2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊 軸對稱的綜合應用 專項訓練

軸對稱的綜合應用

一、課標導航

課標內容課標要求目標層次

軸對稱能運用軸對稱的知識解決簡單問題

二、核心綱要

1.利用軸對稱變換解題

軸對稱變換是作點、線、圖形關于某一直線的對稱圖形，從而使圖形中隱藏條件凸顯出來，或將分散條件集

中起來，從而達到解題目的.那么，我們在什么情況下應該想到用或作軸對稱呢？下面給出幾種常見考慮要用或作

軸對稱的基本圖形.

(1)線段或角度存在2倍關系的，可考慮對稱

(2)有互余、互補關系的圖形，可考慮對稱.

(3)角度和或差存在特殊角度的，可考慮對稱

(4)路徑最短問題：運用軸對稱，將分散的線段集中到兩點之間，從而運用兩點之間線段最短，來實現(xiàn)最短路

徑的求解.所以最短路徑問題，需考慮軸對稱.

下表給出幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法.

問題作法圖形原理

?B

-----------------------APA+PB最小值為AB.兩

連接AB

在1上找一點P使PA+P/點之間，線段最短.

B最小.

?B

A

?作A關于1的對稱點B

------------------------1AP+BP=AB,兩點之間,

A1,連接AB，與1的交—

在直線1上求一點P,使線段最短.

點即為點P

AP+BP最小

zS,

分別作點P關于兩直

線的對稱點P'、P”,連接PM+MN+PN=PP",兩點

在直線11、12上分別P'P”,與兩直線交點即之間，線段最短

求點M、、使4PMN周為M、N

長最小

續(xù)表

問題作法圖形原理

4

分別作點P、Q關于

PQ+PM+MN+NQ=P'Q'

直線11、12的對稱點

+PQ,兩點之間，線段

在直線11、12上分別求、連接與直線

pQ',PQ',最短

點M、N,使四邊形PMNQ的交點即為M、N紗

周長最小

S將A向右平移a個單

----------------------1位到A；作A關于1的對B

在直線1上求兩點M、N稱點A”,連接A“B,與1AM+MN+NB=a+A”B,

兩點之間，線段最短

（M在左），使得MN=a，并使交點即為點N,將點NM；/N'

AM+MN+NB最小向左平移a個單位即為

M

S

_______________f連接BA并延長與直B|AP-BP|=AB,三角形任

線的交點即為點意兩邊之差小于第三邊.

在直線1上求點P,使IAP-1Ppv----------------------------/

BP|最大

A.

----------------------1作點B關于直線1的

|AP-BP|=AB：三角形任

*H對稱點B;作直線AB，與

意兩邊之差小于第三邊

在直線1上求點P,使IAP-1的交點即為點P

BP|最大

小

八.|PA-PB|=0,垂直平分線

連接AB，作AB中垂

----------------------1上的點與線段兩端點距

在直線1上求點P,使IIP線與1的交點即為點P.

離相等

A-PB|最小.

/

作點P關于直線OB

的對稱點P',過P'向直線PD+CD的最小值為PC

點P在銳角/AOB內部,

OA作垂線與OB的交長度.點P到直線OA的

在OB邊上求作一點D,

點為所求點D,垂足即、p.距離，垂線段最短.

在OA邊上求作一點C,使

為點C.

PD+CD最小.

2.利用構造等邊三角形

等邊三角形有許多重要的性質，在解題中，若已知條件出現(xiàn)某一個角為60°,或角度的和、差、倍、分與60°

有聯(lián)系時，一般地構造出等邊三角形，匯聚分散的條件，探究解題思路，達到簡捷解題目的.

本節(jié)重點講解：兩個應用（軸對稱和等邊三角形的應用）

三、全能突破

基礎演練

1.如圖13-3-1所示，直線L是一條河，P,Q是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站，向P,Q兩地供水，現(xiàn)

有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（）.

A.B.C.D.

圖13-3-1

2.如圖13-3-2所示，A、B兩點分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直

線b表示輸煤氣總管道.現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設一個連接點，安裝分管道將水和煤

氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最

短.圖中，點A'是點A關于直線b的對稱點,AB分別交b、a于點C、D;點B'是點B關于直

線a的對稱點BA分別交b、a于點E、F.則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點依次

是（）.

A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E

3.如圖13-3-3所示，已知NAOB的大小為a,P是NAOB內部的一個定點，且0P=2,點E、F分別是OA、0B上的動點,

若4PEF周長的最小值等于2,則a=（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖13-3-4所示，已知△ABC為等邊三角形.高AH=10cm,P為AH上一動點,D為AB的中點廁PD+PB的最小值為

_____cm.

5.加油站A和商店B在馬路MN的同一側（如圖13-3-5所示）,A到MN的距離大于B到MN的距離,AB=7m,,—

個行人P在馬路MN上行走，問：當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差等于

圖13-3-5

6.如圖13-3-6所示，凸六邊形ABCDEF的六個角都是120。,邊長AB=2cm,BC=8cm,CD=ll

cm,DE=6cm,你能求出這個六邊形的周長嗎？

圖13-3-6

7.如圖13-3-7所示,在△ABC中,4B=AC,AA=100°,BD平分NABC,求證:BC=BD+A

D.

圖13-3-7

8.在正△ABC內取一點D,使DA=DB,iSAABC外取一點E,使乙DBE=NDBC,,且BE=BA,求/BED的度數(shù).

能力提升

9.如圖13-3-8所示點P為ZAOB內一點，分別作點P關于OA、OB的對稱點.P2，連接Pi戶,

P2交OA于點M,交OB于點N,若.P1P2=6,貝必PMN周長為（）.

A.4B.5

C.6D.7

圖13-3-8

10.如圖13-3-9所示，在某一地方，有條小河和草地，一天某牧民的計劃是從A處的牧場

牽著一只馬到草地牧馬，再到小河飲馬，再回到B處，你能為他設計一條最短的路線

嗎？（在N上任意一點即可牧馬，M上任意一點即可飲馬.）（保留作圖痕跡，需要證明）

圖13-3-9

D

1L如圖13-3-10所示，點M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點（點B除外）,

作/DMN=60。,射線MN與NDBA外角的平分線交于點N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關

系？

AMB

圖13-3-10

12.如圖13-3-11所示，在△ABC中,NBAC=120。,P為△ABC內一點.

求證:PA+PB+POAB+AC.

13.如圖13-3-12所示，已知線段AB的同側有兩點C、D滿足NACB=/ADB=60

=90°NDBC.求證:AC=AD.

圖13-3-12

14.如圖13313所示，在△ABC中,AB=AC,D是4ABC外一點且/人8口=60。,/人?口=60。,求證3口+口?=

C

圖13-3-13

15.如圖13314所示，已知P是^ABC邊BC上一點，且PC=2PB,gZABC=45°,ZAPC=60°,^<

ZACB的大小.

圖13-3-14

16.如圖13-3-15所示，在四邊形ABCD^^C=CD^BCA-ZACD^O^ScilEAD+CD^AB.

圖13-3-15

17.如圖13-3-16所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC頂角NA=20。,在邊AB上取點D,使AD二BC,求NB

DC.A

BC

圖13-3-16

18.如圖13-3-17所示，在△ABC4I,ZBAC=ZBCA=44°,MABC內一點，使得NMCA=3()o,NMAC=16。,求NBM

C的度數(shù).

圖13-3-17

19如圖13-3-18所示，在四邊形ABCD中,NBAD=120o,NB=ND=90。,在BC、CD上分別找一

點M、N,使△AMN周長最小時，則NAMN+NANM的度數(shù)為（）.

A.13O°B.1200

C.1100D.1000

圖13-3-18

AABC中，BA=BC,Z.BAC=a,,M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋

轉2a得到線段PQ.

⑴若a=60。。且點P與點M重合(如圖13319(a)所示).線段CQ的延長線交射線BM于點D,請補全圖形，并寫

出NCDB的度數(shù).

圖13-3-19

⑵在圖13319(b)中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D,猜想/CDB的大小(用含a

的代數(shù)式表示)，并加以證明.

(3)對于適當大小的a,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B、M重合)時,能使得線段CQ的延長線

與射線BM交于點D,且PQ=QD,請直接寫出a的范圍.

巔峰突破

21.如圖13320所示，已知ABC中,/B=9(F,AB=3,BC=4,D、E、F分別是三邊AB、B

C、CA上的點，貝!]DE+EF+FD的最小值為().

A-B.-

55

圖13-3-20

C.5D.6

22如圖13-3-21所示,P為公ABC內部一點，使得Z-PBC=30°f^PBA=8。,且乙PAB=Z.PAC=22。,求NAPC的度

數(shù).

圖13-3-21

基礎演練

1.D;2.A;3.A;4.10;5.7

6.如圖，分別作線段AB、CD、EF的延長線使它們交于點G、H、P.：六邊形ABCDEF的六個角都是120。,

六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°.

.?.△APF、ABGC.ADHEX△GHP者B是等邊三角形.

GC=BC=8cm,DH=DE=6cm.

???GH=8+11+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-15-6=4cm.

所以六邊形的周長為2+8+1l+6+4+15=46cm.

7.在BC上截取BE=BA,延長BD至1]F使BF=BC,連接DE、CF.

又?:ZABD=ZEBD,BD=BD,BE=BA,

/.△ABD^AEBD.

ZDEB=ZA=100°,.\ZDEC=80°.

AB=AC,BD平分/ABC,

ZABD=ZEBD=20°.ZDCE=40°.

VBC=BF,ZEBD=20°,

ZF=乙FCB=|(180°-4EBD)=80°.

NF=NDEC.ZDCF=80°-ZDCE=40°.

ZDCE=ZDCF,ZF=ZDEC,

又：DC=DC,

ADCE^△DCF".DF=DE=AD.

，BC=BF=BD+DF=BD+AD.

8.如下圖所示，連接DC,

?/DA=DB,AC=BC,CD=CD

AADC^ABDC..'.ZBCD=30°.

/DBE=/DBC,BE=AB=BC,BD=BD

ABDE^ABDC..*.ZBED=ZBCD=30°.

能力提升

9.C

10.作點A關于ON的對稱點E,作點B關于OM的對稱點F,連接EF交ON、OM于點C、D,連接AC、DB,則沿

AC-CD-DB路線走是最短的路線如下圖所示：

證明：在ON上任意取一點T,在OM上任意取一點R,連接FR、BR、RT、ET、AT,

A、E關于ON對稱,AC=EC,

同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,

AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF.

AT+TR+BR=ET+TR+FR,

?/ET+TR+FR>EF,

，AC+CD+DB<AT+TR+BR,

即沿AC-CD-DB路線走是最短的路線.

11.猜測DM=MN.

理由:過點M作MG〃BD交AD于點G,

則AG=AM.；.GD=MB.

又：/ADM+/DMA=120°,/DMA+NNMB=120°.

；./ADM=NNMB.

VZDGM=ZMBN=120°.

，ADGM^AMBN..*.DM=MN.

12.如下圖所示把4APC繞A逆時針旋轉60。得到△AP'C.

.?.ZCAC=ZPAP'=60o,AC=AC',AP=AP,,PC=P,C,

...△APP為等邊三角形.二PP'=AP.

■：A.BAC=120°,.-.ABAC=120°+60°=180°.

；.B、A、C三點共線,BC<BP+PP'+P'C.

即AB+AC<AP+BP+CP.

13.以AB為軸作△ABC的對稱△ABC,如下圖所示:

.?.AC=AC,ZC=ZC=60°,ZABC=ZABC.

1

V^ABD=90°-jzDBC,

.?.2ZABD+ZDBC=180°.

ZABD+ZDBC+ZABD=180°.

gpZABC+ZABD=180°.

ZABC+ZABD=180°,Z.DxB、C三點共線.

又：/D=60。，

^DAC=180°-ZC-=60°=ND=zC.

△ADC'是等邊三角形.，AD=AC'=AC.

14.如下圖所示，延長BD到F,使BF=BA,連接AF、CF.

?//ABD=60。,AABF為等邊三角形.

，AF=AB=AC=BF,/AFB=60°.

ZACF=ZAFC.

又：ZACD=60°,.\ZAFB=ZACD=60°.

ZDFC=ZDCF,.\DC=DF,

，BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB.

15.如下圖所示，作C關于AP的對稱點C,連接AC；BC；PC；DC',.,.PC'=PC=2PB,ZAPC'=ZAPC=

60°.

可證△BCP為直角三角形.

延長PB到點D,使BD=BP,則PD=PC',又NC'PB=60。,

則ACPD是等邊三角形.

由三線合一性質有C'BXBP,ZC,BP=90°,

ZABC=45°,.\ZC'BA=45°=ZABC.

/.BA平分/CBC.

過點A作AE±BC,AF±PC',AG±BM.

/.AE=AF=AG.CA平分NMC'P.

1

r

???乙ACP=~^MCP=75°=^ACB.

2

16.以AC為對稱軸將△DAC翻折到△D'AC的位置，連接BD'.

貝?。軨D=CD二BC,NACD二NACDl

VZBCD'=ZBCA-ZACD'=ZBCA-ZACD=60°,

AADBC為等邊三角形.

???AD+CD=AD+DBNAB,等號成立時AC平分/BAD.

17.如下圖所示，以AD為邊在△ABC外作等邊三角形^ADE,連接EC.

VZCAE=60°+20°=ZACB,AE=AD=CB,AC=CA>J

:.AACB^ACAE.氣：A