全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初三決賽模擬試題及答案

2022年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試題和參考答案一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1．已知為整數(shù)，且滿足，QUOTE1x+1y1x2+1yA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答】C.由已知等式得，顯然均不為0，所以＝0或.若，則.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個(gè).2．已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答】A.，易知：當(dāng)，時(shí)，取得最大值.3．在△中，，為的中點(diǎn)，于，交于，已知，，則QUOTEBD?CD＝（）A．B．C．D．【答】B.因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共圓，所以，又，所以，所以.又易知△∽△，所以，從而可得.4．6張不同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的概率是（）A．B．C．D．【答】B.若取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2×2×2＝8種取法；若取出的3張卡片上的數(shù)字有相同的，有3×4＝12種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有8＋12＝20種取法.要使得三個(gè)數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫(xiě)數(shù)字有重復(fù)，所以，取出的3張卡片上所寫(xiě)的數(shù)字可以作為三角形的三邊長(zhǎng)的情況共有4×2＝8種.因此，所求概率為.5．設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，令.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．1【答】D.設(shè)，則，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.6．在△中，，QUOTE∠C=90°，，在上，在上，使得△為等腰直角三角形,,則的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答】A.過(guò)作于，易知△≌△，△∽△.設(shè)，則，，，，故，即.又，故可得.故.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實(shí)數(shù)滿足，，則____．【答】0.由題意知，所以整理得，所以0.2．使得不等式QUOTE917<nn+k<815對(duì)唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當(dāng)時(shí)，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3．已知為等腰△內(nèi)一點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如果點(diǎn)為△的內(nèi)心，則．【答】.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以，，所以.4．已知正整數(shù)滿足:，，，則．【答】36.設(shè)的最大公約數(shù)為，，，均為正整數(shù)且，，則，所以，從而，設(shè)（為正整數(shù)），則有，而，所以均為完全平方數(shù)，設(shè)，則，均為正整數(shù)，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，則，驗(yàn)算可知只有滿足等式，此時(shí)，不符合題意，故舍去.若，則，驗(yàn)算可知只有滿足等式，此時(shí)，符合題意.因此，所求的.三、（本題滿分20分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，，求的值．解由已知條件可得，.設(shè)，，則有，，…………5分聯(lián)立解得或.………10分若，即，，則是一元二次方程的兩根，但這個(gè)方程的判別式，沒(méi)有實(shí)數(shù)根；……………15分若，即，，則是一元二次方程的兩根，這個(gè)方程的判別式，它有實(shí)數(shù)根.所以.………20分四、．（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且滿足,的延長(zhǎng)線與△的外接圓交于點(diǎn).證明：．證明由是平行四邊形及已知條件知.………5分又A、B、F、D四點(diǎn)共圓，所以，…………….10分所以△∽△，………15分所以.………20分又，所以△∽△，故.……25分五、（本題滿分25分）設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱(chēng)具有性質(zhì).（1）試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；（2）在1，2，3，…，2022，2022這2022個(gè)連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個(gè)？解取，，可得，所以1具有性質(zhì)；取，，可得，所以2具有性質(zhì)；…5分若3具有性質(zhì)，則存在整數(shù)使得，從而可得，故，于是有，即，這是不可能的，所以3不具有性質(zhì).……10分（2）記，則＝.即=1\*GB3①……15分不妨設(shè)，如果，即，則有；如果，即，則有；如果，即，則有；由此可知，形如或或（為整數(shù)）的數(shù)都具有性質(zhì).……20分