacosacosa<.1

(z由已知得：-----、—=---=1,..tana=-

2sina2sina2

2_1

??.tan隼-2a)=tan[(P一可-a]=胃高%3-21

1+2.「8

32

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形?

(應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。)

a=2RsinA

正弦定理：「一=」一=—^=2Ro,b=2RsinB

sinAsinBsinC

(1)求角c；

((1)由已知式得：1-COS(A+B)+2COS2C-1=1

(2)由正弦定理及a?=b2+4c2得:

2

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,—，x1]

L22

反余弦：arccosxG[0,兀Xe[-L1]

反正切：arctanxG1—卦(xGR)

34.不等式的性質(zhì)有哪些?

答案：c

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab（a,bFR+）；a+b>2Vab;ab4（a；b）求最值時，你是否注

意到“a,beR+”且“等號成立”時的條件，積（ab）或和（a+b）其中之一為定值？（一正、

二定、三相等）

注意如下結(jié)論：

當且僅當a=b時等號成立。

4

如：若x>0,2-3x-―的最大值為

x--------------

當且僅當3x=3,又x>0,，x=3時，ymax=2-473)

（V2X+22yN2」2'+2y=2廳，.?.最小值為2/）

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

37.解分式不等式>a（aw0）的一般步驟是什么？

（移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）

例如：角星不等式伏一3|—卜+1|<1

（解集為卜X>gj）

41.會用不等式|a|-|b|4|a士b|W|a|+|b|證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f（x）=x2-x+13,實數(shù)a滿足|x-a|<l

證明:

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題)

如：a<f(x)恒成立a<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立oa>f(x)的最大值

a>f(x)能成立oa>f(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x,若a-3|+卜+2]>/亙成立，貝!Ja的取值范圍是

(設(shè)u=|x-3|+|x+2],它表示數(shù)軸上到兩定點-2和3距離之和

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定乂：an+1—an=d(d為常數(shù))，a”=a1+(n—l)d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列02A=x+y

(a,+a如)nn(n-l)

前n項和S=」一~魚-=na,+△——'d

n212

性質(zhì)：｛aj是等差數(shù)列

(2)數(shù)列｛a*｝,包/｛kan+b｝仍為等差數(shù)歹!j；

(3)若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

（4）若a「b”是等差數(shù)列S『L為前n項和，則”=且」；

1111u11■!r■1

Dm12m-l

（5）｛aj為等差數(shù)列oSn=an?+bn（a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二

次函數(shù)）

S”的最值可求二次函數(shù)S0=an?+bn的最值；或者求出｛aj中的正、負分界項，即：

當為>0,d<0,解不等式組'2可得S”達到最大值時的n值。

Nn+i<0

當叫<0,d>0,由可得$?達到最小值時的n值。

k+1>o

如：等差數(shù)列｛aj,Sn=18；an+an_1+an_2=3,S3=L貝M=

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

等比中項：x、G、y成等比數(shù)列=>G?=xy,或G=±亞7

na((q=1)

前n項和:Sn='a,(l-qn（要注意！）

(q/i)

i-q

性質(zhì)：｛an｝是等比數(shù)列

仍為等比數(shù)列

(2)S/S2n-Sn,S3n-S

45.由Sn求an時應(yīng)注意什么？

（n=l時，aj=SPnN2時，an=Sn-Sn-1）

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

滿足

如:{ajgai+^-a2++—a=2n+5<1>

2nn

解:

111c，u

n22時,ia'+Fa2++廣a”i=2n-l+5<2>

［練習］

數(shù)列｛aj滿足S0+Sm=gam，a,=4,求2?

q

（注意到an+|=Sm-Sn代入得：削=4

又SI=4,.?.'｝是等比數(shù)列,Sn=4"

n?2時，an=Sn-Sn^=……=3?42

（2）疊乘法

例如：數(shù)列｛aj中，a1=3,,求2?

ann+1

解：

（3）等差型遞推公式

由an-a-i=f（n）,=a0,求用迭加法

nN2時，a

>兩邊相加，得:

ann-ann.—=1f('n)/

［練習］

n-1

數(shù)列｛a。｝，ayl,an=3+an_］(n>2),求a”

(4)等比型遞推公式

an=can_；+dd為常數(shù)，cwO,cwl,dfO)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)2?+x=c(an_1+x)

...1?+旦］是首項為由+/——為公比的等比數(shù)列

Inc-1Ic-1

［練習］

數(shù)列｛aj滿足a1=9,3an+1+an=4,求a”

(5)倒數(shù)法

2a

例如：a,=1,a=——：，求a。

n+1a,+2

_L為等差數(shù)列，1=i,公差為,

EJa12

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

n1

如：｛aj是公差為d的等差數(shù)列，求

k=lakak+l

解：

［練習］

4力1111

求和：1+------+-----------+.........+--------------------------

1+21+2+31+2+3+???,??+n

（2）錯位相減法：

若｛a.｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a.b”｝（差比數(shù)列）前n項

和，可由Sn-qSn求S/其中q為｛bj的公比。

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

S=a+a+.......+a_j+a

n12nn，相加

Sn=an+an-l+........+U2+ai.

［練習］

(由f(x)+f

1+x1+Xx1+x

1+

?,?原式=f(l)+f(2)+f1g+f⑶+f@+

f(4)+f

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為:

△若按復(fù)利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款分期等額

歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）

后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還

X兀，，兩足

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(Hij為各類辦法中的方法數(shù))

分步計數(shù)原理：N=m,,m2.......mn

(nij為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A：.

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mWn)個元素并組成一組，叫做從n個不

規(guī)定：C°=1

(4)組合數(shù)性質(zhì)：

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少

問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學號為1,2,3,4的四名學生的考試成績

則這四位同學考試成績的所有可能情況是（）

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

（1）中間兩個分數(shù)不相等，

（2）中間兩個分數(shù)相等

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,3種，.?.有10

種。

二共有5+10=15（種）情況

51.二項式定理

C：為二項式系數(shù)（區(qū)別于該項的系數(shù)）

性質(zhì)：

（1）對稱性：C：=C「「（r=0,1,2,……，n）

（2）系數(shù)和：C：+C：+…+C：=2。

（3）最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

[]+：!）項，二項式系數(shù)為C[n為奇數(shù)時，（n+1）為偶數(shù)，中間兩項的二項式

1I1n_1n+1

系數(shù)最大即第土二項及第二+i項，其二項式系數(shù)為cF=cj

22

如：在二項式（X-I）n的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為（用數(shù)字表示）

???共有12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第上=6或第7項

2

由（-1），，?,?取r=5即第6項系數(shù)為負值為最小：

200422004

又如：(1-2x)=a0+ajX+a2x+.......+a2004x(xGR),則

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+........+(a0+a2004)=(用數(shù)字作答)

令x=l，得：a0+a2+.......+a2004=1

原式=2003a0+(a。+a[+........+a2004)=2003x1+1=2004)

52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

(1)必然事件。，pg)=i,不可能事件演p(<|))=o

(2)包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導致B發(fā)生”稱B包含A。

（3）事件的和（并）：A+B^AUB”A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B的和

（并）。

（4）事件的積（交）：A?B或AC1B“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

(6)對立事件(互逆事件)：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立(逆)事件，AAUA=Q,AC仄

(7)獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨

立事件。

A與B獨立，A與豆，A與B,K與否也相互獨立。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

邙八A包含的等可能結(jié)果m

一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)n

(2)若A、B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互獨立,則P(A-B)=P(A)-P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品；

(2)從中任取5件恰有2件次品;

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），...n=l（）3

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

…C,?42?6+4344

■■3-io5-125

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：,??一件一件抽取（有順序）

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時,

它的特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡

成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中

有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等

性。

55.對總體分布的估計一一用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和

方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（2）決定組距和組數(shù)；

（3）決定分點；

（4）列頻率分布表；

（5）畫頻率直方圖。

其中，頻率=小長方形的面積=組距x舞

組距

樣本平均值：x=-(x,+x2+...+xn)

2222

樣本方差：S=-[(X]-X)+(x2-X)+...+(xn-x)]

如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組

成此參賽隊的概率為=

56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

(1)向量---既有大小又有方向的量。

(2)向量的?！邢蚓€段的長度，|a|

—>

—>—>a

(3)單位向量|a()|=Lao=—

|a|

―>—>

(4)零向量0,|0|=0

長度相等

(5)相等的向量oa=b

方向相同

在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。

(6)并線向量(平行向量)---方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

1；宿力6)=存在唯一實數(shù)九，使)=露

(7)向量的加、減法如圖:

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

的一組基底。

(9)向量的坐標表示

—>—>

i,j是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù)x,y,使得

a=xi+yj,稱(x,y)為向量a的坐標，記作：a=(x,y),即為向量的坐標

表示。

57.平面向量的數(shù)量積

(1)a?b=|a|?|b|cosO叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)。

數(shù)量積的幾何意義：

―>—>—>—>—>

a?b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cosO的乘積。

(2)數(shù)量積的運算法則

—>—>—>—>—>—>

注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a?b)?cwa?(b?c)

(3)重要性質(zhì)：設(shè)a=(x"yj,b=(x2,y2)

②a〃boa,b=|a|*|b|或a,b=-|a|,|b|

oa='b(bwO,九惟一確定)

［練習］

(1)已知正方形ABCD,邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,貝

答案：

(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),當*=時a與b共線且方向相同

答案：2

（3）已知：、E均為單位向量，它們的夾角為60。，那么值+36=

答案：

58.線段的定比分點

設(shè)P1（X]，yj，P2（X2,y2）,分點P（x,y）,設(shè)1八P2是直線/上兩點,P點在

/上且不同于Pi、P2,若存在一實數(shù)入，使港=九用，則九叫做P分有向線段

京所成的比（九＞0,P在線段P]P?內(nèi)，九＜0,P在PF2外），且

如：AABC,A（x1；yj,B（x2,y2）,C（x3,y3）

則AABC重心G的坐標是1%+/+、3,%+9+丫3]

※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線〃線＜——＞線〃面＜——＞面〃面

判定＞線，線＜一＞線上面＜__＞面，面（性質(zhì)

線〃線＜——＞線，面＜——＞面〃面

線面平行的判定：

a〃b,bu面a,aaana〃面a

a

線面平行的性質(zhì):

三垂線定理（及逆定理）:

PA_L面a,AO為PO在a內(nèi)射影，au面a,則

線面垂直:

面面垂直：

a_L面a,au面|3=>p_La

面a-L面P，aCip=I,aua,a_L/na_L|3

a_L面a,b_L面ana〃b

面a_La,面p_La=>a〃B

60.三類角的定義及求法

(1)異面直線所成的角0,0°<0W90°

（2）直線與平面所成的角9,0°9W90°

（3）二面角：二面角a-/-B的平面角0,0°<6<180°

（三垂線定理法：AGa作或證AB_LB于B,作BO_L棱于O,連AO,則人。，棱/,

ZAOB為所求。）

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理）。

［練習］

（1）如圖，OA為a的斜線OB為其在a內(nèi)射影，OC為a內(nèi)過O點任一直線。

（。為線面成角，ZAOC=y,ZBOC=p）

(2)如圖，正四棱柱ABCD—AiBiGDi中對角線BDi=8,BDi與側(cè)面B1BCC1所成

的為30°。

①求BD,和底面ABCD所成的角；

②求異面直線BD,和AD所成的角;

③求二面角Ci-BDi—Bi的大小。

(3)如圖ABCD為菱形，ZDAB=60°,PD_L面ABCD,且PD=AD,求面PAB

與面PCD所成的銳二面角的大小。

(；AB〃DC,P為面PAB與面PCD的公共點，作PF〃AB,則PF為面PCD與面PAB

的交線……)

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(如：三垂線定理

法，或者用等積轉(zhuǎn)化法)。

如：正方形ABCD—AiBiCiDi中，棱長為a,貝［|：

(1)點C到面AB>Ci的距離為；

(2)點B到面ACBi的距離為；

(3)直線ADi到面ABC1的距離為；

(4)面ABC與面AiDCi的距離為；

(5)點B到直線AiG的距離為。

62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱一一底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐一一底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

RtASOB,RtASOE,RtABOE和RtASBE

它們各包含哪些元素？

S正棱錐側(cè)=gc?h'(C——底面周長，h'為斜高)

V錐=g底面積X高

63.球有哪些性質(zhì)？

(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面r=匚Z7

(2)球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角!

(3)如圖，。為緯度角，它是線面成角；a為經(jīng)度角，它是面面成角。

⑷s球=4成2,2扣3

(5)球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r

之比為R：r=3：lo

如：一正四面體的棱長均為VL四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為

()

A.3兀B.4兀C.3A/3KD.6兀

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

(1)/直線的傾斜角a兀)，k=tana=—~—fa,x】wx?]

L7

x2-Xj\2J

B(Xi，yj，P2(x2>丫2)是/上兩點,直線/的方向向量a=0,k)

(2)直線方程：

點斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)

斜截式：y=kx+b

截距式：-+^=1

ab

一般式：Ax+By+C=0(A、B不同時為零)

|Ax+By+C|

(3)點P(x0,y。)到直線/：Ax+By+C=O的距離d00

VA2+B2

k-V

(4)4到4的到角公式：tanO=-21

l-k1k2

k—k

與4的夾角公式：tan。=8…

l-k1k2

65.如何判斷兩直線平行、垂直？

A[B,=A?B,1

12

A[C2A2CJ

kj=k2=>/]〃12(反之不一定成立)

A】A2+B,B2=0<?Z,±Z2

66.怎樣判斷直線/與圓C的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組n關(guān)于x(或y)的一元二次方程n“A”

A>00相交；△=()=相切；△<()今相離

68.分清圓錐曲線的定義

‘橢圓<=>|PFj+|PF2|=2a,2a>2c=由同

第一定義｛雙曲線<=>||PF,|-|PF2||=2a,2a<2c=3閭

拋物線o|PF|=|PK|

Mc

第二定義:e=

|PK|a

0<e<lo橢圓；e>lo雙曲線；e=lo拋物線

70.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數(shù)是否為零?

△三0的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△》（）下進行。）

弦長公式HP21=’（1+巧[卜]+x?）2_4X]x]

71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

如：

通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。

72.有關(guān)中點弦問題可考慮用“代點法

如：橢圓mx?+ny2=1與直線y=1-x交于M、N兩點，原點與MN中點連

線的斜率為正，則上的值為

2n--------

答案：

73.如何求解“對稱”問題？

(1)證明曲線C：F(x,y)=0關(guān)于點M(a,b)成中心對稱，設(shè)A(x,y)為曲

線C上任意一點，設(shè)A，(M,y')為A關(guān)于點M的對稱點。

(由a=x+x,6='+丫nx'=2a-x,y'=2b-y)

22

只要證明A〈2a-x,2b-y）也在曲線C上，即f（x，）=y，

AA'±/

（2）點A、A，關(guān)于直線/對稱u><

AA，中點在/上

J^AA,°-1

[AA，中點坐標滿足/方程

74.圓x2+y?=r2的參數(shù)方