2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)：等式與不等式的性質(zhì) (原卷版)

專題03等式與不等式的性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0@>1(〃，b>0)或0<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=0@=1人0)

b

a<ba-b=0@<l(a,b>0)或?yàn)?gt;l(a,b<Q)

bb

2.不等式的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱性a>b<=>b<a；a<b<=>b>a

傳遞性a>b,b>c=>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0ac>be；a>b,c<0ac

同向a>c,c>da+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>4,neN*=>an>bn

【方法技巧與總結(jié)】

1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決

有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2.比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來(lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是幕或者因式乘

積的形式，也可考慮使用作商法.

【題型歸納目錄】

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

題型四：不等式的綜合問(wèn)題

【典例例題】

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

例1.（2022?北京海淀?二模）已知，且，則（）

A.B.

C.D.

例2.（2022?山東日照?二模）若a,b,c為實(shí)數(shù)，且,，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.B.C.D.

例3.（2022?山西?模擬預(yù)測(cè)（文））若，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.B.C.D.

(多選題)例4.（2022?遼寧?二模）己知非零實(shí)數(shù)a,b滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.B.

C.D.

（多選題）例5.（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知,，且，則下列不等關(guān)系成立的是（）

A.B.C.D.

（多選題）例6.（2022?廣東汕頭?二模）已知a,b,c滿足cvavb,且acvO,那么下列各式中一定成立的

是（）

A.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0C.D.

（多選題）例7.（2022?福建三明?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，且，則（）

A.B.C.D.

【方法技巧與總結(jié)】

1.判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2.充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3.小題可以用特殊值法做快速判斷.

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））設(shè),，，則（）

A.B.C.D.

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若a=,b=,則ab（填或）.

例10.（2022?全國(guó)?高一）（1）試比較與的大??；

（2）已知，，求證：.

例11.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）比較與的大小.

例12.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大小:

⑴（赤'一1）與（后+1）；

⑵與.

【方法技巧與總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是幕或者因式乘

積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是:

若，則；；；

若，則；；.

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

例13.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)x,y滿足，則的取值范圍（）

A.B.C.D.

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知,，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若滿足，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知一3<a<—2,3<b<4,則的取值范圍為（）

A.（1,3）B.C.D.

例17.（2022?江西?二模（文））已知,，則6x+5y的取值范圍為.

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的取值范圍為.

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知有理數(shù)a,b,c,滿足，且，那么的取值范圍是.

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則.

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足5-3aWbW4-a,lnb》a,則的取值范圍是—

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，且，那么的大值為.

【方法技巧與總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍，

否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

題型四：不等式的綜合問(wèn)題

例23.（2022?江西鷹潭?二模（理））已知，且則下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)是（）

①]<人②③b-a<e"-e"?ln^<^￡±Zz^±I

b<abab+52

A.1B.2C.3D.4

例24.（2022?江西?臨川一中高三期中（文））若實(shí)數(shù)a,b滿足，則下列選項(xiàng)中一定成立的有（）

A.B.C.D.

例25.（2022?湖南?長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）若,，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.B.

C.D.

（多選題）例26.（2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知，直線與曲線相切，則下列不等式一定成立的是（

A.B.C.D.

（多選題）例27.（2022?遼寧遼陽(yáng)?二模）已知,，且，則（）

A.B.

C.D.

（多選題）例28.（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知,，且，則下列不等關(guān)系成立的是（）

A.B.C.D.

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若,，設(shè)，則的最小值為

例30.（2022?四川瀘州?三模（理））已知X、，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①；②；③；④.

其中一定成立的結(jié)論是（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)）.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均

速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（）

A.B.

C.D.

2.（2022?甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則（）

A.B.

C.D.

3.（2022?陜西寶雞?三模（理））若，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

4.（2022?重慶?二模）若非零實(shí)數(shù)a,b滿足，則下列不等式一定成立的是（）

A.B.

C.D.

5.（2022?安徽黃山?二模（文））設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式一定成立的是（）

A.B.C.D.

6.（2022?安徽?蕪湖一中高三階段練習(xí)（理））已知,，，則以下正確的是（）

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知,，則下列結(jié)論正確的有（）

ba

①②③a+b〈2ab?a+a<b+b

ab

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

8.（2022?安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立

的是（）

A.B.

C.D.

二、多選題

9.（2022?遼寧?一模）已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a和b,滿足，下列不等式正確的是（）

A.B.

C.D.

10.（2022?湖南省隆回縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.C.D.

11.（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足，則下列不等式一定成立的有（）

A.B.

C.D.

12.（2022?河北保定?一模）已知、分別是方程，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)中正確的是（）.

A.B.

C.D.

三、填空題

13.（2022?四川瀘州?三模（文））已知x,,滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中一定成立的

結(jié)論是（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的編號(hào)）.

14.（2022?全國(guó)?江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））己知實(shí)數(shù)、滿足,，則的取值范圍為.

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如果a>b