2024年高考數(shù)學預測卷二 新高考新結構版含答案

2024年高考數(shù)學預測密卷二卷新高考新結構版

學校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.已知集合時={%也%>0},N=[x|y=6-6%+81,則MN=()

A.(l,2]B.(4,+8)C.(l,2)[4收)D.(l,2][4,內(nèi))

滿足型

2.已知復數(shù)zE=|3+4i|,則z的虛部是（）

(1+i)2

A.-25B.-5C.1D.5

3.從2,3,4三個數(shù)中任選2個，分別作為圓柱的高和底面半徑，則此圓柱的體積大

于20兀的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3236

4.已知橢圓C:=+4=1（?！?〉0）的離心率為無，P是C上一點，且點尸到焦點的

ab2

最大距離為2+G.過焦點R作直線軸，交橢圓C于A,3兩點，貝U|AB|=（）

31

A.2B.lC.-D.-

22

5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且

a=l,46S=〃+c2—1,則△ABC外接圓的面積為（）

TT

A.—B.JiC.2兀D.4K

2

6.某農(nóng)戶購買了甲、乙兩種香菇菌種，并在溫度為20℃和30℃的條件下進行培育.已

17

知選到的香菇全部來自甲菌種的概率為—,選到的香菇全部來自甲菌種且在溫度為

25

30C的條件下培育出來的概率為L從培育的香菇中隨機抽取一部分進行營養(yǎng)價值檢

5

測，若被選到的香菇全部來自甲菌種，則其是在溫度為30℃的條件下培育出來的概率

為（）

7.已知函數(shù)/(%)=%+sinxsin[]■-％J+4,且/(%)+/(-x)=0,則關于x的不等式

/[與-1+；>展的解集為（）

A[-咤]B.]T叩。0'哥D'L

8.已知拋物線。：/=4%的焦點為R動直線/與拋物線C交于異于原點。的A,B

兩點，以線段。4,。3為鄰邊作平行四邊形。4P3,若點。（4,帆）（m>0）,則當

|4下|+|3/|取最小值時，m=（）

A.2B.2夜C.3D.26

二、多項選擇題

9.已知向量。=（%/），5=（4,2）,則下列結論正確的是（）

A.若al1b,則x=2

B.若aJ_。，則％=工

2

C.若x=3,則向量a與向量8的夾角的余弦值為述

10

D.若x=-1,則向量8在向量a上的投影向量為（0,行）

10.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：

在平面內(nèi)，已知兩定點A,3之間的距離為a（非零常數(shù)），動點〃到A,3的距離之

比為常數(shù)2（2>0,且2/1）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平面直角坐標系

xOy中，已知A（T,O）,3（2,0）,點航滿足|M4|=2|MB|,則下列說法正確的是（）

A.zXAMB面積的最大值為12

的最大值為72

C.若Q（8,8）,則|他4|+2|昭2|的最小值為10

D.當點航不在x軸上時，始終平分NAMB

11.如圖，正方體ABC。-的棱長為2,設P是棱CG的中點，Q是線段6尸

上的動點（含端點），M是正方形BCG4內(nèi)（含邊界）的動點，且AM〃平面

RAP,則下列結論正確的是（）

DT

A.存在滿足條件的點M,使A"±AD,

B.當點。在線段6尸上移動時，必存在點拉，使4河，5。

C.三棱錐G的體積存在最大值和最小值

D.直線\M與平面BCCXBX所成角的余弦值的取值范圍是

三、填空題

12.在平面直角坐標系中，若角工的頂點為原點，始邊為x軸非負半軸，終邊經(jīng)過

3

點P(—3,—4),則tan12(z+—.

13.已知球。是底面半徑為4、高為8a的圓錐的內(nèi)切球，若球。內(nèi)有一個內(nèi)接正三

棱柱，則當該正三棱柱的側面積最大時，該正三棱柱的體積為.

14.定義“[A/(x)<0]*=〃”表示不等式M(x)<0有“(neN)個正整數(shù)解，若

M(x)=2尤3-3尤2-〃21n(x+l)(〃zwN*)且[Af(x)<0]*=3,貝!Jm的最大值是.

(參考數(shù)據(jù)：In2=0.69,ln3=1.10,ln5=1.6Lln6=1.79)

四、解答題

15.設函數(shù)/(x)=-/+?x+lnx(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設函數(shù)/(x)在,,e]上有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的

e

底數(shù))

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面A3CD為菱形，平面上鉆，底面A3CD,

M為棱3C上異于點C的一點，。為棱A3的中點，S.PA=PB=AB,ZABC=6Q°.

p

/---Xr-----

(1)若BDLPM,求證：〃為3C的中點；

(2)若平面尸。”與平面HC所成的銳二面角的余弦值為正，求也的值.

5BC

17.據(jù)教育部統(tǒng)計，2024屆全國高校畢業(yè)生規(guī)模預計達H79萬，同比增加21萬，崗

位競爭激烈.為落實國務院關于高校畢業(yè)生就業(yè)工作的決策部署，搭建高校畢業(yè)生和用

人單位求職招聘的雙向對接通道，促進高校畢業(yè)生高質(zhì)量充分就業(yè)，某市人社局聯(lián)合

市內(nèi)高校開展2024屆高校畢業(yè)生就業(yè)服務活動系列招聘會.參加招聘會的小王打算依

次去甲、乙、丙三家公司應聘.假設小王通過某公司的專業(yè)測試就能與該公司簽約，享

受對應的薪資待遇，且不去下一家公司應聘，或者放棄簽約并參加下一家公司的應

聘；若未通過測試，則不能簽約，也不再選擇下一家公司.已知甲、乙、丙三家公司提

供的年薪分別為10萬元、12萬元、18萬元，小王通過甲、乙、丙三家公司測試的概

率分別為4,2，通過甲公司的測試后選擇簽約的概率為士，通過乙公司的測試

3234

后選擇簽約的概率為:，通過丙公司的測試后一定簽約.每次是否通過測試、是否簽約

均互不影響.

(1)求小王通過甲公司的測試但未與任何公司簽約的概率；

(2)設小王獲得的年薪為X(單位：萬元)，求X的分布列及其數(shù)學期望.

18.已知以點/為圓心的動圓經(jīng)過點耳(-3,0),且與圓心為心的圓(x-3)2+9=12相

切，記點M的軌跡為曲線C

(1)求曲線C的方程；

(2)若動直線/與曲線C交于及々，H)兩點(其中％%〉。)，點A關于x

軸對稱的點為A,且直線34經(jīng)過點P(-l,0).

(i)求證：直線/過定點；

(ii)若|PA|+|PB|=4&?,求直線/的方程.

19.設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列%,%，…，4為"5=2,3,4,）階“曼德拉數(shù)

列”：①6+〃2+。3++々〃=。；②+|%|+|%|+

（1）若某2左（左￡河）階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項?！?/p>

（l<n<2k,用匕n表示）.

（2）若某24+l（k￡N*）階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項知

（1<〃<2左+1,用匕孔表示）.

（3）記〃階“曼德拉數(shù)列”{4}的前％項和為&（左=1,2,3,?,〃），若存在

me{1,2,3,㈤，使S,“=g,試問：數(shù)列設}。=1,2,3,,"）能否為冏階“曼德拉數(shù)

列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

參考答案

1.答案：D

解析：M={x|lgx>0}={x|x>l},雙=卜|y=J]」-6%+8〔={x|xN4或Y?2},所以

MN={x[x>l}){x|x?4或為<2}=(1,2][4,+oo).故選D.

2.答案：B

解析：由衛(wèi)二?=|3+4i|,得紅二殳=5,所以/』=155=_5+竽,所以

(1+i)2i1—i2

z=-5-5i.故選B.

3.答案：B

解析：從2,3,4三個數(shù)中任選2個，作為圓柱的高和底面半徑(九廠)，有(2,3),

(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),共6種情況，圓柱的體積V=兀/人>20兀,即

r2h>20,滿足條件的有(2,4),(3,4),(4,3)種情況，所以此圓柱的體積大于20兀的概

率尸=?3=—1.故選B.

62

4.答案：B

解析：由題知，e———>a+c—2+>/3>解得a=2,c—A/3,:.b=《/—c1=1,

a2

21

二橢圓C：Wr+y2=1,令x=JL得'=±萬，.?.|筋|=1.故選8.

5.答案：B

解析：由a=l及4百S=〃+c2—i,得46S=62+C2—1,所以

「1r百、

4V3X—xZ?xcxsinA=2x/?xcxcosA,即cosA=，3sinA，于是有tanA=——.因為

23

0<A<TI,所以A=2,所以△ABC外接圓的半徑為r==—i—=1,所以

62sinA2xsin工

6

△ABC外接圓的面積為兀產(chǎn)=兀.故選B.

6.答案：B

解析：設事件A表示“選到的香菇全部來自甲菌種”，事件3表示“選到的香菇是在

溫度為30℃的條件下培育出來的”，則尸⑷卷17，P(AB)=~1,故所求概率為

「出所需后?故選-

7.答案：C

解析：由/(x)+/(—%)=0,得/(—%)=—/(%),所以/(%)為奇函數(shù)，貝lJ/(O)=O,所以

3兀

tz=0,所以/(x)=x+sinxsin---x=x-sinxcosx=x」sin2x,

22

3兀3兀711

r（x）=l-cos2x>0,所以/（%）為增函數(shù).由/---x+;哈得/---x>-----

22124

7171713兀兀'則牛…事解得

又/-isin2XA所以fx\>f

1212212124212

x<"^.故選C.

12

8.答案：B

解析：由題可知焦點尸（L。），準線％=-1，設線段A3的中點為/（%,%），即為。P

4

中點，則不2,%=￡.分別過A,B,M向準線作垂線，垂足分別為A，耳,

2

B!!|AF|+|BF|>|A8|,當直線A3過焦點廠（1,0）時取等號，此時

|AB|=2pWj=2ko+l|=4+2=6.設A（國,弘），B（x2,y2）,直線A3的斜率為左，由

（I：；，兩式相減，得才—抬=4（%-%），所以y+%x一%

=2,即yok-2,得

=2,所以y；=2,又》1>0,所以7"=2%=2^^.故選B.

2-1

9.答案：AC

解析：若allb,則2x—4=0,解得％=2,故A正確；aLb,則4x+2=0,解得

x=_；,故B錯誤；若x=3,則a=(3,1).又5=(4,2),所以向量a與向量8的夾角的

余弦值為曾=二3+2述,故C正確；若％=—1,則。=(—1,1).又5=(4,2),

\a\\b\V10x2V510

所以向量b在向量a上的投影向量為"?&=堯平=(1,-1),故D錯誤.故選AC.

\a\\a\V2xV2

10.答案：ABD

解析：對于A,設點M(x,y),由得而了鏟斤=2而三書化

為(X-4)2+V=16,所以點M的軌跡是以點(4,0)為圓心、4為半徑的圓，所以

面積的最大值為“43|廠=!義6><4=12,故A正確；

22

對于B,設線段A3的中點為N,則N(-1,0),

MA-MB=(MN+NA)-(MN+NB)=|MN|2-|AW|2<(8+1)2-(-1+4)2=72,當點Af的坐

標為(8,0)時取等號，故MB的最大值為72,故B正確；

對于C,顯然點Q(8,8)在圓外，點3(2,0)在圓內(nèi)，

\MA\+2\MQ\=2\MB\+2\MQ\=2(\MB\+\MQ\)>2\BQ\=2^/(8-2)2+82=20,當B,

M,。三點共線且點航在線段BQ之間時，(1^41+21^21)^^20,故C錯誤；

對于D,由|Q4|=4,|。5|=2,有吆1=2=乜竺1,當點M不在x軸上時，由三角形

\OB\\MB\

內(nèi)角平分線分線段成比例定理的逆定理知，M。是中的平分線，故D正

確.故選ABD.

11.答案：ABC

解析：取3c的中點E,8瓦的中點R連接4E,A.F,EF,BCX,如圖所示.

易知EFHBC\HAD\,&FIRP,\FEF=F,易得平面4EE〃平面D/P,又'Mil

平面DAP,所以AMu平面AEF,故點”的軌跡為線段ER

對于A,連接AC，片。交8G于點。，如圖所示.

則5C］，5］C,又5。1，4與，4片耳。=與，所以3C］，平面44C,當V為線段

ER中點時，BQ±AXM,因為3G〃42，所以4〃故A正確；

對于B,分別以向量D4,DC,。〃的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系，如圖所示.

則4(2,0,2),5(2,2,0),￡(1,2,2),歹(2,2,1),2(0,2,m)(l<m<2),令

EM=AEF(0<2<1),得M(l+42,2—㈤，從而4M=(4—1,2,—㈤，BQ=(-2,0,m),

令4"-5。=0，得—2(2—1)—2%=0,當；1=0時，顯然不合題意；當0<XWl時，由

1〈機=與呸＜2,解得即當點。在線段C7上移動時，均存在點M,使

AXM±BQ,故B正確；

對于C,設點M到GP的距離為力，則三棱錐C-APM的體積

Vc^PM=\-clPM=1^C1PM斗,當“與E重合時，

當V與R重合時

-mm3

（JwLg故c正確;

對于D,設直線4〃與平面5CG4所成的角為o,連接用“，如圖所示.

D\C.

B

由±平面BCC]B[知，/4"耳=”?在MEF中,由

1BExBF^得2〈tan。V2虎,g'l"si/el-cos261匚匚

=xxBMBF=l）所以4W2〃=2〃W8,所

<2EFcosecos6

以‘<cos6〈無.故D錯誤.故選ABC.

35

⑵答案：-三

解析：由三角函數(shù)的定義，得tan[a-m]=g,

2tan[a一二]_

I3j__24

/.tan2<z+—=tan2a——+n=tan2a-—\=-3

I3j[I」Iif2（7rY\16~7-

I3j9

13.答案：1273

解析：記球。內(nèi)切于圓錐SO,A3為圓錐的底面直徑，球。與S3,A3分別切于點

E,D,過S,A,3的圓錐的軸截面如圖所示，連接。E,則OELS5,SDLAB.設球

。的半徑為「，易得-DBs-EO,故口=處，即，8,2得

SEE0西后―.)2--r

r=20.設正三棱柱的底面邊長為a,高為h,貝彳+\]2=r=8,即

-a2+-/?=8,正三棱柱的側面積

34

=3ah==246,當且僅當且

32

-a2+-/i2=8,即a=2退，〃=4時取等號，故當該正三棱柱的側面積最大時，該正

34

三棱柱的體積V-^-a2h=126.

14.答案：49

解析：令/(%)=mln(x+l),g(x)=2d—3x2,由題知關于x的不等式

2x3-3x2-mln(x+l)<0(加￡N*)有且僅有3個正整數(shù)解，/(x)>g(x)有且僅有3個

正整數(shù)解.g'(%)=6冗2一6元=6%(犬一1),令g'(x)>0,得x<0或%>1；令g'(x)vO,得

0<x<l,「.g(x)在(-00,0)和(L+O0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，且

g(。)=g]1"]=°,在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)/(*),g(x)在區(qū)間[0,+8)內(nèi)的大

致圖象，如圖所示.msN*,/(x)>g(x)有且僅有3個正整數(shù)解，.//?Ag⑶，即

"(4)<g(4)

mln4>2x33-3x3227

，解得19.6<m<---ss49.7正整數(shù)m的最大值是49.

mln5<2x43-3x4221n2In5

15.答案：(1)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,內(nèi))

解析：(1)當。=1時，/(x)=-x2+x+In%,/(x)的定義域為(0,+co),

—2x-+x+1

r(x)=-2x+l+—=

xx

令/'(x)>0,BP2X2-X-1<0,解得0<X<1,

令—(x)<0,BP2X2-X-1>Q,解得X>1.

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(L+oo).

(2)令/(x)=-爐+or+lnx=0,則a=x

x

令g(x)=x-3^,其中xe-,e

xe

1]

2

mil.3I"%x+lnx-l

貝IJg'(x)=1-~=------5——?

Xx~

令g'(x)>0,解得l<xWe,令g'(x)<0,解得

e

??.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為口單調(diào)遞增區(qū)間為(l,e],

?IgOOmin=g6=L

又g(「|=e+Lg(e)=e-L函數(shù)/(x)在-,e上有兩個零點,

lejeee

，。的取值范圍是.

16.答案：（1）證明見解析

（2）處」

BC4

解析：（1）因為上4=PB,。為A3的中點，所以

又平面上鉆，底面A3CD,平面PAB平面ABCD=AB,POu平面以3,

所以POL平面A3CD,

因為5￡>u平面A3CD,所以班），PO,

因為POPM=P,

所以3D，平面POM,

因為OMu平面POM,所以

因為BDLAC,所以O暇〃AC,

所以M為3c的中點.

（2）連接。C,因為AB=6C,ZABC=60°,

所以△ABC為正三角形，所以OC_LAB.

分別以向量。8,OC,OP的方向為x,?z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所

設AB=4,則A(—2,0,0),8(2,0,0),。(0,2百,0),P(0,0,273),

所以OP=(0,0,2百)，BC=(-2,2A/3,0),AC=(2,2^,0),AP=(2,0,273).

設4=(%,%,zj是平面PAC的一個法向量，

enAC=0f2x+2A/3V=0

則}?，即nrl?V1,

nx-AP=0\2x1+2A/3Z]=0

取光1=A/3,得/=(y/3,—1,—1).

^BM=ABC(Q<A<1),

則M(2—2/1,2岳,0),即OAf=(2—242&,0),

設〃2=（9,%，z?）是平面POM的一個法向量,

…二°,即(2—24)%2+/2y/3Ay2—0

則

n2OP=0—0

(1-2、

取=1，得〃2=L7=~,。?

、A/34>

因為平面POM與平面必C所成銳二面角的余弦值為萼,

V15

所以k=

6…5

化為4丸2—54+1=0,解得;1=工，或2=1（舍去），

4

所以X

IQ

17.答案：(1)—

180

79

（2）X的分布列見解析，數(shù)學期望為仝

5

解析：（1）記事件A：小王通過甲公司的測試，但未通過乙公司的測試,

記事件3：小王通過甲、乙公司的測試，但未通過丙公司的測試,

21-13Xl-i11

則P(A)=X

34212

311

P?=幺MxX1-3X

345345

顯然A與3互斥，所以小王通過甲公司的測試但未與任何公司簽約的概率為

1119

尸(A)+尸(3)=—+—=——

1245180

(2)X的可能取值為Q10,12,18,

貝I」尸（X=0）=—1+上io=」79

3180180

23I

P（X=10）=-x-=-,

342

p（X=12）=-x-x-x-=—,

342520

p（X=18）=-x-x-x-xi=—

3425390

則X的分布列如下表:

X0101218

79j_11

p

18022090

7911129

故E（X）=0義——+10x-+12x—+18x—

180220905

22

18.答案：（1）--^=1

36

(2)(i)證明見解析

（五）x±y+3=0

解析：(1)圓(x-3)2+V=12的圓心坐標為心(3,0),半徑r=2百.

動圓M與圓工相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切,

所以||町|9||=2百<閨q=6,

所以點般在以及，工為焦點的雙曲線上，且該雙曲線的實軸長為2a=26，2c=6,

所以—c2—a2—6,

22

所以曲線C的方程吟吟j

(2)(i)設直線I的方程為兀=役+/(顯然/與x軸不平行)，

22

2

與'-'=1聯(lián)立，得（2療一1）,2+4mty+2t-6-0,

由題意知，I加|＞立，A=16m￥-

\m-4乂2r—6）>0,即6機2+產(chǎn)—3>0,

2

-4mt2t2-6

由韋達定理得X+%=2/—1'y'y2~2m2-1>0.

因為點A與A，關于x軸對稱，不妨設A,3分別在第一、二象限，如圖所示.

易知kAP+kBP=0,

即+%=x(s+/+i)+-Wx+/+i)=0,

為+1x2+1(mjj+Z+l)(my2+Z+1)

化為2町%+?+1)(乂+%)=。，

?產(chǎn)—6—4n7,

即2m---1-(?+1)----——=0,化為-3m=mt,

2m2-12m--1

當機變化時，該式恒成立，

所以/=-3,故直線/過定點(-3,0).

(ii)由(i)知，當/=—3時，/+%=—5—，%%=—i—>0.

-122m2-1122m2-1

由|B4|+|依|=|B4[+|PB|=|A@

=/玉-々)之+(-%-%)

J(加X-3一切2+3)2+(%+%『

Wx』+$二而

（歷'

化為19——24根2+5=0,解得加2=1或療=一s＜—（舍去），

19l2J

故加二±1,

止匕時直線/的方程為n±丁+3=0.

19.答案：⑴%==（-!尸或4=-5（-1尸

2k2k

n1/WT*

(2)a-------nGINW2左+1)或a=------------1—nGN',n<2左+1)

n左(左+1)k')n左(4+1)k

（3）數(shù)列6｝（i=l,2,3,./）不為〃階“曼德拉數(shù)列”，理由見解析

解析：（1）設等比數(shù)列%,%，％，…，％*（左2D的公比為外

右夕W1,則由①得〃]+〃2++a2k==0,得q=_1,

由②得q=/或q