高三三角函數(shù)習(xí)題及答案

高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)第一節(jié)角的概念的推廣與弧度制A組1．點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1順時針方向運(yùn)動eq\f(π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．2．設(shè)α為第四象限角，則下列函數(shù)值一定是負(fù)值的是________．①taneq\f(α,2)②sineq\f(α,2)③coseq\f(α,2)④cos2α3．若sinα<0且tanα>0，則α是第_______象限的角．4．函數(shù)y＝eq\f(|sinx|,sinx)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(|tanx|,tanx)的值域?yàn)開_______．5．若一個α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，則a的值為________．6．已知角α的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，y)(y≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα，tanα的值．B組1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(a，|a|)，且a≠0，則sinα的值為________．2．已知扇形的周長為6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_____．3．如果一扇形的圓心角為120°，半徑等于10cm，則扇形的面積為________．4．若角θ的終邊與168°角的終邊相同，則在0°～360°內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角的集合為__________．5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α是第________象限．6．設(shè)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－6a，－8a)(a≠0)，則sinα－cosα的值是________．7．若點(diǎn)A(x，y)是300°角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則eq\f(y,x)的值為________．8．已知點(diǎn)P(sineq\f(3π,4)，coseq\f(3π,4))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為________．9．已知角α的始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝kx上，若sinα＝eq\f(2,\r(5))，且cosα<0，則k的值為________．10．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積．11．扇形AOB的周長為8cm.(1)若這個扇形的面積為3cm2，求圓心角的大?。?2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.12．(1)角α的終邊上一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角β的終邊在直線y＝eq\r(3)x上，用三角函數(shù)定義求sinβ的值．第二節(jié)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式A組1．若cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，則tanα＝________.2．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，則cosθ＝________.3．若sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5)，則cos(eq\f(π,3)－α)＝________.4．已知sinx＝2cosx，則eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝______.5．(原創(chuàng)題)若cos2θ＋cosθ＝0，則sin2θ＋sinθ＝________.6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝eq\f(60,169)，且α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cosα，sinα的值．B組1．已知sinx＝2cosx，則sin2x＋1＝________.2．coseq\f(10π,3)＝________.3．已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，那么eq\f(sin2α,cos2α)的值等于________．4．若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝_________________.5．已知tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))，則sinx＝___________________.6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，則θ＝________.7．已知sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(1,3)，則cos(α＋eq\f(7π,12))的值等于________．8．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，則tanα＝________.9．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋\f(3π,2)),cos(－π－α))，則f(－eq\f(31π,3))的值為________．10．求sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))(n∈Z)的值．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三內(nèi)角．12．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，將m表示為α的函數(shù)，并求m的最小值及相應(yīng)的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))的值．第三節(jié)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)A組1．已知函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面結(jié)論錯誤的是．①函數(shù)f(x)的最小正周期為2π②函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱④函數(shù)f(x)是奇函數(shù)2．函數(shù)y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1是________．①最小正周期為π的奇函數(shù)②最小正周期為π的偶函數(shù)③最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)④最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)3．若函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx，0≤x<eq\f(π,2)，則f(x)的最大值為________．4．已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,12)，則a的值為________．5．設(shè)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，它的最小正周期是π，則f(x)圖象上的一個對稱中心是________(寫出一個即可)．6．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cos2x＋sinxcosx－eq\f(\r(3),2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T，并求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在[0,3π)內(nèi)使f(x)取到最大值的所有x的和．B組1．函數(shù)f(x)＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,2))＋sineq\f(2,3)x的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是________．.答案：eq\f(3π,2)2．給定性質(zhì)：a最小正周期為π；b圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱．則下列四個函數(shù)中，同時具有性質(zhì)ab的是________．①y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))②y＝sin(2x＋eq\f(π,6))③y＝sin|x|④y＝sin(2x－eq\f(π,6))3．若eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，則函數(shù)y＝tan2xtan3x的最大值為__．4．(函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cosx在區(qū)間[－eq\f(2,3)π，θ]上的最大值為1，則θ的值是________．5．若函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3)]上單調(diào)遞增，則ω的最大值為________．6．設(shè)函數(shù)y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,0)成中心對稱，若x0∈[－eq\f(π,2)，0]，則x0＝________.7．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值為4，最小值為0，最小正周期為eq\f(π,2)，直線x＝eq\f(π,3)是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是________．①y＝4sin(4x＋eq\f(π,6))②y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＋2③y＝2sin(4x＋eq\f(π,3))＋2④y＝2sin(4x＋eq\f(π,6))＋28．有一種波，其波形為函數(shù)y＝sineq\f(π,2)x的圖象，若在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2eq\r(3))，其中ω>0，函數(shù)f(x)＝a·b，若f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π.(1)求f(x)的解析式；(2)若對任意實(shí)數(shù)x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x＋m)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,6)]時，f(x)的最大值為4，求m的值．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx－2sin2eq\f(ωx,2)＋m(ω>0)的最小正周期為3π，且當(dāng)x∈[0，π]時，函數(shù)f(x)的最小值為0.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．第四節(jié)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像A組1．已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖象不可能是________．2．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個單位后，得到函數(shù)y＝sin(x－eq\f(π,6))的圖象，則φ等于________．3．將函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為________．4．如圖是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分圖象，則下列命題中，正確命題的序號為________．①函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)；②函數(shù)f(x)的振幅為2eq\r(3)；③函數(shù)f(x)的一條對稱軸方程為x＝eq\f(7,12)π；④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]；⑤函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2,3)π)．5．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在實(shí)數(shù)x1，使得對任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，則ω的最小值為________．6．已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3)sinωx·sin(ωx＋eq\f(π,2))＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(π,6).(1)求ω；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．B組1．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________.已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的圖象如圖所示，則φ＝________.3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象________．4．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝________.5．將函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象向________平移________個單位長度后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,12)，0)中心對稱．6．定義行列式運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosx,1sinx))的圖象向左平移m個單位(m>0)，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是________．7．若將函數(shù)y＝tan(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，與函數(shù)y＝tan(ωx＋eq\f(π,6))的圖象重合，則ω的最小值為________．8．給出三個命題：①函數(shù)y＝|sin(2x＋eq\f(π,3))|的最小正周期是eq\f(π,2)；②函數(shù)y＝sin(x－eq\f(3π,2))在區(qū)間[π，eq\f(3π,2)]上單調(diào)遞增；③x＝eq\f(5π,4)是函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(5π,6))的圖象的一條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是________．9．當(dāng)0≤x≤1時，不等式sineq\f(πx,2)≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為eq\f(2π,3).(1)求ω的值；(2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(π,2)個單位長度得到，求y＝g(x)的單調(diào)增區(qū)間．11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的周期為π，且圖象上一個最低點(diǎn)為M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,12)]時，求f(x)的最值．12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于eq\f(π,3)，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．1.解析：由于點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，順時針方向運(yùn)動eq\f(π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，如圖，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(coseq\f(2π,3)，sineq\f(2π,3))，即Q(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．答案：(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))α為第四象限角，則eq\f(α,2)為第二、四象限角，因此taneq\f(α,2)<0恒成立，應(yīng)填①，其余三個符號可正可負(fù)．答案：①3.答案：三4.解析：當(dāng)x為第一象限角時，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；當(dāng)x為第二象限角時，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；當(dāng)x為第三象限角時，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；當(dāng)x為第四象限角時，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}5.解析：依題意可知α角的終邊在第三象限，點(diǎn)P(－4，a)在其終邊上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，則a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)6.解：因?yàn)閟inα＝eq\f(\r(2),4)y＝eq\f(y,\r((－\r(3))2＋y2))，所以y2＝5，當(dāng)y＝eq\r(5)時，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝－eq\r(5)時，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).7.解析：當(dāng)a>0時，點(diǎn)P(a，a)在第一象限，sinα＝eq\f(\r(2),2)；當(dāng)a<0時，點(diǎn)P(a，－a)在第二象限，sinα＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8.解析：設(shè)扇形的圓心角為αrad，半徑為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝6,\f(1,2)R2·α＝2))，解得α＝1或α＝4.答案：1或49.解析：S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×100＝eq\f(100,3)π(cm2)．答案：eq\f(100,3)πcm2答案：{56°，176°，296°}10.解析：當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2m(m∈Z)時，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角．答案：一或三11.解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝eq\r((－6a)2＋(－8a)2)＝10|a|，∴sinα－cosα＝eq\f(y,r)－eq\f(x,r)＝eq\f(－8a＋6a,10|a|)＝eq\f(－a,5|a|)＝±eq\f(1,5).答案：±eq\f(1,5)解析：eq\f(y,x)＝tan300°＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)13.解析：由sineq\f(3π,4)>0，coseq\f(3π,4)<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).答案：eq\f(7π,4)14.解析：設(shè)α終邊上任一點(diǎn)P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，∴r＝eq\r(x2＋(kx)2)＝eq\r(1＋k2)|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，∴r＝－eq\r(1＋k2)x，且k<0.∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(kx,－\r(1＋k2)x)＝－eq\f(k,\r(1＋k2))，又sinα＝eq\f(2,\r(5)).∴－eq\f(k,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(5))，∴k＝－2.答案：－215.解：設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)·eq\f(10,3)π·10－eq\f(1,2)·102sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))(cm2)．15.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝eq\f(8,2＋α).∴S扇＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)α·eq\f(64,(2＋α)2)＝eq\f(32,α＋\f(4,α)＋4)≤4，當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(4,α)，即α＝2時，扇形面積取得最大值4.此時，r＝eq\f(8,2＋2)＝2(cm)，∴|AB|＝2×2sin1＝4sin1(cm)．16.解：(1)根據(jù)題意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝eq\r((4t)2＋(－3t)2)＝5|t|，①當(dāng)t＞0時，r＝5t，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(6,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(2,5).②當(dāng)t＜0時，r＝－5t，sinα＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(6,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).(2)設(shè)P(a，eq\r(3)a)(a≠0)是角β終邊y＝eq\r(3)x上一點(diǎn)，若a＜0，則β是第三象限角，r＝－2a，此時sinβ＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)；若a＞0，則β是第一象限角，r＝2a，此時sinβ＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2).第二節(jié)1.解析：cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)2.解析：由sinθ＝－eq\f(4,5)<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)3.解析：cos(eq\f(π,3)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,6)＋α)]＝sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4.解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝eq\f(5tanx－1,2tanx＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝eq\f(1,2)，當(dāng)cosθ＝－1時，有sinθ＝0，當(dāng)cosθ＝eq\f(1,2)時，有sinθ＝±eq\f(\r(3),2).于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或eq\r(3)或－eq\r(3).答案：0或eq\r(3)或－eq\r(3)6.解：由題意，得2sinαcosα＝eq\f(120,169).①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得：(sinα＋cosα)2＝eq\f(289,169)，②－①得：(sinα－cosα)2＝eq\f(49,169).又∵α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13).③sinα－cosα＝eq\f(7,13)，④③＋④得：sinα＝eq\f(12,13).③－④得：cosα＝eq\f(5,13).7.解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)8.解析：coseq\f(10π,3)＝coseq\f(4π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9.解析：cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝eq\f(2×\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,2).解析：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5)解析：∵tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12.解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1?sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ?sinθ(sinθ－cosθ)＝0?sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或eq\f(π,4).答案：0或eq\f(π,4)13.解析：由已知，得cos(α＋eq\f(7π,12))＝cos[(α＋eq\f(π,12))＋eq\f(π,2)]＝－sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3).14.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝－\r(5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))將①代入②得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.解析：∵f(α)＝eq\f(sinα·cosα·cotα,－cosα)＝－cosα，∴f(－eq\f(31,3)π)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)15.解：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·cos[(n＋1)π＋eq\f(π,3)]＝sin(π－eq\f(π,3))·coseq\f(π,3)＝sineq\f(π,3)·coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).當(dāng)n為偶數(shù)時，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·coseq\f(4π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)·(－coseq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(1,2))＝－eq\f(\r(3),4).16.解：由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB，②))①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±eq\f(\r(2),2).(1)當(dāng)cosA＝eq\f(\r(2),2)時，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.(2)當(dāng)cosA＝－eq\f(\r(2),2)時，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形內(nèi)角，∴A＝eq\f(3,4)π，B＝eq\f(5,6)π，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.解：(1)∵a∥b，∴eq\r(3)cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－eq\r(3)cosα＝2sin(α－eq\f(π,3))．又∵α∈[0,2π)，∴當(dāng)sin(α－eq\f(π,3))＝－1時，mmin＝－2.此時α－eq\f(π,3)＝eq\f(3,2)π，即α＝eq\f(11,6)π.(2)∵a⊥b，且m＝0，∴eq\r(3)sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－eq\f(\r(3),3).∴eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))＝eq\f(sinα·(－sin2α),－cosα)＝tanα·2sinα·cosα＝tanα·eq\f(2sinα·cosα,sin2α＋cos2α)＝tanα·eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,2).第三節(jié)1.解析：∵y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，y＝－cosx為偶函數(shù)，∴T＝2π，在[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．答案：④2.解析：y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1＝cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x，∴T＝π，且為奇函數(shù)3.解析：f(x)＝(1＋eq\r(3)·eq\f(sinx,cosx))·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2sin(x＋eq\f(π,6))，∵0≤x<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴當(dāng)x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)時，f(x)取得最大值2.答案：2解析：∵x＝eq\f(π,12)是對稱軸，∴f(0)＝f(eq\f(π,6))，即cos0＝asineq\f(π,3)＋coseq\f(π,3)，∴a＝eq\f(\r(3),3).5.解析：∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，又∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，所以有sin(2×eq\f(π,3)＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－eq\f(π,6)(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－eq\f(π,6))＝0得2x＋k1π－eq\f(π,6)＝k2π(k2∈Z)，∴x＝eq\f(π,12)＋(k2－k1)eq\f(π,2)，當(dāng)k1＝k2時，x＝eq\f(π,12)，∴f(x)圖象的一個對稱中心為(eq\f(π,12)，0)．答案：(eq\f(π,12)，0)6.解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(1,2)sin2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))，故T＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(5,12)π≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(5,12)π，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋eq\f(π,3))＝1，則2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．于是x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，則eq\f(π,12)＋(π＋eq\f(π,12))＋(2π＋eq\f(π,12))＝eq\f(13π,4).∴在[0,3π)內(nèi)使f(x)取到最大值的所有x的和為eq\f(13,4)π.7.解析：f(x)＝coseq\f(2x,3)＋sineq\f(2x,3)＝eq\r(2)sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,4))，相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π，∴eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2)8.解析：④中，∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.又2×eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以x＝eq\f(π,3)為對稱軸．解析：eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，則y＝tan2xtan3x＝eq\f(2tan4x,1－tan2x)＝eq\f(2(t＋1)2,－t)＝－2(t＋eq\f(1,t)＋2)≤－8，故填－8.9.解析：因?yàn)閒(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在區(qū)間[－eq\f(2π,3)，θ]上的最大值為1，可知θ只能取－eq\f(π,2).答案：－eq\f(π,2)10.解析：由題意，得eq\f(2π,4ω)≥eq\f(2π,3)，∴0<ω≤eq\f(3,4)，則ω的最大值為eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)11.解析：因?yàn)閳D象的對稱中心是其與x軸的交點(diǎn)，所以由y＝2sin(2x0＋eq\f(π,3))＝0，x0∈[－eq\f(π,2)，0]，得x0＝－eq\f(π,6).解析：因?yàn)橐阎瘮?shù)的最大值為4，最小值為0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋m＝4,m－A＝0))，解得A＝m＝2，又最小正周期為eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，所以ω＝4，又直線x＝eq\f(π,3)是其圖象的一條對稱軸，將x＝eq\f(π,3)代入得sin(4×eq\f(π,3)＋φ)＝±1，所以φ＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(5π,6)(k∈Z)，當(dāng)k＝1時，φ＝eq\f(π,6).答案：④13.解析：函數(shù)y＝sineq\f(π,2)x的周期T＝4，若在區(qū)間[0，t]上至少出現(xiàn)兩個波峰，則t≥eq\f(5,4)T＝5.答案：5解析：∵y＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))，且由函數(shù)y＝f(x)與直線y＝2的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為π知，函數(shù)y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．15.解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2eq\r(3))＝sin2ωx＋eq\r(3)(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).∵相鄰兩對稱軸的距離為π，∴eq\f(2π,2ω)＝2π，∴ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).(2)∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，∴x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]，∴2eq\r(3)≤f(x)≤2＋eq\r(3).又∵|f(x)－m|<2，∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若對任意x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋m≤2\r(3)，,2＋m≥2＋\r(3)，))解得eq\r(3)≤m≤2＋2eq\r(3).16.解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋m＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋m＋1，∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，eq\f(π,6)]，[eq\f(2π,3)，π]．(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,6)]時，∵f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，f(x)取得最大值為m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值為1.17.解：(1)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))－1＋m.依題意，函數(shù)f(x)的最小正周期為3π，即eq\f(2π,ω)＝3π，解得ω＝eq\f(2,3).∴f(x)＝2sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))－1＋m.當(dāng)x∈[0，π]時，eq\f(π,6)≤eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，eq\f(1,2)≤sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))≤1，∴f(x)的最小值為m.依題意，m＝0.∴f(x)＝2sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))－1.(2)由題意，得f(C)＝2sin(eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6))－1＝1，∴sin(eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6))＝1.而eq\f(π,6)≤eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得C＝eq\f(π,2).∴A＋B＝eq\f(π,2).在Rt△ABC中，∵A＋B＝eq\f(π,2)，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．第四節(jié)解析：函數(shù)的最小正周期為T＝eq\f(2π,|a|)，∴當(dāng)|a|>1時，T<2π.當(dāng)0<|a|<1時，T>2π，觀察圖形中周期與振幅的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)④不符合要求．os2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<sinA<1，∴sinA＝eq\f(\r(5)－1,2).解析：y＝sin(x－eq\f(π,6))＝sin(x－eq\f(π,6)＋2π)＝sin(x＋eq\f(11π,6))3.解析：因?yàn)閒(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2sin(x－eq\f(π,6))，f(x)的圖象向右平移φ個單位所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為eq\f(5π,6).4.解析：據(jù)圖象可得：A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)?T＝π，故ω＝2，又由f(eq\f(7π,12))＝eq\r(3)?sin(2×eq\f(7π,12)＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－eq\f(2π,3)，故f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))，依次判斷各選項(xiàng)，易知①②是錯誤的，由圖象易知x＝eq\f(7π,12)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故③正確，④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有無窮多個，區(qū)間[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]只是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，⑤由上述推導(dǎo)易知正確．答案：③⑤解析：顯然結(jié)論成立只需保證區(qū)間[x1，x1＋2010]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sin(ωx＋eq\f(π,4))，則2010≥eq\f(\f(2π,ω),2)?ω≥eq\f(π,2010).答案：eq\f(π,2010)解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，令2ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，將x＝eq\f(π,6)代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，經(jīng)過題設(shè)的變化得到的函數(shù)g(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，當(dāng)x＝4kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z時，函數(shù)取得最大值eq\f(5,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴4kπ＋eq\f(4π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(10,3)π(k∈Z)．即x∈[4kπ＋eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(10,3)π]，k∈Z為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．1.解析：由圖可知，eq\f(T,2)＝2π－eq\f(3,4)π，∴T＝eq\f(5,2)π，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5,2)π，∴ω＝eq\f(4,5)，∴y＝sin(eq\f(4,5)x＋φ)．又∵sin(eq\f(4,5)×eq\f(3,4)π＋φ)＝－1，∴sin(eq\f(3,5)π＋φ)＝－1，∴eq\f(3,5)π＋φ＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9,10)π.答案：eq\f(9,10)π2.解析：由圖象知T＝2(eq\f(2π,3)－eq\f(π,6))＝π.∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，把點(diǎn)(eq\f(π,6)，1)代入，可得2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)3.解析：∵f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，∴eq\f(2π,ω)＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))∴g(x)＝sin[2(x＋eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x.答案：向左平移eq\f(π,8)個單位長度4.解析：eq\f(T,2)＝eq\f(11,12)π－eq\f(7,12)π＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.又(eq\f(7,12)π，0)是函數(shù)的一個上升段的零點(diǎn)，∴3×eq\f(7,12)π＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，代入f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，∴f(0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5.解析：由y＝sin(2x＋eq\f(π,3))＝sin2(x＋eq\f(π,6))可知其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,6)，0)對稱，因此要使平移后的圖象關(guān)于(－eq\f(π,12)，0)對稱，只需向右平移eq\f(π,12)即可．答案：右eq\f(π,12)6.解析：由題意，知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝2sin(x－eq\f(π,6))，其圖象向左平移m個單位后變?yōu)閥＝2sin(x－eq\f(π,6)＋m)，平移后其對稱軸為x－eq\f(π,6)＋m＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.若為偶函數(shù)，則x＝0，所以m＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，故m的最小值為eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)7.解析：y＝tan(ωx＋eq\f(π,4))向右平移eq\f(π,6)個單位長度后得到函數(shù)解析式y(tǒng)＝tan[ω(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,4)]，即y＝tan(ωx＋eq\f(π,4)－eq\f(πω,6))，顯然當(dāng)eq\f(π,4)－eq\f(πω,6)＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)時，兩圖象重合，此時ω＝eq\f(1,2)－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0時，ω的最小值為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8.解析：由于函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的最小正周期是π，故函數(shù)y＝|sin(2x＋eq\f(π,3))|的最小正周期是eq\f(π,2)，①正確；y＝sin(x－eq\f(3π,2))＝cosx，該函數(shù)在[π，eq\f(3π,2))上單調(diào)遞增，②正確；當(dāng)x＝eq\f(5π,4)時，y＝sin(2x＋eq\f(5π,6))＝sin(eq\f(5π,2)＋eq\f(5π,6))＝sin