三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第四章三角函數(shù)

第5講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.借助單位圓能三角函

畫出三角函數(shù)數(shù)的定

本講每年必考，主要考查三

（正弦、余義域

角函數(shù)的定義域、值域（最

弦、正切）的三角函

值）、周期性、單調(diào)性、對(duì)

圖象，了解三數(shù)的值

2021全國(guó)卷乙T4稱性和奇偶性，有時(shí)與函數(shù)

角函數(shù)的周期域（最

零點(diǎn)和極值點(diǎn)綜合命題，題

性、單調(diào)性、值）

型以選擇題和填空題為主，

奇偶性、最大2023新高考卷IT15；2023全

難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考

（?。┲?國(guó)卷乙T6；2023天津T5；

命題趨勢(shì)變化不大，備考時(shí)

2.借助圖象理解三角函2022新高考卷IT6；2022全國(guó)

要注意區(qū)分正弦函數(shù)和余弦

正弦函數(shù)、余數(shù)的性卷乙T15；2022全國(guó)卷甲

函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不要混

弦函數(shù)在［0,質(zhì)及應(yīng)T11；2022北京T5；2021新

淆，另應(yīng)關(guān)注新角度、新綜

2兀］上，正切函用高考卷IT4；2020全國(guó)卷

合問題.

數(shù)在T?IIIT16；2019全國(guó)卷IT11；

上的性質(zhì).2019全國(guó)卷IIT9

。學(xué)生用書P080

1.用“五點(diǎn)法''作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

在正弦函數(shù)尸sinx,x￡［0,2n］的圖象上，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是（0,0）,（pI）,

①（兀，0）,（y,-1）,②（2兀，0）.

在余弦函數(shù)y=cosx,xe［0,2兀］的圖象上，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是（0,1）,（p0）,

③（兀，一1）,（y,0）,⑷（2兀，1）.

五點(diǎn)法作圖有三步：列表、描點(diǎn)、連線（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角y=sinxy=cosxy=tanx

函數(shù)

圖象

-

定義

RR⑤{xX，左兀+],>￡Z}

域

值域?r-i,11⑦[—1，1]R

周期是2E（左GZ且周期是2E"ez且周期是加（左￡2且

周期

際0）,最小正周期是⑧—胖0）,最小正周期是⑨—k豐0）,最小正周期是⑩—

性

271.27t.匹_.

對(duì)稱軸方程是?%=左兀+楙對(duì)稱軸方程是?x=hi

對(duì)稱無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是

1ez）,對(duì)稱中心是?—（左ez）,對(duì)稱中心是?_

性@（1,0）（左QZ）.

（Mr+烏，0）&GZ）.

（祈，0）（左ez）.2

奇偶

?奇函數(shù)?偶函數(shù)?奇函數(shù)

性

在?〔一［+22兀，

在?「2版一兀，2fati

2癡］（左GZ）上單調(diào)遞在?（一已+而，J+

單調(diào)（左￡Z）上單調(diào)遞增，在

增,在?號(hào)+2E,）+kit）（左￡Z）上單調(diào)遞

性?［2癡,2左兀+兀］

2E］（左GZ）上單調(diào)遞增.

"GZ）上單調(diào)遞減.

減.

注意y=tanx在其定義域內(nèi)不單調(diào).

常用結(jié)論

1.三角函數(shù)的對(duì)稱性與周期7的關(guān)系

（1）相鄰的兩條對(duì)稱軸（或兩個(gè)對(duì)稱中心）之間的距離為《；

（2）相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離為:；

（3）相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)（或最高點(diǎn)）之間的距離為T.

2.與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論

（1）若函數(shù)y=/sinQcox+（p）（x￡R）是奇函數(shù)，貝的=E（左￡Z）；若為偶函數(shù)，貝服

=左兀+三（左￡Z）.

2

（2）若函數(shù)y=/cos（sr+夕）（x￡R）是奇函數(shù)，貝Ug=左兀+］（左￡Z）；若為偶函數(shù)，

則（=加（后￡Z）.

(3)若〉=4311(cox+p)為奇函數(shù)，貝!]夕=左兀"ez).

1.設(shè)/是△NBC最小的內(nèi)角，貝ijsin/+cos/的取值范圍是(D)

A.(-V2,V2)B.[-V2,V2]C.(1,V2)D.(1,V2]

解析..,/是△48C最小的內(nèi)角，，0</蕓，.?/</+峻，/.^<sin(/+巴)<1,貝I

3441224

sinA+cosA=V2sin(/+；)￡(1,V2],故選D.

2.函數(shù)/(x)=tan(-4%+^)的最小正周期為(A)

A.-B.三C.兀D.27i

42

解析函數(shù)/(x)=tan(-4%+?)的最小正周期=；.

J6I3I|—4I4

3.[全國(guó)卷n]若％1=；,X2=,是函數(shù)/(X)=sincox(①>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則①=

(A)

3I

A.2B.-C.lD.-

22

解析依題意得函數(shù)/(x)的最小正周期T=*=2x年一?=兀，解得Q=2,選A.

4.函數(shù)/(x)=sin(工一會(huì)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是(C)

A.x=-B.x=-C.x=~-D.x=~-

4242

解析函數(shù)歹=sinx的圖象的對(duì)稱軸方程為(左￡Z),令1—：=左兀+三(左￡Z),

242

得工=E+早(左ez),故函數(shù)/(x)=sin(X—?的圖象的對(duì)稱軸方程為工=E+空

(左￡Z).令k=—1,得'=一二故選C.

4

5.[易錯(cuò)題]函數(shù)尸2sin(―x+巳)小引一兀，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)

A.[—兀，-J-JC.[-p0]D.[-^,0]

解析令—x+g三?+2左7i,左GZ,則一——2kn<x<一弓一2kn,左GZ.又xG[—n,0],

所以所求單調(diào)遞增區(qū)間為[一兀，-J].

6.函數(shù)/(x)=tan(3x+?)的圖象的對(duì)稱中心為(媽一打，0)"GZ).

66

解析令3x+m=，，左ez,解得戶萼一總FZ,

oZolo

所以/(x)的圖象的對(duì)稱中心為(把一三，0),左GZ.

618

西學(xué)生用書P082

命題點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域

例1函數(shù)y=lg(sinx)+Jcos%一；的定義域?yàn)橹笽2EVx^+2Mt,

sinx>0,(2kn<x<n+2fcn(keZ),

解析要使函數(shù)有意義,則1所以2左兀

cosx-->0,H_|_2kn<%<+2ku(kEZ),

<x<^+2kn(左￡Z),所以函數(shù)的定義域?yàn)閧xI2EVx3+2左兀，kGZ}.

方法技巧

求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式或不等式組，常借助于三角函數(shù)的圖象解決.

訓(xùn)練1函數(shù)/(X)=ta"tan2x的定義域?yàn)?|燈黑心21.

tan2x-tanx4

xHm+kn，

解析tan2x,tanx有意義，貝必2_kRZ,又tan2x—tan/0,即——4_一

2x^-+/cn,—tan"

2

tanx^O,則tanHO,即#桁，kGZ,綜上可得，#”，kRZ,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?/p>

4

{XI/空后GZ}.

4

命題點(diǎn)2三角函數(shù)的值域(最值)

例2(1)[2021全國(guó)卷乙]函數(shù)/(x)=sing+cos?的最小正周期和最大值分別是

(C)

A.3兀和夜B.3兀和2C.6兀和夜D.6兀和2

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin：+cos：=V^(sin：cos；+cos5sin；)=V2sin(：+；),所以函數(shù)

33343434

f(x)的最小正周期7=竽=6兀，最大值為VI故選C.

3

(2)已知函數(shù)/(x)=cos⑵+g)+2的定義域?yàn)閇a,7i],值域?yàn)橥＃?],貝！la的取值范

圍是(C)

A.[y,7T]B.[0,y]C.[y,y]D.[py]

解析由題意知，2x+=e[2a+p爭(zhēng)，且-cos⑵+學(xué)在[a,利上的值域?yàn)橥＃?],

；.2a+智，且2(/+92%，解得恐a庭，，a的取值范圍是件，—],故選C.

3333636

方法技巧

三角函數(shù)值域的不同求法

1.把所給的三角函數(shù)式變換成y=4sin(①x+9)+6的形式求值域.

2.把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

3.利用sinx土cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

訓(xùn)練2(1)[2023四川省模擬]已知函數(shù)/(x)=cos2x+sinx-J的定義域?yàn)閇0,仞，值域

為41]，則實(shí)數(shù)%的最大值為(A)

A.7tB.—C.—D.—

632

角星析由已知，得/(x)=cos2x+sinx--=1—sin2x+sinx-—sin2x+sinx+-,令，=

sinx,函數(shù)/(x)可轉(zhuǎn)換為產(chǎn)一戶+―3=—(r-1)2+1,因?yàn)榇酢阛，1],所以根據(jù)二次

函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得￡￡[0,1],即sinx￡[0,1],又x￡[0,m],所以根據(jù)三角函數(shù)的圖

象與性質(zhì)可得加￡碎，7i],所以實(shí)數(shù)冽的最大值為兀，故選A.

(2)函數(shù)y=sinx—cosx+sinxcosn的值域?yàn)閇—遍一]1].

解析令sinx—cosx=￡,貝【J/=V^sin(了一；),V2,V2],Z2=sin2x+cos2x—

i—+2i-4-2-1

2sinxcosx,iksinxcosx=—^―,所以歹=/+—^—=—5(f—1)2+l,所以當(dāng)￡=1時(shí)，函數(shù)

有最大值1;當(dāng)/=一遮時(shí)，函數(shù)有最小值一V2-1-,即值域?yàn)閇一四一1].

命題點(diǎn)3三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1三角函數(shù)的周期性

例3(1)[2023天津高考]已知函數(shù)/(%)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=2,/(x)的一個(gè)周

期為4,則/(x)的解析式可能為(B)

A/(x)=sin(夕)B/(x)=cos(今)

C.f(x)=sin(3)D/(x)=cos(%)

解析對(duì)于A,/（x）=sin（殳），其最小正周期為爭(zhēng)=4,因?yàn)?（2）=sin兀=0,所以

函數(shù)/（x）=sin（殳）的圖象不關(guān)于直線％=2對(duì)稱，故排除A;對(duì)于B,/（x）=

COS（夕），其最小正周期為爭(zhēng)=4,因?yàn)?⑵=COS7l=—1,所以函數(shù)/（X）=

cos（手）的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，故選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于C,D,函數(shù)y=sin（%）

和〉=3$（3）的最小正周期均為至'=8,均不符合題意，故排除C,D.綜上，選B.

（2）［全國(guó)卷ni］函數(shù)/（X）=3急的最小正周期為（c）

A.-B.mC.7iD.271

42

sinx

角星析f（x）=tan%=cos%=s;n-os%=sin%C0S工=%112x,所以/（X）的最小正周期T

l+tanzx］?sm。coszx+sinzx2J

cos2x

=與=兀故選c.

方法技巧

1.求三角函數(shù)周期的基本方法

（1）定義法.（2）公式法：函數(shù)＞=4sin（GX+夕）（或＞=4cos（s+夕））的最小正周

期丁=47，函數(shù)歹=/tan（。x+夕）的最小正周期7=7彳.（3）圖象法：求含有絕對(duì)值符

I3|I0）I

號(hào)的三角函數(shù)的周期時(shí)可畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象得出周期.

2.有關(guān)周期的2個(gè)結(jié)論

（1）函數(shù)歹=I/sin（5+9）I,y=I/cos（s+夕）I,y=I^4tan（5+9）I的最

小正周期7均為

I0）I

（2）函數(shù)y=I^4sin（①x+9）+bI（b?0）,y=IAcos（①x+夕）+bI（b，0）的最小

正周期T均為丹.

I3I

角度2三角函數(shù)的單調(diào)性

例4（1）［2022北京高考］已知函數(shù)/（x）=cos2x-sin2x,則（C）

A.f（x）在（-p—上單調(diào)遞減

B/（x）在（一^上單調(diào)遞增

C.fG）在（0,2）上單調(diào)遞減

D.f(%)在q,工)上單調(diào)遞增

解析依題意可知/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,對(duì)于A,因?yàn)椤?),所以

2x￡(—7i,--),函數(shù)/(x)=cos2x在(一；，--)上單調(diào)遞增，所以A不正確；對(duì)

326

于B,因?yàn)閄?(一：,少，所以2xG(一［,7),函數(shù)/(x)=cos2x在(一？，白)上

不單調(diào)，所以B不正確；對(duì)于C,因?yàn)閤G(0,學(xué)，所以2xG(0,作)，函數(shù)/(x)=

cos2x在(0,三)上單調(diào)遞減，所以C正確；對(duì)于D,因?yàn)閤d(p強(qiáng)，所以2xG號(hào)，

y),函數(shù)/(X)=cos2x在《，爭(zhēng)上不單調(diào)，所以D不正確.故選C.

(2)［全國(guó)卷n］若/(x)=cosx—sinx在［―q,上是減函數(shù)，則。的最大值是(A)

A.-B.-C.—D.n

424

解析f(%)=cosx—sinx=V2cos(x+-),因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞

減，則由OSr+券兀，得一%爛票.因?yàn)閒(x)在［―Q,上是減函數(shù)，I一B?<季所以

解得aU.又區(qū)間［―〃，有意義時(shí)，Q>0,所以O(shè)VagU,所以〃的最大值是三.

4444

方法技巧

三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及求解策略

常見類型求解策略

(1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為“一角一函數(shù)”的形式，如歹=Zsin(5+9)+b(A>0,co>

已知三角0)；

函數(shù)解析(2)利用整體思想，視“①為一個(gè)整體，根據(jù)》=sinx的單調(diào)區(qū)間列不等式

式求單調(diào)求解.對(duì)于y=Acos(Gx+夕)，y=Atan(Gx+9),可以利用類似方法求解.

區(qū)間注意求函數(shù)y=4sin(GX+夕)+6的單調(diào)區(qū)間時(shí)要先看4和①的符號(hào)，盡量化

成0>0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.

已知三角(1)求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是求出的單調(diào)區(qū)間的子集，列不等

函數(shù)的單式(組)求解.

調(diào)性求參(2)由所給區(qū)間求出“ox+w”的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單

數(shù)調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.

角度3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

例5⑴[2022全國(guó)卷甲]將函數(shù)/(x)=sin(cox+y)(?>0)的圖象向左平移於單位

長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值是(C)

A.-B.—C.—D.-

6432

解析記曲線C的函數(shù)解析式為g(x),則g(x)=sin[o(x+y)+^]=sin[?x+($。+

[因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以*GdZ),得0=2后+1

(左GZ).因?yàn)?>0,所以CUminM/攵選C.

(2)[2022新高考卷I]記函數(shù)/(x)=sin(cox+J)+b(O>0)的最小正周期為T.若與<T

<7t,且y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(手，2)中心對(duì)稱，則/(；)=(A)

A.lB.|3C.5；D.3

22

解析因?yàn)間vy兀，所以gv詈H解得2〈①V3.因?yàn)閥=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)號(hào)，

2)中心對(duì)稱，所以6=2,且sin(y(o+^)+6=2,即sin號(hào)①+,)=0,所以小y+沖

kTi(正Z),又2VG<3,所以詈廣等，所以手G+￡=4兀，解得①=|,所以

f(x)=sin(|x+：)+2,所以/(])=sin(|x^+^)+2=sin1+2=1.故選A.

方法技巧

1.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解方法：對(duì)于函數(shù)/(%)=4sin(cox+(p)

(co#)),令5:+9=祈+],kGZ,求出對(duì)稱軸方程；令①式+夕=左兀，kGZ,求出對(duì)稱中

心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0).對(duì)于y=/cos(Ox+9),y=AtanQcox+cp),可以利用類似方

法求解(注意y=4tan(①x+9)的圖象無對(duì)稱軸).

說明選擇題可以通過驗(yàn)證/(xo)的值進(jìn)行判斷，即/(xo)=±/Qx=xo是函數(shù)/(x)圖

象的對(duì)稱軸方程；f(xo)=0Q點(diǎn)(xo,0)是函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱中心.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=/sin①工或y=/tan①x的形式，而偶函數(shù)一般可化為y

=Acoscox+b的形式.

訓(xùn)練3(1)[2023全國(guó)卷乙]已知函數(shù)/(x)=sin(ox+夕)在區(qū)間(g?)單調(diào)遞增，直

63

線x=3和x=與為函數(shù)尸/(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸，則八一患)=(D)

A.--B.~-C.-D.—

2222

解析由題意得白冬=§-5=9,解得I。I=2,易知x=9是/(x)的最小值點(diǎn).若。=

2,則白2+9=—三+2E(左￡Z),得9=—"+2E(左￡Z),于是/(x)=sin(2x一"十

6265

24兀)=sin⑵一當(dāng),f(一沙=sin(一泮2—巧=sin(一$=$話=鳥若①=

612126332

—2,則(—2)+9=—5+2E:(左WZ),得夕=--+2^71(左￡Z),于是/(x)=

626

sin(―2x—g+2E)=sin(—2%—；)=sin⑵一匕i),所以/(一步=筑故選D.

666122

(2)在函數(shù)Qy=cosI2xI,?y=IcosxI,(S)y=cos(2x+J),@y=tan(2x--)

64

中，最小正周期為兀的所有函數(shù)為(A)

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

解析對(duì)于①，j=cosI2xI=cos2x,其最小正周期為卑=兀；對(duì)于②，y=IcosxI的最

小正周期為兀；對(duì)于③，j=cos(2x+-)的最小正周期為?=兀；對(duì)于④，y=tan(2x—7)

624

的最小正周期為今所以最小正周期為71的所有函數(shù)為①②③.

(3)函數(shù)/(x)=3sin(2x—5+夕)+1,西(0,兀),且f(x)為偶函數(shù)，貝！|夕=_

y_,/(%)圖象的對(duì)稱中心為<+當(dāng)1),YZ.

解析,:f(x)=3sin(2x—]+p)+1為偶函數(shù)，；.一]+0=阮+],左GZ,即0=等+

hr,左GZ.又夕e(0,兀),(x)=3sin⑵+])+l=3cos2x+l.由2x=1+

kit,4GZ,得x=：+M狂Z,：.f(x)圖象的對(duì)稱中心為q+寫，1),kRZ.

1.[命題點(diǎn)2/2023福建模擬]若對(duì)任意都有/(sinx)=-cos2x+cos2x+2sinx—3,則

/(x)的值域?yàn)長(zhǎng)4,0].

解析易知/(sinx)=2sin2x—1+1—sin2x+2sinx—3=sin2x+2sinx—3,所以/(x)=x2

+2x—3(—1<X<1),曲線y=N+2x—3的對(duì)稱軸為直線％=—1,所以函數(shù)/(x)在區(qū)間

[-1,1]上單調(diào)遞增，所以/(-1)9(%)9(1),即一49(x)<0,所以/(x)的值域

為[—4,0],

2.［命題點(diǎn)2/2023濰坊市高三統(tǒng)考］已知函數(shù)/（x）=3sinx+4cosx,且/（x）9（。）對(duì)任

意x￡R恒成立，若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4,m）,則m=3.

解析因?yàn)?（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+夕），其中cose。，sin則sin（。+

（P）=1,所以。+9=］+2歷i（左￡Z）,所以夕=5一9+2歷1（左￡Z）,所以sin9=sin（］一

夕）=cos9=f＞同理cos夕=3，所以tane=：==?,所以加=3.

554cosO4

3.［命題點(diǎn)3角度1/多選/2023福建省福州市聯(lián)考］如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)''

在半徑為2的圓。上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn),\

圈.該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離關(guān)于時(shí)間1的函數(shù)記為f⑺.下列說法正確

的是（AC）

A.f（/）=I2sin（。一巳）I

,34

B/（t）=2sin（爭(zhēng)一；）

C.fQt）的最小正周期為|

D/G）的最小正周期為3

解析由題可知，質(zhì)點(diǎn)的角速度為零rad/s,因?yàn)辄c(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)

過人之后所成角為%則夕=竽一會(huì)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義有處=2sin（等一小，所

以該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離為/（7）=I2sin（冬一工）I,故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)??）

=I2sin（爭(zhēng)一：）I,所以/（/）的最小正周期為表=|,故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.

V

4.［命題點(diǎn)3/多選/2023河北名校聯(lián)考］已知函數(shù)/（x）=2sin（cux+^）+b（。＞0）的最小

正周期7滿足三＜7＜手，且尸（-J1）是/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（AC）

22o

A.69=2

B,f（x）的值域是［—2,2］

C.直線x=］是/（x）圖象的一條對(duì)稱軸

D.f（%+;）是偶函數(shù)

解析對(duì)于A,因?yàn)槭?一三，1)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以一九十三=左兀

884

OGZ),且b=l,得。=2一8左(左GZ).又己<7<孫，且。>0,Fp-<—<—,所以

222323

<4,所以0=2,故A正確.

對(duì)于B,由對(duì)A的分析得/(x)=2sin(2x+-)+1,因?yàn)橐籭Wsin(2x+-)<1,所以

44

f(x)e[-l,3],故B不正確.

對(duì)于C,解法一由2%+；=析+三(左￡Z),得x="+三(攵￡Z),當(dāng)左=0時(shí)，x=《，所

42288

以直線是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確.

8

解法二將苫=己代入/(x),可得/')=3(/(x)的最大值)，所以直線》=已是/(x)

圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確.

對(duì)于D,因?yàn)?(x+1)=2sin[2(x+3)+：]+l=2sin(2工+]+2)+1=2cos(2x+?+

1,顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不正確.綜上所述，選AC.

(--------------------、練習(xí)幫'：練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------

口學(xué)生用書?練習(xí)幫P296

練—

1.函數(shù)/(x)=tan⑵+；)的定義域?yàn)?C)

A.{xIx我加+1,左GZ}B.{xIx￥2E+],左GZ}

C.{xIx#y+pk^Z}D.{xI尤#7i+5kQZ]

解析由2x+之也+工，左ez,得2x邦Tt十二k^Z,左GZ,

42428

函數(shù)y=tan(2x+-)的定義域?yàn)?|/把十7k^Z].

428

2.[2023天津新華中學(xué)統(tǒng)練]下列函數(shù)中，最小正周期為兀的奇函數(shù)是(D)

A.y=sin(2x+^)B.y=tan2x

C.j=2sin(7i—x)D.y=tan(x+兀)

解析對(duì)于函數(shù)>=$111(2x+^)=cos2x,最小正周期為兀，是偶函數(shù)，排除A;對(duì)于函數(shù)

j/=tan2x,最小正周期為是奇函數(shù)，排除B;對(duì)于函數(shù)y=2sin(兀一x)=2sinx,最小

正周期為2兀，是奇函數(shù)，排除C;對(duì)于函數(shù)^=1211(兀+x)=tanx,最小正周期為兀，是奇

函數(shù)，故選D.

3.下列函數(shù)中，以方為周期且在區(qū)間《，母單調(diào)遞增的是(A)

A/(x)=Icos2xIB.f(x)=Isin2xI

C.f(x)=cosIxID/(x)=sinIxI

解析A中，函數(shù)/(x)=Icos2xI的最小正周期為今當(dāng)、￡%])時(shí)，2X￡(p

7i),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A正確；B中，函數(shù)f(x)=Isin2xI的最小正周期為'，

當(dāng)(；,1)時(shí)，2x￡(p7i),函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，故B不正確；C中，函數(shù)/(%)

=cosIxI=cosx的最小正周期為2兀，故C不正確；D中，f(x)=sinIxI=

Isinxx>0

{‘一'由正弦函數(shù)圖象知，在xK)和xVO時(shí)，/G)均以2兀為周期，但在整個(gè)

(—sin%,%<0,

定義域上/(x)不是周期函數(shù)，故D不正確.故選A.

4.已知函數(shù)/(x)=sin(cox+0)+V3cos(cox+0)(?！闧一號(hào)自)是偶函數(shù)，貝！的值為

(B)

A.OB，7C.yDg

643

解析由已知可得/'(x)=2sin(ox+6+l),若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有

(kO,又由于(9引一會(huì)故有0+1=]解得。=也經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意.故選B.

512023江西月考]已知函數(shù)/(x)=sin(ox+夕)(。>0,0<°后)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為

-p|,則/(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是(B)

1512

A.x=--B.x=~-C.x=-D.x=-

6633

解析設(shè)/(x)的最小正周期為T,則!三一(V)=1,得了=空=2,所以①=兀，又因

233co

為一^+(p=kjt(左￡Z),且0<9<],所以9=2，則/(x)=sin(兀r+2),由兀x+?=E+

7(左￡Z),解得、=左+工(左￡Z),取左=—1,得一?條對(duì)稱軸方程為x=-

266

6.已知函數(shù)/(x)=-2tan(2x+p)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)臉，0),

則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(D)

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-2tan(2x+p)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)臉，0),所以2乂巳

+0==，4CZ,解得夕="一？，左CZ.又0<夕<三，所以°=三，所以/(x)=

22623

—2tan(2x+—).0——+ATT<2X+—<-+ATT,左GZ,解得——+—<%<—+—,左GZ,所以

3232''122122'''

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一行+g,"+骸,后GZ.當(dāng)左=0時(shí)，得了(X)的一個(gè)單

調(diào)遞減區(qū)間為(一工，白.

7.［全國(guó)卷I］設(shè)函數(shù)/(x)=cos(ox+表在［—71,兀］的圖象大致如

圖，則/(x)的最小正周期為(C)

.10n?7K八4n

A.B.—C.—D等

963

解析解法一由題圖知，f(―y)=0,—與+左兀(左右Z),解得69=一~~~

(左￡Z).設(shè)/(%)的最小正周期為T,易知TV2兀V2T,：.1<ItyI

IcoIIO)I

<2,當(dāng)且僅當(dāng)左=—1時(shí)，符合題意，此時(shí)(0=三，二7=空=如.故選C.

20)3

解法二由題圖知，/(—約=0且/(—兀)<0,f(0)>0,...一與(。>

9962

0),解得°=三，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，：.f(x)的最小正周期7=空=空故選C.

20)3

8.［2024安徽銅陵模擬］已知函數(shù)f(x)=asin4x+cos4x的圖象關(guān)于直線x=會(huì)對(duì)稱，

則/臉)=(A)

A.V3B.—C.--D.-1

22

解析由題設(shè)/(x)=Va2+lsin(4%+夕)(存0)且tan9=：又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

三對(duì)稱，所以工+9=三+巧1,k^Z=>(p=-+kR,kRZ,則tang=tan(-+^7i)=tai4=L=a=

1232666a

V3,綜上，/(x)=V3sin4x+cos4x=2sin(4x+￡),故/(或)=2s靖=遮.故選A.

9.［多選/2023江蘇南京模擬］已知xi,血是函數(shù)/(x)=2sin(ox—白(。>0)的兩個(gè)不同

6

零點(diǎn)，且IX1-X2I的最小值是熱則下列說法正確的是(ABD)

A.函數(shù)/(x)在［0,自上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=一已對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀，0)中心對(duì)稱

D.當(dāng)xe碎,利時(shí)，函數(shù)/⑴的值域是［—2,1］

解析由題意可知，最小正周期7=空=兀，所以0=2,f(x)=2sin(2x--).對(duì)于選項(xiàng)

A,當(dāng)xd［0,全時(shí)，2x—占［一,y］,所以/(x)在［0,申上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于

選項(xiàng)B,f(-^)=2sin［2x(-J)一白=2sin(一共=-2,所以/(x)的圖象關(guān)于直線x

=一搟對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,/(兀)=2sin(2兀一］)=一1知，所以/(x)的圖象

不關(guān)于點(diǎn)(兀，0)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)xG生利時(shí)，2L占年，爭(zhēng)，

sin(2x--)e［-l,f(x)e［-2,1］,故D正確.故選ABD.

62

10.定義運(yùn)算為：例如，1*2=1,則函數(shù)/(x)=sinx*cosx的值域?yàn)橐?/p>

lb(a>b),

解析f(%)=sinx*cosx,當(dāng)％￡區(qū)+2析，,+2左兀］,kGZ,這時(shí)sinxNcosx,所以/(%)

=cosx,這時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋邸?,?］;當(dāng)x引一牛+2版，：+2左兀］,讓Z,這時(shí)sin立

cosx,所以/(x)=sinx,這時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?1,爭(zhēng).綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋邸?,y］.

11.［2023上海松江二中模擬］若函數(shù)y=sin(?一,)在［0,團(tuán)上單調(diào)遞增，則加的最大值為一

2

3?

解析由x￡［0,m］,知世:一？￡［一),冽兀一；］,因?yàn)楹瘮?shù)在［0,加］上單調(diào)遞增，所以一

6666

冽兀一*三，即ov冽所以加的最大值為;.

6233

12.［2024安徽合肥一中模擬］已知函數(shù)/(x)=sinxcos%—V3cos2x+y--

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［一/柒上的值域.

解析(1)因?yàn)?(x)=sinxcosx—V3cos2x+y-=|sin2x~^(14^os2x)+^y==^sin2x-

—cos2x=sin(2%—-),

23

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為丁=與=兀.

由2E+餐2%一家2標(biāo)+手(左￡Z)可得歷1+居3爛析+*(左￡Z),

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為肉c+工，也+號(hào)］(左￡Z).

(2)當(dāng)一2T時(shí)，一空<2x—2t

則TSsin(2%—^)<1,

因此，函數(shù)/(x)在區(qū)間［一巳口上的值域?yàn)椋?1,1］.

642

帔力練「關(guān)

13.設(shè)函數(shù)/(x)=2cos(|x-,若對(duì)于任意的都有f(xi)<f(x)<f(%2)成立，

則IX1~X2I的最小值為(C)

A.-C.2兀

2B.KD.4TI

解析函數(shù)/(x)=2cos(1-x—,若對(duì)于任意的x￡R,都有f(xi)<f(x)<f(%2),

則f(xi)是函數(shù)的最小值，f(X2)是函數(shù)的最大值，IX\—X2|的最小值就是函數(shù)的半個(gè)

周期，故4*=271,故選C.

2

14J2023湘潭模擬］若函數(shù)/(x)=cos2x+sin(2x+^)在(0,cc)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a

的取值范圍為(B)

A?,爭(zhēng)B.(-爭(zhēng)

圖拳與)D.(拳爭(zhēng)

解析由題意得，函數(shù)/(x)=cos2x+sin(2x+?)=V3sin(2x+^),因?yàn)镺VxVa,所

63

以三<2x+￡<2a+=又由/(x)在(0,a)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，可得2無<2。+*371,解得巴

33336

<a<^,所以a的取值范圍為(手爭(zhēng).

15J2023福建龍巖模擬］已知函數(shù)/(%)=2IsinxI+cosx,則/(%)的最小值為

(C)

A.-V5B.-2C.-lD.0

解析解法一f(%)=2IsinxI+cosx,分別作出y=2IsinxI(圖1)與^=(：05》

(圖2)的部分圖象，如圖所示.

圖1圖2

從圖中可以看出，當(dāng)、=兀時(shí)，兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取得最小值，此時(shí)/(兀)=2Isin7iI+cos7i

=—1最小.

解法二因?yàn)?(一%)=2Isin(—%)I+cos(―x)=2IsinxI+cosx=/(x),所以

f