1.1.1集合及其表示方法（講義8大題型）

1.1.1集合及其表示方法1、準(zhǔn)確理解集合與元素的含義及集合與元素的屬于關(guān)系.2、在具體情境中，了解空集的含義，理解有限集與無限集；3、能利用集合元素的確定性、互異性、無序性解決一些簡(jiǎn)單問題；4、熟記常用數(shù)集的表示符號(hào)，通過常用數(shù)集準(zhǔn)確把握元素與集合之間的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1集合的含義1、概念把一些能夠確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說由這些對(duì)象組成的一個(gè)集合（有時(shí)簡(jiǎn)稱集），組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素．集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要點(diǎn)辨析（1）對(duì)象：現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、觸摸到的、想到的事和物等，都可以看作“對(duì)象”，即集合的元素，它具有廣泛性，組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、圖形、人、物等．（2）集合：集合是一個(gè)原式的、不加定義的概念，就如幾何重點(diǎn)、線、面一樣無法被“定義”；（3）元素：具有共同特征或共同的屬性的對(duì)象；（4）總體：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”的含義，因此，一些對(duì)象一旦組成集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)體．知識(shí)點(diǎn)2元素與集合1、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．2、集合中元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．注意：如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合。例如著名的科學(xué)家；比較高的人等（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡(jiǎn)記為“無序性”．知識(shí)點(diǎn)3集合的表示方法與分類1、常用數(shù)集及其記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或2、集合的表示方法（1）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．【注意】=1\*GB3①元素與元素之間必須用“，”隔開；=2\*GB3②集合中的元素必須是明確的；=3\*GB3③集合中的元素不能重復(fù)；=4\*GB3④集合中的元素可以是任何事物．（2）描述法：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．【注意】=1\*GB3①首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來表示．=2\*GB3②若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對(duì)新字母說明其含義或取值范圍．=3\*GB3③多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．（3）圖示法：畫一條封閉曲線，用它的內(nèi)部表示集合．3、集合的分類（1）一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?；（2）集合可以根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)分為兩類：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集；含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集．空集可以看成含有0個(gè)元素的集合，所以空集是有限集．4、集合相等給定兩個(gè)集合A和B，如果組成他們的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等，記作A=B．知識(shí)點(diǎn)4區(qū)間的概念1、一般區(qū)間的表示設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí)，包含端點(diǎn)的那一端用中括號(hào)表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號(hào)表示.定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間2、實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．3、特殊區(qū)間的表示定義符號(hào)數(shù)軸表示≥≤在數(shù)軸上，用實(shí)心點(diǎn)表示包括區(qū)間的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括區(qū)間的端點(diǎn)．【常用方法技巧】1、判斷一組對(duì)象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿足確定性，如果此組對(duì)象滿足確定性，就可以組成集合，否則，不能組成集合.同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無序性.2、元素與集合關(guān)系的判斷方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對(duì)于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特異性求參數(shù)（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時(shí)，要明確集合中的元素是什么；（2）構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時(shí)可以不考慮先后順序(無序性)．（3）利用集合元素的特性求參數(shù)問題時(shí)，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．4、集合與方程的綜合問題（1）弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)方程中含有參數(shù)時(shí)，往往要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，有時(shí)還要進(jìn)行分類討論．求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的特性．5、集合的新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義。首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．（2）用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．題型一判斷元素能否構(gòu)成集合【例1】（2324高一上·新疆·月考）下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A【變式11】（2324高一上·湖南長(zhǎng)沙·月考）下列各組對(duì)象可構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．與10非常接近的數(shù) B．本班視力差的女生C．中國(guó)漂亮的工藝品 D．我校學(xué)生中的女生【答案】D【解析】由集合的確定性可得，僅“我校學(xué)生中的女生”滿足確定性.故選：D【變式12】（2324高一上·河北邢臺(tái)·月考）下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)課遲到的學(xué)生 B．小于的正整數(shù)C．未來世界的高科技產(chǎn)品 D．所有有理數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A，數(shù)學(xué)課遲到的學(xué)生具備集合元素的確定性,能構(gòu)成集合，故A不符合題意；對(duì)于B，小于π的正整數(shù)具備集合元素的確定性，能構(gòu)成集合，故B不符合題意；對(duì)于C，“未來世界的高科技產(chǎn)品”中的“高科技產(chǎn)品”沒有明確標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，因此不能構(gòu)成集合，故C符合題意；對(duì)于D，所有有理數(shù)具備集合元素的確定性，能構(gòu)成集合,故D不符合題意.故選：C.【變式13】（2324高一上·山西臨汾·月考）下列對(duì)象不能組成集合的是（

）A．不超過20的偶數(shù) B．π的近似值C．方程的實(shí)數(shù)根 D．最小的正整數(shù)【答案】B【解析】對(duì)A，不超過20的偶數(shù)是確定的，可以組成集合；對(duì)B，π的近似值無法確切取到，不能組成集合；對(duì)C，方程的實(shí)數(shù)根是確定的，就是1，可以組成集合；對(duì)D，最小的正整數(shù)是確定的，是1，可以組成集合，故選：B題型二判斷元素與集合的關(guān)系【例2】（2324高一上·湖北·期中）下列關(guān)系中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉樽匀粩?shù)集，所以，，故A、D正確；為實(shí)數(shù)集，所以，故B錯(cuò)誤；為有理數(shù)集，所以，故C正確；故選：B【變式21】（2324高一上·河南南陽(yáng)·月考）已知集合中的元素滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【解析】由解得，因?yàn)?，，故，且，故選：A【變式22】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知集合，則與集合的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以與集合的關(guān)系為.故選：B.【變式23】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A題型三根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【例3】（2023·上海閔行·一模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】因?yàn)榧?，若，則，解得.故答案為：.【變式31】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，且，求的值.【答案】或【解析】因?yàn)椋曰?，解得或，?dāng)時(shí)，，滿足集合元素的互異性，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，，也滿足集合元素的互異性，所以也符合題意.綜上，的值為或，故答案為：或【變式32】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，解得.故選：A.【變式33】（2324高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.題型四利用元素的互異性求參數(shù)【例4】（2324高一上·四川成都·期中）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．且C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故選：D.【變式41】（2324高一上·北京東城·期中）已知集合，若，則（

）A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】由于，若，則，不合題意；所以，解得，故選：C【變式42】（2324高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.【變式43】（2324高一上·廣東東莞·期中）若，則x的可能值為（

）A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，不滿足元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，滿足互異性，當(dāng)時(shí)，即或（舍）時(shí)，，滿足互異性，所以或2.故選：C.題型五用列舉法與描述法表示集合【例5】（2324高一上·四川樂山·期中）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，則．故選：C【變式51】（2324高一上·江西南昌·月考）設(shè)集合，則集合．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得，又，則.即故答案為：.【變式52】（2324高一上·四川綿陽(yáng)·月考）（多選）給出下列說法，其中不正確的是（）A．集合用列舉法表示為B．實(shí)數(shù)集可以表示為為所有實(shí)數(shù)}或C．方程組的解組成的集合為D．集合與是同一個(gè)集合【答案】BCD【解析】對(duì)于A，集合中只含有兩個(gè)元素0和1，所以用列舉法表示為，故A正確；對(duì)于B，R就表示實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集用為錯(cuò)誤表示，另外花括號(hào)具有所有的意義，描述內(nèi)容中不能再出現(xiàn)所有字眼，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，解集應(yīng)為，原表示錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，集合為y的取值集合，集合表示上點(diǎn)的集合，所以兩個(gè)集合不是同一個(gè)集合，故D錯(cuò)誤；故選：BCD.【變式53】（2324高一上·寧夏吳忠·月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(2)所有奇數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點(diǎn)組成的集合；(4)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合.（2）所有奇數(shù)組成的集合.（3）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點(diǎn)組成的集合.（4）.題型六區(qū)間與集合的相互表示【例6】（2324高一上·重慶·期中）集合用區(qū)間表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)集合的表示方法，集合用區(qū)間表示為.故選：D.【變式61】（2324高一上·新疆阿克蘇·月考）下列敘述正確的是（

）A．用區(qū)間可表示為 B．用區(qū)間可表示為C．用集合可表示為 D．用集合可表示為【答案】D【解析】對(duì)于A，用區(qū)間可表示為，錯(cuò)誤；對(duì)于B，用區(qū)間可表示為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，用集合可表示為，錯(cuò)誤；對(duì)于D，用集合可表示為，正確；故選：D【變式62】（2324高一上·河北石家莊·期中）用區(qū)間表示為；用區(qū)間表示為．【答案】【解析】，.故答案為：；.【變式63】（2324高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）用區(qū)間表示且為．（2）已知區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【解析】（1）且用區(qū)間可表示為，（2）由題意得，得，即的取值范圍.故答案為：；.題型七集合與方程的綜合問題【例7】（2324高一上·廣東廣州·期末）已知集合只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【解析】若集合只有一個(gè)元素，則方程只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程可化為，滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解，則，解得，所以或.故選：.【變式71】（2324高一上·遼寧丹東·月考）（多選）關(guān)于的方程的解集是單元素集，則的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．【答案】BD【解析】由，得，即，因?yàn)榉匠痰慕饧癁閱卧丶?，或方程有一個(gè)根為3，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)方程的解為，符合題意，當(dāng)方程有一個(gè)根為3時(shí)，得，此時(shí)方程為，，解得（舍去），或，符合題意，綜上，或，故選：BD.【變式72】（2324高一上·上海浦東新·月考）集合有且僅有2個(gè)子集，則的取值集合為【答案】【解析】因?yàn)榧嫌星覂H有2個(gè)子集，所以集合只有一個(gè)元素，所以方程即只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為即，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為即，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，原方程化為，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以的取值集合為.故答案為：.【變式73】（2324高一上·寧夏吳忠·月考）已知集合，其中.(1)若集合中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.(2)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）若，方程化為，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)集合A中有且僅有一個(gè)元素，∴所求集合；（2）集合A中至多有一個(gè)元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個(gè)元素，由（1）可知此時(shí)或，②