第二章圓錐曲線全章總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

全章總結(jié)提升第二章圓錐曲線北師大版

數(shù)學(xué)

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易錯(cuò)易混·銜接高考知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的有關(guān)問(wèn)題求圓錐曲線方程體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).求圓錐曲線方程的常用方法有:(1)直接法:動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系,只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法:動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義,可先設(shè)定方程,再確定其中的基本量.(3)代入法:動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出,但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的.如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)待定系數(shù)法:根據(jù)條件能確定曲線的類型,可設(shè)出方程形式,再根據(jù)條件確定待定的系數(shù).【例1】

(1)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線

=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為

.

①點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?請(qǐng)寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程;②已知定點(diǎn)T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值.規(guī)律方法

1.應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件.2.涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來(lái)解決.3.在求有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.變式訓(xùn)練1(1)已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線 C.拋物線 D.圓B解析

連接ON,由題意可得ON=1,且N為MF1的中點(diǎn),∴|MF2|=2.∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點(diǎn)P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|.∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,由雙曲線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.故選B.(2)點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的任意一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).解

拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是x=-2,那么點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線x=-2的距離,過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于準(zhǔn)線x=-2,垂足為D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如圖所示,根據(jù)平面幾何知識(shí),當(dāng)M,P,D三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PF|的值最小,且最小值為|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3,代入拋物線方程解得橫坐標(biāo)為專題二圓錐曲線方程與性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別為e1,e2與e3,e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是(

)A.e2<e1<e3<e4

B.e2<e1<e4<e3C.e1<e2<e3<e4

D.e1<e2<e4<e3A規(guī)律方法

求解離心率有三種方法:(1)定義法;(2)建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式;(3)幾何法.變式訓(xùn)練2(1)已知雙曲線

=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+1相切,則該雙曲線的離心率為(

)C(2)如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上,則拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

x2=4y

專題三直線與圓錐曲線【例3】

已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上一點(diǎn)A(m,)(m<0)到點(diǎn)F的距離為

.(1)求拋物線的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)B(2,0)且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M,N,若規(guī)律方法

直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,主要包括直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題等,求解這類問(wèn)題時(shí),通常采用代數(shù)方法,將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消去其中一個(gè)未知量,通過(guò)討論所得方程的根的情況來(lái)確定位置關(guān)系,同時(shí),還經(jīng)常利用根與系數(shù)的關(guān)系,采取“設(shè)而不求”的辦法求解弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題.(1)求橢圓的方程;(2)若直線l:y=kx+m(m≠0)與橢圓的兩交點(diǎn)為A,B,線段AB的中點(diǎn)C在直線y=x上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△OAB的面積等于

時(shí),求直線l的方程.專題四圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題在解析幾何中,有些幾何量,如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān),這類問(wèn)題統(tǒng)稱為定值問(wèn)題.而如果是含有參變量的直線不管該參變量取何值,均過(guò)某一點(diǎn)的問(wèn)題則稱為定點(diǎn)問(wèn)題.注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn),設(shè)而不求方法、整體思想和消元思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.【例4】

已知直線l經(jīng)過(guò)橢圓C:=1(a>b>c)的右焦點(diǎn)(1,0),交橢圓C于點(diǎn)A,B,點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn),△ABF的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ),且交橢圓C于點(diǎn)M,N,|MN|2=4|AB|,求證:直線m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上.(2)證明

若直線l的斜率不存在,則直線m的斜率也不存在,這與直線m與直線l相交于點(diǎn)P矛盾,所以直線l的斜率存在.設(shè)l:y=k(x-1)(k≠0),m:y=-k(x+t),A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).將直線m的方程代入橢圓方程,整理得(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,規(guī)律方法

圓錐曲線中的定點(diǎn)(值)問(wèn)題的計(jì)算方法(1)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定點(diǎn)(值).探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),可設(shè)直線方程為y=kx+b,然后利用條件建立關(guān)于b,k的等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助直線系方程找出定點(diǎn).(2)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn)(值),再證明此定點(diǎn)(值)與變量無(wú)關(guān).①有關(guān)斜率的定值問(wèn)題,包含證明動(dòng)直線的斜率為定值,不同直線斜率的關(guān)系(比如說(shuō):k1+k2,k1k2,)是定值.方法:設(shè)原始量的有關(guān)變量,逐步表示出關(guān)系式中涉及的斜率,最后進(jìn)行化簡(jiǎn)得到一個(gè)定值.②有關(guān)向量的定值問(wèn)題,包括向量之積為定值,向量之間一些稍微復(fù)雜的關(guān)系為定值,兩直線垂直(可以用向量的數(shù)量積為0來(lái)證明).方法:設(shè)出原始量的變量,逐步表示出向量所涉及的點(diǎn)的坐標(biāo),再表示出向量,直接利用坐標(biāo)關(guān)系列式子,最后化簡(jiǎn)得定值.(當(dāng)求

,而A,B,C,D在同一條直線上時(shí),可化為求線段長(zhǎng)度之積|AB||CD|的問(wèn)題,只是要注意正負(fù)號(hào)即可)③有關(guān)線段長(zhǎng)的定值問(wèn)題,包括線段的長(zhǎng)為定值,線段長(zhǎng)之間的關(guān)系式方法:設(shè)原始量的變量,推出線段的長(zhǎng)的表達(dá)式(這里常用到“設(shè)而不求”法求弦長(zhǎng)),然后代入式子化簡(jiǎn)求得定值.變式訓(xùn)練4已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且(1)求拋物線C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)M作直線l'⊥l交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),記△OAB,△OPQ的面積分別為S1,S2,證明:為定值.(1)解

設(shè)直線l:x=my+1,與y2=2px聯(lián)立消x,得y2-2pmy-2p=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=-2p.所以

=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+1=(1+m2)(-2p)+2pm2+1=-2p+1=-3,解得p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)證明

由(1)知M(1,0)是拋物線C的焦點(diǎn),所以|AB|=x1+x2+p=my1+my2+2+p=4m2+4.專題五圓錐曲線中參數(shù)范圍和最值問(wèn)題【例5】(1)已知P為拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的投影為點(diǎn)M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0),則|PA|+|PM|的最小值是

.

解析

拋物線y=x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,得它的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為l:y=-1,延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于N,連接PF,根據(jù)拋物線的定義,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,因?yàn)樵凇鱌AF中,|PA|+|PF|>|AF|,所以當(dāng)且僅當(dāng)P,A,F三點(diǎn)共線時(shí),規(guī)律方法

圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何圖形特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值與范圍,求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.(1)求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C且與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,點(diǎn)A(0,-1),當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.易錯(cuò)易混·銜接高考12345678A12345678A123456783.[2023全國(guó)新高考Ⅱ卷,5]已知橢圓C:+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,則m=(

)C12345678123456784.(多選題)[2023全國(guó)新高考Ⅱ卷,10]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-(x-1)過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則(

)A.p=2B.|MN|=C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形AC12345678123456785.[2024廣東廣州月考]數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn):橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上,且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和,此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓